elgavrilis's blog

Τι είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα; Για έναν μαθηματικό, ένα πρόβλημα είναι μια διερευνητική διαδικασία — μια δοκιμή της μαθηματικής πραγματικότητας για να δούμε πώς αυτή συμπεριφέρεται. Είναι ένας τρόπος να το «πειράξουμε» και να δούμε τι συμβαίνει. Έχουμε ένα κομμάτι μαθηματικής πραγματικότητας, το οποίο μπορεί να είναι μια διαμόρφωση σχημάτων, ένα αριθμητικό μοτίβο ή οτιδήποτε άλλο, και θέλουμε να καταλάβουμε τι το κάνει να χτυπά σαν τικ-τακ ρολογιού!  Τι κάνει και γιατί το κάνει; Έτσι αρχίζουμε να το “πειράζουμε” — απλώς όχι με τα χέρια μας, ούτε με ένα ραβδί. Πρέπει να το πειράζουμε με το μυαλό μας.

Όταν συνδέουμε κάθε κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς, τα τρία ευθύγραμμα τμήματα (διάμεσοι) φαίνεται να διέρχονται  από το ίδιο κοινό σημείο. Αν το δοκιμάσουμε αυτό σε μια μεγάλη ποικιλία τριγώνων, φαίνεται πάντα να συμβαίνει. Τώρα έχουμε ένα μυστήριο! Αλλά ας είμαστε πολύ σαφείς για το τι ακριβώς είναι το μυστήριο. Δεν έχει να κάνει με τα σχέδιά μας ή με το τι φαίνεται να συμβαίνει στο χαρτί. Το ερώτημα για το τι μπορούν ή δεν μπορούν να κάνουν τα τρίγωνα με μολύβι και χαρτί είναι επιστημονικό, και αναφέρεται στη φυσική πραγματικότητα. Αν το σχέδιό μας είναι πρόχειρο, για παράδειγμα, τότε οι γραμμές δεν θα συναντηθούν. Σίγουρα θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα εξαιρετικά προσεκτικό σχέδιο και να το βάλουμε κάτω από ένα οπτικό μικροσκόπιο, αλλά τότε θα μαθαίναμε πολύ περισσότερα για τον γραφίτη του μολυβιού και τις ίνες χαρτιού παρά για τα τρίγωνα.

Το πραγματικό μυστήριο αφορά φανταστικά, υπερβολικά τα φανταστικά (τέλεια) για να υπάρχουν τρίγωνα, και το ερώτημα είναι αν αυτές οι τρεις τέλειες γραμμές συναντώνται σε ένα τέλειο σημείο στη μαθηματική πραγματικότητα. Κανένα μολύβι ή μικροσκόπιο δεν μας βοηθάει τώρα. (Αυτή είναι μια διάκριση που θα πρέπει πάντα νε έχουμε στο νου μας, πιθανόν και λίγο ενοχλητική.) Πώς λοιπόν θα απαντήσουμε σε ένα τέτοιο ερώτημα; Μπορεί ποτέ να γίνει κάτι γνωστό για τέτοια φανταστικά αντικείμενα; Ποια μορφή θα μπορούσε να πάρει μια τέτοια γνώση;

Πριν εξετάσουμε αυτά τα ζητήματα, ας αφιερώσουμε λίγο χρόνο για να απολαύσουμε απλώς το ίδιο το ερώτημα και να εκτιμήσουμε όσα λέγονται εδώ σχετικά με τη φύση της μαθηματικής πραγματικότητας.

Αυτό που έχουμε ανακαλύψει είναι μια συνωμοσία. Προφανώς, υπάρχει κάποια υποκείμενη (και μέχρι στιγμής άγνωστη) δομική αλληλεπίδραση που συμβαίνει αυτό. Νομίζω ότι αυτό είναι υπέροχο και επίσης λίγο τρομακτικό. Τι ξέρουν τα τρίγωνα που εμείς δεν το ξέρουμε; Μερικές φορές μας προκαλεί ζάλη όταν σκεφτόμαστε όλες τις όμορφες και βαθιές αλήθειες εκεί έξω που περιμένουν να ανακαλυφθούν και να συνδεθούν μεταξύ τους. Ποιο ακριβώς είναι λοιπόν το μυστήριο εδώ; Το μυστήριο είναι το γιατί!! Γιατί ένα τρίγωνο θα ήθελε να κάνει κάτι τέτοιο; Άλλωστε, αν ρίξουμε τρία ξυλάκια στην τύχη, συνήθως δεν συναντώνται σε ένα σημείο. διασταυρώνονται σε τρία διαφορετικά σημεία για να σχηματίσουν ένα μικρό τρίγωνο στη μέση. Δεν είναι αυτό που θα περιμέναμε να συμβεί;

Αυτό που ψάχνουμε είναι μια εξήγηση. Φυσικά, ένας λόγος για τον οποίο μια εξήγηση μπορεί να μην είναι διαθέσιμη είναι ότι απλώς δεν είναι αληθινή. Ίσως ξεγελάσαμε τους εαυτούς μας με ευσεβείς πόθους ή αδέξια σχέδια. Υπάρχει πολλή «ανοησία» στη φυσική πραγματικότητα, οπότε ίσως απλώς δεν μπορούσαμε να δούμε το μικρό τρίγωνο όπου τέμνονται οι γραμμές. Ίσως ήταν τόσο μικρό που χάθηκε ανάμεσα σε όλες τις μουτζούρες και τα ψίχουλα από μολύβια. Από την άλλη πλευρά, είναι σίγουρα το είδος του πράγματος που θα μπορούσε να είναι αληθινό. Έχει πολλά στοιχεία που αναζητούν οι μαθηματικοί: φυσικότητα, κομψότητα, απλότητα και μια ορισμένη αναπόφευκτη ποιότητα. Άρα πιθανότατα είναι αλήθεια. Αλλά και πάλι, το ερώτημα είναι γιατί;

Και εδώ έρχεται η τέχνη. Για να εξηγήσουμε, πρέπει να δημιουργήσουμε κάτι. Συγκεκριμένα, πρέπει με κάποιο τρόπο να κατασκευάσουμε ένα επιχείρημα – ένα σκεπτικό που θα ικανοποιήσει την περιέργειά μας ως προς το γιατί συμβαίνει αυτή η συμπεριφορά. Αυτή είναι μια πολύ δύσκολη υπόθεση. Καταρχάς, δεν αρκεί να σχεδιάσουμε ή να κατασκευάσουμε μια δέσμη φυσικών τριγώνων και να δούμε ότι το κοινό σημείο λίγο-πολύ λειτουργεί για αυτά. Αυτή δεν είναι εξήγηση. Είναι περισσότερο μια «κατά προσέγγιση – επαλήθευση». Το δικό μας είναι ένα πολύ πιο σοβαρό φιλοσοφικό ζήτημα.

Χωρίς να γνωρίζουμε γιατί οι γραμμές συναντώνται σε ένα κοινό σημείο, πώς μπορούμε να γνωρίζουμε ότι όντως συναντώνται; Σε αντίθεση με τη φυσική πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα να παρατηρήσουμε. Πώς θα μάθουμε ποτέ οτιδήποτε για μια καθαρά φανταστική πραγματικότητα; Δεν έχει τόσο μεγάλη σημασία τι είναι αληθινό. Έχει σημασία γιατί είναι αληθινό!. Το γιατί είναι το τι.

Όχι ότι προσπαθώ να υποβαθμίσω την αξία των συνηθισμένων αισθήσεών μας – κάθε άλλο. Χρειαζόμαστε απεγνωσμένα κάθε είδους βοήθεια για τη διαίσθηση και τη φαντασία μας: σχέδια, μοντέλα, ταινίες, οτιδήποτε μπορούμε να βρούμε. Απλώς πρέπει να καταλάβουμε ότι τελικά αυτά τα πράγματα δεν είναι πραγματικά το θέμα της συζήτησης και δεν μπορούν πραγματικά να μας πουν την αλήθεια για τη μαθηματική πραγματικότητα.

Έτσι, τώρα βρισκόμαστε πραγματικά σε μια δύσκολη θέση. Ανακαλύψαμε αυτό που νομίζουμε ότι μπορεί να είναι μια όμορφη αλήθεια και τώρα πρέπει να το αποδείξουμε. Αυτό κάνουν οι μαθηματικοί και αυτό ελπίζω να απολαμβάνετε να κάνετε και εσείς οι ίδιοι.

Είναι κάτι εξαιρετικά δύσκολο; Ναι, είναι. Υπάρχει κάποια συνταγή ή μέθοδος που πρέπει να ακολουθήσουμε; Όχι, δεν υπάρχει. Αυτή είναι η αφηρημένη τέχνη, απλή και καθαρή. Και η τέχνη είναι πάντα ένας αγώνας. Δεν υπάρχει συστηματικός τρόπος για να δημιουργηθούν όμορφοι και ουσιαστικοί πίνακες ή γλυπτά, και δεν υπάρχει επίσης μέθοδος για την παραγωγή όμορφων και ουσιαστικών μαθηματικών επιχειρημάτων. Συγγνώμη. Τα μαθηματικά είναι το πιο δύσκολο πράγμα που υπάρχει και αυτός είναι ένας από τους λόγους που αρκετοί τα αγαπούν.
Δεν μπορούν νν δοθούν συνταγές πώς να το κάνετε, και δεν πρόκειται να σας κρατήσουν το χέρι ούτε να σας δώσουν ένα σωρό συμβουλές ή λύσεις. Αν θέλετε να ζωγραφίσετε μια εικόνα από την καρδιά σας, δεν υπάρχει «ζωγραφιά απαντήσεων» στο πίσω μέρος του καμβά. Αν εργάζεστε σε ένα πρόβλημα και είστε κολλημένοι και πονάτε, τότε καλώς ήρθατε στην ομάδα. Ούτε οι έμπειροι μαθηματικοί ξέρουν πώς να λύσουν τα προβλήματα με τα οποία καταπιάνονται. Αν το ήξεραν, δεν θα ήταν πια προβλήματα! Πάντα εργαζόμαστε στην άκρη του αγνώστου, και πάντα είμαστε κολλημένοι. Μέχρι να έχουμε μια σημαντική ανακάλυψη. Και θα να έχετε πολλές τέτοιες!! – είναι ένα απίστευτο συναίσθημα. Αλλά δεν υπάρχει ειδική διαδικασία για να κάνεις μαθηματικά. Απλώς πρέπει να σκεφτόμαστε πολύ και να ελπίζουμε ότι η έμπνευση θα έρθει να μας συναντήσει.

Δεν είμαστε όμως αφημένοι στη μέση της ζούγκλας. Την ευφυΐα του και την περιέργειά του θα πρέπει κάποιος να τα εξασφαλίσει μόνος του — αυτά θα είναι η ματσέτα και η καντίνα του. Αλλά ίσως μπορούμε να πάρουμε και μια πυξίδα με τη μορφή μερικών γενικών συμβουλών.