Χριστίνα Π. Φίλη – ΑΠΟΔΕΙΞΗ_Η Αναζήτηση της Πειθούς και της Αλήθειας
Απόδειξη: η αναζήτηση της πειθούς και της αλήθειας
Ι. Εισαγωγή
1. Ο συνήθης ορισμός της μαθηματικής απόδειξης είναι ο ακόλουθος: «με την χρήση λογικών επιχειρημάτων πρέπει να πεισθεί κανείς ή ακόμα και ο ίδιος ο ερευνητής ότι μια πρόταση είναι αληθής».
2. Η έννοια της μαθηματικής απόδειξης πέρασε από πολλές φάσεις ώσπου να διαμορφωθεί με αυστηρότητα.
Ο Leonhard Euler (1707-1783) π.χ. θεωρεί «συνεχείς συναρτήσεις εκείνες τις καμπύλες οι οποίες μπορούν να εκφρασθούν με μια συνάρτηση του x» δηλαδή οι καμπύλες υπακούουν σε ένα σταθερό νόμο. Ενώ όταν οι «καμπύλες είναι τέτοιες ώστε διαφορετικά τμήματα να έχουν για εκφράσεις διαφορετικές τιμές του x είναι ασυνεχείς, δηλαδή, μικτές και μη κανονικές».
Χωρίς αυστηρή απόδειξη ο Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) στην κλασική του πραγματεία του Θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων… θεωρούσε πως κάθε συνάρτηση αναπτύσσεται σε σειρά Taylor.
Ενώ ο Augustin-Louis Cauchy ( 1789-1857) λίγα χρόνια αργότερα, «αποδεικνύει» το θεώρημα πως όταν οι διάφοροι όροι της σειράς u0, u1,u2… un, un+1 είναι συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής x συνεχείς ως προς αυτή την μεταβλητή στην περιοχή μιας ιδιαίτερης τιμής για την οποία η σειρά συγκλίνει, τότε το άθροισμα της σειράς στην ίδια περιοχή αυτής της ιδιαίτερης τιμής είναι επίσης συνεχές. Σε μια επιστολή του στις 16 Ιανουαρίου 1826, ο Niels. Abel (1802-1829) πληροφορεί τους μαθηματικούς για τη λανθασμένη απόδειξη αυτού του θεωρήματος, δίδοντας ως αντιπαράδειγμα την σειρά η οποία ισούται με όταν x∈[0,π] και είναι μηδέν όταν x=π.
Αργότερα στην εργασία του για την σειρά του διώνυμου, ο Abel αναφέρεται και πάλι στην ανακριβή απόδειξη του Cauchy, όμως ο Γάλλος ακαδημαϊκός δημοσιεύει και πάλι αυτό το θεώρημα το 1833, χωρίς να λάβει υπ’ όψη του την παρατήρηση του Νορβηγού μαθηματικού, ο οποίος γνώρισε τη δόξα μετά τον θάνατό του.
Το 1853 ο Cauchy αποδέχεται το λάθος του αναφέροντας ότι το θεώρημά του για την συνέχεια μιας σειράς συνεχών είναι αναληθές, αλλά «είναι εύκολο να δει κανείς πως μπορούμε να αλλάξουμε την διατύπωση του θεωρήματος». Εκείνη την εποχή του έλειπε το εργαλείο της ομοιόμορφης σύγκλισης το οποίο από το 1838 ο δάσκαλος του Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), o Christoph Gudermann (1798-1851) χρησιμοποιεί την έννοια in ganzen gleichen Grade. Όμως το 1861 ο Weierstrass είναι εκείνος που θα εισάγει την ομοιόμορφη σύγκλιση (Konvergenz in gleichen Grade), αποδεικνύοντας πως με την πιο ισχυρή σύγκλιση, το όριο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση.
Μάλιστα στο τέλος της απόδειξης , ο Weierstrass αναφέρεται στα Άπαντα του Abel και ιδιαίτερα στην επιστολή του νορβηγού μαθηματικού προς τον εκδότη του Bernt Holmboe(1795-1850):
«Σταδιακά έχω γίνει πολύ προσεκτικός σε όλα αυτά, γιατί αν εξαιρέσουμε τις περιπτώσεις μεγίστης απλότητας, όπως οι γεωμετρικές σειρές, δεν υπάρχει, σχεδόν σε όλα τα μαθηματικά, μια μόνη άπειρη σειρά της οποίας το άθροισμα να ορίζεται με αυστηρό τρόπο. Με άλλα λόγια, στα μαθηματικά ό,τι είναι πιο σημαντικό παραμένει χωρίς βάση».
3. Πρώτα ο Bolzano και αργότερα ο Cauchy θα δώσουν τον ορισμό της συνέχειας, εντελώς διάφορο από τον ορισμό του Euler, σε ένα διάστημα και όχι σ’ ένα σημείο: «μια συνάρτηση f(x) μεταβάλλεται σύμφωνα με τον νόμο της συνέχειας για όλες τις τιμές του x που βρίσκονται στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό κάποιων φραγμάτων… όταν το x είναι μια τυχούσα τιμή, η διαφορά f(x+ω)-f(x) μπορεί να γίνει μικρότερη από κάθε δοσμένο μέγεθος, αν μπορούμε να πάρουμε πάντα το ω όσο μικρό θέλουμε».
4. Με τον Bolzano(1781-1848) εγκαινιάζεται η καινούργια εποχή για τα Μαθηματικά, όπου η μαθηματική απόδειξη δεν προσφέρει πια την βεβαιότητα, αλλά οφείλει να θεμελιώσει την αλήθεια:
«Μια αληθινά επιστημονική απόδειξη, είναι εκείνη η οποία αποτελείται από την αντικειμενική θεμελίωση μιας ισχύουσας αλήθειας για όλα τα μεγέθη, είτε βρίσκονται είτε δεν ανήκουν στον χώρο, δεν μπορεί να βρίσκεται σε μια αλήθεια ισχύουσα μόνο για μεγέθη ανήκοντα στον χώρο».
5. Χαρακτηριστική για τις «δυσκολίες» που πέρασε η μαθηματική απόδειξη αποτελεί η παρακάτω μεταγενέστερη διατύπωση του σημαντικού μαθηματικού Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), όταν στην επιστολή του στον Alexander von Humboldt στις 21 Δεκεμβρίου 1846 αναφέρεται στους κορυφαίους μαθηματικούς του καιρού του: «Όταν ο Gauss λέει πως απέδειξε κάτι, μου φαίνεται αρκετά προφανές, όταν το λέει ο Cauchy μπορεί να στοιχηματίσει κανείς για το αντίθετο, όταν όμως το λέει ο Dirichlet είναι βέβαιο».Briefwechsel zwischen Alexander von Humboldt und Carl Gustav Jacobi, Akademie-Verlag Berlin (hersg) H. Pieper 1987 Brief 22 s. 99.
6. Πολύ αργότερα ο Jules Henri Poincaré (1854-1912), ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, έδωσε λανθασμένη απόδειξη στην εργασία του για το πρόβλημα των τριών σωμάτων και οι εξισώσεις της δυναμικής (1889).
7. Γι’ αυτό και ο Jean Gaston Darboux (1842-1917) στη νεκρολογία του για τον Poincaré το 1913 θα αναφέρει: «αν θέλουμε να δώσουμε την ακριβή ιδέα για τον τρόπο που εργαζόταν ο Poincaré δεν πρέπει να φοβηθούμε να πούμε πως αρκετά σημεία απαιτούσαν διορθώσεις ή επεξηγήσεις. Ο Poincaré ήταν διαισθητικός, όταν ολοκλήρωνε, δεν γύριζε πίσω να ελέγξει τα βήματά του, του αρκούσε ότι είχε υπερνικήσει τις δυσκολίες και άφηνε στους άλλους την επιμέλεια να χαράξουν τις βασιλικές οδούς που έπρεπε πιο εύκολα να έχουν ως στόχο».
Αργότερα ο Jean Dieudonné (1906-1992) στο βιβλίο του Ιστορία της Αλγεβρικής και Διαφορικής τοπολογίας θα τον επικρίνει για την έλλειψη αυστηρότητας στις τοπολογικές μελέτες του (analysis situs), οι οποίες αποτέλεσαν το λίκνο της τοπολογίας.
8. Βέβαια κατά τον 20ό αιώνα εντάχθηκαν και ετερογενή εργαλεία απόδειξης. Έτσι στη δεκαετία του ’70 επιλύεται το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων με υπολογιστές. Επίσης δεν πρέπει να παραλείψουμε πως τόσο ο Andrew John Wiles για το τελευταίο θεώρημα του Fermat, όσο και ο Grisha Perelmann για την εικασία του Poincaré χρειάστηκαν να επαναδιατυπώσουν τις αποδείξεις τους για τις καίριες αυτές εργασίες τους.
Πως όμως γεννήθηκε η έννοια της απόδειξης;
ΙΙ. Η Προϊστορία
1.Στα αιγυπτιακά και στα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά απουσιάζει η έννοια της απόδειξης, εκτός αν θεωρήσουμε πως η συσσώρευση ταυτοτικών διαδικασιών μπορούν να θεωρηθούν ως απόδειξη.
2. Στις ακτές της Ιωνίας συντελείται το πέρασμα από τον μύθο στον λόγο, η χρήση του αλφαβήτου θα καθυποτάξει τον προφορικό λόγο στο γραπτό σύμβολο. Τότε τόσο το αντικείμενο όσο και η ιδέα θα σφυρηλατηθούν με τα γράμματα του αλφαβήτου και όλα θα τυλιχθούν μέσα στη μεγαλοσύνη της γλώσσας και του λόγου. Η κατάκτηση του γραπτού λόγου συμπίπτει και με τον εκδημοκρατισμό των θεσμών. Με αυτή λοιπόν την «γλωσσική επανάσταση» η οποία συμβαίνει στον ελληνικό χώρο θα συνδεθούν και άλλες τρεις μεταγενέστερες επαναστάσεις: η πολιτική, η δικονομική και η επιστημονική.
Ο Πρόκλος μας διασώζει πως ο Θαλής προκειμένου να αποδείξει κάποιες προτάσεις ήταν ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησε μαθηματικούς λογισμούς. Ακόμα ο Πρόκλος δεν θα διστάσει να αποδώσει στον Πυθαγόρα την μεταστροφή της γεωμετρίας από εμπειρική γνώση σε θεωρητική επιστήμη, καθώς «εις σχήμα παιδείας μετέστησεν».
3. Η έννοια της Δημοκρατίας γεννήθηκε στην Ελλάδα και εδώ τέθηκαν οι βάσεις της δίπλα με την έννοια της ελευθερίας. Σε αυτήν την «πολιτική επανάσταση» εντάσσεται και η δικονομική, την οποία θα απαθανατίσει ο Αισχύλος στις Ευμενίδες, όπου στο τέλος της τραγωδίας υμνείται η ίδια η απονομή του δικαίου. Ουσιαστικά το ελληνικό θαύμα είναι αποτέλεσμα μιας μετάβασης, η οποία ερμηνεύεται με τους κοινωνικούς μετασχηματισμούς. Δηλαδή ενώ στην Αίγυπτο η εξουσία ανήκει στην δύναμη της γραφής την οποίαν ζηλότυπα κρατούν μυστική οι γραφείς, οι Έλληνες αρχίζουν να δίδουν μεγάλη σημασία στον λόγο!!!
4. Η μεταστροφή λοιπόν των Μαθηματικών από λογιστική σε υποθετικό-επαγωγική επιστήμη επιτελείται καθώς εφαρμόζονται οι κανόνες του διαλόγου με βασικό εργαλείο τη χρήση λογικών επιχειρημάτων, που κυριαρχούσαν στην πολιτική ζωή της πόλης:” Αν η λογική σκέψη εμφανίστηκε στις ελληνικές πόλεις της Μικράς Ασίας, όπως η Μίλητος, είναι γιατί στο πλαίσιο της πόλης και του δημοσίου αποδεικτικού, ελεύθερα αντιφατικού διαλόγου, οι κανόνες της πολιτικής συμμετοχής καθίστανται και κανόνες της πνευματικής λειτουργίας” (J.P. Vernant, Religion, Histoire, Raison. Paris, 1987, σ. 97).
5. Η απόδειξη εμφανίζεται ως μία κοινωνική πράξη που έχει ως αντικείμενο να πείσει.
6. Όλα τα θέματα της πόλης συζητούνται δημόσια και με ισηγορία αναπτύσσεται ο έντεχνος ρητορικός λόγος, ο οποίος εφαρμόζεται παντού και έχει ως κύριο γνώρισμα την σαφήνεια και το δημοσίως πείθειν, αφού ο λόγος δυνάστης μέγας εστίν. Με τα ορθολογικά επιχειρήματα και την γραφή των Σοφιστών η τέχνη της πειθούς μετατρέπεται σε επιστήμη του αληθούς, αφού πια το δικονομικό σύστημα για να απαλλάξει ή να καταδικάσει το κατηγορούμενο έχει ανάγκη από αποδείξεις. Στην Αθήνα του 5ου αιώνα π.Χ. αυτή η απαίτηση της απόδειξη, ένα από τα κύρια καθήκοντα του ρήτορα, επιβάλλεται στην πιο γνωστή μορφή λόγων: στο δικονομικό και στο επιστημονικό. Γι’ αυτό και ο Αριστοτέλης στα Αναλυτικά Ύστερα (Ι2,15) θα διακηρύξει πως το να γνωρίζει κανείς, σημαίνει να γνωρίζει μέσω της απόδειξης «φαμέν δε και δ’αποδείξεως ειδέναι, απόδειξιν δε λέγω συλλογισμόν επιστημονικόν »
7. Σ’ ένα κοινωνικό πλαίσιο όπου η γνώση δεν ανήκει πια σε καμιά προνομιούχο τάξη υπεύθυνη για την διατήρησή της, το σημαντικότερο δεν είναι η αποκάλυψη της επίλυσης των προβλημάτων· πρώτα πρέπει να καθιερωθεί η ισχύς αυτών των λύσεων βασισμένων σε αποδεδειγμένες αλήθειες. Μετά πρέπει πάνω απ’ όλα να διαμορφωθεί η γνώση σε προτάσεις τέτοιες ώστε καθεμιά να μπορεί άμεσα να αποδείξει την αλήθεια ή το ψεύδος.
Μετά τους Mηδικούς πολέμους, η Αθήνα αποκτά φήμη τόσο για την πολιτική ελευθερία όσο και για τον πολιτιστικό της παλμό. Το δημοκρατικό πνεύμα το οποίο κυριαρχεί ωθεί τις συγκεντρώσεις σχετικά με πολιτικά, δικαστικά και ηθικά προβλήματα. Ίσως αυτή να ήταν και η αιτία που οδήγησε πολλούς προικισμένους δασκάλους της σκέψης και της ομιλίας, να συρρεύσουν στην Αθήνα όπως ο Πρωταγόρας από τα Άβδηρα, ο Γοργίας από την Σικελία, ο Πρόδικος φίλος του Σωκράτη από την Κέα, ο Ιππίας από την Ήλιδα, ο Θρασύμαχος από την Χαλκηδόνα.
Σε αυτή την ομάδα θα πρέπει να εντάξουμε και δυο Αθηναίους: τον Αντιφώντα, γνωστό και για τις μαθηματικές του αναζητήσεις, ο οποίος θα εκτελεσθεί
και τον Κριτία, που το 404 π.Χ. μαζί με τους Τριάκοντα θα αναλάβει την εξουσία στην Αθήνα.
Πριν από την άφιξη των Σοφιστών η παρεχόμενη εκπαίδευση στους νέους περιοριζόταν στη γενναιότητα και στη ρώμη. Οι κύριοι δάσκαλοι ήταν: ο παιδοτρίβης, ο κιθαριστής και ο γραμματιστής. Αργότερα ο Πλάτων στην Πολιτεία θα εισάγει τα Μαθηματικά, ως αναγκαίο μάθημα για τους κυβερνήτες.
8. Αυτή η ομάδα των Σοφιστών, η οποία θα δραστηριοποιηθεί κατά το δεύτερο μισό του 5ου π.Χ. αιώνα θ’ αναμορφώσει το σύστημα παιδείας σ’ ένα ελεύθερο πεδίο, χωρίς ανταγωνιστές και θα οργανώσει την αμειβόμενη διδασκαλία.
9. Τι δίδασκαν και ποια ήταν η αιτία της γοητείας τους μόνο έμμεσα συμπεράσματα μπορούμε να παραθέσουμε. Με συνεχή πειστική επιχειρηματολογία, ενεργοποιώντας τη νόηση, δίδασκαν πως να μιλά κανείς δημόσια τόσο στην Εκκλησία του Δήμου όσο και στα δικαστήρια δημιουργώντας ένα καινούργιο είδος σπουδών, όπου υπερτερούσαν αυτές που αργότερα ο Αριστοτέλης θα ονομάσει «έντεχνοι πίστεις» έναντι των «ατέχνων πίστεων». Θα πρέπει να αναφέρουμε πως το έργο των Σοφιστών, οι οποίοι ανέπτυξαν στο έπακρο τις δυνατότητες του λόγου μέσα από ένα τρισορθογώνιο σύστημα με άξονες την ρητορική, το δίκαιο και την αλήθεια, ελάχιστα έχουν διασωθεί.
Από τον Γοργία που εξέπληττε τους Αθηναίους, υπάρχουν δύο χαρακτηριστικά παραδείγματα που θίγουν θέματα ενοχής και αθωότητας. Πρόκειται για το Ελένης Εγκώμιον και Υπέρ Παλαμήδους απολογία. Και από τον Πρωταγόρα γνωρίζουμε το έργο του, Περί Αλήθειας ή Καταβάλοντες (λόγοι που κατατροπώνουν), το οποίο περιέχει παραδείγματα ακαταμάχητης επιχειρηματολογίας.
Για την Ελένη υπάρχουν τέσσερις δυνατές περιπτώσεις οι οποίες ερμηνεύουν την εγκατάλειψη της συζυγικής στέγης: i) θέλημα Θεού, ii) βίαιη αρπαγή, iii) αρπαγή κατόπιν πειθούς (λόγοις πεισθείσα), iv) ύπαρξη έρωτος (έρωτι αλούσα).
Πως ουν χρη δίκαιον ηγήσασθαι τον της Ελένης μώμον, ήτις ειτ’ ερασθήσα είτε λόγω πεισθείσα είτε βία αρπασθείσα είτε υπό θείας ανάγκης αναγκασθείσα έπραξεν α έπραξε, πάντως διαφεύγει την αιτίαν.
Γι’ αυτό και η Ελένη δεν είναι ένοχη, γιατί όποια και να είναι η αιτία η θυγατέρα της Λήδας και του Δία, του κυρίαρχου των πάντων, απαλλάσσεται από κάθε ενοχή. Μάλιστα στο τέλος ο Γοργίας αναφέρει ότι η όλη αγόρευση ήταν μία άσκηση πνευματικής ακροβασίας «εβουλήθην γράψαι τον λόγον Ελένης μέν εγκώμιον, εμόν δε παίγνιον» . Εδώ λοιπόν διαφαίνεται η απόδειξη με πρωταγωνιστή τον λόγο ως δύναμη της πειθούς.
10. Σιγά-σιγά η άρνηση των κατηγοριών οδηγούν στην αδυναμία τέλεσης της πράξης, ουσιαστικά παρουσιάζεται η μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής βασισμένη στην απόρριψη της κατηγορίας. Όμως αυτή η διαμέριση των αιτίων, η οποία ανήκει στον Γοργία, παρουσιάζεται και στο έργο του . ‘Υπέρ Παλαμήδους απολογία. Έτσι αναφέρει πώς αν ο Παλαμήδης είχε προδώσει θα το έπρατε για τους ακόλουθους λόγους: i) για πλουτισμό ιι)για τιμές ιιι) για ασφάλεια ιv)για την αποφυγή κάποιας δοκιμασίας ή κινδύνου.
Ο Γοργίας, ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία, καταρρίπτει τις πιθανές αιτίες, καθώς ο Παλαμήδης έχει χρήματα, απολαμβάνει τιμές . Σχετικά δε με την ασφάλεια, αν κάποιος προδώσει, θα κερδίσει την ανασφάλεια και το μίσος, θα προδώσει τους φίλους του, ενώ θέμα κινδύνου και δοκιμασίας δεν τίθεται.
Η σφιχτοδεμένη επιχειρηματολογία του Γοργία δεν αφήνει κανένα κενό στην αναζήτηση των αιτίων που περικλείει το τρίπτυχο της κατάκτησης : πλούτου, τιμών και ασφαλούς διαβίωσης .
Η παράθεση των επιχειρημάτων εντυπωσιάζει. έτσι π.χ. ένα από τα επιχειρήματά του εστιάζεται στο πως ο Παλαμήδης θα έσπαζε το φράγμα της γλώσσας και θα μπορούσε να επικοινωνήσει με έναν βάρβαρο, και πως θα τολμούσε να προδώσει, καθώς η προδοσία της πατρίδας ισοδυναμεί με την προδοσία του εαυτού του.
11. Η διδασκαλία των Μαθηματικών στην αρχαία Ελλάδα δεν θα μπορούσε να μην ανήκει στο πλαίσιο μιας ευρύτερης παιδείας. Ένας από τους συντελεστές αυτής της παιδείας ήταν η ρητορική. Όμως τι ήταν τότε η ρητορική; Ήταν η δημιουργός της πειθούς και η άνθιση του εικότος, αλλά και ήταν και το εργαλείο του λόγου, το οποίο μπορούσε να οδηγήσει στην αλήθεια.
12. Πέρα από τα δικαστήρια και την πολιτική, ο ρητορικός λόγος ανδρώθηκε και σε κείμενα επιστημονικού χαρακτήρα και αυτή η επιχειρηματολογία σταδιακά οδήγησε στην συλλογιστική η οποία διέπει την δομή του αξιώματος και του θεωρήματος.
Έτσι οι Έλληνες χρησιμοποίησαν δύο χαρακτηριστικά τα οποία αποκλειστικά τους ανήκουν:
- Στη λύση του προβλήματος προσέθεσαν την απόδειξη που η λύση του ικανοποιεί πλήρως τις απαιτήσεις του προβλήματος το οποίο τέθηκε.
- Στο είδος του προβλήματος θα συνδυάσουν το διατυπωμένο στην οριστική έγκλιση θεώρημα με τέτοια μαθηματική ιδιότητα, στην οποία θέλουν να προσδώσουν την πιο γενική μορφή ήδη ως αληθή ή ως ψευδή, αυτό δε το καινούργιο γραμματικό είδος θα συνοδευθεί με την απόδειξη της αλήθειας του.
Η έλλειψη πηγών δεν μας επιτρέπει να ανασυστήσουμε το modus operandi των αρχαίων Ελλήνων, αυτό το πέρασμα από την αποδεικτέα πρόταση και από την αυστηρή απόφαση της απόδειξής της, ταυτόχρονα σχεδόν με το δικονομικό και το φιλοσοφικό ή μαθηματικό πλαίσιο.
Χαρακτηριστική παραμένει η περιγραφή του Ισοκράτη για την ισχύ του λόγου, η οποία παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον: «Με τη βοήθεια του λόγου συζητούμε για τις αμφισβητούμενες υποθέσεις και πραγματοποιούμε τις έρευνες μας για όσα δεν γνωρίζουμε .Τα επιχειρήματα με τα οποία μιλώντας πείθουμε τους άλλους είναι τα ίδια που χρησιμοποιούμε όταν σκεφτόμαστε. Ονομάζουμε ρήτορες εκείνους, οι οποίοι είναι ικανοί να μιλούν μπροστά στα πλήθη και θεωρούμε πως σκέπτονται σωστά εκείνοι που μπορούν άριστα να συνδιαλεχθούν με τον εαυτό τους επί διαφόρων θεμάτων. Aν πρέπει να μιλήσω συνοπτικά για αυτή τη δύναμη, βλέπουμε πως κανένα από τα πράγματα που γίνονται σωστά , δεν υπάρχει χωρίς τη βοήθεια του λόγου» Ισοκράτους, Περί αντιδόσεως 256-257 .
13. Όσο για το πως συλλαμβάνεται η απόδειξη παραμένει χαρακτηριστική η θεώρηση του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης στην πραγματεία του, Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένην Έφοδος, αναφέρεται στην διαδικασία σύλληψης της απόδειξης. Παράλληλα, ο μεγάλος Συρακούσιος εμφανίζεται συγκαταβατικός ακόμα και σ’ εκείνον που διατυπώνει ένα θεώρημα, καθώς έστω κι αν δεν το αποδεικνύει, του αναλογεί ένα μέρος τιμής.
Αρχικά κάποια πράγματα μου εμφανίζονται μηχανικά και μετά πρέπει να αποδειχθούν γεωμετρικά γιατί η έρευνά τους με τον ίδιο τρόπο είναι χωρίς απόδειξη. Γι’ αυτό είναι ευκολότερο, όταν με αυτόν τον τρόπο έχουμε πριν αποκτήσει κάποια γνώση του θέματος να δώσουμε την απόδειξη παρά να την βρούμε χωρίς μηδενός εγνωσμένου. Αυτός είναι ο λόγος γιατί στην περίπτωση των θεωρημάτων αναφορικά με τον όγκο του κώνου και της πυραμίδας είναι το ένα τρίτο των όγκων του κυλίνδρου και του πρίσματος αντίστοιχα, τα οποία έχουν την ίδια βάση και το ίδιο ύψος, οι αποδείξεις τις οποίες πρώτος ο Εύδοξος ανακάλυψε. «Απόνειμαι» όμως «αν τις Δημοκρίτω μερίδα πρώτω την απόφασιν την περί του ειρημένου σχήματος χωρίς αποδείξεως αποφηναμένω».
14. Αιώνες μετά ο Πρόκλος θεωρεί τα Μαθηματικά ως μοντέλο για την ρητορική.Ίσως γιατί τότε στον 5ο αιώνα είχε επιτελεσθεί η αναστροφή των ρόλων. Τα Μαθηματικά έδωσαν ως αντι-δάνειο, ό,τι είχαν καρπωθεί από την ρητορική: από της μαθηματικής όφελος παραγίνεται, μάθουμεν αν εννοήσαντες ότι ταις μεν θεωρητικαίς οίον ρητορική και ταις τοιαίσθε πάσαις»»
15. Αν και ο αθηναϊκός δήμος δεν υπήρχε στη Ρώμη, η οποία ήταν συνδεδεμένη περισσότερο με ταξικές διακρίσεις (gradus digitatis), αυτή η οσμωτική σχέση μεταξύ ρητορικής και απόδειξης συνεχίστηκε κατά την ρωμαϊκή εποχή. Οι πραγματείες της ρητορικής διακρίνουν τους λόγους σε τέσσερα η πέντε μέρη: προοίμιο, διήγηση, απόδειξη, η οποία μπορεί να διαιρεθεί στην απόρριψη ή στην απάντηση με συγκριτική μέθοδο και στον επίλογο. Στην κλασική πραγματεία του De partiones oratoriae που γράφτηκε το 55π.Χ. σε δύσκολες εποχές για την αυτοκρατορία, ο Μάρκος Τύλλιος Κικέρων (106-43 π.Χ.), ο οποίος εφαρμόζει την ελληνική ρητορική στη Ρώμη, αναφέρει πως ο Κράσσος θεωρεί πως το καθήκον του ρήτορα είναι να μιλά με τέτοιο τρόπο ώστε να πείθει. Στη συνέχεια απαριθμεί και αυτός τα μέρη του λόγου: διήγηση, απόδειξη και επίλογος. Επίσης σ’ ένα όχι και τόσο γνωστό κείμενό του, αλλά ίσως το πιο αυστηρά από δομημένο όλα του τα έργα, Διαιρέσεις της Ρητορικής (De partiones oratoriae), που συντάχθηκε μεταξύ 54-52 π.Χ. και 46-45 π.Χ. ο Κικέρων παρουσιάζει κάποιες σκέψεις του σχετικά με την τέχνη της ρητορικής, οι οποίες υποκρύπτουν στοιχεία μαθηματικής απόδειξης.
16. Αργότερα, κατά την διάρκεια του Μεσαίωνα, οι νομικοί για να υπερασπισθούν τους κατηγορούμενους επινοούν τη θεωρία της βαθμωτής απόδειξης. Η θεωρία αυτή βασίζεται στην διάκριση μεταξύ νόμιμης και ικανής απόδειξης, που θα ονομασθεί πλήρης όταν αποτελείται από συγκλίνουσες μαρτυρίες και από γραπτές αποδείξεις , ακόμα και της απλής εικασίας, η οποία θα ονομασθεί ημι-πλήρης απόδειξη, καθώς βασιζόταν σε μία και μοναδική μαρτυρία (βλ. τον κλασικό κανόνα του ρωμαϊκού δικαίου: testis unus, testis nullus )
17. Στην Εισαγωγή για τα Στοιχεία του Ευκλείδη( Euclidis Elementa demonstratiorum, 1557) ο Jacques Peletier du Mans (1517-1582) μας παρουσιάζει μια χαρακτηριστική αναλογία μεταξύ της εφαρμογής του συλλογισμού στη μαθηματική απόδειξη και ενός δικηγόρου που εφαρμόζει στο δικαστήριο τους κανόνες της ρητορικής:
«Αν κάποιος με περιέργεια αναζητά, γιατί στην απόδειξη των προτάσεων δεν φαίνεται μορφή του συλλογισμού, αλλά μονάχα εμφανίζονται κάποια μέρη του συλλογισμού που έγιναν αντιληπτά, αυτός να γνωρίζει πως αυτό εναντιώνεται στην αξιοπρέπεια της επιστήμης… Γιατί ο δικηγόρος όταν πηγαίνει στα δικαστήρια δεν βάζει στα δάκτυλά του αυτά που ο καθηγητής της ρητορικής του έμαθε, αλλά μελετά όσο μπορεί, ακόμα και αν επικαλείται τα διδάγματα της ρητορικής, να φανεί πως δεν σκέπτεται τίποτα λιγότερο από την ρητορική».
Όμως εκείνη την εποχή η ρητορική δεν περιορίζονταν στην τέχνη του πείθειν αλλά όντας στενά συνδεδεμένη με τον λόγο, χρησιμεύει ως εργαλείο για την επιμελημένη διάταξή του, αφού τα στοιχεία της ρητορικής, έννοιες, επιχειρήματα, επιταγές απαιτούν επιλεκτικές επιλογές. Η αναγνώριση της σκέψης ως λόγου θα προηγηθεί της πολύ μεταγενέστερης πως ο λόγος δομεί την σκέψη.
Στο έργο του για την ποιητική τέχνη (Art Poétique), ο Peletier, από τις τρεις βασικές επιταγές της γραφής, ανακάλυψη, διάταξη, ευγλωττία (inventio, dispositio, eloquentia), θεωρεί πως η διάταξη αποτελεί την σημαντικότερη, καθώς αναφέρεται στη διευθέτηση και στην διδασκαλία των ανακαλυπτομένων πραγμάτων.
Με την σειρά της η διάταξη, το πιο όμορφο πράγμα στον κόσμο, όπως αναφέρει στην Άλγεβρά του ο Peletier, θα δικαιωθεί μέσα από τα σύγχρονα Μαθηματικά όχι μόνο ως παράγοντας που προσδίδει αξιοπρέπεια στα πράγματα, αλλά ως θεώρηση αυτή καθ’ αυτή.
Η επικονίαση της ρητορικής με τα Μαθηματικά θα δώσει το έναυσμα σε πολλούς ερευνητές να μελετήσουν τις αλληλοεπιδράσεις τους.
Η άλγεβρα στη Γαλλία, επισημαίνει η διακεκριμένη ερευνήτρια Giovanna Cifoletti, αναπτύχθηκε μέσα στα πλαίσια της δικονομίας και στα τέλη του 16ου αιώνα αυτό το οφείλεται στην αναδιοργάνωση της ρητορικής. Γι’ αυτό και ταυτίζει την αλγεβρική εξίσωση με το ρητορικό quaestio καθώς στην ιστορία της άλγεβρας το quaestio έπαιξε σημαντικό ρόλο, αφού κατά ρητορικό τρόπο επέτρεψε την έκφραση μαθηματικών προβλημάτων υπό μορφή εξίσωσης.
ΙΙΙ. Η παρατηρούμενη τομή κατά τον 17ο αιώνα
Ο 17ος αιώνας αποτελεί εποχή ραγδαίων μεταβολών και ανακατατάξεων για τα
Μαθηματικά. Η επιστολογραφία και η εδραίωση της τυπογραφίας καθιστούν ευκολότερη την επικοινωνία των επιστημόνων, οι οποίοι πια σε σύντομο χρονικό διάστημα ενημερώνονται για τα καινούργια επιτεύγματα, παράλληλα όμως αυξάνονται τα επικριτικά δημοσιεύματα, οι υπομνηματισμοί, αλλά και οι λίβελλοι.
Βέβαια οι επικρίσεις δεν περιορίζονταν μόνο στις σύγχρονες θεωρίες, όπως π.χ. στον απειροστικό λογισμό, αλλά επεκτείνονταν και στα αρχαιοελληνικά Μαθηματικά, με αποκορύφωμα το 5ο ευκλείδειο αίτημα. Για αυτό και αργότερα η κατασκευή των μη ευκλείδειων γεωμετριών θα ισχυροποιήσει την διάκριση μεταξύ της ιδέας της απόδειξης και της ιδέας του προφανούς.
Όμως το κύριο βάρος των επικρίσεων στο αρχαιοελληνικό έργο εστιαζόταν στην απουσία μιας γενικής μεθοδολογικής έκθεσης, ενώ «η ανυπαρξία του τρόπου ανακάλυψης» ενοχλούσε, γι’ αυτό και ο 17ος αιώνας βρίθει πραγματειών αφιερωμένων στις μεθόδους: μέθοδος των αδιαιρέτων του Bonaventura Cavalieri (1635), μέθοδος των εφαπτομένων του Isaac Barrow ( 1669), μέθοδος εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων του Pierre de Fermat (1637), o λόγος περί μεθόδου για την σωστή συμπεριφορά του συλλογισμού και την αναζήτηση της αλήθειας στις επιστήμες του René Descartes (1637), η μέθοδος των ροών του Isaac Newton (1671) κ.ά.
Οι πραγματείες αυτές είχαν τριπλό σκοπό:
Ι. Με τον ίδιο τρόπο να επιλυθούν διάφορα προβλήματα
ΙΙ. Να ευρεθούν καινούργια αποτελέσματα
ΙΙΙ. Να εξαχθεί ο τρόπος εύρεσης
Στους επικριτές των κειμένων που κυκλοφορούν είτε ως επανεκδόσεις είτε ως καινούργιες συγκαταλέγεται και ο Καρτέσιος, ο οποίος δεν διστάζει να δηλώσει πως καμιά πραγματεία αριθμητικής ή γεωμετρίας δεν τον ικανοποιεί, αν και η αριθμητική του Πυθαγόρα και η γεωμετρία του Ευκλείδη αποτελούν πρότυπα για την αληθή λογική. Έτσι στο έργο του Κανόνες για τη διεύθυνση του πνεύματος (Regulae ad directionem ingenii) στον 4ο κανόνα αναφέρει:
«Σχετικά για τους αριθμούς έχω διαβάσει σε βιβλία τόσους υπολογισμούς που με έκαναν να ανακαλύψω την αλήθεια. Όσο για τα σχήματα, υπήρχαν πολλά πράγματα που κατά κάποιον τρόπο βρίσκονταν μπροστά στα μάτια μου και αποτελούσαν την συνέχεια αυστηρών συνεπειών. Όμως το γιατί και το πως κατόρθωσαν να τα βρουν, δεν μου φαίνονταν αρκετά για να το αποδείξουν στην ίδια τη νόηση».
Ο μεγάλος αναμορφωτής αποδέχεται πως τα αποτελέσματα προέρχονται από αυστηρούς συλλογισμούς, όμως αυτό δεν του αρκεί· θέλει να γνωρίζει πως και γιατί προέκυψαν αυτά τα αποτελέσματα:
«Τίποτα δεν είναι πιο αναξιόπιστο από τις επιφανειακές αποδείξεις, οι οποίες συχνά προκύπτουν τυχαία παρά βάσει τεχνικής, και οι οποίες περισσότερο απευθύνονται στην όραση και στη φαντασία παρά στη νόηση, που μας παραπλανούν ώστε κατά κάποιο τρόπο ξεχνάμε να χρησιμοποιούμε την ίδια την λογική. Παράλληλα, τίποτα δεν είναι πιο περίπλοκο από το να υπερβαίνουμε δια της λογικής καινούργιες δυσκολίες, τις προκαλούμενες από την αταξία των αριθμών».
Ουσιαστικά λοιπόν ο Καρτέσιος επικρίνει το γεγονός ότι στις πρότερες αποδείξεις δεν αποκαλύπτεται το πιο ουσιαστικό, δηλαδή η μέθοδος, άρα ο τρόπος με τον οποίο εξάγονται τα καινούργια αποτελέσματα. Και φυσικά δεν διστάζει να παραθέσει τα αίτια αυτής της κριτικής: α) την απουσία ευρετικών μεθόδων και β) την μη αποκάλυψη των μεθόδων που οδηγούν στην ανακάλυψη.
Οπωσδήποτε ο μεγάλος πανεπιστήμονας επαναφέρει στο προσκήνιο αυτό το προαιώνιο πρόβλημα. Αν δηλαδή τα Μαθηματικά δεν προϋπάρχουν και άρα είναι δημιούργημα της ανθρώπινης νόησης ή προϋπάρχουν και καρτερικά περιμένουν κάποιον Κολόμβο προκειμένου να τα ανακαλύψει.
Στα πλαίσια του τέταρτου κανόνα ο Καρτέσιος επιχειρηματολογεί. Θεωρεί αδύνατον να μην είχαν γνωρίσει οι αρχαίοι Έλληνες «τα αληθή Μαθηματικά» που τα ίχνη των οποίων θεωρεί πως διακρίνονται στα κείμενα του Πάππου και του Διόφαντου. Το αμάλγαμα αριθμητικής και γεωμετρίας θα δημιουργήσει «μια κάποια ανάλυση που εφήρμοσαν οι αρχαίοι γεωμέτρες αν και αρνήθηκαν να αποκαλύψουν το μυστικό. Πρόκειται για ένα είδος αριθμητικής που ονομάζεται άλγεβρα και η οποία επιτρέπει να εργάζεται κανείς με αριθμούς όπως οι αρχαίοι έκαναν με τα σχήματα».
Στον βωμό των αποτελεσμάτων η ανάλυση των αρχαίων και η άλγεβρα των σύγχρονων θυσίασε την απλότητα και την καθαρότητα των αρχών (principia). Γι’ αυτό πρέπει η ανάλυση και η άλγεβρα να αναδιοργανωθούν, να σφυρηλατηθούν, να αναμειχθούν ώστε να αποτελέσουν μια παγκόσμια μέθοδο, που θα εγκαταλείψει την σχηματική απεικόνιση και θα επιβάλει ό,τι υπάρχει κοινό «σε όλες αυτές τις επιστήμες, ιδιαίτερα στα Μαθηματικά ».
Προκειμένου να τονίσει μάλιστα αυτή την σκόπιμη απομάκρυνση από τους αρχαίους υπογραμμίζει αυτή την κάποια επιζήμια πονηριά «pernicioso quadam astutia»:
«Πράγματι, όπως είναι γνωστό, πολλοί τεχνίτες ακριβώς για τον ίδιο λόγο, αποκρύπτουν τις ανακαλύψεις τους. Φοβούνται, ίσως, πως εξ’ αιτίας της μεγάλης ευκολίας με την οποία διαδίδονται οι ανακαλύψεις, κινδυνεύουν να χάσουν την αξία τους. Έτσι, προκειμένου να διατηρήσουν αμείωτο τον θαυμασμό μας προτίμησαν στη θέση των ανακαλύψεών τους να παρουσιάσουν μερικές άγονες αλήθειες αποδεικνυόμενες μέσω μιας εύστοχης λογικής αυστηρότητας, ως επακόλουθα της τέχνης τους, παρά να μας μάθουν την ίδια την τέχνη τους, που θα είχε εντελώς εξαντλήσει τον θαυμασμό μας».
Φυσικά ο Καρτέσιος αναφέρεται σε μια συνήθη τακτική των επιστημόνων αλλά και των καλλιτεχνών, οι οποίοι κρατούσαν μυστικές τις ανακαλύψεις τους, για όσο διάστημα έκριναν ικανό. Έτσι η νόμιμη κατασκευή (construzione legittima), της αναγεννησιακής προοπτικής παρέμεινε επτασφράγιστο μυστικό, όπως και η νευτώνεια δημιουργία των ροών, χωρίς αυτό να σημαίνει πως αυτή η τακτική δεν εφαρμόστηκε και αργότερα. Ο Gaspard Monge( 1746-1818) π.χ. κρατούσε μυστική την δημιουργία της παραστατικής γεωμετρίας, επειδή είχε εφαρμογές στην οχυρωματική. Άρχισε να την διδάσκει μόνον όταν ιδρύθηκε η École Polytechnique (1794).
Για τον Καρτέσιο, η αριθμητική και η γεωμετρία, αποτελούν τα πρότυπα της αληθούς λογικής και εκδηλώνουν τη γονιμότητα τους δημιουργώντας «ένα είδος ανάλυσης, όπως αυτό που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι γεωμέτρες, αν και αρνήθηκαν να αποκαλύψουν το μυστικό, ένα είδος αριθμητικής που ονομάζει άλγεβρα και του επέτρεψε να γίνονται πράξεις με τους αριθμούς, όπως οι αρχαίοι έκαναν με τα σχήματα.»
Αυτές οι δύο επιστήμες πρότυπα, τον οδήγησαν να χτίσει στην Γεωμετρία μια γενική μέθοδο επίλυσης γεωμετρικών προβλημάτων, τα οποία ανάγονται στην επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Όμως ένα γεωμετρικό πρόβλημα το οποίο έχει επιλυθεί μέσω μιας αλγεβρικής έχει αποδειχθεί; Αν όπως αναφέρει ο Καρτέσιος τα πράγματα τα οποία συλλαμβάνουμε ως πολύ κατανοητά και πολύ διακριτά είναι όλα αληθή και αν η απόδειξη έχει σκοπό να είναι διαυγής και προφανής, τότε τα προκύπτοντα αποτελέσματα με την «μέθοδο της ανακάλυψης» έχουν αποδειχθεί.
Αργότερα ο Adrien-Marie Legendre (1752-1833) στην τόσο επιτυχημένη πραγματεία του Στοιχεία Γεωμετρίας (1823) θα ορίσει το θεώρημα «ως μια αλήθεια , η οποία γίνεται προφανής μέσω ενός συλλογισμού ονομαζόμενου απόδειξη». Ενώ ο Bernhard Bolzano (1781-1848) στο ανατρεπτική μελέτη του 1817, Καθαρά αναλυτική απόδειξη του θεωρήματος ότι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε τιμών που δίδουν αποτελέσματα αντιθέτου σημείου υπάρχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα της εξίσωσης, αντιτίθεται στην έννοια της απόδειξης «ως κατασκεύασμα μέσω προφανών διαδικασιών», ουσιαστικά δηλαδή επισημαίνει την αντίθεσή του στην έννοια της απόδειξη ως διαφώτισης.
Μάλιστα καθώς ο ίδιος ο Bolzano είχε κατανοήσει την αξία αυτής της μελέτης του, συναισθανόμενος ότι ζούσε στην Πράγα, μακριά από τα επιστημονικά κέντρα της εποχής ήταν σίγουρος πως η εργασία του αυτή δεν θα έχει απήχηση. Είναι χαρακτηριστική η προσπάθεια που διαφαίνεται στο τέλος του προλόγου προκειμένου να αφυπνίσει την επιστημονική κοινότητα «Θα πρέπει να ζητήσω… να μην παραβλέψει κανείς αυτό το κείμενο εξαιτίας του μικρού του μεγέθους, αλλά εμπεριστατωμένα να το εξετάσει με όλη την δυνατή ακρίβεια και να γνωστοποιήσει τα αποτελέσματα αυτής της εξέτασης για να εξηγήσει σαφέστερα, τι ίσως είναι ασαφές, να απορρίψει ό,τι είναι εντελώς λανθασμένο, αλλά να αφήσει να κερδίσει τη γενική αποδοχή, το συντομότερο δυνατό, ό,τι είναι αληθές και σωστό» B. Bolzano, Rein analytischer Beweis… Prag, 1817, s. 28.
«Αυτός ο τελευταίος από τους μεγάλους ερασιτέχνες» γράφει ο Jan Sebestik,
«ταυτόχρονα αποτελεί και τον πρώτο από ένα καινούργιο μαθηματικό είδος που θα γνωρίσει την άνθισή του κατά τον 20ο αιώνα. Ο μαθηματικός–λογικός συγκεντρωμένος στα προβλήματα της θεμελίωσης, της οποίας εξετάζει με προσοχή τους επαγωγικούς συλλογισμούς, προσεκτικός στην οργάνωση των θεωρημάτων, στον πραξιακό χαρακτήρα των εννοιών , στην αποδεικτική πληρότητα και στην αποδεικτική αναλυτικότητα των κρυμμένων λογικών συλλογισμών… η ώρα του ήρθε με την καινούργια γενιά , την γενιά των Weierstrass, Cantor και Dedekind, η οποία θα θελήσει να συνενώσει την δημιουργία με την αυστηρότητα».
Δεν πρέπει να παραλείψουμε να υπογραμμίσουμε πως ο Bolzano παράλληλα με τα Μαθηματικά εντρυφούσε και στην Φιλοσοφία.
ΙV. Εν κατακλείδι
Στην σύντομη αυτή ομιλία μου, θέλησα να σκιαγραφήσω, τις διάφορες σημασίες που γνώρισε η έννοια της απόδειξης στο διάβα των αιώνων. Και παραμένει σημαντικό σημείο αναφοράς για τους διδάσκοντες να τονίζουν πως η απόδειξη δεν αποτελεί κάποιο απόλυτο sacro-sanctum. Γι’ αυτό οι διδάσκοντες θα πρέπει να προετοιμάσουν τους μαθητές τους, πως σε ένα αποτέλεσμα πλανιέται μια ατμόσφαιρα αβεβαιότητας, και αυτό πρέπει να τους οδηγήσει στο να υποθέτουν, να αντιπαραβάλουν τις υποθέσεις τους και να αποδείξουν προκειμένου να επιλύσουν και να πείσουν.
Το να παρουσιαστεί σε μια περίπτωση αβεβαιότητας μία απόδειξη ως ένα μέσο επίλυσης σηματοδοτεί την εγρήγορση του μαθητή προκειμένου να οδηγηθεί στο αποτέλεσμα , καθώς η αναζήτηση ενός αποτελέσματος συχνά περικλείει μεγαλύτερο ενδιαφέρον, από ένα προ υπάρχον γνωστό αποτέλεσμα.
Οφείλουμε ως πρωταρχικό εργαλείο να αναπτύξουμε στο μαθητή το νόημα αλλά και το αίσθημα του λογικού συλλογισμού, που σταδιακά θα τον οδηγήσει να κατανοήσει την σημασία της απόδειξης .
Πάντως σαν Έλληνες πρέπει να είμαστε περήφανοι πως η πρώτη πρόταση στα Στοιχεία της Μαθηματικής του Nicolas Bourbaki αναφέρει: «Μετά τους Έλληνες, όποιος λέει [τη λέξη] Μαθηματικά λέει [τη λέξη] απόδειξη».
Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας!
