pantsidis' math blog

Απλά ένα ακόμα ιστολόγιο Blogs.sch.gr

The role of external representations in the ordering of fractionsabstract_bok

Understanding of the ordering of numbers and the use of absolute value on the axis of real numbers

24 γράμματα Θετικές Επιστήμες και άλλα πολλά

Λανθασμένες αντιλήψεις των μαθητών σχετικά με την σύγκριση των κλασμάτων και επιδράσεις διαφόρων εξωτερικών αναπαραστάσεων

ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ


H δομή του σεναρίου

1.Τίτλος: Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος.

2.Ταυτότητα του σεναρίου.

·Συγγραφέας : Παντσίδης Χρήστος

·Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Γεωμετρία

·Θέμα: Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος

·Βασική ιδέα: Η κατανόηση της έννοιας της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος και της ιδιότητας που έχουν τα σημεία της με τη βοήθεια κατάλληλων δραστηριοτήτων αρχικά με ευρετικό τρόπο και όπως αυτός της δραστηριότητας που περιγράφεται στο σχολικό βιβλίο, σχετικά με τη χάραξη της μεσοκαθέτου για την πορεία ενός πλοίου σε μια διώρυγα και στην συνέχεια μετην διερεύνηση της μεσοκαθέτου οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος καθώς και της ιδιότητας που έχουν τα σημεία της, να οδηγήσουμε τους μαθητές κατά τη μετάβαση από το ειδικό στο γενικό στην κατανόηση της έννοιας της μεσοκαθέτου.

3.Σκεπτικό της δραστηριότητας.

·Καινοτομίες. Η διδασκαλία της έννοιας της μεσοκαθέτου με τη βοήθεια ενός δυναμικού προγράμματος όπως το GeoGebra, βοηθά στο να αντιληφθούν την γενικότερη σημασία της μεσοκαθέτου και την καθολική ισχύ της ιδιότητας που έχουν τα σημεία που βρίσκονται πάνω σ’ αυτήν.

·Προστιθέμενη αξία. Οι μαθητές θα οδηγηθούν στην ανακάλυψη της ιδιότητας που έχουν τα σημεία της μεσοκαθέτου μέσα από συνεχείς μετρήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να πραγματοποιήσουν χάρη στην δυναμικότητα του προγράμματος, καθώς επίσης και να διαπιστώσουν ότι δεν ισχύει κάτι ανάλογο για σημεία που δεν ανήκουν στην μεσοκάθετο.

·Γνωστικά – διδακτικά προβλήματα Η χρήση της τεχνολογίας (όπως εδώ π.χ. του προγράμματος GeoGebra) καλό είναι να δίνει έμφαση στην παιδαγωγική σκοπιμότητα της χρήσης της. Το ζητούμενο είναι το πως θα αξιοποιηθεί η τεχνολογία ώστε να αναβαθμιστεί ποιοτικά η διδακτική και μαθησιακή δραστηριότητα, η αναζήτηση του είδους των δραστηριοτήτων που συνιστούν μια τέτοια αναβάθμιση και του τρόπου με τον οποίο μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα τις δούμε να πραγματοποιούνται στην τάξη. Είναι σημαντικό η αξιοποίηση της τεχνολογίαςνα είναι τέτοια ώστε να μπορεί να υποστηρίξει την καλλιέργεια δεξιοτήτων που ενισχύουν τη μαθησιακή διαδικασία , όπως είναι η διερεύνηση και ο πειραματισμός, η αναζήτηση, η αμφισβήτηση, η ανακάλυψη, η συνεργασία, η συμβολική έκφραση, η επικοινωνία και η διαπραγμάτευση. Η επίτευξη των παραπάνω αποτελεί και την απάντηση στην αντιμετώπιση των γνωστικών-διδακτικών προβλημάτων που συνοδεύουν μια ¨παραδοσιακή» διδασκαλία.

·Θεωρητικό πλαίσιο.

Αρχικά θα αναφέρουμε ότι οι νέες τεχνολογίες προσεγγίζονται από δύο ρεύματα, ένα που τις προσεγγίζει ως νοητικά εργαλεία και ένα άλλο που τις προσεγγίζει ως πηγές πληροφόρησης και μέσα επικοινωνίας. Όπως γνωρίζουμε, τα νοητικά εργαλεία αφορούν σε εξειδικευμένες εφαρμογές στις οποίες έχει δοθεί και το όνομα «διερευνητικό λογισμικό». Το λογισμικό που έχει αναπτυχθεί σε αυτό το πλαίσιο χρησιμοποιείται από το μαθητή ως εργαλείο όπου η εκμάθηση της χρήσης του έχει επί της ουσίας παιδαγωγική αξία η κατανόηση εννοιών του διδακτικού αντικειμένου είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τη μάθηση και χρήση του ίδιου του εργαλείου. Με τέτοια εργαλεία, οι μαθητές δημιουργούν και κατασκευάζουν μοντέλα φαινομένων, σχέσεων και αναπαραστάσεων, αξιοποιούν την άμεση, ακριβή αλλά και ουδέτερη ανταπόκριση του, πειραματίζονται και διερευνούν, εκφράζουν, διατυπώνουν και αναπαριστούν ιδέες και έννοιες. Τα εργαλεία αυτά προσομοιώνουν μοντέλα, φαινόμενα, καταστάσεις και επιτρέπουν στο χρήστη να δημιουργήσει και να επεκτείνει τις λειτουργίες και τα χαρακτηριστικά τους με δημιουργικό τρόπο που πολλές φορές εκπλήσσει το δημιουργό του εργαλείου και τον εκπαιδευτικό. Έτσι στο σχεδιασμό των αντίστοιχων υπολογιστικών εφαρμογών έχουν κεντρική θέση προβληματισμοί για τη δομή και την επιστημολογία του γνωστικού αντικειμένου καθώς και για τις πρωτογενείς αντιλήψεις και τις δυσκολίες κατανόησης από τους μαθητές. Κοινή αντίληψη όλων των παιδαγωγικών προσεγγίσεων είναι ότι μαθησιακή δραστηριότητα δεν είναι μόνο το να προσλαμβάνεις πληροφορίες και να μπορείς να ανταποκριθείς όταν κάποιος σου τις ζητά, αλλά συνίσταται κυρίως στην ικανότητα αυτοδιαχείρισης στη μάθηση, την αυτενέργεια, την εμπλοκή σε αυθεντικές καταστάσεις και προβλήματα, την ικανότητα εποικοδομητικής αμφισβήτησης και κριτικής, την ικανότητα επικοινωνίας και συνεργασίας, τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων, τη δημιουργία και τον πειραματισμό. Στην περίπτωση των νοητικών εργαλείων αυτό συναρτάται με την εμπειρία της μάθησης ως δόμησης γνώσης, όπως αυτή βιώνεται σε μια επιστημονική κοινότητα. Στην περίπτωση των πληροφοριακών και επικοινωνιακών μέσων συναρτάται με τις επιταγές της Κοινωνίας της Γνώσης για την οποία το σχολείο οφείλει να προετοιμάζει τους μαθητές. Τα τελευταία χρόνια, σε επίπεδο σχεδιασμού εφαρμογών και εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων, ως γνωστό, υπάρχει η τάση ενσωμάτωσης συνδυασμού των παραπάνω χαρακτηριστικών. Επίσης θέματα παιδαγωγικού σχεδιασμού και εφαρμογής που προκύπτουν από τις πρόσφατες τεχνολογικές εξελίξεις, μπορούν να αντλήσουν θεωρητική θεμελίωση από την προϋπάρχουσα ερευνητική παράδοση: για παράδειγμα η ερευνητική παιδαγωγική βιβλιογραφία που αναπτύσσεται στο πλαίσιο της παράδοσης των εργαλείων, ειδικά η κοινωνιο-γνωστική προσέγγιση, έχει στραφεί τα τελευταία χρόνια στην ποιότητα του διαλόγου των μαθητών ως αντικείμενο διδακτικού σχεδιασμού και παρέμβασης από το δάσκαλο. Μέσα από το πρίσμα αυτό επισημαίνουμε την αναβάθμιση του ρόλου και της δράσης του εκπαιδευτικού (έχουμε τον εκπαιδευτικό σε ενεργό ρόλο, προσωπικά εμπλεκόμενο) και την εγκαθίδρυση της σύγχρονης τεχνολογίας στην εκπαίδευση ως μέσου μετεξέλιξης της εκπαιδευτικής πρακτικής (με τον εκπαιδευτικό συνδιαμορφωτή της μετεξέλιξης αυτής), κάτι που μπορεί να επιτευχθεί μέσα από τη δημιουργία μιας επιστημονικής κοινότητας όπου μέσα από σχέσεις συνεργασίας η σύγχρονη τεχνολογία θα αξιοποιείται ποικιλοτρόπως για επιστημονική ενασχόληση, ενημέρωση για σύγχρονες διδακτικές και επιμορφωτικές μεθόδους , κατάρτιση στη χρήση διερευνητικών και διαδικτυακών λογισμικών και γενικών εργαλείων πληροφορικής. Βλέπουμε λοιπόν τα υπολογιστικά εργαλεία όχι μόνο ως εργαλεία μάθησης μέσα στην τάξη αλλά και ως εργαλεία επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών για τη μετεξέλιξη της πρακτικής τους. Σ’ ένα εκπαιδευτικό σύστημα βέβαια όπως το δικό μας, που είναι ήδη δύσκαμπτο ως προς την καινοτομία και την αλλαγή και εγκλωβισμένο στη λογική της «διασωλήνωσης» της γνώσης από τους έχοντες στους μη (Papert, 1993), γίνεται κατανοητό ότι χρειάζεται αρκετή προσπάθεια ώστε να δούμε τον εκπαιδευτικό να έχει τη δυνατότητα να παρεμβαίνει στη μαθησιακή διαδικασία ενεργά, ως σύμβουλος και συνεργάτης των μαθητών με ένα σύνθετο και πολύ πιο ενεργό ρόλο γνώστη και παιδαγωγού.

4.Πλαίσιο εφαρμογής. Οι προϋποθέσεις που απαιτούνται για την εφαρμογή του σεναρίου είναι οι μαθητές να είναι εξοικειωμένοι με τη χρήση του προγράμματος GeoGebra, αλλά και στην περίπτωση που δεν συντρέχει η προϋπόθεση αυτή μπορεί να ξεπεραστεί μέσα από την παρουσίαση των δραστηριοτήτων με τη βοήθεια projector από τον καθηγητή, οι διδακτικοί στόχοι στους οποίους στοχεύει είναι:.η κατανόηση της έννοιας της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος, του τρόπου κατασκευής της, της ιδιότητας που έχουν τα σημεία που βρίσκονται πάνω σ’αυτήν καθώς επίσης και η μελέτη της κατασκευής μεσοκαθέτου σε πλευρές τριγώνου, χορδές κύκλου και η περαιτέρω διερεύνηση της καθώς και ο συσχετισμός της με την προηγούμενη έννοια της συμμετρίας η οποία τους έχει ήδη διδαχθεί σύμφωνα με το αναλυτικό τους πρόγραμμα.

·Σε ποιους απευθύνεται. Το σενάριο απευθύνετι στους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου (13 ετών).

·Χρόνος υλοποίησης. Απαιτούνται δύο (2) διδακτικές ώρες για την υλοποίηση του σεναρίου.

·Χώρος υλοποίησης. Οι μαθητές θα εργαστούν εξ’ ολοκλήρου στην αίθουσα διδασκαλίας.

·Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών. Το απαιτούμενο υπόβαθρο των μαθητών ώστε να μπορούν να διεξάγουν τις προτεινόμενες δράσεις του σεναρίου προκειμένου να συντελεστεί η διαδικασία μάθησης που προβλέπεται έγκειται στο να γνωρίζουν τι είναι το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος, τι είναι το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος και πως κατασκευάζουμε κάθετη σ’ ένα σημείο ενός ευθυγράμμου τμήματος.

·Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία. Τα γεωμετρικά όργανα που απαιτούνται για τη διεξαγωγή της δραστηριότητας είναι χάρακας, διαβήτης και γνώμωνας καθώς επίσης και netbook, projector και φύλλα εργασίας.

·Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης. Οι μαθητές θα εργαστούν σε ομάδες ανά δύο όπως κάθονται στα θρανία τους και οι ρόλοι τους θα είναι να επεξεργαστούν τις δραστηριότητες που θα τους υποδείξει ο διδάσκοντας.

Στόχοι της δραστηριότητας.Φιλοδοξία της εργασίας που περιγράφεται στην συνέχεια, είναι μέσα από τις δραστηριότητες στις οποίες κατευθύνεται ο μαθητής με τη βοήθεια του προγράμματος GeoGebra, στα πλαίσια του συγκεκριμένου γνωστικού αντικειμένου της Γεωμετρίας που παρουσιάζεται με τη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας, να εγείρονται θέματα διδακτικής διαχείρισης, σχεδιασμού ανάλογων εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων, επιστημολογίας και μαθησιακών διαδικασιών και παράλληλα να διαφαίνονται τρόποι και μέθοδοι παιδαγωγικής αξιοποίησης της σύγχρονης τεχνολογίας σε συγκεκριμένα και εξειδικευμένα γνωστικά αντικείμενα. Βλέπουμε μέσα από τις δραστηριότητες που αναφέρουμε στην συνέχεια τα μαθηματικά υπολογιστικά εργαλεία ως εργαλεία μάθησης μέσα στην τάξη, είναι άλλωστε στις επιστημονικές παραδόσεις της Γεωμετρίας η έννοια του εργαλείου και της κατασκευής. Εδώ όμως θα πρέπει να επισημανθεί ότι οι δραστηριότητες που περιγράφονται φέρνουν στην επιφάνεια επιστημολογικές και παιδαγωγικές αντιλήψεις που καθορίζουν τη διδακτική πρακτική (π.χ. αντιλήψεις για τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων και διαδικασιών ή για το ρόλο του δασκάλου ή για το ρόλο του Η/Υ) και τις κάνουν αντικείμενο συζήτησης και αναπροσδιορισμού. Μέσα από την προσέγγιση αυτή ένας επιπλέον στόχος είναι να αναδειχθεί ως θεμελιώδη θεωρητική διάσταση η κοινωνική φύση των εργαλείων καθώς ένα υπολογιστικό εργαλείο δεν ορίζεται μονοσήμαντα από τα χαρακτηριστικά που του έχει δώσει ο σχεδιαστής του αλλά διαμορφώνεται συνεχώς μέσα από τις δραστηριότητες της κοινότητας των μαθητών πουαναφερόμαστε και οι οποίοι το οικειοποιούνται.

Εστιάζοντας στο διερευνητικό λογισμικό και προχωρώντας σε μια εκτενέστερη ανάλυση, θα πρέπει να αναφέρουμε ότιαυτό το ορίζουμε σαν την οικογένεια υπολογιστικών εργαλείων, με τα οποία οι μαθητές και οι καθηγητές τους εκφράζουν μαθηματικές έννοιες, κατασκευάζουν μαθηματικά μοντέλα και αναπαραστάσεις (όπως ένα γεωμετρικό σχήμα), αναπαριστούν έννοιες με διαφορετικούς τρόπους, χειρίζονται τα μοντέλα αυτά δυναμικά και διακρίνουν το αναλλοίωτο από το μεταβλητό. Η πλειονότητα των ερευνών σχετικά με τη χρήση τέτοιων εργαλείων εστιάζει στη δημιουργία νοημάτων από τους μαθητές.

Μέσα απ τη χρήση τέτοιων εργαλείων οι μαθητές συνδυάζουν λειτουργικές, εικονικές και συμβολικές αναπαραστάσεις (Papert, 1980), χρησιμοποιούν συνδυασμούς γεωμετρικών σχημάτων (Kynigos,1992) και αναπτύσσουν ικανότητες έκφρασης μαθηματικών εννοιών και συλλογισμών. Με τη χρήση εργαλείων δυναμικού χειρισμού γεωμετρικών σχημάτων (όπως το GeoGebra, το Geometer’s Sketchpad και το Gabri) οι μαθητές μπορούν να μεταβάλλουν γεωμετρικά σχήματα δυναμικά με το χέρι τους και να παρατηρούν τι αλλάζει και τι μένει σταθερό (Arzarello et al., 1998). Με αυτά τα εργαλεία έχουμε περιβάλλοντα ανοικτά σε «κατασκευές» που μπορεί να υποστηρίξουν,ένα ιδιαίτερα ευρύ φάσμα δραστηριοτήτων κάτι που δίνει τελικά τη δυνατότητα να αξιοποιηθούν σε διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα. Με τα λογισμικά αυτά οι εκπαιδευτικοί μπορούν να ενθαρρυνθούν να δουν τα μαθηματικά ως μια εξελισσόμενη δυναμική επιστήμη με τρόπους που θα ήταν πολύ δύσκολο να επιτευχθούν με τα στατικάμέσα του πίνακα, της κιμωλίας, του μολυβιού και του τετραδίου. Η χρήση διερευνητικών και δικτυακών λογισμικών με προσωπική εμπλοκή τωνίδιων των καθηγητών σε επιστημονική δραστηριότητα, έχει ως αποτέλεσμα να τους οδηγεί σε αναστοχασμό για την ίδια τους τη διδασκαλία και το είδος των μέσων και εργαλείων που μπορεί να ενθαρρύνουν την ανάπτυξη κοινωνικής και βιωματικής μαθησιακής δράσης, κάτι που αναμφισβήτητα συμβάλλει στην πραγματική αξιοποίηση τους. Επιπλέον, τα λογισμικά αυτά παρωθούν την ανάπτυξη νοημάτων και την εμπλοκή με μαθηματικές δραστηριότητες σε πολλά επίπεδα και όχι μόνο καθαρά στα μαθηματικά. Έχουμε για παράδειγμα το επίπεδο του μαθηματικού ή του εκπαιδευτικού, που μπορεί να κάνει μαθηματικά με το λογισμικό, και το επίπεδο όπου ο εκπαιδευτικός μπορεί να αναπτύξει εργαλεία, μικρόκοσμους και σχετικό γραπτό υλικό για τους μαθητές του. Παράλληλα, μέσα στο πλαίσιο που αναφέραμε, έχει αλλάξει και η αντίληψη για τις τεχνολογίες των υπολογιστών, της πληροφορίας και της επικοινωνίας, ότι δηλαδή χρησιμεύουν για να φορτωθούν στον υπολογιστή έτοιμα μαθηματικά από τους ειδικούς, οι οποίοι μπορούν να μετατρέψουν κλασσικό μαθηματικό φορμαλισμό σε μοντέλα κατανοητά από το μηχάνημα. Σ’ αυτό οδήγησε η αμφισβήτηση της στενής αντίληψης για τα μαθηματικά ότι είναι ένα στατικό γνωστικό αντικείμενο που δεν επιδέχεται διαπραγμάτευση και που διοχετεύεται μέσα από το αναλυτικό πρόγραμμα ως αντικειμενική γνώση προς μάθηση. Ηπροσωπική εμπλοκή σε μαθηματικές δραστηριότητες για ψυχαγωγία των ίδιων των καθηγητών είναι κάτι που συμβάλλει αναμφίβολα κι αυτό στην μετάδοση μιας παρόμοιας αντίληψης και στους μαθητές. Ο αναστοχασμός πάνω στη μαθησιακή διαδικασία των μαθητών και η προσωπική ευαισθητοποίηση των ίδιων των καθηγητών για τη μαθηματική δραστηριότητα στη σχολική τάξη καθώς επίσης και ο αναστοχασμός πάνω στη δική τους διδακτική πράξη συνέβαλλε καθοριστικά στη διαμόρφωση μιας νέας αντίληψης. Η σημασία της χρήσης των τεχνολογιών των υπολογιστών, της πληροφορίας και της επικοινωνίας στα Μαθηματικά, αφορά στις μαθησιακές δραστηριότητες της κατασκευής μοντέλων με το λογισμικό διαμέσου διαφορετικών μέσων έκφρασης ιδεών, της μάθησης διαμέσου της ανταπόκρισης του λογισμικού, της πολλαπλής αναπαράστασης μαθηματικών εννοιών, σχέσεων και πράξεων, της ανάπτυξης αφαιρετικής σκέψης μέσα από εμπειρία με το συγκεκριμένο.

5.Ανάλυση της δραστηριότητας:

Σχεδιασμός δραστηριοτήτας με τη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας

στη θεματική ενότητα «Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος»

Μετά τα όσα αναφέραμε θα ήταν καλό να περιγράψουμε δίνοντας τα γενικά στοιχεία που μπορούν να διέπουν τον σχεδιασμό της δραστηριότητας με τη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας.

Γενικά στοιχεία

1.Λογισμικό: GeoGebra

2.Μεθοδολογία:

Εφαρμογή του οικοδομισμού στη διδασκαλία των Μαθηματικών με την σύγχρονη τεχνολογία.

3.Ένταξη στο Αναλυτικό Πρόγραμμα:

Οι δραστηριότητες αυτές μπορούν να ενταχθούν στο αντίστοιχο κεφάλαιο της Α΄ Γυμνασίου, το οποίο πραγματεύεται την αντίστοιχη έννοια της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος.

4.Ύλη Αναλυτικού Προγράμματος:

Σχετικά με την συγκεκριμένη ενότητα, στο αναλυτικό πρόγραμμα της Α΄ Γυμνασίου, μπορούμε να πούμε, σύμφωνα με τις φάσεις διδασκαλίας του Van Hiele, ότι προβλέπεται η εισαγωγή στις αντίστοιχες έννοιες, όπου χρειάζεται (π.χ η έννοια του ευθύγραμμου τμήματος, του μήκους ευθυγράμμου τμήματος, η έννοια του μέσου ευθυγράμμου τμήματος και της κατασκευής καθέτου σ’ ένα σημείο μιας ευθείας-ευθυγράμμου τμήματος), ακολούθως σε μια δεύτερη φάση, αυτή της έκφρασης-επεξήγησης, οι μαθητές καλούνται να συζητήσουν και να ονομάσουν τις σχετικές ιδιότητες που αντιλαμβάνονται με τη βοήθεια της καθοδηγούμενης ανακάλυψης, με προϋπόθεση ότι οι μαθητές βρίσκονται τουλάχιστον στο δεύτερο επίπεδο Van Hiele ώστε να προχωρήσουν σε μια ελεύθερη διερεύνηση-επέκταση. Περιλαμβάνεται επίσης η διδασκαλία συγκεκριμένων εφαρμογών πάνω σ’ αυτά και η επίλυση αντίστοιχων ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.

5.Διδακτικοί στόχοι των δραστηριοτήτων:

·Να αναφερθούμε σε προηγούμενες έννοιες (ευθύγραμμο τμήμα, μήκος ευθύγραμμου τμήματος, μέσο ευθ. τμήματος, σχεδιασμός καθέτου σε ευθεία-ευθύγραμμο τμήμα), κάνοντας τους μαθητές να δουν τη χρήση προηγούμενων εννοιών και τον τρόπο που αξιοποιούνται στην μάθηση νέων εννοιών (όπως αυτή της μεσοκαθέτου ευθ. τμήματος) καθώς επίσης και των αντίστοιχων βασικών ιδιοτήτων που συνδέονται μ’ αυτές.

·Να γνωρίζουν οι μαθητές τον ορισμό της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος.

·Να γνωρίζουν οι μαθητές τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζουμε την μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος με τη χρήση γεωμετρικών οργάνων χάρακα και γνώμωνα καθώς επίσης και κανόνα και διαβήτη.

·Νααντιληφθούν μέσα από την κατασκευή της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος, τον υπολογισμό και την σύγκριση των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της μεσοκαθέτου από τα άκρα του ευθ. τμήματος, με τη βοήθεια της δυναμικότητας του προγράμματος GeoGebra, την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος να ισαπέχουν από τα άκρα αυτής, καθώς επίσης και ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει για κανένα άλλο σημείο που δεν ανήκει στην μεσοκάθετο.

·Να μπορούν να εφαρμόζουν και να συνδυάζουν τις γνώσεις αυτές, σχετικά με την κατασκευή μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος και της ιδιότητας που έχουν τα σημεία της και κατά την κατασκευή μεσοκαθέτου πλευράς τριγώνου, χορδής κύκλου κ.τ.λ. και να κάνουν επίσης σύνδεση της μεσοκαθέτου με την έννοια της συμμετρίας που τους είναι ήδη γνωστή.

·Γενικά, να δημιουργήσουν οι μαθητές υποθέσεις και να τις ελέγξουν.

·Να φτάσουν σε συμπεράσματα.

·Να κάνουν προβλέψεις.

·Να ενισχύσουμε την καλλιέργεια της πλάγιας σκέψης των μαθητών, καλλιεργώντας την φαντασία και τη δημιουργικότητα τους, προτρέποντας τους παράλληλα στην αναζήτηση επιπλέον, εναλλακτικών τρόπων προσέγγισης των θεμάτων που πραγματευόμαστε στις δραστηριότητες που τους θέτουμε.

ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

1.Σχεδιάστε με την βοήθεια του GeoGebra τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ονομάστε Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AB. Να φέρετε από το σημείο Μ ευθεία ε κάθετη προς το του ευθ. τμήμα ΑΒ στο σημείο Μ. Ονομάστε Γ ένα τυχαίο σημείο της ευθείας ε και μετρήστε τα μήκη των τμημάτων ΓΑ και ΓΒ, τι παρατηρείτε; Χρησιμοποιώντας το εργαλείο επιλογής και σύροντας αρχικά το άκρο Α του ευθύγραμμου τμήματοςκαι στην συνέχεια το άκρο Β, τι εικασίες μπορούμε να κάνουμε γενικότερα;

2.Έστω τώρα τυχαίο σημείο Δ το οποίο δεν βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετο, Μετρήστε τα αντίστοιχα μήκη των τμημάτων ΔΑ και ΔΒ και ελέγξτε την προηγούμενη εικασία σας σχετικά με την σύγκριση των μηκών των δύο ευθυγράμμων τμημάτων. Θα μπορούσαμε με τη χρήση της «δυναμικής» του προγράμματος GeoGebra που χρησιμοποιούμε να γενικεύσουμε και να εικάσουμε ότι το συμπέρασμα αυτό ισχύει για οποιοδήποτε (τυχαίο) σημείο;

3.Κατασκευάστε πάλι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα λίγο μεγαλύτερη από το μισό του μήκους του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ κατασκευάστε έναν κύκλο, παρόμοια κατασκευάστε και ένα δεύτερο κύκλο με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα λίγο μεγαλύτερη ίση με την ακτίνα του πρώτου κύκλου. Έστω Γ και Δ τα σημεία στα οποί τέμνονται οι δύο κύκλοι. Μετρήστε τα μήκη των τμημάτων ΓΑ και ΓΒ καθώς επίσης και τα μήκη των τμημάτων ΔΑ και ΔΒ και συγκρίνετε τα. Τι παρατηρείτε; Είναι κάτι που το περιμέναμε και γιατί; Θα μπορούσαμε με τη χρήση της «δυναμικής» του προγράμματος GeoGebra να γενικεύσουμε και να εικάσουμε ότι το συμπέρασμα μας ισχύει σε οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα;

4.Ενώστε τα σημεία Γ και Δκαι προεκτείνετε την ευθεία ΓΔ, τι γωνία σχηματίζει με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε από την αρχή κάτι τέτοιο;

5.Τι θα συνέβαινε αν για τον σχεδιασμό των δύο κύκλων παίρναμε ακτίνα ίση ή μικρότερη από το μισό του μήκους του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ; (Υπόδειξη: χρησιμοποιείστε ένα δρομέα στο πρόγραμμα GeoGebra για τον καθορισμό του μήκους της ακτίνας των δύο κύκλων και πειραματιστείτε μεταβάλλοντας τον).

Περιγραφή και Ανάλυση των δραστηριοτήτων

Έχοντας ορίσει τη μεσοκάθετο ευθυγράμμου τμήματος ως την ευθεία που διέρχεται από το μέσον του τμήματος και είναι κάθετη προς αυτό, στην πρώτη δραστηριότητα, σχεδιάζοντας ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με τη βοήθεια του προγράμματος GeoGebraβρίσκω το μέσο του Μ και σχεδιάζω τη μεσοκάθετο του,

στην συνέχεια παίρνοντας τυχαίο σημείο Γ πάνω στην μεσοκάθετο και υπολογίζοντας τα μήκη των τμημάτων ΓΑ και ΓΒ διαπιστώνουμε ότι αυτά είναι ίσα, όπως φαίνεται στην οθόνη:

Κάτι που όπως διαπιστώνουμε δεν συμβαίνει με το σημείο Δ το οποίο σύμφωνα με τη δεύτερη δραστηριότητα Σχέδιο 1 παίρνουμε τυχαία πάλι έτσι ώστε όμως να μην ανήκει στην μεσοκάθετο προχωρώντας με τη βοήθεια της δυναμικότητας του προγράμματος μπορούμε να διαπιστώσουμε με βάση τις αντίστοιχες μετρήσεις των μηκών, ότι η μόνη περίπτωση όπου ένα σημείο ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι όταν αυτό βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος.

Στην συνέχεια, με τη τρίτη δραστηριότητα οδηγούμε το μαθητή στην κατασκεύή της μεσοκαθέτου με έναν άλλο τρόπο,

καθώς επίσης και στην ανακάλυψη μιας μεθόδου εύρεσης του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος, σχεδιασμού μιας ορθής γωνίας

καθώς επίσης και στην εύρεση των προϋποθέσεων που πρέπει να συντρέχουν (σχετικά με το μήκος της ακτίνας των δύο κύκλων-πειραματιζόμενος ο μαθητής μεταβάλλοντας τον δρομέα  Σχέδιο 2 ώστε να είναι δυνατή η κατασκευή της μεσοκαθέτου με αυτόν τον τρόπο . Μπορούμε επίσης να θέσουμε επιπλέον προβληματισμούς, όπως αναφέραμε προηγουμένως στην τέταρτη δραστηριότητα, «πειράζοντας» την προηγούμενη κατασκευή σχετικά με το τι θα συνέβαινε αν χρησιμοποιήσαμε κύκλους με άνισες ακτίνες. Βάζουμε δηλαδή το μαθητή στη διαδικασία να αναπτύξει εικασίες μέχρι να καταλήξει, έστω και με την καθοδήγηση μας, στα ανάλογα συμπεράσματα. Εδώ η «δυναμική» του εργαλείου επιτρέπει στο μαθητή «σύροντας» με το ποντίκι το σχήμα, αν όχι να ανακαλύψει, τουλάχιστον να προβληματιστεί πάνω στο πλαίσιο της κατασκευής της μεσοκαθέτου. Ο προβληματισμός που αναπτύσσεται με αφορμή την παραπάνω δραστηριότητα, ακόμη και αν δεν οδηγήσει σε ορθά συμπεράσματα, είναι βέβαιο ότι ακριβώς χάρη στη «δυναμική Γεωμετρία» του προγράμματος θα οδηγήσει αναμφισβήτητα σε ανάπτυξη υποθέσεων, διατύπωση διαφόρων εικασιών, προσπάθειες επαλήθευσης τυχόν συμπερασμάτων κ.τ.λ., προάγοντας έτσι τη μαθησιακή δραστηριότητα. Επιβεβαιώνουμε έτσι ότι πράγματι με αυτά τα εργαλεία έχουμε περιβάλλοντα ανοικτά σε «κατασκευές» που μπορεί να υποστηρίξουν, ένα ιδιαίτερα ευρύ φάσμα δραστηριοτήτων κάτι που δίνει τελικά τη δυνατότητα να αξιοποιηθούν σε διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα.

ΓΕΝΙΚΑ

Ενθάρρυνση της χρήσης των Νέων Τεχνολογιών στην εκπαίδευση

Ο μαθητής έχει τη δυνατότητα να προσαρμόζει τις δραστηριότητες στα δικά του ενδιαφέροντα, να επικοινωνεί με συμμαθητές του για γνωστικά αντικείμενα, να εκφράζει ιδέες με σύμβολα ή με το γραπτό λόγο, να κάνει πειράματα, να επικοινωνεί ηλεκτρονικά και να επεξεργάζεται, να αναζητά και να αναλύει πληροφορίες.

Η εμπειρία της προσωπικής εμπλοκής με την ανάπτυξη εργαλείων και μικροκόσμων για τους μαθητές και η χρήση λογισμικού επιτρέπει την αξιοποίηση τους σε διαφορετικά επίπεδα ενώ παράλληλα επιτρέπει στους εκπαιδευτικούς να συν-διαμορφώσουν ενεργά τη μορφή που θα έχει η χρήση αυτών των λογισμικών, εξελίσσοντας έτσι και το δικό τους ρόλο στην εκπαιδευτική πρακτική. Με τη διδασκαλία των Μαθηματικών με τον Η/Υ, πέρα από την κατακόρυφη, κριτική σκέψη, καλλιεργείται η πλάγια σκέψη των μαθητών (αλλά και των καθηγητών) Η χρήση προγραμμάτων λογισμικού Δυναμικής Άλγεβρας και Γεωμετρίας, (όπως το GeoGebra που είδαμε παραπάνω, αλλά και άλλα), βοηθά το μαθητή στην ανάπτυξη και καλλιέργεια της φαντασίας και της δημιουργικότητας του. Οι μαθητές καλλιεργούν την ικανότητα της επαναανακάλυψης μιας ιδέας, θεωρίας κ.τ.λ. με αποτέλεσμα να επιτυγχάνεται έτσι η καλύτερη κατανόηση της και να προωθείται η μαθησιακή δραστηριότητα. Είναι βασικό, το ότι με τη χρήση προγραμμάτων λογισμικού Δυναμικής Γεωμετρίας δίνεται έμφαση στο εννοιολογικό περιεχόμενο των Μαθηματικών, αντί για το πραξιακό-υπολογιστικό (ας μη ξεχνάμε ότι ούτε οι Αρχαίοι Έλληνες, που ανέδειξαν τη μαθηματική σκέψη, δεν ανέπτυξαν αλγορίθμους, αναθέτοντας αυτό το «άχαρο» έργο σε δούλους, τον ρόλο των οποίων ίσως στην εποχή μας καλείται να διαδραματίσει ο Η/Υ). Αναμφισβήτητα η χρήση κάπως πιο πρωτότυπων, πιο «προχωρημένων» ασκήσεων-δραστηριοτήτων (πέρα από τις απλές ασκήσεις εξάσκησης), βοηθά τους μαθητές στο να κάνουν τις απαραίτητες συνδέσεις προάγοντας έτσι τη μαθησιακή δραστηριότητα και εδώ θα πρέπει να επισημάνουμε την συμβολή του Η/Υ, ο οποίος βοηθά ακριβώς στο να κάνει προσιτούς τους πιο «προχωρημένους» αλγορίθμους. Επιπλέον με τον Η/Υ οι μαθητές έχουν ανατροφοδότηση στην εργασία τους και παράλληλα, καθώς αισθάνονται ότι έχουν τις ικανότητες να εργαστούν με τους Η/Υ, αισθάνονται και κάποια περηφάνια.

Τέλος, η ανάπτυξη παιδαγωγικής στρατηγικής για την αξιοποίηση της υπολογιστικής τεχνολογίας δε θα πρέπει να εισαχθεί στην εκπαίδευση, αλλά να διαμορφωθεί βαθμιαία μέσα στην εκπαιδευτική κοινότητα με την ενεργό συμμετοχή των εκπαιδευτικών. Ένα τέτοιο σύστημα αντιλαμβάνεται τον εκπαιδευτικό σαν «δημιουργό της αλλαγής», σαν ένα άτομο που αναμένεται να «οικοδομήσει» την πρακτική του πάνω στη διορατικότητα του για το τι σημαίνει «διδάσκω με στόχο την κατανόηση» (Prawat,1996) και σε συνεχή αλληλεπίδραση με τους μαθητές του, τους συναδέλφους του, το ευρύτερο κοινωνικό περιβάλλον (Cobb & Yackel, 1996), χρειάζεται δηλαδή, όπως είπαμε και στην αρχή, να έχουν αναπτυγμένες επικοινωνιακές ικανότητες.

Βιβλιογραφική Επισκόπηση

Όπως έχουμε αναφέρει, η μαθησιακή δραστηριότητα συνίσταται κυρίως στην ικανότητα αυτοδιαχείρισης στη μάθηση, την αυτενέργεια, την εμπλοκή σε αυθεντικές καταστάσεις και προβλήματα, την ικανότητα εποικοδομητικής αμφισβήτησης και κριτικής, την ικανότητα επικοινωνίας και συνεργασίας, τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων, τη δημιουργία και τον πειραματισμό.

Με την εφαρμογή του οικοδομισμού στη διδασκαλία των Μαθηματικών με την σύγχρονη τεχνολογία, αναδύεταιη ανάγκη να εστιάσουμεπάνω στις έννοιες του συγκεκριμένου και του αφηρημένου. Είναι σαφές ότι το πόσο συγκεκριμένη είναι μια έννοια έχει να κάνει με τον αριθμό, το πλήθος των τρόπων ενασχόλησης μας με αυτή, δηλαδή με το πλήθος των αναπαραστάσεωνπου έχουμε σχετικά με αυτό το θέμα. Είναι λοιπόν αναγκαία, η μελέτη των παραγόντων που συμβάλλουν στην αλλαγή που επιφέρει η χρήση των Νέων Τεχνολογιών, μια αλλαγή που θα πρέπει να τη δούμε ευρύτερα στο πλαίσιο της παιδαγωγικής προσέγγισης. Κύριος άξονας στην προσέγγιση μας αυτή θα πρέπει να είναι το πώς οι Νέες Τεχνολογίες βοηθούντην περαιτέρω κατανόηση και προώθηση της μαθησιακής διαδικασίας.

Σύμφωνα με τον οικοδομισμό, τρεις είναι οι αρχές που καθορίζουν την αντίληψη της μάθησης:

1Κάθε άτομο σχηματίζει τις δικές του αναπαραστάσεις για τη γνώση (Kant, Dewey)

2Το άτομο μαθαίνει, όταν μέσα από τις δικές του διερευνήσεις αντιληφθεί ότι υπάρχει ασυνέπεια μεταξύ της αναπαράστασηςτης γνώσης του και της εμπειρίας του (Slavin, 1994) και εδώ επισημαίνουμε πάλι την συμβολή της δραστηριότητας με το «παράδοξο» που προαναφέρθηκε, στην προώθηση της μαθησιακής δραστηριότητας.

3Η μάθηση επιτυγχάνεται μέσα σε κοινωνικό περιβάλλον (Vigotsky, 1978)

Ιδιαίτερα οι αρχές του ενδογενή οικοδομισμού, θα λέγαμε φωτίζουν τις παραμέτρους που πρέπει να λάβουμε υπόψη μας, σε μια ευρύτερη θεώρηση της αντίληψης της μάθησης. Σύμφωνα με τον ενδογενή οικοδομισμό, η γνώση οικοδομείται από προηγούμενες δομές και η μάθηση είναι ουσιαστικά η αναδιοργάνωση παλαιών γνωστικών δομών με βάση νέες εμπειρίες. Επομένως, η γνώση δεν αποτελεί ακριβή αναπαράσταση της εξωτερικής πραγματικότητας. Είναι μια συνεκτική συλλογή διαδικασιών και δομών που συμβάλλουν στην προσαρμογή του ατόμου, ενώ η έμφαση δίνεται στην εσωτερική φύση της γνώσης. Ιδιαίτερη δε σημασία, έχει η ανακάλυψη της γνώσης από τον ίδιο το μαθητή.

Με την ευρύτερη εφαρμογή του οικοδομισμού στη διδασκαλία των Μαθηματικών με την σύγχρονη τεχνολογία, αναδύεται η ανάγκη να εστιάσουμε πάνω στις έννοιες του συγκεκριμένου και του αφηρημένου, οι οποίες με την εισαγωγή της σύγχρονης τεχνολογίας έχουν διαφοροποιηθεί. Είναι σαφές ότι το πόσο συγκεκριμένη είναι μια έννοια έχει να κάνει με τον αριθμό, το πλήθος των τρόπων ενασχόλησης μας με αυτή, δηλαδή με το πλήθος των αναπαραστάσεωνπου έχουμε σχετικά με αυτό το θέμα (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, «θεωρίες αναπαράστασης και μάθηση των μαθηματικών», 2001). Είναι λοιπόν αναγκαία, η μελέτη των παραγόντων που συμβάλλουν στην αλλαγή που επιφέρει η χρήση των Νέων Τεχνολογιών, μια αλλαγή που θα πρέπει να τη δούμε ευρύτερα στο πλαίσιο της παιδαγωγικής προσέγγισης. Κύριος άξονας στην προσέγγιση μας αυτή θα πρέπει να είναι το πώς οι Νέες Τεχνολογίες βοηθούντην περαιτέρω κατανόηση και προώθηση της μαθησιακής διαδικασίας. Με τον Η/Υ και τη βοήθεια κατάλληλων προγραμμάτων λογισμικού Δυναμικής Γεωμετρίας, οι μαθητές οδηγούνται σε ένα πλήθος αναπαραστάσεων οι οποίες μπορούν να τους οδηγήσουν από αφηρημένες έννοιες των μαθηματικών σε συγκεκριμένες τις οποίες μπορούν να χειριστούν, ανακαλύπτοντας τις ιδιότητες και τους περιορισμούς τους, συσχετίζοντας τες με τις καθημερινές καταστάσεις που αναπαριστούν και συνδέοντας τες με άλλες αναπαραστάσεις των ιδίων εννοιών (Βοσνιάδου, 1996). Ενώ τα φυσικά αντικείμενα γίνονται όλο και πιο αφηρημένα, όταν μοντελοποιούνται στην οθόνη (π.χ. επιστημονικές προσομοιώσεις), εν τούτοις τα μαθηματικά αντικείμενα, τα οποία είναι από τη φύση τους αφηρημένα, γίνονται περισσότερο συγκεκριμένα (Lester, 2000). Τέτοια γνωστικά εργαλεία μειώνουν το γνωστικό βάρος, αναλαμβάνοντας τα τετριμμένα στοιχεία της εργασίας με τα μαθηματικά (Connell 1998, Kieran, Boileau & Garancon 1996, Lajoie 1993, Surgue 2000) και αυτό βοηθά τους μαθητές στο λογισμό ανώτερου επιπέδου και στη δοκιμή σκέψεων και υποθέσεων. Όπως επισημαίνει και ο Connell (1998), όταν η χρήση της τεχνολογίας ευθυγραμμίζεται με την κονστρουκτιβιστική φιλοσοφία, παρατηρείται αξιοσημείωτη βελτίωση στην κατανόηση των μαθηματικών. Πέρα όμως από μια απλή βελτίωση στην κατανόηση των μαθηματικών, κάτι διόλου ασήμαντο, αντιλαμβανόμαστε ότι αναφερόμενοι σε τέτοια περιβάλλοντα μάθησης, μιλάμε για κάτι πολύ περισσότερο. Όπως αναφέρει και ο DiSessa (2000) «δεν έχουμε πάντα ιδέες και ακολούθως τις εκφράζουμε με το μέσο (Η/Υ), αλλά έχουμε ιδέες με το μέσο». Ακόμη πιο σημαντικό, όπως αναφέρουν κάποιες έρευνες, ίσως είναι το γεγονός ότι μαθαίνοντας να σκεφτόμαστε με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, χρησιμοποιώντας λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας, αυτό επιδρά και στο τρόπο που σκεφτόμαστε ακόμη και με την απουσία αυτών των μηχανών (Borba & Villareal, 1998).

Ο ρόλος της σύγχρονης τεχνολογίας στη διδασκαλία των μαθηματικών, μπορεί να γίνει καλύτερα αντιληπτός κάνοντας μια ιστορική αναδρομή και βλέποντας τις αρχές με βάση τις οποίες αντιμετωπίζονται τα μαθηματικά στο πλαίσιο τριών κυρίως φιλοσοφικών ρευμάτων: του πλατωνισμού, του φορμαλισμού και του κονστρουκτιβισμού. Σύμφωνα με τον πλατωνισμό, τα αντικείμενα που εξετάζουν τα μαθηματικά είναι πραγματικά και υπάρχουν ανεξάρτητα από τον άνθρωπο. Τα αντικείμενα αυτά είναι νοητά και έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες. Ο επιστήμονας το μόνο που έχει να κάνει είναι να τα ανακαλύψει. Για τον πλατωνισμό ο μελετητής της γεωμετρίας δεν έχει τίποτα να εφεύρει, τίποτα να επινοήσει.

Για τον φορμαλισμό, τα μαθηματικά είναι αξιώματα, ορισμοί και θεωρήματα. Τα μαθηματικά αντικείμενα δεν έχουν κανένα νόημα πέρα από αυτό που αποκτούν στο πλαίσιο της αξιωματικής θεωρίας και αν καμιά φορά βρίσκουν εφαρμογές στο φυσικό κόσμο, αυτό δεν ενδιαφέρει τα μαθηματικά.

Ο κονστρουκτιβισμός, σε αντίθεση με τα άλλα δύο μεγάλα ρεύματα, ισχυρίζεται ότι τα μόνα αντικείμενα που έχουν πραγματική υπόσταση είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν από κάποια αρχικά και μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Έτσι, μέσω της κατασκευής κατανοούμε και μαθαίνουμε τον κόσμο μας.

Όπως αναφέρει και ο S. Papert,η μάθηση συντελείται καλύτερα όταν οι μαθητές προσπαθούν να κατασκευάσουν κάτι σημαντικό γι αυτούς, όπως ένα κάστρο στην άμμο, μια μηχανή, μια ιστορία ή ένα πρόγραμμα υπολογιστή. Ένα περιβάλλον μιας γεωμετρικής δραστηριότητας, όπως αυτών που αναφέραμε, εκτός από τα συγκεκριμένα εργαλεία, περιέχει και «γνώση». Όταν ο μαθητής εργάζεται μ’ ένα πρόγραμμα όπως το GeoGgebra, σ’ ένα πρόβλημα όπως για παράδειγμα αυτό που αφορά την κατασκευή της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος, έχει μπροστά του ένα περιβάλλον που έχει πολλές μικρές «μπουκιές» γνώσης (όπως θα έλεγε και ο S. Papert). Μπορεί να ασχοληθεί με τη σχέση που έχουν οι αποστάσεις οποιουδήποτε σημείου της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος από τα άκρα του τμήματος, μπορεί να ασχοληθεί με την διχοτόμηση ενός ευθύγραμμου τμήματος (εύρεση του μέσου του), με την κατασκευή ορθής γωνίας (καθετότητα) κ.τ.λ.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ – ΕΠΙΛΟΓΟΣ

►Η χρήσηκατάλληλων προγραμμάτων λογισμικού Δυναμικής Γεωμετρίας με τη βοήθεια Η/Υ,αναμφισβήτητα εμπλουτίζει τη διδασκαλία πολλαπλασιάζοντας τις μαθησιακές δυνατότητες βοηθώντας στην περαιτέρω κατανόηση.

►Ένα μεγάλο πλεονέκτημα της παραπάνω μεθόδου είναι ότι ο μαθητής ενθαρρύνεται να ασχοληθεί, να πειραματιστεί, να δημιουργήσει υποθέσεις και να τις ελέγξει φτάνοντας έτσι σε σχετικά συμπεράσματα τα οποία στην συνέχεια θα προσπαθήσει να αιτιολογήσει και να δοκιμάσει να κάνει και κάποιες προβλέψεις, με λίγα λόγια, να «κάνει» επιτέλους Μαθηματικά.

►Σε αντίθεση με τις κατασκευές της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που είναι στατικές και ειδικές καθώς αντιπροσωπεύουν ένα συγκεκριμένο σχήμα, χωρίς να εμπεριέχουν τη γενίκευση της έννοιας, με τη δυναμική γεωμετρία έχουμε ένα «ανοικτό περιβάλλον» στη διδασκαλία μας, που οδηγεί σε διερευνητική μάθηση, απεριόριστο αριθμό εφαρμογών, επίλυση προβλημάτων με πειραματισμό, διεύρυνση της φαντασίας, κίνητρα για μάθηση και εμπλουτισμό των γνωστικών και μεταγνωστικών ικανοτήτων των μαθητών.

►Με τη βοήθεια του Η/Υ και των συγκεκριμένων αυτών προγραμμάτων, ο μαθητής έχει ανατροφοδότηση στην εργασία του (επιπλέον, ψυχολογικά με τον Η/Υ αισθάνεται ότι έχει τις ικανότητες να εργαστεί).

► Γενικά θα λέγαμε συνέπεια της χρήσης της σύγχρονης τεχνολογίας, είναι η εφαρμογή του οικοδομισμού στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Δίνεται έτσι έμφαση στο εννοιολογικό περιεχόμενο των μαθηματικών εννοιών που εξετάζουμε αντί για το πραξιακό-υπολογιστικό.

►Η δημιουργία αναπαραστάσεων, στην οποία σίγουρα συμβάλλει θετικά η χρήση του Η/Υ και των προγραμμάτων που αναφέραμε, βοηθά το μαθητή στη καλλιέργεια πλάγιας σκέψης (καλλιεργείται η φαντασία και η δημιουργικότητα του), και στη δύσκολη μετάβαση από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο.

Η χρήση του κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του γνωστικού αντικειμένου: α) αλλάζει το χαρακτήρα και τη διαδικασία της μάθησης, βάζοντας το μαθητή στο ρόλο να ανακαλύπτει μόνος του έννοιες και ιδιότητες που μέχρι τώρα τις δεχόταν παθητικά και τον καθηγητή να αξιοποιεί το λάθος για περαιτέρω κατανόηση, β) δίνει τη δυνατότητα σε όλους τους μαθητές (όχι μόνο στους καλούς) να προχωρούν ένα βήμα παρακάτω, ανακαλύπτοντας και στη συνέχεια οργανώνοντας ιδιότητες τις οποίες ο καθηγητής δεν έχει καν συμπεριλάβει στη διδακτική του ατζέντα.

Ο ρόλος των διερευνητικών λογισμικών στη μάθηση των μαθηματικών, θα λέγαμε ότι μοιάζει σαν «ένα παιχνίδι με μαθηματικές έννοιες», για την ενεργοποίηση τόσο του ίδιου του καθηγητή όσο και των μαθητών του, καθώς επιτρέπει στον εκπαιδευτικό να μαθαίνει κι αυτός, να παρατηρεί πράγματα που εξελίσσονται και να μπορεί να ανεχθεί «το απρόσμενο» και στο μαθητή να φτιάξει ο ίδιος πράγματα που μέχρι τώρα του δίνονταν έτοιμα, καθιστώντας έτσι το λάθος ορατό και αξιοποιήσιμο κατά τη μαθησιακή διαδικασία.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching (2003)

Seymour Pappert, «Νοητικές Θύελλες», Επιμέλεια: Γιάννης Κωτσάνης, Εκδόσεις Οδυσσέας, 1994.

Στέλλα Βοσνιάδου, «Εισαγωγή στην Ψυχολογία» (τόμος Ά), Βιολογικές, Αναπτυξιακές και Συμπεριφοριστικές Προσεγγίσεις, Γνωστική Ψυχολογία, Εκδόσεις Gutemberg, Αθήνα 2003

Α. Γαγάτσης, Ε. Μιχαηλίδου,Μ. Σιακαλλή, «Θεωρίες αναπαράστασης και μάθηση των μαθηματικών», (2001)

Ευγενία Κολέζα, «Γνωσιολογική και Διδακτική προσέγγιση των Στοιχειωδών Μαθηματικών Εννοιών», Σειρά: Επιστημολογία και Διδακτική των Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Leader Books, 2000.

X. Kυνηγός & Ευαγγελία Β. Δημαράκη, «Νοητικά Εργαλεία και Πληροφοριακά μέσα», Παιδαγωγική Αξιοποίηση της Σύγχρονης Τεχνολογίας για τη Μετεξέλιξη της Εκπαιδευτικής Πρακτικής (2002).

Πρακτικά 3ου Πανελληνίου Συνεδρίου με θέμα: «Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στην Εκπαίδευση», με διεθνή συμμετοχή, 26-29 Σεπτεμβρίου, Ρόδος

Βήμα διαλόγου σχετικά με τα Μαθηματικά (αφήστε το σχόλιο σας)

Παιδαγωγική αξιοποίηση των νέων τεχνολογιών στην εκπαίδευση (διερευ‐
νητικά εκπαιδευτικά λογισμικά)

Κατανόηση της διάταξης των αριθμών και χρήση της απόλυτης τιμής στον άξονα των πραγμτικών αριθμών

Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στην κατανόηση των κλασμάτων

Λανθασμένες αντιλήψεις των μαθητών σχετικά με τη σύγκριση των κλασμάτων και επιδράσεις διάφορων εξωτερικών αναπαραστάσεων


Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων