Σχεδιάζουμε μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό ενός τετραγώνου ABCD. Η ευθεία αυτή τέμνει τις απέναντι πλευρές AB και CD του τετραγώνου, στα σημεία P και Q αντίστοιχα. Σχεδιάζουμε δύο κύκλους: Ο ένας διέρχεται από τα σημεία K, B, και P, και ο άλλος από τα σημεία K, D και Q. Αποδείξτε ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων (όχι το Κ δηλαδή) βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο BD. 

Όλες οι κορυφές μιας πολυγωνικής γραμμής βρίσκονται πάνω σε μια περιφέρεια, και οι γωνίες στις κορυφές B, C, D είναι όλες 45⁰. Αποδείξτε ότι το εμβαδόν του μπλε τμήματος του κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν του κίτρινου τμήματος.

Ένα τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σ’ έναν ρόμβο που έχει την οξεία γωνία του, ίση με 60⁰ όπως φαίνεται στο σχήμα. Μία από τις γωνίες του τριγώνου, είναι επίσης 60⁰. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.