Το παράδοξο του τροχού ,  διατυπώθηκε από τον  Αριστοτέλη  στο βιβλίο του   « Προβλήματα – Μηχανικά ».

    Δύο ομόκεντροι  τροχοί  (κύκλοι), συνδεδεμένοι μεταξύ τους  με ακτίνες  R  και  ρ   ( R > ρ )  , κυλούν χωρίς ολίσθηση σε παράλληλα επίπεδα. Όταν ο μεγάλος τροχός θα έχει διατρέξει απόσταση  ΑΑ΄ ίση με την περιφέρειά του,  ο μικρός τροχός  θα έχει διατρέξει  ίση  απόσταση ΒΒ΄ που πρέπει να ισούται  με τη δική του περιφέρεια.  Γνωρίζουμε ότι το μήκος της περιφέρειας του κύκλου είναι  L = 2πρ.

     Οπότε :                 

  ΑΑ΄ =  ΒΒ΄

2πR = 2πρ

R = ρ 

      Αδύνατο,  γιατί οι κύκλοι έχουν διαφορετικές ακτίνες.

   Το λογικό σφάλμα βρίσκεται στο γεγονός ότι υποθέσαμε κύλιση χωρίς ολίσθηση και για τους δύο τροχούς.  Στην πραγματικότητα, εφόσον οι δύο τροχοί είναι συνδεδεμένοι, είναι αδύνατη ταυτόχρονη κύλιση χωρίς ολίσθηση και για τους δύο.

     Δείτε το σχετικό βίντεο :           https://www.youtube.com/watch?v=mW-0bZwoGwQ&t

  Οστομάχιον  ονομαζόταν ένα μαθηματικό κείμενο του Αρχιμήδη.  Η λέξη  οστομάχιον  προέρχεται από τις λέξεις  οστούν  και  μάχη  και σημαίνει  η  μάχη των οστών.  Ήταν διαδεδομένο παιχνίδι στην αρχαιότητα και έμοιαζε με το σημερινό  τάνγκραμ.

    Περιγραφή του παιχνιδιού

Παιζόταν με 14 γεωμετρικά σχήματα που στο σύνολο τους σχηματίζουν  ένα τετράγωνο, με τα οποία δύο ή  και περισσότεροι  παίχτες έκαναν διάφορες γεωμετρικές φιγούρες  και ανταγωνίζονταν μεταξύ τους.

Ο Ausonius  και άλλοι αρχαίοι συγγραφείς αναφέρουν τις εξής φιγούρες:

• μια περικεφαλαία
• μια χήνα που πετάει
• έναν πύργο
• μια κολόνα
• έναν ελέφαντα
• ένα αγριογούρουνο
• ένα σκυλί που γαβγίζει
• έναν κυνηγό που παραμονεύει
• έναν αρματωμένο πολεμιστή.

    Το μαθηματικό πρόβλημα

   Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ.  Έστω Ε το μέσον της πλευράς ΒΓ, σχεδιάζουμε το τμήμα ΕΖ κάθετο στην ΑΔ. Σχεδιάζουμε τις διαγώνιους ΑΓ, ΒΖ και ΓΖ και ονομάζουμε Λ το σημείο τομής των ΑΓ και ΒΖ και Φ το σημείο τομής των ΑΓ και ΖΕ. Έστω Η το μέσον του ΒΕ σχεδιάζουμε την κάθετο στην ΒΕ που τέμνει την ΒΖ στο Τ. Κατόπιν, βάζουμε τον κανόνα στο σημείο Η και με στόχο το Α σχηματίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΗΚ όπου το Κ σημείο της ΒΖ. Έστω Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΛ σχεδιάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΒΜ. Έστω Ν το μέσον του τμήματος ΓΔ και Σ το μέσον του ΖΓ, σχεδιάζουμε το ΣΝ και το ΕΣ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ψ. Κατόπιν, βάζουμε τον κανόνα στο σημείο Σ και με στόχο το Β σχηματίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΣΧ όπου Χ σημείο της ΔΓ. Έτσι χωρίσαμε το τετράγωνο σε 14 γεωμετρικές επιφάνειες.

Το πρόβλημα online

Πηγή:   https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CF%83%CF%84%CE%BF%CE%BC%C