1. Τίτλος: Πυθαγόρειο Θεώρημα
2. Ταυτότητα του σεναρίου.
- Συγγραφέας (είς). Επιμορφούμενοι ΠΑΚΕ ΚΟΡΙΝΘΟΥ 2011
- Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Γεωμετρία,
- Θέμα: Μελέτη του Πυθαγορείου Θεωρήματος και της γεωμετρικής ερμηνείας του.
- Βασική ιδέα. Με τη χρήση ειδικά κατασκευασμένης για το σενάριο μακροεντολής οι μαθητές θα μελετήσουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και θα διαπραγματευτούν διαφορετικές αναπαραστάσεις του θεωρήματος (συμβολική, γεωμετρική, αριθμητική). Η δυνατότητα ταυτόχρονης δυναμικής διαχείρισης συμβολικής και γεωμετρικής αναπαράστασης του Πυθαγορείου Θεωρήματος θα μπορούσε να δημιουργήσει ευνοϊκές καταστάσεις για την κατανόηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος από τους μαθητές.
3. Σκεπτικό του Σεναρίου.
- Καινοτομίες – Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα χειρισμού πολλαπλών και διασυνδεδεμένων αναπαραστάσεων του Πυθαγορείου Θεωρήματος, καθώς και δυναμικού χειρισμού αντικειμένων.
Προστιθέμενη αξία. Οι μαθητές με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας του Πυθαγορείου Θεωρήματος διδάσκονται το θεώρημα κυρίως μέσα από ένα μαθηματικό τύπο τον οποίο καλούνται να μάθουν να διαχειρίζονται με αριθμούς χωρίς να έχουν ιδιαίτερη γεωμετρική εποπτεία του θέματος. Στο νέο μαθησιακό περιβάλλον του λογισμικού, οι μαθητές έρχονται σε επαφή με διαδικασίες διεξαγωγής πειραμάτων, παρατήρησης, μεθοδικής καταγραφής δεδομένων, διατύπωσης υποθέσεων, ελέγχου για επιβεβαίωσή τους και εξαγωγή γενικών συμπερασμάτων, συνεργάζονται μεταξύ τους, συνδιαλέγονται και επιχειρηματολογούν για τα αποτελέσματα των πειραμάτων τους. Επιπλέον, θα έχουν τη δυνατότητα να συνδέσουν το ΠΘ με την επίλυση προβλημάτων εμβαδών.
- Γνωστικά – διδακτικά προβλήματα οι μαθητές μαθαίνουν συνήθως «παπαγαλία» το Πυθαγόρειο Θεώρημα, χωρίς να αντιλαμβάνονται γεωμετρικά τι σημαίνει η φράση «το τετράγωνο της υποτείνουσας» ή «το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών», ενώ από την άλλη μεριά συνήθως δεν παρουσιάζουν δυσκολία στη χρήση του τύπου του Π.Θ. με αριθμούς. Συνήθως συγχέουν τις κάθετες πλευρές με την υποτείνουσα και παρατηρείται αδυναμία διατύπωσης του θεωρήματος
- Θεωρητικό πλαίσιο. Προτείνεται μια εποικοδομιστική διαδικασία κατασκευής της γνώσης στο πλαίσιο της ομάδας και της τάξης μέσω κατευθυνόμενης διερεύνησης.
4. Πλαίσιο εφαρμογής. Περιγράφει σε ποιους απευθύνεται το σενάριο, ποιες προϋποθέσεις απαιτούνται για την εφαρμογή του, και ποιοι είναι οι διδακτικοί στόχοι στους οποίους στοχεύει.
§ Σε ποιους απευθύνεται. Μαθητές Β΄ Γυμνασίου.
- Χρόνος υλοποίησης. Δύο (2) διδακτικές ώρες.
- Χώρος υλοποίησης. οι μαθητές θα εργαστούν εξ’ ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογιστών.
- Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών.
Ως προς την τεχνολογία και τους υπολογιστές: Βασικές λειτουργίες του Cabri.
Ως προς τα Μαθηματικά: Εμβαδόν τετραγώνου, ορθογώνια τρίγωνα
Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία.
Για τη διεξαγωγή της δραστηριότητας απαιτούνται :
α) Το λογισμικό Cabri που είναι ένα περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας εγκεκριμένο από το Υπουργείο Παιδείας και διατίθεται στα ελληνικά σχολεία.
β)Το εργαστήριο υπολογιστών του σχολείου στους οποίους θα εγκατασταθεί το λογισμικό.
γ) Ένας βιντεοπροβολέας για την απεικόνιση στοιχείων του σεναρίου σε οθόνη προβολής.
Συνοδευτικό Υλικό για τον μαθητή:
Α) Βασικές οδηγίες χρήσης του λογισμικού (θα δοθούν από τον εκπαιδευτικό)
Β) Τετράδιο (ώστε να κρατούν σημειώσεις κατά την πορεία της διερεύνησης και να καταγράφουν παρατηρήσεις και συμπεράσματα).
Γ) Φύλλα εργασίας (θα δοθούν από τον εκπαιδευτικό με στόχο να καθοδηγηθούν οι μαθητές στη διερεύνηση των διαφόρων ερωτημάτων)
- Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης.
Οι μαθητές θα εργαστούν σε ομάδες των 2 ατόμων. Με αυτό τον τρόπο αναπτύσσεται ομαδική εργασία, συνεργασία, ανταλλαγή απόψεων και ιδεών και επικοινωνία των μαθητών στη διάρκεια υλοποίησης του σεναρίου.
Ο ρόλος των μαθητών: ενεργητικός (δεν είναι παθητικοί αποδέκτες όπως στην παραδοσιακή τάξη), οι μαθητές πειραματίζονται, διερευνούν, διαπραγματεύονται, διατυπώνουν εικασίες, ελέγχουν και συνεργάζονται.
Ο ρόλος του διδάσκοντα: συνεργάτης, επισκέπτεται τους μαθητές και παρεμβαίνει όταν του ζητηθεί, θέτει ερωτήσεις ανοιχτές προς διαπραγμάτευση. Δεν είναι αυτός που μεταφέρει τη γνώση αλλά ο διαμεσολαβητής, ο καθοδηγητής και ο εμψυχωτής του έργου και της δραστηριοποίησης των μαθητών. Δημιουργεί ένα περιβάλλον αλληλεπίδρασης των μαθητών μεταξύ τους αλλά και με το Εκπαιδευτικό Λογισμικό.
- Στόχοι της δραστηριότητας.
§ Εξοικείωση με γεωμετρική αναπαράσταση – γεωμετρική Ερμηνεία Π.Θ.
§ Συμβολική έκφραση Πυθαγορείου Θεωρήματος με αλγεβρική σχέση.
§ Λεκτική διατύπωση Πυθαγορείου Θεωρήματος
§ Εφαρμογή της μακροεντολής «Πυθαγόρειο Θεώρημα.math».
- Ανάλυση της δραστηριότητας. (Στην ενότητα αυτή περιγράφεται με λεπτομέρεια η διαδικασία εφαρμογής της δραστηριότητας μέσα από την παρουσίαση των φάσεων που περιλαμβάνει το σενάριο παράλληλα με την ανάλυση της αναμενόμενης διδακτικής και μαθησιακής πορείας. Εδώ μπορεί να δοθούν και ενδεικτικά φύλλα εργασίας που δίνονται ανά φάση (όχι απαραίτητα για όλες τις φάσεις) και να ακολουθήσει σχολιασμός. Θα αναφερθούν επίσης οι ενδεχόμενες απαντήσεις αλλά και δυσκολίες που αναμένεται να συναντήσουν οι μαθητές όπως και ο τρόπος που θα αντιμετωπιστούν από το διδάσκοντα. Θα ενσωματωθεί δηλαδή εδώ )
– Η περιγραφή των επιμέρους δραστηριοτήτων.
Αρχικά ο εκπαιδευτικός μέσα από κατάλληλο φύλλο εργασίας μπορεί να ελέγξει τις προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών σχετικά με τα στοιχεία ορθογωνίου τριγώνου και το εμβαδό τετραγώνου, έτσι ώστε αν χρειαστεί να παρέμβει κατάλληλα. Στη συνέχεια μαθητές καλούνται να διερευνήσουν την Μακροεντολή για το Π. Θ. που έχει έτοιμη ο εκπαιδευτικός στους Η/Υ των μαθητών. Σε αυτό το στάδιο οι μαθητές αναμένεται να έχουν μια πρώτη οπτική αντίληψη για την γεωμετρική ερμηνεία του Π.Θ. μέσα από την οποία θα παρακινηθούν στη συνέχεια να διερευνήσουν και να «ανακαλύψουν» τη μαθηματική σχέση με την οποία εκφράζεται το Π.Θ. Σε αυτό το στάδιο οι μαθητές αναμένεται να συσχετίσουν αρχικά οπτικά τα τετράγωνα που δημιουργούνται εξωτερικά του ορθογωνίου τριγώνου (με ακμές τις πλευρές του τριγώνου) με τις πλευρές του τριγώνου. Ο εκπαιδευτικός μπορεί σε αυτό το στάδιο να ζητήσει από τους μαθητές να «διαβάσουν» το σχήμα και να αναγνωρίσουν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Αναμένεται οι μαθητές να αναγνωρίσουν ότι η γεωμετρική κατασκευή αποτελείται από ένα τρίγωνο και 3 τετράπλευρα, αλλά να μην αναγνωρίσουν ότι πρόκειται για ορθογώνιο και τετράγωνα αντίστοιχα. Μέσω συζήτησης μεταξύ των ομάδων και με αλληλεπίδραση με το λογισμικό αναμένεται να καταλήξουν στη σωστή απάντηση.
Στη συνέχεια οι μαθητές θα παρακινηθούν να διερευνήσουν τη σχέση που έχουν τα εμβαδά αυτών των τετραγώνων, αξιοποιώντας συνδυαστικά τα εργαλεία για αυτόματες μετρήσεις, το σύρσιμο και την πινακοποίηση. Αναμένεται οι μαθητές να παρατηρήσουν ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα της στήλης που αντιστοιχεί στο άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές τις κάθετες πλευρές του ορθ. τριγώνου είναι ίσα με τα αποτελέσματα της στήλης του εμβαδού του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα του ορθογωνίου.
Στην επόμενη φάση οι μαθητές θα τρέξουν μόνοι τους την μακροεντολή έτσι ώστε να εξοικειωθούνε με το συγκεκριμένο εργαλείο του λογισμικού. και με την καθοδήγηση του εκπαιδευτικού, μέσα από κατάλληλο φύλλο εργασίας, να επαναλάβουν τις μετρήσεις και να θα διερευνήσουν τη σχέση του εμβαδού του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου και του αθροίσματος των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και θα διατυπώσουν εικασίες, αξιοποιώντας κατά κύριο λόγο το σύρσιμο, συνδυαστικά με τα εργαλεία για αυτόματες μετρήσεις, και πινακοποίηση.
Στη συνέχεια θα ζητηθεί από τους μαθητές να εκφράσουν τις παρατηρήσεις τους με μαθηματική σχέση, αξιοποιώντας τον τύπο του εμβαδού των τετραγώνων.
Τέλος θα ζητηθεί από τους μαθητές να διατυπώσουν λεκτικά την παραπάνω μαθηματική σχέση, χρησιμοποιώντας στην διατύπωση αυτή τις τρεις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.
5. Αξιολόγηση
Από την επιτόπια παρατήρηση των μαθητών στην εξέλιξη του σεναρίου, τη διαχείριση του χρόνου, τις ερωτήσεις που θα διατυπωθούν, τις δυσκολίες που θα αντιμετωπίσουν οι μαθητές και τα φύλλα εργασίας τους θα αξιολογήσουμε το σενάριο στην κατεύθυνση της επίτευξης των εκπαιδευτικών στόχων έτσι ώστε να επανασχεδιαστεί όπου ενδεχομένως χρειαστεί.
6. Επέκταση της δραστηριότητας.
Αντίστροφο πυθαγορείου Θεωρήματος, Εφαρμογή του Πυθαγορείου με κανονικά πολύγωνα και ημικύκλια. Γενίκευση Πυθαγορείου Θεωρήματος.
7. Βιβλιογραφία. Αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών, Βιβλία Μαθηματικών Β Γυμνασίου για τον μαθητή και τον εκπαιδευτικό, Εγχειρίδιο Λογισμικού.
Ενδεικτικά Φύλλα Εργασίας
§ 1ο φύλλο εργασίας:
Τρέξτε την μακροεντολή «Πυθαγόρειο Θεώρημα». Ορίστε ως αρχικά αντικείμενα ένα ευθύγραμμο τμήμα και τυχαίο σημείο της κάθετης ευθείας σε ένα από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος.
§ 2ο φύλλο εργασίας:
1. Με τα εργαλεία του λογισμικού μετρείστε τα κύρια στοιχεία των γεωμετρικών σχημάτων της κατασκευής.
2. Τι είδους σχήματα προκύπτουν από την κατασκευή?
3. Με το εργαλείο «Εμβαδό» υπολογίστε τα εμβαδά Ε1 και Ε2 αντιστοίχως των τετραγώνων με πλευρές τις δύο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.
4. Με το εργαλείο «Εμβαδό» υπολογίστε το εμβαδόν Ε3 του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.
5. Με το εργαλείο «Υπολογισμός» υπολογίστε το άθροισμα των εμβαδών Ε1 και Ε2,
6. Σύρατε με το “drag mode” τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου. Τι παρατηρείτε? Υπάρχουν μεγέθη που μεταβάλλονται και ποια είναι αυτά? Υπάρχουν μεγέθη που μένουν σταθερά και ποια είναι αυτά?
7. Τι παρατηρείτε σχετικά με τις μετρήσεις των εμβαδών?
8. Σύρετε τις κορυφές του τριγώνου και πινακοποιείστε τουλάχιστον δέκα διαφορετικά στιγμιότυπα από τις μετρήσεις σας.
Τι παρατηρείτε?
9. Διατυπώστε μια εικασία για τη σχέση των εμβαδών του σχήματος και εκφράστε την με μαθηματικό τύπο
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10. Τη σχέση που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να την εκφράσετε με την βοήθεια του τύπου υπολογισμού του εμβαδού του τετραγώνου. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
§ 3ο φύλλο εργασίας
Βάλτε τις φράσεις στη σειρά ώστε να προκύψει αληθής πρόταση (ΠΡΟΣΟΧΗ: μια από τις φράσεις που δίνονται περισσεύει!):
ισούται με
το άθροισμα των τετραγώνων
τα τετράγωνα των κάθετων πλευρών
το τετράγωνο
της υποτείνουσας
ορθογωνίου τριγώνου
των καθέτων πλευρών
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Διατυπώστε λεκτικά την παραπάνω μαθηματική σχέση, συμπεριλαμβάνοντας στην διατύπωση αυτή και τις τρεις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
