S.A.M.

7 Ιουλίου, 2022

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 11:06 μμ

Θέμα 3 από το MATHEMATICAL GRAMMAR SCHOOL CUP- MATHEMATICS -29. June 2022.

Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του ΕΚΠ των αριθμών

    \[\displaystyle {2^2}^2+1,{2^2}^3+1,...,{2^2}^{2022}+1\]

Λύση

Έχουμε για \displaystyle \kappa\neq\lambda ότι

    \[MK\Delta(2^{2^{\kappa}} + 1, 2^{2^{\lambda}} + 1) = MK\Delta(2^{2^{\kappa}} + 1 - \ 2^{2^{\lambda}} - 1, 2^{2^{\lambda}} + 1) = MK\Delta(2^{2^{\kappa}}- 2^{2^{\lambda}},2^{2^{\lambda}} + 1) \]

\displaystyle = MK\Delta(\alpha\rho\tau\iota o\varsigma,\pi\varepsilon\rho\iota\tau\tau o\varsigma) = 1
Άρα \displaystyle EK\Pi(2^{2^{2}} + 1,2^{2^{3}} + 1,...2^{2^{2022}} + 1) = (2^{2^{2}} + 1) \cdot (2^{2^{3}} + 1) \cdot ... \cdot (2^{2^{2022}} + 1)
Θα δείξουμε, επαγωγικά, ότι για κάθε \displaystyle \kappa \geq 2 το τελευταίο ψηφίο του \displaystyle 2^{2^{\kappa}} είναι το 6.
Για \displaystyle \kappa = 2 έχουμε \displaystyle 2^{2^{2}} = 2^{4} = 16 \equiv 6(\text{mod}10)
Έστω ότι αληθεύει για \displaystyle \kappa = \lambda, δηλαδή ότι το τελευταίο ψηφίο του \displaystyle 2^{2^{\lambda}} είναι το 6, άρα 2^{2^{\lambda}} \equiv 6(\text{mod}10).
Τότε για \displaystyle \kappa = \lambda + 1 έχω \displaystyle 2^{2^{\kappa}}=2^{2^{\lambda + 1}} = 2^{{2 \cdot 2}^{\lambda}} = \left( 2^{2^{\lambda}} \right)^{2} \equiv 6^{2}mod10 \equiv 36mod10 \equiv 6mod10\)

Άρα για κάθε \displaystyle \kappa \geq 2 , έχουμε ότι \displaystyle 2^{2^{\kappa}} + 1\equiv7 mod10
Άρα
\displaystyle EK\Pi(2^{2^{2}} + 1,2^{2^{3}} + 1,...2^{2^{3022}} + 1) = (2^{2^{2}} + 1) \cdot (2^{2^{3}} + 1) \cdot ... \cdot (2^{2^{2022}} + 1) = \prod_{i = 2}^{2022} (2^{2^{i}} +1)\equiv \prod_{i = 2}^{2022}7 mod10
\displaystyle \equiv 7^{2021} mod10{\equiv \left( 7^{4} \right)}^{505} \cdot 7 mod10 \equiv \left( 49^{2} \right)^{505} \cdot 7 \text{mod}10
\displaystyle \equiv \left( ( - 1)^{2} \right)^{505} \cdot 7\text{mod}10 \equiv 7\text{mod}10
Απάντηση: το τελευταίο ψηφίο είναι το 7 (C).

Αφήστε μια απάντηση

«
»

©2026 S.A.M. Φιλοξενείται από Blogs.sch.gr

Όροι χρήσης blogs.sch.gr | Δήλωση προσβασιμότητας
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH