Γεωμετρία Αντιστροφής
Στην παρούσα εργασία ασχολούμαστε με την γεωμετρία της αντιστροφής. Ξεκινώντας κάνουμε μια ιστορική αναδρομή και προχωρούμε με τις απόψεις του F. Klein για το πώς πρέπει να αναπτυχθεί η γεωμετρία της αντιστροφής ως ξεχωριστή γεωμετρία και διατυπώνουμε τα κυριότερα σημεία της προσπάθειας που έκανε ο M. Pieri για την Αξιωματική θεμελίωση της.Στην συνέχεια, αναπτύσσουμε με την βοήθεια αναλυτικής γεωμετρίας αλλά και μιγαδικών αριθμών, αρκετά βασικά θεωρήματα και προτάσεις της γεωμετρίας αυτής. Σκιαγραφούμε την ανάπτυξη της γεωμετρίας αυτής σύμφωνα με τις απόψεις του F. Klein (γεωμετρία ως η μελέτη των ιδιοτήτων που μένουν αναλλοίωτες κάτω από μια ομάδα μετασχηματισμών). Εισάγουμε και επεξεργαζόμαστε τους μετασχηματισμούς Möbius, ορίζουμε τους μετασχηματισμούς αντιστροφής και αποδεικνύουμε ότι κάθε μετασχηματισμός αντιστροφής είναι ένας Möbius ή αντι-Möbius μετασχηματισμός. Αποδεικνύουμε το θεώρημα του Καραθεοδωρή (μια απεικόνιση 1-1 που απεικονίζει το επεκταμένο μιγαδικό επίπεδο στον εαυτό του έτσι ώστε κάθε κύκλος ή ευθεία να απεικονίζεται σε έναν κύκλο ή ευθεία γραμμή είναι υποχρεωτικά ένας Möbius ήαντι-Möbius μετασχηματισμός) αποδεικνύουμε το Θεώρημα των Cauchy Riemann και φτάνουμε μέχρι το θεώρημα του Liouville (Αν f είναι μια ένα προς ένα κλάσης C^4 σύμμορφη απεικόνιση ενός ανοιχτού συνόλου U⊆ R^3 επί του f(U) και ας υποθέσουμε ότι n≥3 Τότε η f είναι σύνθεση αντιστροφών και ομοιοτήτων). Στο δεύτερο μέρος της εργασίας μας διαπραγματευόμαστε αρκετά ιστορικά προβλήματα, με εργαλείο πάντα την γεωμετρία της αντιστροφής. Τα πιο σημαντικά προβλήματα με τα οποία ασχολούμαστε είναι κάποια προβλήματα που έχουν σχέση με την άρβηλο του Αρχιμήδη, την αλυσίδα του Πάππου καθώς και κάποιες άλλες αλυσίδες που σχηματίζονται μέσα στην άρβηλο. Διαπραγματευόμαστε την 10η περίπτωση του προβλήματος των επαφών του Απολλώνιου και παρουσιάζουμε ανάμεσα σε άλλα την λύση που έδωσε ο Gergonne. Αναπτύσσουμε το πρόβλημα του Malffati και δίνουμε μια λύση που είναι αρκετά κοντά στο πνεύμα της λύσης που έδωσε ο Steiner. Επεξεργαζόμαστε το πρόβλημα του hexlet του Soddy, το θεώρημα του Feuerbach, το Θεώρημα του Miquel, του Πτολεμαίου το πρόβλημα του Fermat το πόρισμα του Steiner και παρουσιάζουμε την απόσταση αντιστροφής του Coxeter, την οποία συνδέουμε ανάμεσα σε άλλα και με την γωνία παραλληλίας στην Υπερβολική γεωμετρία. Παρουσιάζουμε επίσης το θεώρημα του Descartes το οποίο δίνει την σχέση που συνδέει τις ακτίνες τεσσάρων εφαπτόμενων μεταξύ τους κύκλων (ειδική περίπτωση του 10ου προβλήματος των επαφών), τον αντιστροφέα του Hart και την συνδεσμολογία του Peaucellier. Τελειώνουμε παρουσιάζοντας διάφορα προβλήματα από Διεθνείς μαθηματικούς διαγωνισμούς τα οποία και λύνουμε με την βοήθεια της αντιστροφής.
Ξεφεύγει από το επίπεδο των μαθηματικών του λυκείου έχει όμως κάποιο ενδιαφέρον για όποιον ενδιαφέρεται για την γεωμετρία γενικότερα
