vstefanidis's blog ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θέματα Μικρών:

1) Να προσδιορίσετε το πλήθος των θετικών ακέραιων που δεν είναι δυνατόν να γραφούν στη μορφή , όπου .

2) Δίνεται ορθογώνιο  με πλευρές  και . Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Προεκτείνουμε την πλευρά  προς το μέρος του  κατά τμήμα  και την διαγώνιο  προς το μέρος του  κατά τμήμα . Αν το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο, τότε να αποδείξετε ότι:
(i) 
(ii)  
(iii)  

3) Αν  είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα  και οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί  και  έχουν γινόμενο , να αποδείξετε ότι:
.
Για ποιες τιμές των  και  αληθεύει η ισότητα; 

4) Δίνονται τρεις παράλληλες ευθείες , και  ενός επιπέδου, έτσι ώστε η ευθεία  να έχει την ίδια απόσταση, έστω , από τις  και . Τοποθετούμε  σημεία  και  πάνω στις ευθείες  και , έτσι ώστε σε κάθε ευθεία να υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο. Να προσδιορίσετε το μέγιστο αριθμό ισοσκελών τριγώνων που είναι δυνατό να σχηματιστούν με κορυφές τρία από τα σημεία  και  με κατάλληλη τοποθέτηση πάνω στις ευθείες  και , σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
(α) ,  και .
(β) ,  και .