ncd09063.pdf

Στην ιστοσελίδα http://chalkou.blogspot.com υπάρχει το κείμενο της ανακοίνωσής μου με τίτλο ¨Arithmetical operations, fractions, progressions, linear equations, roots of real numbers¨, η οποία έγινε στο Διεθνές Συνέδριο Ψηφιοποίησης της Πολιτιστικής και Επιστημονικής Παράδοσης, στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου του Βελιγραδίου το Σάββατο 14/6/08. Το πρόγραμμα του Συνεδρίου, ο κατάλογος με τους ομιλητές, και οι περιλήψεις των εισηγήσεων ευρίσκονται στην ιστοσελίδα του Κέντρου Ψηφιοποίησης www.ncd.matf.bg.ac.yu (επιλογή: Conferences, επιλογή: the fourth SEEDI International Conference)

Κάποιοι Λατίνοι ἀλλὰ καὶ Βυζαντινοὶ συγγραφεῖς χειρογράφων τοῦ 15ου αἰώνα μ.Χ. χρησιμοποιοῦσαν ἤδη τὸ δεκαδικὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσεως, τὸ ὁποῖο οἱ Βυζαντινοὶ παρέλαβαν ἀπὸ τοὺς Πέρσες ὄχι κατευθεῖαν, ἀλλὰ μὲ τὴν μεσολάβηση τῶν Λατίνων γύρω στὰ 1336 μ.Χ., δηλαδὴ 100 χρόνια πρὶν ἀπὸ τὴν χρονολογία συγγραφῆς τῆς Ἑλληνικῆς Βιενναίας Μαθηματικῆς Πραγματείας. Αὐτὴ ἡ σημαντικὴ πληροφορία ἀναφέρεται στὸ 2ο κεφάλαιο αὐτοῦ τοῦ μαθηματικοῦ χειρογράφου τοῦ 15ου αἰώνα, τὸ ὁποῖο εἶναι γνωστὸ ὡς Βιενναῖος Ἑλληνικὸς φιλολογικὸς κώδικας 65. Ἡ μεσολάβηση τῶν Λατίνων ὀφειλόταν στὶς ἐμπορικὲς συναλλαγὲς, οἱ ὁποῖες ὑπῆρχαν μεταξὺ τῶν δύο αὐτῶν λαῶν, δηλαδὴ τῶν Βυζαντινῶν καὶ τῶν Λατίνων. Γνωρίζουμε ὅτι στὴν “Πτολεμαϊκὴ Σύνταξη” τὸ μηδὲν ὀνομάζεται “οὐδὲν” καὶ συμβολίζεται μὲ 0.Στὸ προαναφερθὲν χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰώνα μ.Χ. γίνεται χρήση τῶν συμβόλων α, β, γ, δ, ε, ζ, ς, η, θ, γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τὸ 1 ὡς τὸ 9, ἀλλὰ τὸ μηδὲν συμβολίζεται μὲ ἕνα γράμμα, τὸ ὁποῖο μοιάζει μὲ τὸ ἀνεστραμμένο h (ч).
Ὁ ἀριθμὸς 10 συμβολίζεται μὲ τὸ γράμμα ι, ὁ 20 μὲ κ, ὁ 30 μὲ λ, ὁ 40 μὲ μ, ὁ 50 μὲ ν, ὁ 60 μὲ ξ, ὁ 70 μὲ ο, ὁ 80 μὲ π, ὁ 90 μὲ τὸ σύμβολο Ϟ, ὁ 100 μὲ τὸ ρ, καὶ ἀκολουθοῦν τὰ σύμβολα σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τὸ 200 ὡς τὸ 800, Γιὰ τὸ 900 δὲ χρησιμοποιεῖται τὸ σύμβολο Ϡ.
Ἡ μία χιλιάδα συμβολίζεται μὲ ͵α, οἱ δύο χιλιάδες μὲ ͵β κ.τ.λ.
Οἱ 10.000 ὀνομάζονται μυριάδες, καὶ οἱ δὲ 100 μυριάδες (δηλαδὴ τὸ δικὸ μας ἑκατομμύριο) μιλλιούνι. Ἐπίσης τὰ σημερινὰ δισεκατομμύρια ὀνομάζονται λεγεῶνες.

Τὰ σύμβολα ποὺ χρησιμοποιοῦνται γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς εἶναι ὅπως εἴπαμε τὰ γράμματα τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀλλὰ οἱ ὑπολογισμοὶ γίνονται μὲ τὴ νέα τότε δεκαδικὴ ἀραβικὴ ἀρίθμηση. Ὁ συγγραφέας, ὅπως καὶ ἄλλοι τῆς ἰδίας ἐποχῆς δείχνει νὰ μὴν ἔχει πλήρως ἀκόμα προσαρμοστεῖ στὴ νέα μέθοδο, τὸ δὲ σύμβολο ποὺ χρησιμοποιεῖ γιὰ τὸ μηδὲν, δηλαδὴ τὸ ἀνεστραμμένο h (ч) γνωρίζουμε ὅτι προσαρτήθηκε μεταξὺ τοῦ 12ου καὶ τοῦ 13ου αἰ. μ.Χ. ἀπὸ τοὺς Βυζαντινοὺς στὰ ἤδη ὑπάρχοντα ἐννέα ἑλληνικὰ ἀλφαβητικὰ ψηφία(1). Πρέπει ὅμως νὰ τονιστεῖ, ὅτι ἡ χρησιμοποίηση γραμμάτων καὶ ὄχι ἀριθμῶν δὲν ἐπιρρέαζε τὸ ἀποτέλεσμα, ἀφοῦ κατ’ οὐσίαν ἐφάρμοζαν τὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, δηλαδὴ τὸ σύστημα στὸ ὁποῖο ἡ θέση τοῦ γράμματος καθόριζε τὴν ἀριθμητικὴ ἀξία του (2).
Αὐτὸ γίνεται κατανοητὸ ἂν ἐπιχειρήσουμε νὰ γράψουμε ἕναν ἀριθμὸ π.χ τὸν 526 χρησιμοποιώντας τὰ ἑλληνικὰ γράμματα. Ὁ ἀριθμὸς αὐτὸς γράφεται ὡς φκς, ἀλλὰ καὶ ὡς εβς. Παρατηροῦμε λοιπὸν ὅτι πρόκειται γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, ἀφοῦ τὸ γράμμα ε ποὺ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 5, ἂν τεθεῖ στὴ θέση τῶν ἑκατοντάδων δηλώνει 5 ἐκατοντάδες. Ὁμοίως τὸ γράμμα β τὸ ὁποῖο δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 2, ἂν τεθεῖ στὴ θέση τῶν δεκάδων δηλώνει 2 δεκάδες, δηλαδὴ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 20.
Ἔτσι κάποιοι συγγραφεῖς τοῦ 15ου αἰώνα ἐπιμένουν στὴ διατήρηση τοῦ παλαιοῦ αὐτοῦ συμβολισμοῦ, ἐνῶ ἄλλοι ἀρχαιότεροι λόγιοι, ὅπως ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305) στὸ Βυζάντιο καὶ ὁ Φιμπονάτσι (γεν. τὸ 1170), ὁ ὁποῖος εἰσήγαγε στὴ Δύση τὸν καινούργιο συμβολισμό, εἶχαν ἐξοικειωθεῖ μὲ τὸν νέο συμβολισμὸ καὶ τὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης. Στὸ ἔργο του Liber abacci, ὁ Φιμπονάτσι χρησιμοποιεῖ τὰ νέα ψηφία, καὶ ὁ Πλανούδης στὸ ἔργο του Ψηφοφορία κατ’ Ἰνδούς(3). Ἀπ’ ὅτι φαίνεται ὅμως, ἡ χρήση τοῦ νέου συμβολισμοῦ δὲν ἦταν γενικευμένη στὸ Βυζάντιο, καὶ μάλιστα γνωρίζουμε ὅτι δὲν τὰ χρησιμοποιοῦσαν διακεκριμένοι λόγιοι ὅπως ὁ Γεώργιος Παχυμέρης (σύγχρονος τοῦ Πλανούδη), ὁ Μοσχόπουλος, ὁ Νικ. Ραβδάς, ὁ Ἰωάννης Πεδιάσιμος, ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρός, ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρός (14ος αἰ. μ.Χ.)(4). Πιθανότατα κάποιοι συγγραφεῖς, μεταξὺ τῶν ὁποίων ἀρκετοὶ Βυζαντινοὶ, νὰ μὴν υἱοθέτησαν τὰ νέα ψηφία καὶ λόγω τοῦ ὅτι ἡ χρήση τους δημιουργοῦσε διάφορα προβλήματα στὰ ἐμπορικὰ μαθηματικά. Τὸ 1299 μ.Χ. ὁ δῆμος τῆς Φλωρεντίας ἐξέδωσε διάταγμα, σύμφωνα μὲ τὸ ὁποῖο ἀπαγορευόταν ἡ γραφὴ τῶν ἀριθμῶν κατὰ στῆλες καὶ ἡ χρήση τῶν ἰνδικῶν ψηφίων, διότι τὸ 0 μποροῦσε εὔκολα νὰ ἀλλοιωθεῖ καὶ νὰ γίνει 6 ἢ 9, κίνδυνο ποὺ δὲν διέτρεχαν μὲ τὰ ρωμαϊκὰ ψηφία. Ἐπίσης μία ὁδηγία ποὺ ἐκδόθηκε στὴν Ἀμβέρσα τὸ 1594 προειδοποιοῦσε τοὺς ἐμπόρους, ὅτι δὲν ἔπρεπε νὰ χρησιμοποιοῦν ἀριθμητικὰ ψηφία στὰ συμφωνητικὰ καὶ τὶς συναλλαγματικές(5).
1) Βλ. Boyer- Merzbach, Ἱστ. Μαθ., σελ. 284.
2) Vogel, Βυζ. ἐϖιστ., σελ. 815.
3) Βλ. Hunger, Βυζ. Λογ., τ. ΙΙΙ, σελ. 42, 49.
4) K. Vogel, Ἐγγράμματος λογισμὸς καὶ Ἰνδικὰ ψηφία στὸ Βυζάντιο, Νεῦσις 5 (Φθιν.-Χειμ. 1996) 80.
5) Βλ. V. d. Waerden, Ἀφύπνιση, σελ. 58.

Ἱστορικὴ πρακτικὴ μέθοδος ὑπολογισμοῦ ἐμβαδῶν κανονικῶν πολυγώνων, ὅταν δίνεται ἡ πλευρά τους.
1) Ἡ διαδικασία ξεκινᾶ μὲ τὸν ὑπολογισμὸ ἐμβαδοῦ κύκλου περιμέτρου 22 σπιθαμῶν τὸ ὁποῖο εὑρίσκεται ἴσο μὲ 38 1/2.
Γνωρίζουμε ὅτι τὸ ἐμβαδὸν κύκλου ἀκτίνας ρ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση
Ε= πρ². Ἐπειδὴ ἡ περίμετρος Π εἶναι ἴση μὲ 22 καὶ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση Π= 2πρ, ὑπολογίζουμε τὴν ἀκτίνα ρ= 11/π, ὁπότε ἀντικαθιστώντας στὸν τύπο τοῦ ἐμβαδοῦ ἔχουμε:
Ε= π(121/π²)= 121/π= 38 1/2 , ἀπὸ ὅπου προκύπτει π= 3 1/7. Δηλαδὴ ἔχουμε μία προσεγγιστικὴ τιμὴ γιὰ τὸ π, τὴν ὁποία κάποιοι συγγραφεῖς τῆς ἀρχαιότητας μεταξὺ τῶν ὁποίων καὶ ὁ Ἤρων ὁ Ἀλεξανδρεὺς χρησιμοποιοῦσαν κατὰ τοὺς ὑπολογισμοὺς τους.

2) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 40-γώνου ὅταν δίδεται ἡ πλευρὰ του ἴση μὲ 1/2 μιᾶς σπιθαμῆς.
Στὸ συγκεκριμένο ζήτημα, παρατηροῦμε πὼς ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, καὶ τὴν πολλαπλασιάζουμε μὲ τὸν ἑαυτόν της βρίσκοντας 400. Κατόπιν διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 5/8, καὶ βρίσκουμε πὼς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ 40-γώνου εἶναι ἴσο μὲ 31 7/10.
3) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 30-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 2/3.
Ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, πολλαπλασιάζουμε τὸ 20 μὲ τὸν ἑαυτόν του, καὶ τὸ ἀποτέλεσμα τὸ ὁποῖο εἶναι 400 τὸ διαιροῦμε μὲ τὸ 12 2/3 βρίσκοντας γιὰ τὸ ἐμβαδὸν τὴ τιμὴ 31 11/19 τετραγωνικὲς σπιθαμές.
4) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 20-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 1 σπιθαμὴ.
Στὸ συγκεκριμένο πρόβλημα διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 11/16 βρίσκοντας 31 1/2.
5) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 18-γώνου πλευρᾶς 1 1/9 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 3/4, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/3.
6) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 16-γώνου πλευρᾶς 1 1/4 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 5/6, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/6.
7) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 14-γώνου πλευρᾶς 1 3/7 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 11/12, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 29/30.
Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 12-γώνου πλευρᾶς 1 2/3 τῆς σπιθαμῆς.
Διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 13 καὶ βρίσκουμε 30 10/13.
9) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 10-γώνου πλευρᾶς 2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 1/9, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/2.
10)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 8-γώνου πλευρᾶς 2 1/2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 8/31, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/6.
11)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ ἑξαγώνου πλευρᾶς 3 1/3 σπιθαμῶν.
Στὰ χειρόγραφα τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 5/7, καὶ ἔτσι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 29 1/6.
Σήμερα, ἐφ’ ὅσον τὸ κανονικὸ 6-γωνο πλευρᾶς 3 1/3 ἀποτελεῖται ἀπὸ 6 ἴσα ἰσόπλευρα τρίγωνα, θὰ ὑπολογίζαμε τὸ ἐμβαδὸν χρησιμοποιώντας τὴν σχέση:
Ε= 6.[(3 1/3)²√3]/4= (3/2)(100/9)√3= 28,87 κατὰ προσέγγιση. Αὐτὴ ἡ τιμή, ὅπως διαπιστώνουμε, εἶναι μικρότερη ἀπὸ τὴν τιμὴ 29 1/6, ἡ ὁποία προκύπτει μὲ τὴν Ἱστορικὴ μέθοδο.
12)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ πενταγώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 4 σπιθαμές.
Τὸ 400 στὴν συγκεκριμένη περίπτωση διαιρεῖται μὲ τὸ 14 6/13, ὁπότε προκύπτει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ 27 2/3.

Σήμερα ὑπολογίζουμε τὴν πλευρὰ χ κανονικοῦ 10-γώνου ἐγγεγραμμένου σὲ κύκλο ἀκτίνας ρ χρησιμοποιώντας τὴν ἀναλογία ρ/χ= χ/(ρ- χ), ἀπὸ τὴν ὁποία προκύπτει ὅτι χ= (ρ/2)(√5- 1).

Κατόπιν χρησιμοποιοῦμε τὸν τύπο τοῦ Ἀρχιμήδη:
χ2ν= √[2ρ²- ρ√(4ρ²-χν²)], ἀπὸ τὸν ὁποῖον (ἐφαρμόζοντας γιὰ ν= 5 καὶ ἐπιλύοντας ὡς πρὸς χν= χ5) προκύπτει:
χ5= (ρ/2)√(10- 2√5).
Ἄν λοιπὸν ἡ πλευρὰ τοῦ πενταγώνου εἶναι ἴση μὲ 4 σπιθαμές, τότε ἀντικαθιστώντας στὴν σχέση αὐτή τὸ χ5 μὲ τὸ 4, θὰ ἔχουμε τὴν ἀκτίνα ἴση μὲ [√(10-2√5)(5+√5)]/5. Τὸ δὲ ἀπόστημα τοῦ 5-γώνου θὰ εἶναι ἴσο μὲ:
√[(10- 2√5)(5+√5)²/25- (ρ²/16)(10- 2√5)]. Ἀντικαθιστοῦμε τὴν ἤδη εὑρεθεῖσα τιμὴ τοῦ ρ, καὶ τελικὰ τὸ ἐμβαδὸν προκύπτει ἀπὸ τὸν τύπο:
Ε= 5(χ5.α5/2)=……..= (5+√5)√(10+2√5)= 4√(25+10√5)= 27,6 κατὰ προσέγγιση.
13) Ὑπολογισμὸς τοῦ ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 9-γώνου
Χρησιμοποιοῦσαν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κανονικοῦ 10-γώνου καθὼς καὶ τοῦ κανονικοῦ 8-γώνου, τὰ ὁποῖα εἶναι 30 1/2 καὶ 30 1/6 ἀντίστοιχα. Εὕρισκαν τὸ “ἐξ’ ἀναλόγου” αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, τὸ ὁποῖο εἶναι ἴσο μὲ 30 1/3. Βλέπουμε ἐδῶ πὼς ἐννοοῦσαν τὴν μέση τιμὴ αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, ἡ ὁποία μέση τιμὴ θεωροῦσαν πὼς εἶναι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κανονικοῦ 9-γώνου.
14) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 7-γώνου
Εὕρισκαν τὸ “ἐξ ἀναλόγου” τῶν ἐμβαδῶν κανονικοῦ 8-γώνου καὶ 6-γώνου.

Κατὰ τὴν ἐπικρατέστερη ἄποψη ὅλες οἱ γνώσεις ἄλγεβρας τῶν Εὐρωπαίων κατὰ τὸν 15ο αἰ. μ.Χ. προέρχονταν ἀφενὸς μὲν ἀπὸ τὴν Ἄλγεβρα τοῦ Ἀλ Χουαρίζμι (11ος αἰ. μ.Χ.), ἀφετέρου δὲ ἀπὸ τὸ ἔργο Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι (13ος αἰ. μ.Χ.) .
Ἐκτὸς ὅμως ἀπὸ τὸν Ἀλ Χουαρίζμι, σχετικὰ μὲ τὶς ρίζες ἔγραψαν οἱ ἑξῆς Ἰνδοί: ὁ Srïdhara (11ο αἰ), ὁ Brahmagupta (7ο αἰ.), καὶ ὁ Bhascara (12ο αἰ.) , ἐνῶ μὲ ἀλγεβρικὰ θέματα ἀσχολήθηκαν ἐπίσης ὁ Āryabhata (5ος αἰ.) καὶ ὁ Mahävïra (9ος αἰ.).
Μὲ τὶς ρίζες εἶχαν ἀσχοληθεῖ καὶ Βυζαντινοὶ λόγιοι ὅπως ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρὸς (1310-1371) καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1300 περίπου).
Σχετικὰ μὲ τὶς μεθόδους ὑπολογισμοῦ τῆς τετραγωνικῆς καὶ τῆς κυβικῆς ρίζας ἡ μεθοδολογία τοῦ Omar Khayyam (1048-1131), εἶναι ἡ ἑξῆς:
Ἔστω Ν 1/η =χ, μὲ Ν=αη+τ καὶ τ μικρότερο ἀπὸ (α+1)η-αη. Τότε θὰ ἰσχύει:
{(αη+τ)}1/η≃α+τ/([α+1]η-αη).
Ἂν π.χ. θέσουμε η=2 καὶ Ν=30, τότε σύμφωνα μὲ αὐτὸν τὸν τύπο θὰ ἔχουμε:
Ν=αη+τ, δηλαδὴ 30=5²+5, μὲ 5 μικρότερο τοῦ 6²-5², ἢ 5 μικρότερο τοῦ 11 καὶ
√30=√(5²+5)=5+5/(6²-5²)=5+5/11.
Ἂν ὁ ὑπολογισμὸς τῆς ρίζας τοῦ 30 γίνει μὲ τὴ μέθοδο, τὴν ὁποία χρησιμοποιοῦσε ὁ Πλανούδης, καὶ ἡ ὁποία βασιζόταν σὲ τύπο τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα , θὰ ἔχουμε τὰ ἑξῆς:
√Ν=√(α²+τ)=α+τ/(2α),
δηλαδὴ √30=√(5²+5)=5+5/10 καὶ ὄχι 5+5/11.
Ὁ Ραβδᾶς χρησιμοποιοῦσε τὸν τύπο τοῦ Ἥρωνα, ἀλλ’ ἐπιπλέον θεωροῦσε ὅτι ἐὰν τὸ κ εἶναι ἡ καθ’ ὑπεροχὴ προσέγγιση τῆς ρίζας, τότε τὸ κ₁=Ν/κ εἶναι ἡ κατ’ ἔλλειψη προσέγγιση, καὶ ἡ τιμὴ (1/2)(κ+κ₁) θεωρεῖτο ὡς ἡ καλύτερη ἀπὸ αὐτές .
Σύμφωνα μὲ τὰ ἀνωτέρω θὰ εἴχαμε τὰ ἑξῆς:
√30= (1/2){5+5/10+30/(5+5/10)}=
=(1/2){55/10+30/(55/10)}=
=(1/2)(11/2+60/11)=
=(1/2){(121+120)/22}=241/44=5 21/44.
Ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρὸς γνωρίζει τοὺς τύπους, τοὺς ὁποίους ἀναφέραμε. Σύμφωνα μὲ αὐτόν, ἡ διαδικασία τῶν προσεγγίσεων μπορεῖ νὰ συνεχιστεῖ ἐφαρμόζοντας τὸν τύπο:
χ η+1= (χη+Ν/χη)/2, ὅπου η= 0,1,2,3,….
Οἱ μέθοδοι ὑπολογισμοῦ τετραγωνικῆς ρίζας οἱ ὁποῖες ἀναφέρθηκαν φαίνεται ὅτι ἐγκαταλήφθηκαν μὲ τὴν πάροδο τοῦ χρόνου, καὶ τελικὰ τὸ ἔτος 1494 ὁ Luca Pacioli δίνει κάποια μέθοδο, ἡ ὁποία μοιάζει μὲ αὐτὴν ποὺ ἐδιδάσκετο παλαιότερα στὰ σχολεῖα τῆς Β’ θμιας ἐκπαίδευσης στὴν Ἑλλάδα. Ἀργότερα, τὸ 1546 ὁ Cataneo πλησιάζει περισσότερο αὐτὴν τὴν παλαιότερη μέθοδο , ἡ ὁποία θύμιζε τὴν πράξη τῆς διαίρεσης καὶ παρουσίαζε γιὰ τοὺς μαθητὲς ἐξαιρετικὴ δυσκολία στὴν χρήση καὶ τὴν ἀπομνημόνευση. Στο μεταξύ, το 1526 ο Christoff Rudolff, στο βιβλίο του με τίτλο :Die Coss, εισήγαγε το γνωστο σύμβολο που χρησιμοποιούμε έως και σήμερα για τη ρίζα, επειδή αυτό έμοιαζε με το αρχικό γράμμα r της λέξης radix (ριζικό).
Σχετικὰ μὲ τὴ ρίζα 3ης τάξης τὰ πράγματα ἦταν ἐντελῶς διαφορετικά. Δὲν ὑπῆρχε εὔκολη μέθοδος ὑπολογισμοῦ καὶ ἡ διαδικασία εὕρεσής της θεωρεῖτο ἰδιαίτερα ἐπίπονη. Τὸ 1559 μ.Χ. ὁ Buteo ἐπιτυγχάνει νὰ ὑπολογίζει μόνο τὸ πρῶτο ψηφίο μιᾶς κυβικῆς ρίζας. Ἕναν αἰώνα ἀργότερα, ὁ Lagny πίστευε ὅτι χρειάζεται πολὺς χρόνος γιὰ τὴν εὕρεση τῆς κυβικῆς ρίζας κάποιου μεγάλου ἀριθμοῦ . Βέβαια μὲ αὐτὸ τὸ ζήτημα ἀσχολήθηκαν καὶ ἄλλοι ἐπιστήμονες, ὅπως ὁ Mahävirä (9ος αἰ.) καὶ ὁ Φιμπονάτσι . Μάλιστα ὁ Omar Khayyam, ὅπως ἔχω ἀναφέρει, ἔχει δώσει γενικὸ τύπο εὕρεσης ρίζας τάξεως ν.
Κατὰ τὸν Ἥρωνα δέ, ἂν
α³ μικρότερο τοῦ Ν καὶ Ν μικρότερο τοῦ (α+1)³, τότε
Ν-α³=β καὶ (α+1)³-Ν=γ, ὁπότε
Ν 1/3≃α+{(α+1)β}/{(α+1)β+αγ} .
Ἐφαρμόζοντας τὸν ἀνωτέρω τύπο γιὰ Ν=30 θὰ εἴχαμε:
3 μικρότερο τῆς ∛30, καὶ ∛30 μικρότερη τοῦ 4, διότι 3³=27 καὶ 4³=64, ὁπότε
64-30=34 καὶ 30-27=3, δηλαδὴ
∛30=3+(4.3)/(4.3+3.34)=
=3+12/(12+102)=
=3 6/57=3 2/19.
Σύμφωνα μὲ τὸν Φιμπονάτσι ἰσχύει:
∛Ν=∛(α³+τ), ὁπότε
∛Ν=α+τ/{(α+1)³-α³}, ὁπότε
∛30=∛(3³+3), καὶ συνεπῶς
∛30=3+3/(4³-3³)=3 3/37.
Σύμφωνα μὲ τὸν Ο. Khayyam θὰ ἔχουμε ἀκριβῶς τὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα μὲ αὐτὸ ποὺ δίνει ἡ μέθοδος τοῦ Φιμπονάτσι.

Ὑπολογισμὸς ὄγκου δοχείου σχήματος “βαρελιοῦ”.

Μαθηματικὴ μέθοδος, ἢ μέθοδος αὔξησης τοῦ κέρδους;

Εἶναι γνωστὸ ὅτι ὁ Ἀρχιμήδης εἰσάγοντας τὴ μέθοδο τῆς ἐξάντλησης ὑπολόγισε ἐμβαδὰ καὶ ὄγκους, τὰ ὁποῖα σήμερα ἐκφράζονται μέσω ὁλοκληρωμάτων[1]. Βρῆκε δηλαδὴ μέθοδο, μὲ τὴν ὁποία ὑπολόγισε ἐμβαδὰ καὶ ὄγκους στερεῶν κάθε μορφῆς, καὶ οἱ ἰδέες του ἀποτέλεσαν τὴ βάση τοῦ ὁλοκληρωτικοῦ λογισμοῦ [2] τὸν 17^ο αἰ. Ἐπίσης ὁ Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρέας, γιὰ νὰ ὑπολογίσει τὸν ὄγκο τοῦ κώνου χρησιμοποιοῦσε μία προσεγγιστικὴ μέθοδο, σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία ὑπολόγιζε τὸ γινόμενο τοῦ ὕψους καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου τοῦ ἀγομένου καθέτως πρὸς τὸ ὕψος καὶ στὸ μέσον αὐτοῦ. Γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῶν ὄγκων τῶν στερεῶν σχήματος ἀγγείου γενικώτερα, εἶχαν γίνει καὶ ἄλλες ἀπόπειρες, ὄχι πάντοτε ἐπιτυχεῖς. Μάλιστα σὲ ἑλληνικὸ πάπυρο τοῦ 4^ου αἰ. μ.Χ. κάποιος μαθητὴς ἔχει ὑπολογίσει λανθασμένα τὸν ὄγκο ἀγγείου μὲ ἄνισες κυκλικὲς βάσεις[3]. Στὸν Μεσαίωνα πάλι, σχετικὰ μὲ τὴν ὁλοκλήρωση, ὑπῆρχε ἡ ἰδέα τοῦ χωρισμοῦ ἑνὸς ἐπιπέδου σχήματος σὲ ἄπειρα παραλληλόγραμμα, ἡ ὁποία ὅμως οὐδέποτε ἔγινε θεωρία. Τὸ 1360 ὁ Ὄρεσμος (Oresme 1320-1382)[4], μὲ τὴ μέθοδο τῶν μεγίστων καὶ ἐλαχίστων τιμῶν (Πλάτη καὶ μήκη γεωγραφικὰ) κατόρθωσε νὰ ὑπολογίσει ἐμβαδὰ περιοχῶν οἱ ὁποῖες βρίσκονταν ἀνάμεσα σὲ καμπύλες καὶ εὐθεῖες[5]. Ἀργότερα (1609) ὁ Κέπλερ ἔφθασε σὲ κάποιο χονδροειδὲς εἶδος ὁλοκλήρωσης, καὶ θεώρησε ὅτι κάθε στερεὸ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἕνα ἀπεριόριστο πλῆθος κώνων ἢ λεπτῶν δίσκων, ἡ ἄθροιση τῶν ὁποίων ἔγινε τὸ πρόβλημα τῆς μετέπειτα ὁλοκλήρωσης.

Ἀξίζει νὰ ἀναφερθεῖ μία μέθοδος ὑπολογισμοῦ δοχείου σχήματος βαρελιοῦ, ἡ ὁποία βρέθηκε σὲ Ἑλληνικὸ χειρόγραφο ποὺ χρονολογεῖται πιθανότατα στὸ 1436 μ.Χ. Τὸ συγκεκριμένο δοχεῖο ἔχει κυκλικὲς βάσεις περιμέτρου 10 μονάδων. Ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου (μεγίστου) ποὺ ἰσαπέχει ἀπὸ τὶς βάσεις εἶναι 22 μονάδες, καὶ τὸ ὕψος τοῦ βαρελιοῦ εἶναι 10 μονάδες.

Στὸ χειρόγραφο αὐτό, ἔχουν ὑπολογίσει τὸν μέσο ὅρο τῶν περιμέτρων τῶν 2 κύκλων, δηλαδὴ τὸν μέσον ὅρον τοῦ 22 καὶ τοῦ 10, ὁ ὁποῖος εἶναι ἴσος μὲ 16. Κατόπιν ἔχουν θεωρήσει ἕναν νέο κύκλο μὲ περίμετρο ἴση μὲ 16 καὶ, ἀπὸ τὴν περίμετρο αὐτοῦ τοῦ νέου κύκλου ἔχουν ὑπολογίσει τὸ ἐμβαδὸν του ἀκολουθώντας τὴν γνωστὴ διαδικασία (θεωροῦσαν π=22/7). Στὴ συνέχεια πολλαπλασιάζουν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τελευταίου κύκλου μὲ τὸ ὕψος τοῦ δοχείου καὶ βρίσκουν ὅτι ὁ ζητούμενος ὄγκος εἶναι κατὰ προσέγγιση ἴσος μὲ 204. Θεωροῦν δηλαδὴ, ὅτι τὸ ἀρχικὸ δοχεῖο ἔχει τὸν ἴδιο ὄγκο μὲ ἕνα δοχεῖο κυλινδρικοῦ σχήματος ἰδίου ὕψους μὲ περίμετρο βάσεως ἴση μὲ τὸν μέσον ὅρον τῶν περιμέτρων τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου κύκλου τοῦ ἀρχικοῦ δοχείου.

Ἀλλὰ καὶ μὲ μία πρακτικὴ μέθοδο, τὴν ὁποία διαθέτουμε σήμερα[6]γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τοῦ ὄγκου Ο τέτοιου εἴδους σχημάτων, ἰσχύει ὅτι

Ο≃(υ₁/6)(S₀+4S₁+S₂), ὅπου

υ₁= ἡ ἀπόσταση τῆς κάτω καὶ ἄνω τομῆς,

S₀= τὸ ἐμβαδὸν τῆς κάτω τομῆς,

S₁= τὸ ἐμβαδὸν τῆς μεσαίας τομῆς, καὶ

S₂= τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἄνω τομῆς. Ἑπομένως ἔχουμε

Ο=(10/6)(50/π+484/π)=890/π≃283,4>204

Ἂν ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου ποὺ ἀνέφερα εἶχε ἐπιρρεασθεῖ ἀπὸ τὸν Ἥρωνα τὸν Ἀλεξανδρέα, θὰ ἀκολουθοῦσε τὴν ἑξῆς πορεία[7]:

Θὰ ὕψωνε τὶς διαμέτρους τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου κύκλου στὸ τετράγωνο, τὶς ὁποῖες κατόπιν θὰ προσέθετε, ὁπότε θὰ εἶχε:

(100/π²)+(484/π²)=584/π².

Στὴ συνέχεια θὰ ἐκτελοῦσε τὶς ἑξῆς πράξεις:

(10/π)(22/π)=220/π²

(584+220)/π²=804/π²

(804/π²)/3=268/π²

(268/π²)5=1340/π²

(1340/π²)2=2680/π²=2680/(22/7)²≃271,3 (Ὁ Ἥρων ὅταν ἐπρόκειτο γιὰ προβλήματα τέτοιου εἴδους ἔθετε π=22/7).

Παρατηροῦμε, ὅτι ἡ τιμὴ αὐτὴ συγκρινόμενη μὲ τὴν τιμὴ 204 τοῦ ἑλληνικοῦ χειρογράφου εἶναι πολὺ πλησιέστερη αὐτῆς ποὺ βρέθηκε μὲ τὴ σύγχρονη πρακτικὴ μέθοδο. Ἀναρωτιόμαστε λοιπόν, μήπως πρόκειται γιὰ συνηθισμένο λάθος ἐκείνης τῆς ἐποχῆς, ἢ μήπως ἡ μεθοδος τοῦ συγγραφέα ἀποσκοποῦσε στὸ κέρδος τῶν ἐμπόρων, ὡς μεσαζόντων μεταξὺ παραγωγῶν καὶ καταναλωτῶν.

Ὁ Ἀρχιμήδης εἶχε εἰσαγάγει καὶ χρησιμοποιοῦσε τὰ ἀθροίσματα, ὅπως στοὺς νεωτέρους χρόνους ὁ Riemann, καὶ εἶχε βρεῖ μέθοδο ἀναγωγῆς τῶν προβλημάτων μεγίστου καὶ ἐλαχίστου σὲ προβλήματα ἐφαπτομένων. Βλ. I. G. Bachmakova, “Οἱ μέθοδοι διαφόρισης τοῦ Ἀρχιμήδη”, AHES, N2, 1964, τόμ. ΙΙ, σελ. 87-107.

[2] Ἀκαδ. Ἐγκυκλ. Ἀκαδ. Ἐπιστημῶν τῆς ΕΣΣΔ, ἐκδ. Γιαννίκος, Ἀθήνα 1975-76, τόμ. ΙΙ, “Διάσημοι μαθηματικοί”, σελ. 478.

[3]Smith, Hist. Math., τόμ. ΙΙ, σελ. 294.

[4] Βλ. M. Clagett, “Oresme Nicole”, DSB, τόμ. X, σελ. 223-230.

[5] Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 684. V. M. Tikhomirov, Ἱστορίες γιὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα, ἐκδ. Κάτοπτρο, Ἀθήνα 1999, σελ. 52-67. Struik, Hist. Math., σελ. 128.

[6] Ἀκαδ. Ἐγκυκλοπαίδεια, Ἀκαδ. Ἐπιστημῶν ΕΣΣΔ, ἐκδ. Γιαννίκος, Ἀθήνα 1975-76, τόμ. ΙΙ, “Ὁλοκλήρωμα καὶ παράγωγος”, σελ. 366.

[7] Heron, Stereom., τόμ. V, σελ. 102.

Μία μικρὴ ἱστορία γιὰ τὶς Εξισώσεις μὲ ἀφορμὴ τὴ μελέτη τοῦ ἔργου – πηγή ποὺ εἶναι ὁ κώδικας 65, ἕνα ἑλληνικὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰώνα

Ἡ μεθοδολογία τῆς λύσεως τῶν ἐξισώσεων πρώτου καὶ δευτέρου βαθμοῦ ἦταν γνωστὴ ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα[1]. Ὁ Διόφαντος μάλιστα τὶς ἐχώριζε σὲ κατηγορίες, καὶ χρησιμοποιοῦσε μόνο τὴ θετικὴ ρίζα[2] χωρὶς ὅμως αὐτὸ νὰ σημαίνει ὅτι ἀγνοοῦσε τὴν ὕπαρξη τῆς ἀρνητικῆς. Βέβαια καὶ σὲ πολὺ μεταγενέστερα χειρόγραφα δὲν γινόταν λόγος γιὰ ἀρνητικὲς ρίζες.
Κατὰ τὸν 15ον αἰ. δέ, χρησιμοποιοῦσαν τὴν ἑξῆς ὁρολογία:
“Ἀριθμὸς”, γιὰ κάθε πραγματικὸ ἀριθμό.
“Πρᾶγμα”, γιὰ τὸν ἄγνωστο χ.
“Τζένσο”[3], γιὰ τὸ χ².
“Κοῦβο”, γιὰ τὸ χ³.
“Κάδρο”, γιὰ τὸ χ⁴.
Ὁ Φιμπονάτσι (1225 μ.Χ.) χρησιμοποιοῦσε τοὺς ἴδιους ὅρους γιὰ νὰ ὀνομάσει τὶς ἀνωτέρω παραστάσεις, ἐκτὸς ἀπὸ τὶς παραστάσεις χ² καὶ χ⁴ τὶς ὁποῖες ὀνόμαζε, τὴ μὲν πρώτη “quadratus” ἢ “census” ἢ “avere”, καὶ τὴ δεύτερη “census”[4]. Ὁ Φιμπονάτσι εἶχε ἐπιρρεασθεῖ ἀπὸ τοὺς Ἀλ Χουαρίζμι καὶ Ἀλ Κάρα. Ὁ Ἀλ Χουαρίζμι ὅμως, ἐνῶ ὀνομάζει τὸν ἄγνωστο χ “πρᾶγμα”, τὸ χ² τὸ καλεῖ “τετράγωνο” καὶ ὄχι τζένσο[5].
Στὴ Δύση ὁ Jordanus Nemorarius χρησιμοποιοῦσε τὴν ἴδια ὁρολογία[6] μὲ τὸν Φιμπονάτσι, καὶ ὁ Luca Pacioli τὸ 1494 χρησιμοποιεῖ τὴν ἴδια μεθοδολογία ἐπίλυσης[7] πρωτοβάθμιων καὶ δευτεροβάθμιων ἐξισώσεων μὲ αὐτὴν τοῦ συγγραφέα τοῦ χειρογράφου μας. Τὴν ἴδια μεθοδολογία ἐπίλυσης χρησιμοποιοῦσε ἀπὸ παλαιότερα καὶ ὁ Omar Khayyam.
Διαπιστώνουμε λοιπόν, ὅτι μπορεῖ μὲν νὰ ὑπάρχουν ἄμεσες ἐπιρροὲς ἀπὸ τὴ Δύση, ὅμως τὸν κυριότερο ρόλο διαδραματίζουν οἱ ἀλληλεπιδράσεις τῶν ἐπιστημονικῶν ἰδεῶν Ἀνατολῆς καὶ Δύσης.
Ὅσον ἀφορᾶ στὶς τριτοβάθμιες καὶ τεταρτοβάθμιες ἐξισώσεις, ὁ συγγραφέας τοῦ κώδικα 65 δίνει μεθοδολογίες λύσης οἱ ὁποῖες εἶναι λανθασμένες. Τὸ γεγονὸς αὐτὸ δὲν πρέπει νὰ μᾶς ἐκπλήσσει, διότι τὴν ἐποχὴ ἐκείνη γίνονταν ἀποτυχημένες ἀπόπειρες ἐξεύρεσης μεθοδολογίας γενικῆς λύσης γιὰ τὶς ἐξισώσεις βαθμοῦ ἀνωτέρου τοῦ δευτέρου. Στὸ ἔργο τοῦ Διόφαντου ὑπάρχει μόνο μία ἐξίσωση 3ου βαθμοῦ. Πρόκειται γιὰ τὴν ἐξίσωση χ²+2χ+3=χ³+3χ-3χ²-1, ἡ ὁποία λύνεται μὲ παραγοντοποίηση, ὁπότε ἔχουμε:
(χ-4)(χ²+1)=0, καὶ τελικὰ χ=4[8]. Τὸν 6ο αἰ. ὁ Al-Karagī περιέλαβε σὲ ἔργο του ἐξισώσεις ἀνωτέρου βαθμοῦ[9], ἐνῶ πολὺ ἀργότερα ὁ Omar Khayyam εἶχε ἀσχοληθεῖ μὲ τὶς ἐξισώσεις 3ου καὶ 4ου βαθμοῦ, χωρίς ἀποτέλεσμα[10]. Δείγματα ἐσφαλμένων λύσεων[11] τῆς τριτοβάθμιας ἐξίσωσης ἔχουμε
α) ἀπὸ τὸν Rudolff τὸ 1525 μ.Χ. γιὰ τὴν ἐξίσωση χ³=10χ²+20χ+48, τὴν ὁποία ἔλυνε ὡς ἑξῆς:
χ³+8=10χ²+20χ+56, ὁπότε
χ²-2χ+4=10χ+56/(χ+2), συνεπῶς
χ²-2χ=10χ, καὶ 4=56/(χ+2), δηλαδὴ
χ=12, καὶ
β) ἀπὸ κάποιον ἀνώνυμο συγγραφέα τοῦ 13ου αἰ. μ.Χ. γιὰ τὴν ἐξίσωση αχ³=cχ+κ, τὴν ὁποία ἔλυνε ὡς ἐξῆς:
χ³=cχ/α+κ/α, συνεπῶς
χ=c/(2α)+√[{(c/(2α)}²+κ/α].
Ὁ Pacioli τὸ 1494 μ.Χ. ἰσχυριζόταν ὅτι γιὰ τὶς τριτοβάθμιες ἐξισώσεις δὲν εἶναι δυνατὸν νὰ δοθεῖ γενικὴ λύση, καὶ ὁ Φιμπονάτσι ἔλυνε τριτοβάθμιες χρησιμοποιώντας μία μέθοδο, ἡ ὁποία εἶχε πολλὲς ὁμοιότητες μὲ τὸ σχῆμα τοῦ Horner[12]. Τελικὰ πρῶτος ὁ Cardano τὸ 1545, στὸ ἔργο του Artis magnae sive de reguli Algebraicis liber unus δημοσίευσε τὴ λύση τριτοβάθμιας ἐξίσωσης. Ἡ Ἄλγεβρα ἦταν ἀκόμα ρητορική καὶ χωρὶς σύμβολα. Ὁ Cardano στὸ ἔργο του περιέγραφε τὴν ἐξίσωση 6χ³-4χ²=34χ+24. Κατόπιν πρόσθετε καὶ στὰ δύο μέλη τὴν παράσταση 6χ³+20χ², ὁπότε ἡ ἐξίσωση διαμορφωνόταν ὡς ἑξῆς:
4χ²(3χ+4)=(2χ²+4χ+6)(3χ+4), καὶ μετὰ ἀπὸ πράξεις προέκυπτε ἡ λύση χ=3.
Ὁ Cardano ὅμως φαίνεται ὅτι γνώριζε ὅτι ὑπῆρχαν καὶ ἄλλες λύσεις[13]. Πρέπει νὰ ποῦμε ὅμως ὅτι τὴν ἀνωτέρω λύση εἶχε βρεῖ ὁ Tartaglia, ὁ ὁποῖος τὴν εἶχε ἐμπιστευθεῖ στὸν Cardano, καὶ αὐτὸς μὲ τὴ σειρά του πρόλαβε καὶ τὴ δημοσίευσε[14].
Στὴ γενικὴ λύση ὅμως τῆς τριτοβάθμιας καὶ τῆς τεταρτοβάθμιας ἐξίσωσης ἔφθασε τὸ 1615 ὁ Vietà[15], δίνοντας μία μεθοδολογία, ἡ ὁποία ἐφαρμόζεται μέχρι σήμερα.
Φαίνεται, ὅτι ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου μας, ἔχοντας ἐπίγνωση τῆς ἀδυναμίας του νὰ λύσει ἐξισώσεις ἀνωτέρου βαθμοῦ, δὲν τὶς χρησιμοποιεῖ σὲ κανένα ἀπὸ τὰ ἑπόμενα προβλήματα. Ἀντιθέτως, ἐπιδεικνύει ἐξαιρετικὴν ἄνεση στὴν ἐφαρμογὴ τῶν τύπων τῆς πρωτοβάθμιας καὶ τῆς δευτεροβάθμιας ἐξίσωσης.

[1] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 382.
[2] Διοφ. Ἀριθμ., π.χ. πρόβλ. 6, σελ. 59. Ὁ Διόφαντος ἀπαιτοῦσε οἱ ρίζες νὰ εἶναι ὄχι μόνο θετικὲς ἀλλὰ καὶ ρητές. Βλ. Διοφ. Ἀριθμ., σελ. 172. Κ. Vogel, “Diophantus”, σελ. 114. Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. ΙΙ, σελ. 463-4.
[3] Ὁ ὅρος “census” ἢ “zensus” σημαίνει “διατίμηση φόρου ἢ πλούτου”. Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 427.
[4] Vogel, Fibonacci, σελ. 609. Ηøyrup, Sub-Sc. Math, σελ. 25.
[5] Σχετικὰ μὲ τὴ λύση ἐξισώσεων Α καὶ Β βαθμοῦ βλ. Adel Anbouba, Notes sur l’ Algèbre d’ Al-Hwarizmī, Pub. de l’ Univ. Libanaise, Beyroyth, 1968, σελ. 5-17.
[6] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 427.
[7] ὅ. π., σελ. 442.
[8] Βλ. Διοφ. Ἀριθμ., προβλ. 17, σελ. 326. Βλ. ἐπίσης Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. II, σελ. 465.
[9] Anbouba Adel, L’ Algèbre Al-Badī d’Al-Karagī, Publ. de l’ Univ. Libanaise, Beyrouth, 1964, σελ. 40.
[10] Ὁ Khayyam ἰσχυριζόταν, ὅτι ἡ ἐξίσωση χ³+qχ=pχ²+r μπορεῖ νὰ ἔχει τὸ πολὺ 2 ρίζες. Βλ. Youschkevitch, Κhayyam, σελ. 329.
Ὁ ἴδιος λύνει τὴν ἐξίσωση χ³+bχ²=b²c χρησιμοποιώντας κωνικὲς τομές. Δηλαδὴ θέτει χ²=by, y²=χ(c-χ) καὶ λύνει τὸ σύστημα. Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 456.
[11] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 457, 458.
[12] Τὸ σχῆμα τοῦ Horner ἦταν ἤδη γνωστὸ στοὺς Κινέζους καὶ στοὺς Ἄραβες. Βλ. Vogel, Fibonacci, σελ. 610.
[13] Βλ. M. Gliozzi, “Cardano Girolamo”, DSB, τόμ. III, σελ. 64-67.
[14]A. Masotti, “Tartaglia Nicolo”, DSB, τόμ.XIII, σελ. 258-262. Loria, Ἱστ. Μαθ., σελ. 12-27.

Λέγεται, ὅτι τὴν ἐξίσωση χ³+αχ+β=0, α>0, βἔλυσε (μὲ γενικὴ λύση) πρῶτος ὁ Scipione del Ferro (1465;-1526), χωρὶς ὅμως νὰ τὴ δημοσιεύσει. Ἡ λύση, στὴν ὁποία κατέληξε καὶ ὁ Tartaglia ἦταν:

χ=∛₍₋β/2+√(β²/4+α³/27)₎+∛₍₋β/2-√(β²/4+α³/27)₎. Βλ. V. M. Tikhomirov, Ἱστορίες γιὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα, ἐκδ. Κάτοπτρο, μετάφρ. Κ. Γαβρὰς-Γ. Κατσιλιέρης, Ἀθήνα 1999, σελ. 51.

[15] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 465. Loria, Ἱστ. Μαθ., σελ. 82-93.

Εδώ και 2300 χρόνια γνωρίζουμε 3 ορισμούς για τις κωνικές τομές. Το 1997 στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας που εκπονήθηκε στο Μαθηματικό τμήμα του Ε.Κ.Π.Α. με Επιβλέποντα Καθηγητή τον κ. Ι. Αραχωβίτη για την απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσής μου στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών προέκυψε ο τέταρτος ορισμός τους, με την εξής διαδικασία:  Για τις καμπύλες των κωνικών τομών εδείχθει ότι ισχύει το αντίστροφο της γνωστής οπτικής ιδιότητας. Αυτό σήμαινε πως η οπτική ιδιότητα χαρακτηρίζει τις κωνικές τομές και κατά συνέπεια μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σαν ορισμός επιπλέον των άλλων 3 που γνωρίζαμε μέχρι τότε.Ο ορισμός που προέκυψε για την παραβολή π.χ. είναι ο εξής:  4ος Ορισμός Παραβολής. Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, και καμπύλη Ψ=g(Χ) παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της. Αν υπάρχει σημείο F και δέσμη παραλλήλων ακτίνων που ανακλώμενες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες περνούν από το F, τότε η καμπύλη θα είναι παραβολή με εστία το F, και άξονες οι οποίοι ορίζονται ως εξής:Εάν Ο το σημείο τομής της καμπύλης με την ακτίνα που περνά από το F, θα θεωρήσουμε σύστημα συντεταγμένων που έχει θετικό ημιάξονα των y την Ο F και σαν άξονα των x την κάθετο στο Ο της Ο y, και τότε θα έχουμε την παραβολή y=f(x), με εστία το F. Ασφαλώς, για να προκύψει ο 4ος αυτός ορισμός χρειάστηκε να αποδειχθεί πρώτα το πιο κάτω Θεώρημα:  Θεώρημα. Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, και καμπύλη Ψ=g(Χ) παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της. Αν υπάρχει σημείο F και δέσμη παραλλήλων ακτίνων που ανακλώμενες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες περνούν από το F, τότε η καμπύλη θα είναι παραβολή με εστία το F. Η απόδειξη του θεωρήματος, όπως και των άλλων δύο που αφορούν την έλλειψη και την υπερβολή, καθώς και οι αντίστοιχοι ορισμοί τους ευρίσκονται 1) Στη βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών, με κωδικό ΒΕ:6831, και 2) Στο Περιοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας(www.hms.gr), τεύχος 48 του 1997, σελ. 32-39. Σύνδεσμος: http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4809

Ἡ διαχρονικότητα τῶν μεθόδων διδασκαλίας τῶν προβλημάτων τῆς Ἀργυροχρυσοχοΐας.

Aὐτοῦ τοῦ εἴδους τὰ προβλήματα ὑπῆρξαν ἐξαιρετικὰ δημοφιλὴ καὶ κατεῖχαν σημαντικὴ θέση στὴ μαθηματικὴ παιδεία ἀπὸ ἀρχαιοτάτων χρόνων. Μάλιστα ἡ διδασκαλία τους ἐλάμβανε χώρα ἀκόμα καὶ στὸ Βυζάντιο, μέχρι τὶς τελευταῖες δεκαετίες τῆς Βυζαντινῆς Αὐτοκρατορίας, ποὺ ἦταν χρόνια παρακμῆς καὶ φτώχιας[1]. Εἶναι προφανὴς ἡ χρησιμότητά τους στὴν ἀργυροχρυσοχοΐα καὶ μάλιστα τὴ νομισματοκοπεία, ἀφοῦ ἡ ἀξία τοῦ χρυσοῦ νομίσματος συνεχῶς ὑποτιμᾶτο. Ἀπὸ τὴν ἐποχὴ δὲ τοῦ αὐτοκράτορα Θεόφιλου (829-842 μ.Χ.) ἡ παραγωγὴ νομισμάτων στὴν Κωνσταντινούπολη, ἐνισχυόταν μὲ τὴ λειτουργία ἐπαρχιακῶν νομισματοκοπείων[2], δηλαδὴ ἡ δραστηριότητα κοπῆς νομισμάτων εἶχε ἐπεκταθεῖ σὲ πολλὰ μέρη τῆς Αὐτοκρατορίας.
Εἶναι λοιπὸν φυσικό, τὸ ἐνδιαφέρον τῶν Βυζαντινῶν γιὰ τὰ κράματα τῶν μετάλλων νὰ ἦταν αὐξημένο, καὶ λόγῳ τῶν συναλλαγῶν[3]. Τὸ ἴδιο ἐνδιαφέρον γιὰ τὶς συναλλαγὲς παρατηρεῖται καὶ στὴ Δύση, ὅπου τὸ ἐπάγγελμα τοῦ ἀργυραμοιβοῦ θεωρεῖτο ἕνα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα[4].
Ἡ παράδοση αὐτῶν τῶν προβλημάτων ἔχει τὶς ρίζες της στὴν ἀρχαιότητα. Στὰ κείμενα τῶν ἑλλήνων ἀλχημιστῶν[5] ὑπῆρχαν συνταγές, οἱ ὁποῖες παραδίδονταν ἀπὸ γενιὰ σὲ γενιὰ στοὺς μεταλλουργοὺς καὶ τοὺς τεχνίτες τοῦ χρυσοῦ καὶ τοῦ χαλκοῦ. Αὐτὲς οἱ συνταγὲς περιλάμβαναν ὁδηγίες σχετικὰ μὲ τὴ συγκόλληση τῶν μετάλλων, τὴ βαφή, τὸν ἐξευγενισμό, τὸν καθαρισμό, τὴν παρασκευὴ κραμάτων, καθὼς καὶ τὸν ἔλεγχο τῆς καθαρότητάς τους, ἡ ὁποία μάλιστα θεωρεῖτο πρωταρχικὸ καθῆκον τῶν νομισματοκόπων.
Ἡ χρυσοποιία θεωρεῖτο “ἱερὰ καὶ θεία τέχνη” ἀνὰ τοὺς αἰῶνες. Στὶς αὐτοκρατορικὲς αὐλὲς, δάσκαλοι φιλόσοφοι δίδασκαν ἀκόμα καὶ τὸν ἴδιο τὸν αὐτοκράτορα. Στὴ δουλειὰ αὐτῶν τῶν δασκάλων στηρίζονταν οἱ Βυζαντινοὶ αὐτοκράτορες, ὥστε τὰ ἀνάκτορά τους νὰ συναγωνίζονται σὲ διακόσμηση τὰ ἀραβικὰ καὶ ἀργότερα τὰ δυτικά[6]. Τὰ ἀργυροπρατεῖα καὶ τὰ χρυσοχοϊκὰ ἐργαστήρια εὑρίσκονταν σὲ κεντρικὴ ὁδὸ τῆς Κωνσταντινούπολης, ἡ ὁποία κατέληγε στὴ Χαλκῆ τῶν ἀνακτόρων. Οἱ δὲ “χρυσοεψηταὶ” ξαλαγάριζαν τήκοντας τὸν χρυσὸ σὲ μικρὰ ὀστράκινα σκεύη. Σὲ Περσικὴ μάλιστα ἀνθολογία τοῦ 903 μ.Χ. ἀναφέρεται ὅτι ὁ Κωνσταντῖνος ὁ Ε΄ (741-775 μ.Χ. ) εἶχε μεταβάλει παρουσίᾳ τοῦ γραμματέα τοῦ χαλίφη al­Mansūr, μόλυβδο καὶ χαλκὸ σὲ ἄργυρο καὶ χρυσὸ μέσω μιᾶς στεγνῆς σκόνης (τὸ ξηρίον= ἐλιξήριον). Αὐτὸς ἦταν καὶ ὁ λόγος ποὺ παρακίνησε τὸν χαλίφη νὰ ἐνδιαφερθεῖ γιὰ τὴν ἀλχημεία[7].
Στὴ Δύση, τὸ θέμα τῶν κραμάτων τῶν μετάλλων ἦταν δημοφιλές, καὶ μπορεῖ νὰ βρεῖ κανεὶς τέτοιου εἴδους προβλήματα σὲ ἐργασίες διαφόρων ἐπιστημόνων τῆς τότε ἐποχῆς. Ἐνδεικτικὰ ἀναφέρουμε τὸ ἔργο Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι, στὸ ὁποῖο ὑπάρχουν προβλήματα αὐτῆς τῆς μορφῆς[8], καθὼς καὶ τὴν Ἀριθμητικὴ τοῦ Bamberg (1483 μ.Χ.)[9]. Γενικῶς τὰ προβλήματα κραμάτων καὶ μιγμάτων διδάσκονταν ἀνὰ τοὺς αἰῶνες. Χρονολογία σταθμὸς γιὰ τὴν ἐφαρμογή τους στὴν Φαρμακευτικὴ εἶναι τὸ ἔτος 1542 μ.Χ., ὅταν πρῶτος ὁ Recorde παρατήρησε, ὅτι τὰ προβλήματα μίξεως μποροῦν νὰ χρησιμοποιηθοῦν στὴ σύνθεση φαρμάκων. Ἀπὸ τότε τὸ θέμα ἔγινε δημοφιλὲς καὶ ὁ Baker (1568 μ.Χ.) ἀφιέρωσε 48 σελίδες σὲ βιβλίο του τὸ ὁποῖο ἐξέδωσε τὸ 1580 μ.Χ.[10].
Σημειωτέον, ὅτι στὴν Ἑλλάδα, ἕως τὰ μέσα περίπου τοῦ 20οῦ αἰώνα τὰ προβλήματα μίξεως καὶ κραμάτων ἀποτελοῦσαν μέρος τῆς ὕλης τοῦ μαθήματος τῆς πρακτικῆς ἀριθμητικῆς στὰ σχολεῖα τῆς πρωτοβάθμιας καὶ τὶς πρῶτες τάξεις τῆς δευτεροβάθμιας ἐκπαίδευσης, συνεχίζοντας μία ἀδιάσπαστη παράδοση αἰώνων, ἐφόσον οἱ ρίζες τους ἀνάγονται στὴν ἀρχαιότητα.
Στὴν Ἑλληνικὴ Βιενναία Μαθηματικὴ Πραγματεία (Tractatus Mathematicus Vindobonensis Graecus), ἕνα ἑλληνικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰώνα μ.Χ. τὸ ὁποῖο προοριζόταν κυρίως γιὰ τη διδασκαλία, τὰ περισσότερα προβλήματα τῆς χρυσοποιίας ἀναφέρονται σὲ κράματα ἀσημιοῦ, καθὼς καὶ χρυσοῦ μὲ ἀσήμι καὶ χρησιμοποιοῦνται εἰδικὲς μονάδες βάρους γιὰ τὶς πολύτιμες ὕλες (μαργαριτάρια, χρυσός, ἀσήμι, χαλκός). Σὲ αὐτὸ τὸ Βυζαντινὸ χειρόγραφο βασικὴ μονάδα εἶναι ἡ λίτρα, ἡ ὁποία ἰσοδυναμεῖ συνήθως μὲ 12 οὐγγιές, μία οὐγγιὰ μὲ 6 στάγια ἢ ἑξάγια, καὶ τέλος τὸ ἕνα στάγιο μὲ 24 καράτια. Σημειωτέον, ὅτι ὅταν ὁ ἀνώνυμος συγγραφέας αὐτοῦ τοῦ χειρογράφου ἀναφέρεται στὸ “καθαρὸ ἀσήμι”, ἐννοεῖ τὸ ἀσήμι τῶν 12 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα, ὅταν δὲ γράφει περὶ “φίνου καὶ τελείου μαλάγματος” ἐννοεῖ τὸν χρυσὸ τῶν 24 καρατίων.
Ἰδιαίτερο ἐνδιαφέρον παρουσιάζει τὸ εἶδος τῶν προβλημάτων ὅπου δὲν εἶναι γνωστὴ ἡ καθαρότητα τοῦ χρυσοῦ σὲ καράτια, τὸν ὁποῖο παίρνει κάποιος ὡς ἐνέχυρο. Αὐτὴ βρίσκεται μὲ τὸν ὑπολογισμὸ νέου κράματος, βάσει μιᾶς μεθόδου τὴν ὁποία ἐκθέτει ὁ συγγραφέας στὸ κεφάλαιο 113. Ὁ ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ χειρογράφου ἀναφέρει ἐπίσης μία μέθοδο γιὰ τὴν αὔξηση τῆς καθαρότητας ἑνὸς μετάλλου: δηλαδή μὲ ποιόν τρόπο ἀναμειγνύοντας ποσότητες ἀσημιοῦ διαφορετικῆς καθαρότητας (διαφόρων ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα) μποροῦμε νὰ ἐπιτύχουμε καθαρότητα τοῦ ἀσημιοῦ στὸ τελικὸ κράμα 10 1/2 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα[11] (κεφ. 116). Μολονότι στὸ χειρόγραφο δὲν γίνεται ἀναφορὰ στὶς μεθόδους ἐπαργύρωσης, εἶναι βέβαιο ὅτι τὶς γνώριζαν πολὺ καλά, ἀφοῦ τὰ “τραχέα” (εἶδος χάλκινων νομισμάτων) ἐπαργυρώνονταν γιὰ νὰ ἀποκτήσουν τὴν ὄψη ἀσημένιου νομίσματος. Ἡ μέθοδος ποὺ χρησιμοποιοῦσαν εἶναι ἄγνωστη σήμερα. Οἱ πάπυροι Λέυντεν καὶ Στοκχόλμης (307-337 μ.Χ) περιέχουν συνταγὲς μεταλλουργίας, μεταξὺ τῶν ὁποίων ὑπάρχουν καὶ μέθοδοι δοκιμασίας πολυτίμων μετάλλων. Σὲ κάποια ἀνώνυμα Βυζαντινὰ κείμενα τεχνικοῦ περιεχομένου περιλαμβάνονται μεταξὺ τῶν ἄλλων, βαφὴ σιδήρου καὶ χαλκοῦ, καὶ λαγάρισμα χρυσοῦ καὶ ἀργύρου.
Στὸ χειρόγραφο αὐτὸ, χρησιμοποιοῦνται οἱ ὅροι “ἐπιβολὴ χαλκώματος”, ὅταν πρόκειται γιὰ νοθεία ἀσημιοῦ ἢ χρυσοῦ, καὶ “λογαρῖσαι”[12], ὅταν πρόκειται νὰ γίνει ὁ χρυσὸς καθαρότερος[13]. Ἐπισημαίνουμε, ὅτι γιὰ τὸν συγγραφέα τοῦ χειρογράφου μας, ὅπως καὶ γιὰ τὸν Νικ. Ραβδᾶ ὅταν χρησιμοποιεῖται ἡ λίτρα ὡς μονάδα νομίσματος καὶ ὄχι βάρους, ἰσχύει ἡ ἑξῆς ἰσοδυναμία:
1 λίτρα= 12 οὐγγιές= 72 ἑξάγια= 1728 κεράτια.
Ἐνδεικτικὰ ἀναφέρω καὶ σχολιάζω τὰ ἑξῆς προβλήματα.
Πρόβλημα κεφ. 107. (ρζ). Ἐὰν μαργαριτάρι σταγίου 1 χρήζῃ ΙΙ 7, 2 λίτραι 4 ὀγγιαὶ 5 στάγια πόσα ΙΙ χρήζοσιν ἀναλόγως;
Θεωρεῖται δεδόμενο ὅτι 1 λίτρα ἰσοδυναμεῖ μὲ 12 ὀγγιές, 1 ὀγγιὰ μὲ 6 στάγια ἢ ἑξάγια, καὶ 1 στάγιο μὲ 24 κεράτια ἢ κάρατα.
Μετατρέπει τὶς 2 λίτρες σὲ 24 ὀγγιές, προσθέτει καὶ τὶς 4 καὶ ἔχει 28 ὀγγιές. 28.6= 168, 168+5= 173 στάγια, ὁπότε 173.7= 1211 ΙΙ εἶναι τὸ ζητούμενο ποσόν.
Πρόβλημα κεφ. 110. (ρι). Πόσες λίτρες ἐπιβολὴ χαλκώματος χρειάζεται νὰ προσθέσεις ὥστε 30 λίτρες καθαρὸ ἀσήμι ὀγγιῶν 12, νὰ γίνουν ἀσήμι τὸ ὁποῖο νὰ εἶναι ἀνὰ λίτρα ὀγγιῶν 9;
Ἐξηγεῖ πὼς τὸ καθαρὸ ἀσήμι ὀνομάζεται ἀπὸ τοὺς Λατίνους καὶ φίνο καὶ εἶναι ὀγγιῶν 12, ἐνῷ τὸ φίνο καὶ τέλειο μάλαγμα (χρυσόν), εἶναι ἢ καράτων 24.
Οἱ πράξεις ποὺ κάνει εἶναι: 30.12= 360 ὀγγιές, 360/9= 40. Θὰ γίνουν λοιπὸν οἱ 30 λίτραι, 40, μετὰ τὴν ἐπιβολὴν τοῦ χαλκώματος. 40-30= 10. Ἄρα πρέπει νὰ προσθέσει 10 λίτρας χάλκωμαν.
Πρόβλημα κεφ. 111. (ρια). Ἔστω ὅτι ἔχεις χρυσὸ 100 σταγίων (κάθε στάγιον ἢ ἑξάγιον ἀντιστοιχεῖ σὲ 24 : ἢ κάρατα), καὶ θέλεις νὰ τὸ μετατρέψεις σὲ χρυσὸ ὥστε κάθε στάγιον νὰ εἶναι : 22. Πόσα στάγια ἀσήμι πρέπει νὰ προσθέσεις, καὶ πόσα στάγια χρυσὸ θὰ ἔχεις;
Ἐξηγεῖ, ὅτι στὴν περίπτωση τοῦ χρυσοῦ, δὲν προσθέτουμε χάλκωμα ἀλλὰ μόνον ἀσήμι, καὶ κάνει τὶς ἑξῆς πράξεις:
100.24= 2400 , 2400/22= 109 1/11 στάγια. 109 1/11-100= 9 1/11 στάγια ἀσήμι πρέπει νὰ προσθέσεις.
Πρόβλημα κεφ. 112. (ριβ). Ἔστω ὅτι ἔχεις 40 λίτρες ἀσήμι ὅπου ἡ κάθε λίτρα εἶναι ἀνὰ ὀγγιῶν 11 1/2. Θέλεις δέ, νὰ προσθέσεις 6 λίτρες χάλκωμα ὥστε νὰ ἔχεις 46 λίτρες. Πόσων ὀγγιῶν θὰ εἶναι ἡ κάθε μία ἀπὸ τὶς 46 λίτρες;
40.11 1/2= 460, 460/46= 10, δηλαδὴ θὰ γίνει ἡ κάθε λίτρα ἀνὰ ὀγγιῶν 10.
Πρόβλημα κεφ. 113. (ριγ). Κάποιος σοῦ δίνει ἐνέχειρο 100 στάγια χρυσὸ ἀγνώστων :. Ἐσὺ παίρνεις 5 στάγια, προσθέτεις 10 στάγια καθαρὸ χρυσό, καὶ ἔχεις ἔτσι 15 στάγια χρυσὸ : 18. Κατόπιν χάνεις τὰ ὑπόλοιπα 95 στάγια τὰ ὁποῖα σοῦ ἔμειναν ἀπὸ τὰ 100 ἀφοῦ πῆρες τὰ 5. Ζητεῖς νὰ γνωρίσεις, πόσων : ἦταν τὸ χρυσὸ ποὺ εἶχες λάβει ὡς ἐνέχειρο;
18/24= 3/4, 15.3/4= 11 1/4. Ἄρα τὰ 15 στάγια τῶν 18 ἔχουν καθαρὸ χρυσὸ 11 1/4 στάγια. 11 1/4-10= 1 1/4. Ἄρα τὰ 5 στάγια τὰ ὁποῖα ἔλαβες ἐκ τῶν 100, περιεῖχαν καθαρὸ χρυσό, 1 1/4 τοῦ σταγίου. 100.1 1/4= 125 στάγια. καὶ 125/5= 25 στάγια καθαρὸ χρυσὸ εἶχαν τὰ 100 στάγια ποὺ εἶχες δεχθεῖ ὡς ἐνέχειρο.
Πρόβλημα κεφ. 114. (ριδ). Ἔστω ὅτι ἔχεις 50 λίτρες ἀσήμι τῶν 7 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα, θέλεις δὲ νὰ προσθέσεις ἀσήμι τῶν 11 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα ὥστε νὰ ἔχεις ἀσήμι τῶν 9 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα. Πόσες λίτρες ἀσήμι χρειάζεται νὰ προσθέσεις;
Ἀκολουθεῖ τὴν ἑξῆς σειρὰ πράξεων:
9-7 = 2. Ἐνῷ δέ, μᾶς ἔχει συνηθήσει μὲ ἀναλυτικὲς περιγραφὲς τῶν μεθόδων του, τώρα θέτει αὐθαίρετα 100 λίτρες σύνολο τελικό, καὶ κατόπιν διαιρεῖ 100/2= 50 καὶ γράφει πὼς πρέπει νὰ προσθέσεις 50 λίτρες ἀσήμι τῶν 11 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα.
Μὲ τὴν σύγχρονη προσέγγιση ποὺ ἀφορᾶ σὲ ἐξισώσεις, ἂν ὀνομάσουμε χ τὶς ζητούμενες λίτρες, θὰ ἔχουμε: 50.7+χ.11= (50+χ)9, δηλαδὴ 2χ= 100, ὁπότε χ= 50. Συνεπῶς τὸ τελικὸ σύνολο τῶν λιτρῶν θὰ εἶναι βέβαια 100.
Πρόβλημα κεφ. 115. (ριε). Ἂν ἀναμείξεις ἀσήμι 40 λίτρες μὲ 7 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, 30 λίτρες μὲ 8 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, 60 λίτρες μὲ 9 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, καὶ 50 λίτρες μὲ 10 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, θὰ ἔχεις μεῖγμα μὲ ἄγνωστο ἀριθμὸ ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα. Ζητεῖται αὐτὸς ὁ ἀριθμός.
Προσθέτει κατ’ ἀρχὴν τὶς λίτρες καὶ ἔχει: 40+30+60+50= 180 λίτρες. Κατόπιν : 40.7= 280, 30.8= 240, 60.9= 540, 50.10= 500, σύνολο: 1560 ὀγγιές. Διαιρεῖ τὸ 1560 μὲ τὸ 180 καὶ βρίσκει 8 2/3 ὀγγιές, δηλαδὴ 8 ὀγγιὲς καὶ 4 στάγια.
Πρόβλημα κεφ. 116. (ρις). Πόσες λίτρες ἀσήμι τῶν 8, 9, 10, 11 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα πρέπει νὰ ἑνώσεις ὥστε νὰ ἔχεις 60 λίτρες ἀσήμι τῶν 10 1/2 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα;
Ἐδῶ ὁ συγγραφέας σημειώνει πὼς ἀκολουθεῖ τὴν ἴδια μέθοδο ποὺ χρησιμοποίησε σὲ προβλήματα ἑταιρείας μὲ τοὺς συντρόφους τοὺς συμμετέχοντες σὲ ἐπιχείρηση, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη κατηγορία ἀσημίου τὴν ὀνομάζει πρῶτο σύντροφο, τὴν δεύτερη δεύτερο σύντροφο κ.λ.π.
Βρίσκει τὴν διαφορὰ 11-10 1/2= 1/2, καὶ τὶς διαφορὲς 10 1/2-8= 2 1/2, 10 1/2-9= 1 1/2, 10 1/2-10= 1/2, καὶ προσθέτει: 2 1/2+1 1/2+1/2= 4 1/2. Κατόπιν προσθέτει τὸ 1/2 τρεῖς φορές, μία γιὰ κάθε περίπτωση τῶν τριῶν πρώτων κατηγοριῶν ἀσημίου, καὶ ἔτσι ἔχει τὸν ἀριθμὸ 6 τὸν ὁποῖο θεωρεῖ μερισθή. Ὁπότε γιὰ τὴν πρώτη κατηγορία ἔχει: 60.1/2= 30, 30/6= 5 λίτρες ποὺ ἀναλογοῦν στὴν πρώτη κατηγορία ἀσημίου. Γιὰ τὴν δεύτερη καὶ τρίτη περίπτωση ἰσχύουν τὰ ἴδια. Γιὰ τὴν τέταρτη τέλος περίπτωση ἔχει: 60.4 1/2= 270, 270/6= 45 λίτρες.
Ἡ σύγκριση τῶν μεθόδων τῆς Ἑλληνικῆς Βιενναίας Μαθηματικῆς Πραγματείας μὲ αὐτὲς ποὺ χρησιμοποιοῦμε σήμερα στὴ διδασκαλία παρομοίων προβλημάτων τόσο στὴν πρωτοβάθμια ὅσο καὶ στὴ δευτεροβάθμια ἐκπαίδευση βοηθᾶ ἐκτὸς τῶν ἄλλων καὶ στὴν ἐκτίμηση τῆς διαχρονικότητας τῶν διδακτικῶν μαθηματικῶν μεθόδων[14].

[1] Τὸν 14ο καὶ 15ο αἰ. ὁ πληθυσμὸς τῆς Κωνσταντινούπολης ἦταν 30000 κάτοικοι, καὶ κατὰ τὴν ἅλωση εἶχαν ἀπομείνει περίπου οἱ μισοί. Βλ. Δ. Μόσχος, Δημογραφικὲς παρατηρήσεις γιὰ τὴν Κωνσταντινούπολη βάσει ἀναξιοποιήτων ἐκκλησιαστικῶν πηγῶν τοῦ 14ου-15ου αἰ. μ.Χ., εἰς Πρακτικὰ Α’ Συνάντησης Βυζαντινολόγων τῆς Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ἱωάννινα 1999, σελ. 158.
[2] Βασιλικὴ Πέννα, Ἡ Βυζαντινὴ νομισματικὴ ἔρευνα: ἀναδρομὴ καὶ προοπτικές, εἰς Πρακτικὰ Α’ Συνάντησης Βυζαντινολόγων Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ἱωάννινα 1999, σελ. 90.
[3] Τὸ ἐπάγγελμα τοῦ τραπεζίτη ἦταν πολὺ σημαντικὸ στὴν Ἑλλάδα. Οἱ τραπεζίτες εἶχαν τὰ “τραπέζια” τους στὴν ὑπαίθρια ἀγορά. Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 576. Ὁ P. Tafur διηγεῖται, ὅτι στὰ 1437-1438 μ.Χ. στὴν Κωνσταντινούπολη ὑπῆρχε μεγάλη ἐμπορικὴ κίνηση. Οἱ ξένοι ἔμπαιναν μὲ ἐξαιρετικὴ ἄνεση σ’ αὐτήν, ἀλλὰ ὁ ρόλος τῶν κατοίκων της περιοριζόταν σὲ αὐτὸν τοῦ ἁπλοῦ θεατή. Βλ. Zakythinos, Crise mon., σελ. 39.
[4] Αὐτὸ τὸ ἐπάγγελμα θεωρεῖτο ὡς μία ἀπὸ τὶς μεγαλύτερες τέχνες στὴ Φλωρεντία. Τὸ 1344 μ.Χ. μάλιστα ἱδρύθηκε ἐκεῖ μία τράπεζα γιὰ τὸν σκοπὸ αὐτό. ὅ. π., σελ. 576.
[5] “Χρυσοῦ ποίησις”, “Ποίησις χρυσοῦ δοκίμου”, “Χαλκοῦ λεύκωσις”, “Καταβαφὴ χρυσοῦ”, “Περὶ τοῦ ποιῆσαι χαλκόν, ὥσπερ χρυσόν”. Βλ. Collection des Anciens Alchimistes Grecs, ed. M. Berthelot, Pub. G. Steinheil, Paris 1888, σελ. 304, 305, 308, 310, τόμ. ΙΙ, σελ.336.
Βλ. Δ. Γούτα, Ἡ Ἀρχαία Ἑλλ. σκέψη στὸν Ἀραβικὸ πολιτισμό, ἐκδ. Περίπλους, Ἀθήνα 2001, σελ. 162.
[6] Βλ. Μάρω Παπαθανασίου, Ἀρχαία μεταλλοτεχνία καὶ φυσικὲς θεωρίες, ὡς βάσεις τῆς ἑλληνικῆς χημείας, Ἡ ἱστορικὴ ἐξέλιξη τῆς χημείας στὴν Ἑλλάδα, Πρακτ. Πανελλ. Συμπ. ΕΕΧ, Ἀθήνα 1996, σελ. 35-53 (σελ. 46).
[7] Βλ. Δ. Γούτα, Ἡ Ἀρχαία Ἑλλ. σκέψη στὸν Ἀραβικὸ πολιτισμό, ἐκδ. Περίπλους, Ἀθήνα 2001, σελ. 162.
[8] Vogel, Fibonacci, σελ. 606.
[9] Loria, Ἱστ. Μαθ., τόμ. II, σελ. 352.
[10] Smith., Hist. Math., τόμ. II, σελ. 588.
[11] Βλ. Hendy, Cat. Byz. coins, σελ. 127. Βλ. CAAG, Berthelot-Ruelle, τ. II, σελ. 321-393, Les Alchimistes Grecs, τ. I Pap. de Leyde, Pap. de Stockholm, ed. R. Malleux, Les belles letters, Paris 1990. Ὁ Παρισινὸς κώδιξ 2327 περιέχει ἐπίσης ἀνώνυμες τεχνικὲς συνταγὲς τῆς χρυσοτεχνίας. Bλ. Μαρία Παπαθανασίου, “Ἀλχημεία ἢ Χημικὴ Τεχνολογία”, Ἴνδικτος 7, (χειμώνας 1997), 97-119. Τῆς ἰδίας, Χρυσογραφία-Ἡ ἀδιάσπαστη συνέχεια τῆς τεχνικῆς της, Πρακτικὰ 1ου διεθνοῦς Συνεδρίου Ἀρχαίας Ἑλληνικῆς Τεχνολογίας, Θεσσαλονίκη 1997, σελ. 331-332.
[12] “Περὶ τοῦ λαγαρῖσαι τὸ χρυσίον”. Βλ. Collection des Anciens Alchimistes Grecs, ed. M. Berthelot, Pub. G. Steinheil, Paris 1888, τόμ. ΙΙ, σελ. 322, 323.
[13] Βλ. Kουκουλέ, Βυζ. βίος, τόμ.II, σελ. 228, 237.
[14] Γιὰ τὰ προβλήματα τῶν κεφαλαίων 115 καὶ 116 βλέπε σὲ Ἀριθμητικὴ Π. Τόγκα- Θ. Πασσᾶ- Ν. Νικολάου, ἐκδ. ΟΕΣΒ, Ἀθῆναι 1959, σελ. 334, 335, 336.

Ὁ ὅρος «Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια» δεν παραπέμπει σε κάποιο έργο παρόμοιο με τις σημερινὲς Ἐγκυκλοπαίδειες. Στὸ ἄρθρο ποὺ ἀκολουθεῖ δίδεται ἐπαρκὴς ἐξήγηση αὐτοῦ τοῦ ὅρου καὶ ἐπιχειρεῖται ὁ προσδιορισμὸς τῆς πρώτης Μαθηματικῆς Ἐγκυκλοπαίδειας, ἡ ὁποία χρονολογεῖται στὸν 15ο αἰώνα μ.Χ.
Σὰν σημεῖο ἀναφορᾶς αὐτῆς τῆς ἔρευνας ἔχω θεωρήσει ἕνα Βυζαντινὸ χειρόγραφο, τὸν Βιενναῖο Ἑλληνικὸ Φιλολoγικὸ κώδικα 65 τοῦ 15ου αἰ. (φύλλα 11r-126r)[1], τοῦ ὁποίου ὁ συγγραφέας εἶναι ἀνώνυμος. Οἱ Καθηγητὲς Η. Ηunger καὶ K. Vogel, οἱ ὁποῖοι ἐξέδωσαν τὸ 1963 τὰ φ. 126v-140r τοῦ ἰδίου κώδικα, θεωροῦν πιθανὴ χρονολογία συγγραφῆς του τὸ διάστημα 1430-1453 μ.Χ. Ἡ χρονολόγησή τους αὐτὴ εἶναι συμβιβαστὴ μὲ μία ἀκριβὴ χρονολογικὴ ἀναφορὰ ἡ ὁποία περιέχεται σὲ πρόβλημα ὑπολογισμοῦ τῶν ἡμερῶν ἀπὸ τὴ γέννηση τοῦ Χριστοῦ ἕως “σήμερα” (κεφ. 12, [φ. 16r], 109 Χάλκου), ὅπου “εὑρισκόμαστε” κατὰ τὸν συγγραφέα τοῦ χειρογράφου στὸ ἔτος 1436 μ.Χ. Ἑπομένως θεωρεῖται πιθανὸν τὰ φύλλα 11r-126r τοῦ χειρογράφου ποὺ ἀπετέλεσαν τὸ ἀντικείμενο τῆς μελέτης μου νὰ γράφηκαν τὸ 1436 μ. Χ.
Τὸ μεγαλύτερο μέρος τοῦ κώδικα (φ. 11r-126r) περιέχει προβλήματα ἀριθμητικῆς καὶ γεωμετρίας. Τὰ προβλήματα αὐτὰ καλύπτουν πολλὰ μαθηματικὰ πεδία καὶ ὡς ἐπὶ τὸ πλεῖστον αὐτὰ τὰ ὁποῖα διδάσκονται σήμερα στὶς διάφορες βαθμίδες τόσο τῆς πρωτοβάθμιας ὅσο καὶ τῆς δευτεροβάθμιας ἐκπαίδευσης.
Τὸ προοίμιο καὶ τὰ δύο πρῶτα κεφάλαια ἐξέδωσε ὁ J. L. Heiberg τὸ 1899. Ἡ μεταγραφὴ καὶ ἡ μελέτη τοῦ μαθηματικοῦ περιεχομένου τοῦ ὑπολοίπου χειρογράφου πραγματοποιήθηκε ἀπὸ ἐμένα. Ὁ στόχος μου ἦταν ἐν πρώτοις ἡ ἀνάλυση τῶν διδακτικῶν μεθόδων τοῦ Ἀνωνύμου συγγραφέα του καὶ στὴ συνέχεια ἡ σύγκριση αὐτῶν μὲ τὶς ἀντίστοιχες σύγχρονες μεθόδους ἐπίλυσης τῶν συγκεκριμένων προβλημάτων, καθὼς τὸ Βυζαντινὸ χειρόγραφο προοριζόταν σύμφωνα μὲ τὶς ἐκτιμήσεις μου καὶ γιὰ τὴ διδασκαλία μαθητῶν διαφόρων βαθμίδων τῆς ἐκπαίδευσης. Ἀξίζει δὲ νὰ ἀναφερθεῖ ὅτι ἡ διαδικασία προσδιορισμοῦ τῆς κάθε μεθόδου ξεχωριστὰ ὑπῆρξε ἰδιαίτερα ἐπίπονη καὶ τοῦτο διότι στὸ χειρόγραφο αὐτὸ δὲν ὑπάρχουν μαθηματικοὶ τύποι σὰν τοὺς σημερινοὺς, ἀλλὰ μόνο περιγραφὴ τρόπων ἐπίλυσης μὲ τὴ μορφὴ ὁδηγιῶν καὶ μὲ πλήρη ἀπουσία τῆς ἀντίστοιχης θεωρίας στὴν ὁποία βασίζονται. Στὴν συνέχεια ἐξήχθησαν τὰ συμπεράσματα σχετικὰ μὲ τὸν προορισμὸ τῆς πραγματείας αὐτῆς καὶ διατυπώθηκαν ὑποθέσεις σχετικὰ μὲ τὴ σημασία ποὺ εἶχε γιὰ τὴ μαθηματικὴ ἐπιστήμη τοῦ 15ου αἰ.
Στὸ ἄρθρο αὐτὸ λοιπὸν ἐπιχειρῶ μία λεπτομερέστερη περιγραφὴ προβλημάτων ὁρισμένων τομέων τῶν μαθηματικῶν ὅπως ἀναλύονται ἀπὸ τὸν Ἀνώνυμο συγγραφέα τοῦ χειρογράφου, καθὼς καὶ τῆς ἐξέλιξής τους ἀπὸ ἀρχαιοτάτων χρόνων ἕως σήμερα. Ἡ σύγκριση εἶναι ἀπαραίτητη καὶ ἐπειδὴ στὸ χειρόγραφο κάποιες μέθοδοι, ὅπως αὐτὴ τοῦ ὑπολογισμοῦ ἀθροισμάτων διαδοχικῶν ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου, καθὼς καὶ τῆς εὕρεσης τετραγωνικῶν ριζῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν μπορεῖ νὰ ἀποδειχθοῦν χρήσιμες γιὰ τοὺς μαθητές, ὡς εὐκολότερες στὴν ἀπομνημόνευση. Τέλος, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὴ σύγκριση τοῦ περιεχομένου τοῦ χειρογράφου μὲ τὸ περιεχόμενο τοῦ ἔργου Summa τοῦ Pacioli, ποὺ ἕως σήμερα θεωρεῖται ὡς ἡ πρώτη Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν, φαίνεται ἰσχυρὴ ἡ πιθανότητα νὰ εὑρισκόμαστε στὴ θέση νὰ τὸ ὀνομάσουμε “Βυζαντινὴ Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν”, καὶ ἀφοῦ μάλιστα εἶναι προγενέστερη τῆς Summa τοῦ Pacioli (1494 μ.Χ.), θὰ λέγαμε πὼς πρόκειται γιὰ τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια, μὲ χρονολογία συγγραφῆς τὸ ἔτος 1436 μ.Χ.

Σχετικά μὲ τὶς τέσσερεις ἀριθμητικὲς πράξεις καὶ τὶς δοκιμές τους.

Τὰ σύμβολα ποὺ χρησιμοποιοῦνται γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς στὸ χειρόγραφο εἶναι τὰ γράμματα τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀλλὰ οἱ ὑπολογισμοὶ γίνονται μὲ τὴ νέα τότε δεκαδικὴ ἀραβικὴ ἀρίθμηση. Ἂν καὶ ὁ Ἀνώνυμος Μαθηματικὸς τοῦ 15ου αἰ. δείχνει νὰ μὴν ἔχει προσαρμοστεῖ στὴ νέα μέθοδο τῆς χρήσης τῶν ἀραβικῶν ψηφίων πρέπει νὰ τονιστεῖ, ὅτι ἡ χρησιμοποίηση γραμμάτων καὶ ὄχι ἀριθμῶν δὲν ἐπηρέαζε τὸ ἀποτέλεσμα, ἀφοῦ ἐπρόκειτο γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, δηλαδὴ ἡ θέση τοῦ γράμματος καθόριζε τὴν ἀριθμητικὴ ἀξία του. Ἔτσι στὸ χειρόγραφο διατηρεῖται ὁ παλαιὸς συμβολισμὸς, ἐνῶ ἄλλοι προγενέστεροι λόγιοι, ὅπως ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305) στὸ Βυζάντιο καὶ ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι (13ος αἰ.), ὁ ὁποῖος εἰσήγαγε στὴ Δύση τὸν καινούργιο συμβολισμό, εἶχαν ἐξοικειωθεῖ μὲ τὸν νέο συμβολισμὸ καὶ τὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης. Ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι χρησιμοποιεῖ τὰ νέα ψηφία στὸ Liber abacci, καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης στὴ Ψηφοφορία κατ’ Ἰνδούς. Ὅμως, ἡ χρήση τοῦ νέου συμβολισμοῦ δὲν ἦταν γενικευμένη στὸ Βυζάντιο. Γνωρίζουμε μάλιστα ὅτι διακεκριμένοι λόγιοι ὅπως ὁ Γεώργιος Παχυμέρης (σύγχρονος τοῦ Μάξιμου Πλανούδη), ὁ Μοσχόπουλος, ὁ Νικόλαος Ραβδᾶς, ὁ Ἰωάννης Πεδιάσιμος, ὁ Βαρλαάμ ὁ Καλαβρός, ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρός (14ος αἰ. μ.Χ.) δὲν χρησιμοποιοῦσαν τὰ ἀραβικὰ ψηφία. Πιθανότατα ὁ Ἀνώνυμος Μαθηματικὸς νὰ μὴν υἱοθέτησε τὰ νέα ψηφία λόγω τοῦ ὅτι ἐδημιουργοῦντο διάφορα προβλήματα στὰ ἐμπορικὰ μαθηματικὰ.
Στὸ χειρόγραφό μας ἀναφέρεται ὁ ὅρος “μιλλιούνι” (κεφ. 5, [φ. 15r], 104 Χάλκου), ὁ ὁποῖος, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὸν ὁρισμό, σημαίνει τὸ ἑκατομμύριο. Γνωρίζουμε βέβαια, ὅτι ὁ Μάξιμος Πλανούδης ἦταν ἀπὸ τοὺς πρώτους ποὺ χρησιμοποίησαν τὸν ὅρο milleton (δηλ. million) γιὰ τὸ ἑκατομμύριο. Σύμφωνα ὅμως μὲ τὸν D. E. Smith, ὁ ὅρος μιλλιούνι πρωτοεμφανίστηκε στὴν ἀνώνυμη Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso τοῦ 1478. Σ’ αὐτὴν τὴν πραγματεία, ποὺ εἶναι μεταγενέστερη τοῦ χειρογράφου μας, στὴν πράξη τοῦ πολλαπλασιασμοῦ ὁ πολλαπλασιαστὴς τοποθετεῖται κατακόρυφα δίπλα στὸν πολλαπλασιαστέο καὶ ἡ πράξη γίνεται καθ’ ὅμοιον τρόπο μὲ αὐτὸν ποὺ χρησιμοποιεῖται στὸ χειρόγραφο. Ἔχουμε λοιπὸν μία σημαντικὴ ἔνδειξη, ὅτι ὁ ὅρος “μιλλιούνι” δὲν πρωτοεμφανίστηκε στὴν ἰταλικὴ Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso ἀλλὰ στὸν κώδικα 65, ποὺ φαίνεται νὰ χρονολογεῖται στὰ 1436 μ.Χ. Τὸ 1494 ὁ Λούκα Πατσιόλι (Luca Pacioli) ἐξέδωσε τὴ Summa, στὴν ὁποία χρησιμοποιεῖ τὰ ἰνδικὰ ψηφία καὶ ὅπου ἀποκαλεῖ “crocetta” (μικρὸς σταυρός), τὴ “σταυροειδῆ μέθοδο” πολλαπλασιασμοῦ. Σύμφωνα μὲ αὐτήν γιὰ τὸν πολλαπλασιασμὸ τοῦ 12 μὲ τὸ 13 πολλαπλασιάζεται κατ’ ἀρχὴν τὸ 2 μὲ τὸ 3 καὶ δίνουν 6. Στὴν συνέχεια πολλαπλασιάζονται “σταυροειδῶς” τὰ ψηφία τοῦ 12 καὶ τοῦ 13 καὶ τὰ ἀποτελέσματα αὐτῶν τῶν γινομένων προστίθενται, ὁπότε προκύπτει 1.3+1.2= 5. Τὸ 5 ἀντιπροσωπεύει τὶς δεκάδες καὶ τὸ 6 τὶς μονάδες. Κατόπιν πολλαπλασιάζονται τὰ πρῶτα ψηφία τῶν ἀριθμῶν 12 καὶ 13 καὶ δίνουν ἀποτέλεσμα 1. Τὸ 1 ἀντιπροσωπεύει τὶς ἑκατοντάδες, καὶ ἔτσι τὸ ἀποτέλεσμα τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τοῦ 12 μὲ τὸ 13 εἶναι ὁ ἀριθμὸς 156.
Ὁ ὅρος “πολλαπλασιάζω σταυροειδῶς” ἐχρησιμοποιεῖτο καὶ γιὰ τὶς ἀναλογίες τῆς μορφῆς α/β= γ/δ, ἀπὸ τὶς ὁποῖες προκύπτει ἡ ἰσότητα α.δ= β.γ. Σήμερα σὲ παρόμοιες περιπτώσεις χρησιμοποιοῦμε τὴν ἔκφραση “πολλαπλασιάζω χιαστί”.
Στὸ ἴδιο ἔργο ὁ Πατσιόλι, ὁ ὁποῖος δίδασκε ἀριθμητικὴ καὶ ἄλγεβρα τοῦ ἐμπορίου, ἀναφέρει καὶ τὴ μέθοδο τοῦ “τετραπλεύρου” γιὰ τὸν πολλαπλασιασμὸ δύο τριψηφίων ἀριθμῶν, κατὰ τὴν ὁποία ὁ πολλαπλασιαστὴς τίθεται σὲ κατακόρυφη θέση ὡς πρὸς τὸν πολλαπλασιαστέο. Ὅμως, ἔτσι ἀκριβῶς γίνεται ὁ πολλαπλασιασμὸς τριψηφίων ἀριθμῶν καὶ στὸ χειρόγραφό μας, τὸ ὁποῖο ὅπως εἴπαμε εἶναι παλαιότερο ἀπὸ τὴ Summa. Οἱ ὁμοιότητες τόσο μὲ τὴ Summa, ὅσο καὶ μὲ τὴν Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso δὲν σταματοῦν ἐδῶ, ἀφοῦ στὴν δεύτερη καὶ ἡ διαίρεση γίνεται μὲ τρόπο παρόμοιο μὲ αὐτὸν τοῦ χειρογράφου μας. Βέβαια οἱ ἀλληλεπιδράσεις μεταξὺ Βυζαντινῶν καὶ Δυτικῶν εἶναι ἀναμφισβήτητες, γιατὶ καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης ἐκτελεῖ τὴ διαίρεση μὲ τὴ μέθοδο τοῦ Λεονάρντο Φιμπονάτσι, ἡ ὁποία εἶναι ἐπίσης πανομοιότυπη μὲ τὴ μέθοδο τοῦ κώδικα 65. Ὁ Πλανούδης μάλιστα διευκρινίζει, ὅτι πρόκειται γιὰ ἐπίπονη ἐργασία, ἄποψη τὴν ὁποία εἶχαν καὶ ἄλλοι σύγχρονοί του λόγιοι.
Σχετικὰ μὲ τὴν πράξη τοῦ πολλαπλασιασμοῦ, ἀξίζει νὰ ἀναφερθεῖ ὅτι ἡ μέθοδος τῆς δοκιμῆς τοῦ πολλαπλασιασμοῦ ποὺ χρησιμοποιεῖται στὸν κώδικα 65, βασίζεται σὲ κανόνα μὲ ὑπόλοιπα διαιρέσεων μὲ τὸν ἀριθμὸ 7. Π. χ. γιὰ τὴν δοκιμὴ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τοῦ 15 μὲ τὸ 6 ὁ συγγραφέας προτείνει:
“Ἄφελε τὰ 15 ὁσάκις χωρῶσι ἐπὶ τῶν 7· δὶς οὖν 7 γίνονται 14, περιττεύει 1 μέχρι τῶν 15″. Αὐτὸ σημαίνει ὅτι ζητεῖ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 15 μὲ τὸ 7, τὸ ὁποῖο εἶναι 1. Ἐπειδὴ δὲ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 6 μὲ τὸ 7 εἶναι 6. πολλαπλασιάζει τὸ 1 μὲ τὸ 6 καὶ θέτει τὸ ἐξαγόμενο ἐντὸς κύκλου. Τέλος βρίσκει τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 90 μὲ τὸ 7, τὸ ὁποῖο εἶναι 6 καὶ τὸ συγκρίνει μὲ τὸν ἀριθμὸ ποὺ ἔχει θέσει μέσα σὲ κύκλο. Ἐφόσον τὰ δύο ἀποτελέσματα συμπίπτουν, τότε ὁ πολλαπλασιασμὸς εἶναι σωστός.
Αὐτὴ ἡ μέθοδος δοκιμῆς ἔχει βαθειὲς ρίζες. Τὴ χρησιμοποιοῦσαν καὶ οἱ Ἰνδοί, οἱ ὁποῖοι διαιροῦσαν ὅμως μὲ τὸ 9 ἀντὶ τοῦ 7. Γνῶστες αὐτῆς τῆς μεθόδου ὑπῆρξαν ὁ Ἀλ Χουαρίζμι (alh-Khowârizmî) (825 μ. Χ.) καὶ ὁ Ἀλ Καρχί (alh-Karkhi) (1020 μ.Χ.). Ἀλλὰ καὶ οἱ Ἄραβες εἶχαν υἱοθετήσει τὴ μέθοδο αὐτή, χρησιμοποιώντας μάλιστα τόσο τὸ 7, ὅσο καὶ τὸ 8 καὶ τὸ 9 καὶ τὸ 11. Ἀπὸ τοὺς Ἄραβες φαίνεται νὰ ἐπιρρεάστηκαν ὁ Rabbi ben Ezra (1140 μ.Χ.), ὁ Johannes Hispalensis (1140 μ.Χ.), ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1202 μ.Χ.) καὶ Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305 μ.Χ.). Ὁ Πέλλος (1492 μ.Χ.) μάλιστα γράφει, ὅτι ἡ δοκιμὴ μὲ τὸ 7 ἐξασφαλίζει μικρότερη πιθανότητα λάθους. Τὴν ἴδια ἄποψη ἐκφράζει καὶ ὁ Ἀνώνυμος Μαθηματικὸς τοῦ χειρογράφου μας.
Βέβαια σχετικὰ μὲ τὴν ἰνδικὴ ἢ ἀραβικὴ προέλευση τῆς μεθόδου ὀφείλουμε νὰ ἐπισημάνουμε ὅτι οἱ Ἄραβες, εἰδικὰ στὴν ἄλγεβρα καὶ τὴν ἀστρονομία, εἶχαν παραλάβει τὶς γνώσεις τους ἀπὸ τοὺς Ἕλληνες. Σήμερα αὐτὴ ἡ μέθοδος δὲν χρησιμοποιεῖται πλέον.
Ὁ Ἀνὼνυμος Μαθηματικὸς συγγραφέας τοῦ χειρογράφου μας φαὶνεται νὰ δίνει ἰδιαίτερη σημασία στὴν ἐκτέλεση τῆς πράξης τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μὲ τὴν μέθοδο χωρὶς μολύβι καὶ χαρτί, δηλαδὴ νοερῶς. Οἱ πράξεις του βασίζονται στὴν ἄλγεβρα, ἡ ὁποία ἦταν ἀκόμα περιγραφικὴ δηλαδὴ χωρὶς τὴ χρήση συμβόλων. Συγκεκριμένα γιὰ τὸν πολλαπλασιασμὸ τοῦ 13 μὲ τὸ 13 ἀκολουθεῖ τὴν ἑξῆς διαδικασία:
Πολλαπλασιάζει τὸ 10 μὲ τὸ 10 καὶ βρίσκει 100. Προσθέτει τὸ 3 μὲ τὸ 3 καὶ βρίσκει 6. Τὸ 6 τὸ κάνει 60. Πολλαπλασιάζει τὸ 3 μὲ τὸ 3 καὶ ἔχει 9. Προσθέτει τὸ 100, τὸ 60, καὶ τὸ 9 καὶ βγάζει 169. Αὐτὰ ἐξηγοῦνται σήμερα μὲ τὴν διπλῆ ἐπιμεριστικὴ ἰδιότητα, σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία ἰσχύει: (α+β).(γ+δ)= αγ+αδ+βγ+βδ, δηλαδή 13.13= (10+3).(10+3)= 100+3.10+3.10+9= 100+60+9= 169.
Πολὺ ἀργότερα, ὅταν ὁ Cardano (1501-1576) ἐξέδωσε τὴν Practica Arithmeticae (1539) ἔδειξε καὶ αὐτὸς τὴν ἴδια ἰκανότητα στοὺς ὑπολογισμοὺς ἀπὸ μνήμης.

Τὰ κλάσματα καὶ οἱ πράξεις αὐτῶν.

Στὸ χειρόγραφό μας ὁ τρόπος ὁρισμοῦ τοῦ κλάσματος (τζάκισμα), προϋποθέτει ὁ ἀριθμητὴς νὰ εἶναι μικρότερος ἀπὸ τὸν παρανομαστή (φ. 29r, κεφ. 40). Ὁ ὁρισμὸς τοῦ κλάσματος ἀργότερα ἐπεκτείνεται καὶ ἔτσι ἐμφανίζονται στὸ χειρόγραφο κλάσματα μὲ ἀριθμητὲς μεγαλύτερους ἀπὸ τοὺς παρανομαστές (φ. 62r, κεφ. 116, φ. 76r, κεφ. 135). Στὴν Ἀριθμητικὴ τοῦ Pagani (1591 μ.Χ.) ὁ ἀριθμητὴς εἶναι μικρότερος ἀπὸ τὸν παρανομαστή, ὅμως, καὶ αὐτὸ εἶναι ἀξιοπρόσεκτο, τὸ ἀντίθετο θεωρεῖται ἀπὸ κάποιους ἐρευνητὲς – οἱ ὁποῖοι προφανῶς δὲν ἐγνώριζαν τὴν ὕπαρξη τοῦ Βιενναίου Ἑλληνικοῦ φιλ. κώδικα 65 – μεταγενέστερη ἀνακάλυψη.
Στὸν κώδικα 65 οἱ πράξεις μεταξὺ κλασμάτων ἐκτελοῦνται μὲ μεθόδους παρόμοιες μὲ τὶς σημερινές. Ὁ συγγραφέας χρησιμοποιεῖ τὸν ὅρο “ὀκτακαιδέκατον” καὶ ἄλλους συναφεῖς μὲ αὐτόν, γιὰ νὰ δηλώσει τὸ 1/18 καὶ ἄλλα παρόμοια κλάσματα. Ἐδῶ εἶναι ἐμφανὴς ἡ ἐπιρροὴ ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα, δηλαδὴ τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα, ἡ ὁποία φθάνει ἕως τὸν Γεώργιο Παχυμέρη, καθὼς καὶ οἱ δύο αὐτοὶ μεταχειρίζονταν τοὺς ἴδιους ὅρους γιὰ νὰ κατονομάσουν τὰ κλάσματα.
Ὅπως εἶναι γνωστό, ἡ μέθοδος τῶν τριῶν, θεωρεῖται ἰνδικῆς προέλευσης, καὶ ἀργότερα υἱοθετήθηκε ἀπὸ τοὺς Ἄραβες καὶ τοὺς Λατίνους· ὑπῆρξε ἐξαιρετικὰ δημοφιλὴς στὸν κόσμο τοῦ ἐμπορίου. Στὸν κώδικα 65 χρησιμοποιεῖται συχνὰ μὲ τὸ ὄνομα ἡ “διὰ τῶν τριῶν μεταχείρισις” (κεφ. 53), βασίζεται δὲ στὶς ἰδιότητες τῶν ἀναλογιῶν (κεφ. 55).
Συγκεκριμένα στὸ κεφ. 53 ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας θὲτει τὸ ἑξῆς πρόβλημα: “Ἐὰν τὰ 3 γίνωνται 4, τὰ 5 πόσα γίνονται;”
Πρόκειται γιὰ κλασικὴ περίπτωση ἀναλογιῶν ὅπου χρησιμοποιεῖ μάλιστα καὶ τὸν ὅρο “πολλαπλασίαζε σταυροειδῶς”, προκειμένου νὰ διδάξει αὐτὸ ποὺ σήμερα ὀνομάζουμε πολλαπλασιασμὸ χιαστί. Ἐκτὸς δὲ ἀπὸ τὸ ἀνωτέρω πρόβλημα, θέτει καὶ τὸ ἀκόλουθο: Ἐὰν τὰ 11 γίνωνται 15, τὰ 20 πόσα γίνονται;
Σ’ αὐτὰ τὰ προβλήματα χρησιμοποιεῖ γιὰ πρώτη φορὰ τὸν ὅρο: “μεταχείρισις διὰ τῶν τριῶν”, καὶ ἐννοεῖ τὴν διὰ τῶν τριῶν μέθοδο τὴν ὁποία διδάσκουμε σήμερα στοὺς μαθητές. Πολλαπλασιάζει λοιπὸν τὸ 5 μὲ τὸ 4 καὶ διαιρεῖ μὲ τὸ 3. Τὸ ἀποτέλεσμα εἶναι 6 2/3. Προφανῶς στηρίζεται στὴν ἰσότητα τῶν λόγων 3/4= 5/χ, ὅπου μὲ τὸν ἴδιο τρόπο θὰ βρίσκαμε σήμερα ὅτι χ= 6 2/3.
Στὸ κεφ. 55 τὸ πρόβλημα εἶναι τὸ ἑξῆς: “Ἐὰν 8-κις 8 γίνωνται 100, 12-κις 12 πόσα γίνονται;”
Ἡ λύση ποὺ δίνει ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας βασίζεται στὴν ἀναλογία 100/64= χ/144 σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία χ= 225. Γράφει δέ: “Ὃν γὰρ λόγον ἔχοσιν τὰ 100 πρὸς τὰ 64, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοσιν καὶ τὰ 225 πρὸς τὰ 144″.
Οἱ προσεγγίσεις τοῦ Ἀνωνύμου συγγραφέα δὲν δύναται βέβαια νὰ ὀνομαστοῦν θεωρητικές, ἐντούτοις ὅμως πρόκειται οὐσιαστικὰ γιὰ ἄμεση ἐφαρμογὴ τῆς θεωρίας.
Ἡ μέθοδος τῶν τριῶν ἀποτελοῦσε ἕναν θαυμάσιο τρόπο γιὰ νὰ διδάξουν οἱ δάσκαλοι ἐκείνων ἀλλὰ καὶ τῶν παλαιοτέρων ἐποχῶν, τὶς ἰσότητες τῶν λόγων, οἱ ὁποῖες ἦταν γνωστὲς ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα, ἐφαρμόζοντάς τες καὶ σὲ προβλήματα τῆς καθημερινῆς ζωῆς, τὰ ὁποῖα ἐνδιέφεραν ἀνθρώπους χωρὶς θεωρητικὴ κατάρτιση, π.χ. τοὺς ἐμπόρους, τοὺς τεχνῖτες κ.ἄ. Σχετικὰ μὲ τὴν ἐξέλιξη τῆς μεθόδου τῶν τριῶν πρὲπει νὰ ποῦμε ὅτι ἀργότερα, σὲ βιβλίο Ἀριθμητικῆς τοῦ 16ου αἰ. χρησιμοποιεῖται ἡ ὀνομασία “ρέουλες”, ἡ ὁποία δηλώνει ἐκτὸς ἀπὸ τὴ μέθοδο τῶν τριῶν, τὴ μέθοδο τῶν πέντε καὶ ἑπτά, δηλαδὴ τὴ σημερινὴ “σύνθετη μέθοδο”.

Ἀριθμητικὲς πρόοδοι.

Ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ χειρογράφου μας ἀσχολεῖται μὲ τὶς προόδους καί, συγκεκριμένα μὲ ὁρισμένες μορφὲς ἀριθμητικῶν προόδων γιὰ τὶς ὁποῖες προτείνει ὁμαδοποιημένες μεθόδους λύσεων. Ὁ ὅρος “ἀριθμητικὴ πρόοδος” ἀνάγεται στὸν Διόφαντο, τὸν ὁποῖο τὸν 13ο αἰ. ἀντέγραψε καὶ σχολίασε ὁ Μάξιμος Πλανούδης. Ὡστόσο, ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ κώδικα 65, στὸ κεφ. 57, 58, δεν ὀνομάζει τὰ ἀθροίσματα τῆς μορφῆς 3+6+…..+30 ἢ 1+3+5+7+……+17, ἢ 3+6+…..+39, κ. τ. λ. “ἀθροίσματα ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου”, καὶ ἡ μέθοδος ποὺ ἀκολουθεῖ γιὰ νὰ τὰ ὑπολογίσει εἶναι διαφορετικὴ γιὰ κάθε ἕνα ἀπὸ αὐτά. Δηλαδὴ γιὰ τὸν ὑπολογισμό τους ἐκτελεῖ τὶς ἑξῆς πράξεις:
α) Γιὰ τὸ 3+6+….+30
30/3= 10, 10/2= 5, 10+1= 11, 11.5= 55, 55.3= 165
β) Γιὰ τὸ 1+3+5+7+……+17
17= 8+9, 9.9= 81
γ) Γιὰ τὸ 3+6+…..+39
39/3= 13, 13= 7+6, 13.7= 91, 91.3= 273
Μὲ τὰ ἀθροίσματα αὐτὰ εἶχε ἀσχοληθεῖ ὁ Alh-Karagī (Alh-Karhī) τὸν 6ον αἰ., καὶ ὁ Πέρσης Ἀβικέννας τὸν 11ον αἰ., ὁ ὁποῖος μάλιστα γιὰ τὸν ὑπολογισμό τους ἐφάρμοζε τὴν ἑξῆς μέθοδο:
1+2= 3= 2+(1/2).2
1+2+3= 6= 2.3
1+2+3+4= 10= 2.4+(1/2).4
1+2+3+4+5= 15= 3.5
1+2+3+4+5+6=21=3.6+(1/2).6
Ὁ Ἀνώνυμος μαθηματικὸς μπορεῖ νὰ γνώριζε τοὺς τύπους ποὺ χρησιμοποιοῦμε σήμερα, δηλαδὴ τὸν τύπο ποὺ δίνει τὸ ἄθροισμα τῶν ν πρώτων ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου, καθὼς καὶ τὸν τύπο ποὺ δίνει τὸν νιοστὸ ὅρο της, δὲν πρότεινε ὅμως τὴν ἐφαρμογή τους, ἴσως διότι ἔτσι θὰ ὁδηγοῦσε τοὺς μαθητὲς σὲ περισσότερες πράξεις. Π.χ. γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τοῦ ἀθροίσματος 1+3+5+……+17, σήμερα ἐφαρμόζοντας τοὺς τύπους
αν= α1+(ν-1)ω καὶ Σν= [(α1+αν)/2].ν, ἔχουμε:
17= 1+(ν-1).2, δηλαδὴ 16= (ν-1).2, καὶ ν= 9
Τὸ ζητούμενο ἄθροισμα θὰ εἶναι: Σν= [(α1+αν)/2].ν, δηλαδὴ (1/2+17/2).9= (18/2).9= 81.
Συγκρίνοντας τὶς δύο μεθόδους διαπιστώνουμε τὴ συντόμευση ποὺ ἔχει κάνει ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας στὶς πράξεις, ἀφοῦ γιὰ τὸ ἴδιο πρόβλημα ἡ λύση σύμφωνα μὲ αὐτὸν εἶναι: 17= 8+9, 9.9= 81.

Προβλήματα πρωτοβαθμίων ἐξισώσεων.

Ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας στὰ κεφ. 61- 94 ἀσχολεῖται μὲ προβλήματα, τὰ ὁποῖα σήμερα ἐπιλύονται εὔκολα μὲ πρωτοβάθμιες ἐξισώσεις, ὁ ἴδιος ὅμως τὰ λύνει μὲ πρακτικὴν ἀριθμητική χρησιμοποιώντας συχνὰ τὴ μέθοδο τῆς “ψευδοῦς ὑπόθεσης”. Καθὼς δὲ σὲ ἑπόμενα κεφάλαια (135- 140) διδάσκει μεθόδους ἐπίλυσης ἐξισώσεων μέχρι καὶ 4ου βαθμοῦ, θὰ μποροῦσε νὰ ἔλυνε τὰ προβλήματα τῶν κεφαλαίων 61- 94 χρησιμοποιώντας ἐξισώσεις, ἐφόσον μὲ τὴ χρήση τῶν ἐξισώσεων οἱ μαθητές του θὰ ἐκτελοῦσαν λιγότερες πράξεις.
Ἡ μέθοδος τῆς “ψευδοῦς ὑπόθεσης” εἶναι βέβαια μία πανάρχαια συνηθισμένη μέθοδος ἐπίλυσης τῶν προβλημάτων αὐτῶν. Σὰν παράδειγμα ἀναφέρω πρόβλημα, στὸ ὁποῖο ζητεῖται μία ποσότητα ὅταν: “Μία ποσότητα καὶ τὸ τέταρτο μέρος της δίνουν μαζὶ 15″. Γιὰ νὰ βροῦμε τὴν ἄγνωστη ποσότητα, δεχόμαστε σὰν λύση τὸν ἀριθμὸ 4, ὁπότε 4+1=5 καὶ ὄχι 15. Ὅπως δὲ τὸ 15 εἶναι τριπλάσιο τοῦ 5 ἔτσι καὶ ἡ ζητουμένη ποσότητα θὰ εἶναι τὸ τριπλάσιο τοῦ 4, δηλαδὴ τὸ 12. Ἡ χρήση τῆς μεθόδου τῆς “ψευδοῦς ὑπόθεσης”, ὁδηγεῖ σὲ ἐσφαλμένο συμπέρασμα, ὅμως ἡ ὀρθὴ λύση ἐπιτυγχάνεται μὲ τὴν ἐφαρμογὴ τῶν ἀναλογιῶν, καὶ στὸ συγκεκριμένο πρόβλημα μὲ τὴν ἐφαρμογὴ τῆς ἀναλογίας 15/5= χ/4, ἡ ὁποία δίνει γιὰ τὸ χ τὴν τιμὴ 12.
Ἡ μέθοδος τῆς “ψευδοῦς ὑπόθεσης” ἦταν ἰδιαίτερα προσφιλὴς στὸν Διόφαντο, ὁ ὁποῖος τὴ χρησιμοποιοῦσε γιὰ τὴν ἐπίλυση ἐξισώσεων α’ βαθμοῦ, τῶν ὁποίων εὕρισκε τὸ ἀποτέλεσμα διὰ συγκρίσεως. Ἡ πανάρχαια αὐτὴ μέθοδος ἡ ὁποία διδασκόταν στὰ σχολεῖα τῆς Εὐρώπης καὶ τῆς Ἀμερικῆς ἕως καὶ τὸν 19ο αἰώνα, φαίνεται ὅτι ἦταν πολὺ διαδεδομένη στὸν Μεσαίωνα, ἀφοῦ ὁ Leonardo Fibonacci τὴν ἀνέφερε στις πραγματεῖες του καὶ τὴ χρησιμοποιοῦσε συχνὰ στὴν ἐπίλυση τῶν προβλημάτων. Ἐπισημαίνω, ὅτι τὰ περισσότερα ἀπὸ τὰ προβλήματα ποὺ ἐπιλύονται μὲ ἐξισώσεις πρώτου βαθμοῦ, διατυπώνονταν ὑπὸ μορφὴν αἰνιγμάτων. Κατὰ τὸν Smith, αὐτὰ εἶχαν προέλευση ἑλληνικὴ καί, μάλιστα πολλὰ ἀπὸ αὐτὰ ἀποδίδονται στὸν Μητρόδωρο. Ὁ Μητρόδωρος θεωρεῖται ὡς ὁ κύριος ἐμπνευστὴς τῶν προβλημάτων, τὰ ὁποῖα ἀνήκουν στὰ ψυχαγωγικὰ μαθηματικά. Αὐτοῦ τοῦ τύπου τὰ προβλήματα δέχθηκαν ὅμως ἐπιδράσεις καὶ ἀπὸ τὴν Ἀνατολή. Ἀργότερα ἀσχολήθηκαν μὲ αὐτὰ καὶ ὁ Rabi ben Ezra (1140), ὁ Jordanus Nemorarius (1225) κ. ἄ.
Ἕνα ἄλλο εἶδος προβλημάτων ποὺ στὸ χειρόγραφο λύνονται μὲ πρακτικὴ ἀριθμητικὴ ἐνῶ θὰ εἶχαν πιὸ σύντομες λύσεις μὲ τὴ χρήση ἐξισώσεων εἶναι τὰ ἀναφερόμενα σὲ κινήσεις πρὸς συνάντηση ἢ ἀπομάκρυνση πλοίων ἢ ἀνθρώπων. Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου, στὸ κεφ. 71, γράφει πὼς δὲν τὰ θεωρεῖ πραγματικὰ προβλήματα, ἀλλὰ μόνον ἕνα εἶδος ἀσκήσεων γιὰ τοὺς μαθητές, ὥστε νὰ μποροῦν νὰ ἀντιμετωπίσουν τὰ μετέπειτα ζητήματα.
Προβλήματα σχετικὰ μὲ κινήσεις πλοίων ἢ ἀνθρώπων ὑπάρχουν στὸ Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι. Τὰ συγκεκριμένα προβλήματα φαίνεται πὼς ἔχουν Κινέζικες ρίζες. Ὁ Smith ἰσχυρίζεται ὅτι πρωτοεμφανίσθηκαν στὴ Δύση καὶ εὑρίσκονται στὸ ἔργο Summa τοῦ Luca Pacioli, ποὺ γράφηκε τὸ 1494 μ.Χ. Ἐὰν ληφθεῖ ὑπόψιν, ὅτι καὶ ἡ Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso, ἡ ὁποία γράφηκε τὸ 1478, περιέχει καὶ αὐτοῦ τοῦ εἴδους τὰ προβλήματα τίθεται ἕνα σοβαρὸ ἐρώτημα γιὰ τὴ σχέση αὐτῶν τῶν τριῶν ἔργων ὣς πρὸς τὸ περιεχόμενό τους, ἀφοῦ ἡ ἀνώνυμη Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso θεωρεῖται ὡς ἡ πρώτη ἐμπορικὴ Ἀριθμητικὴ ἐκείνης τῆς ἐποχῆς, καὶ ἡ Summa τοῦ Pacioli, διδασκόταν μέχρι καὶ τὸν 16ο αἰ. καὶ θεωρεῖτο ὅπως ἔχω ἤδη ἀναφέρει ὡς ἡ πρώτη Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν.

Ρίζες πραγματικῶν ἀριθμῶν.

Τὸ κεφάλαιο τῶν ριζῶν ἀνήκει σὲ ὕλη καθαρὰ ἀλγεβρική, καὶ οἱ λύσεις δίδονται καὶ ἐδῶ μὲ τὴ γνωστὴ μορφὴ τῶν ὁδηγιῶν γιὰ τὴν ἐκτέλεση πράξεων. Διακρίνονται ὅμως σαφῶς ἀπὸ τὰ προηγούμενα κεφάλαια λόγω τῆς θεματολογίας του καὶ τῆς κατάταξής του ἀπὸ τὸν συγγραφέα στὴ Β’ βίβλο. Στὸ προΐμιο τῆς Β βίβλου (κεφ. 117) ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας ἀναφέρει, ὅτι ὑπάρχουν προβλήματα, τὰ ὁποῖα δὲν μποροῦν νὰ ἀντιμετωπιστοῦν μὲ τὶς μεθόδους τῆς Α’ βίβλου. Γράφει ἐπίσης, ὅτι προτίθεται νὰ δώσει “ἐνηλλαγμένες καὶ ἀνόμοιες μεταχειρίσεις”, μὲ τὶς ὁποῖες ἀντιμετωπίζονται τὰ ζητήματα ποὺ ἀκολουθοῦν.
Ἡ ὕλη γενικώτερα τῆς ἄλγεβρας στὸν κώδικα 65 περιλαμβάνει ἐκτὸς ἀπὸ τὶς ρίζες τῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν, τὶς ἐξισώσεις μέχρι καὶ τετάρτου βαθμοῦ, καὶ τὰ συστήματα ἐξισώσεων μέχρι καὶ δευτέρου βαθμοῦ.
Κατὰ τὴν ἐπικρατέστερη ἄποψη, ὅλες οἱ γνώσεις ἄλγέβρας τῶν Εὐρωπαίων κατὰ τὸν 15ο αἰ. προέρχονταν ἀπὸ τὴν Ἄλγεβρα τοῦ alh- Khowârizmî (11ος αἰ.), καὶ ἀπὸ τὸ Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι (13ος αἰ. ).
Ὁ alh-Khowârizmî ἔγραψε δύο βιβλία ἀριθμητικῆς καὶ ἄλγεβρας, τῶν ὁποίων ἡ λατινικὴ μετάφραση περιέχει ρίζες, ἐξισώσεις κ.λπ. Ὅμως ἡ Ἄλγεβρα τοῦ alh-Khowârizmî δίνει τὴν ἐντύπωση, ὅτι ὁ συγγραφέας της ἐπηρρεάστηκε ἀπὸ πηγὲς ἀρχαιότερες τῶν ἑλληνικῶν καὶ τῶν ἰνδικῶν.
Στὴν ἑνότητα τῶν ριζῶν συμπεριλαμβάνονται καὶ τὰ “κανόνια τῶν πολλαπλασιασμῶν”, δηλαδὴ οἱ πίνακες πολλαπλασιασμοῦ τῶν φυσικῶν ἀριθμῶν ἀπὸ 1 ἕως 1000 (κεφ. 127), καθὼς καὶ οἱ ἀντίστοιχοι πίνακες τῶν ριζῶν τους. Πίνακες πολλαπλασιασμοῦ εἶχε περιλάβει στὸ ἔργο του τὸ 1341 μ.Χ. καὶ ὁ Ραβδᾶς. Στὸ χειρόγραφό μας ὅμως, ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας δίνει πίνακες ὑπολογισμοῦ ριζῶν γιὰ ὁρισμένους ἀριθμοὺς ἀπὸ τὸ 1 ἕως τὸ 1000 (κεφ. 239). Συγκεκριμένα δίνει τὰ ἀποτελέσματα τῶν ριζῶν μερικῶν μόνο ἀριθμῶν, ἀλλὰ γιὰ τοὺς περισσότερους ἀριθμοὺς, στὴν στήλη τοῦ ἐξαγομένου τῆς ρίζας τους, ἀφήνει κενό. Σὲ γενικὲς γραμμὲς οἱ Βυζαντινοὶ δὲν χρησιμοποιοῦσαν τέτοιους πίνακες (οὔτε κἂν τοὺς πίνακες ὑπολογισμοῦ τετραγώνων). Ὡστόσο κάποιοι δάσκαλοι, ὅπως ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ κώδικα 65 τοὺς συμπεριελάμβαναν στὴν ὕλη τους, μᾶλλον γιὰ λόγους καθαρὰ παιδαγωγικούς, ἀφοῦ ἔτσι ἔδιναν στοὺς μαθητές τους τὴ δυνατότητα νὰ βρίσκουν ἄμεσα τὶς ἀκέραιες ρίζες κάποιων φυσικῶν ἀριθμῶν.
Τὸ σημεῖο ἀφετηρίας λοιπὸν τοῦ Ἀνώνυμου συγγραφέα γιὰ τὴν ἄλγεβρα εἶναι τὸ κεφάλαιο ὑπολογισμοῦ ριζῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν. Μὲ τὶς ρίζες εἶχαν ἀσχοληθεῖ καὶ ἄλλοι Βυζαντινοὶ λόγιοι ὅπως ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρὸς (1310-1371) καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1300 περίπου).
Πρέπει νὰ τονίσουμε, ὅτι στὸ χειρόγραφο δὲν ὑπάρχουν μαθηματικοὶ τύποι ἀλλ’ ὁδηγίες γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῆς ρίζας. Μολονότι ὁ Διόφαντος εἶχε εἰσαγάγει ἤδη ἀπὸ τὸ 275 μ.Χ. τὸν δικό του συμβολισμό, δὲν γίνεται χρήση του, ἴσως διότι ἡ περιγραφὴ καὶ ὄχι ἡ ἀναγραφὴ τῶν τύπων ἐκείνη τὴν ἐποχὴ γινόταν εὐκολότερα κατανοητή.
Σύμφωνα μὲ τὶς μεθόδους ὑπολογισμοῦ τῆς τετραγωνικῆς καὶ τῆς κυβικῆς ρίζας τοῦ χειρογράφου, βρίσκεται ὅτι ἡ ρίζα τοῦ 30 εἶναι ἴση μὲ 5 5/11 (κεφ. 123).
Σύμφωνα μὲ τὸν Ἀνώνυμο συγγραφέα, γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῆς τετραγωνικῆς ρίζας τοῦ 30 πρέπει νὰ γίνουν οἱ ἑξῆς πράξεις:
5.5= 25 καὶ 6.6= 36. Ἐπειδὴ τὸ μὲν 25 εἶναι μικρότερο κατὰ 5 μονάδες ἀπὸ τὸ 30, καὶ τὸ 36 εἶναι μεγαλύτερο κατὰ 6 μονάδες ἀπὸ τὸ 30, τότε 5+6= 11, ὁπότε ὁ ἀριθμὸς 5 5/11 εἶναι ἡ ρίζα τοῦ 30. Ἐπαληθεύει δὲ τὸν ἰσχυρισμὸ του, πολλαπλασιάζοντας τὸ 5 5/11 μὲ τὸν ἑαυτὸν του, καὶ βρίσκοντας 29 7/9, τὸ ὁποῖο θεωρεῖ καλὴ προσέγγιση τοῦ 30.
Στὴ συνέχεια ὁ συγγραφέας ἀναφέρει ὅτι ὑπάρχει μέθοδος γιὰ ἀκόμη καλύτερες προσεγγίσεις, καὶ ἐξηγεῖ τὶ ἀκριβῶς ἐννοεῖ, ὑπολογίζοντας ἐκ νέου τὴν ρίζα τοῦ 30. Δηλαδὴ μὲ τὸν τρόπο ποὺ χρησιμοποίησε καὶ προηγουμένως, βρῆκε πὼς ἡ ρίζα τοῦ 30 εἶναι 5 5/11 ἢ 5 10/22. Προσθέτει μία μονάδα στὸν ἀριθμητὴ τοῦ 10/22 καὶ ἔχει 5 11/22. Κατόπιν προσθέτει καὶ μία μονάδα στὸν παρανομαστὴ καὶ ἔχει 5 11/23. Πολλαπλασιάζει τὸ 5 11/23 μὲ τὸν ἑαυτὸν του καὶ ἔχει 30 6/529. Ἐπειδὴ δὲ ὑπερέβη τὸ 30, τὸ 5 5/11 τὸ μετατρέπει σὲ 5 20/44, πολλαπλασιάζοντας ἀριθμητὴ καὶ παρανομαστὴ μὲ τὸ 4. Κατόπιν προσθέτει μία μονάδα στὸν ἀριθμητὴ καὶ γράφει πὼς τελικὰ ἡ ρίζα εἶναι 5 21/44, γιατὶ τὸ 5 21/44 πολλαπλασιαζόμενο μὲ τὸν ἑαυτὸν του μᾶς δίνει 30 1/1936 ποὺ εἶναι μία καλύτερη προσέγγιση τοῦ 30, ἀπ’ ὅτι ἦταν τὸ 30 6/529.
Σὰν γενικὴ μεθοδολογία ἀναφέρει πὼς ὅταν ἡ ρίζα εἶναι ἐλλιπὴς πρέπει νὰ προσθέτεις μία μονάδα στὸν ἀριθμητή, ἢ νὰ ἀφαιρεῖς μία μονάδα ἀπὸ τὸν παρανομαστὴ, προκειμένου νὰ ἔχεις καλύτερη προσέγγιση. Ὅταν ἡ ρίζα ὅμως εἶναι ὑπερθετική, κάνεις ἀκριβῶς τὸ ἀντίθετο, δηλαδὴ ἀφαιρεῖς μία μονάδα ἀπὸ τὸν ἀριθμητὴ ἢ προσθέτεις μία μονάδα στὸν παρανομαστή.
Σχετικὰ μὲ αὐτὲς τὶς μεθόδους ὑπολογισμοῦ διαφόρων ριζῶν, μέχρι πρὶν ἀπὸ λίγα χρόνια χρησιμοποιούσαμε μία γενικὴ μεθοδολογία εὕρεσης τετραγωνικῆς ρίζας, ποὺ ἔμοιαζε μὲ τὴν πράξη τῆς διαίρεσης, καὶ βάσει τῆς ὁποίας οἱ μαθητὲς ὑπελόγιζαν ὁποιαδήποτε τετραγωνικὴ ρίζα μὲ προσέγγιση ὅσο ἐπιθυμούσαμε ἱκανοποιητική.
Ἡ προτεινόμενη ἀπὸ τὸν Ἀνώνυμο συγγραφέα μεθοδολογία φαίνεται ἴδια μὲ ἐκείνη τοῦ Omar Khayyam (1048-1131).
Ἂν ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας ὑπελόγιζε τὴν ρίζα τοῦ 30 μὲ τὴ μέθοδο, τὴν ὁποία χρησιμοποιοῦσε ὁ Πλανούδης, καὶ ἡ ὁποία βασιζόταν σὲ τύπο τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα, θὰ εὕρισκε 5+5/10 καὶ ὄχι 5+5/11.
Ἂν ὁ ὑπολογισμὸς τῆς ρίζας τοῦ 30 γινόταν ἀπὸ τὸν Ἀνώνυμο μὲ τὴ μέθοδο τοῦ Ραβδᾶ, θὰ εὕρισκε 5 21/44, καὶ ὄχι 5+5/11.
Σημειωτέον ὅτι, ὅταν στὸ χειρόγραφό μας δίνεται προσεγγιστικῶς ἡ ρίζα τοῦ 30, ὡς δεύτερη προσέγγιση τῆς √30 βρίσκεται ἡ τιμὴ 5 21/44 (κεφ. 123), ἡ ὁποία συμφωνεῖ μὲ ἐκείνη τοῦ Ραβδᾶ, μολονότι οἱ τιμές τους γιὰ τὴν πρώτη προσέγγιση δὲν συμφωνοῦν: Στὸν κώδικα 65 βρίσκεται γιὰ τὴν πρώτη προσσέγγιση ἡ τιμὴ 5 5/11 καὶ ὁ Ραβδᾶς, ὅπως καὶ ὁ Πλανούδης, χρησιμοποιώντας τὸν τύπο τοῦ Ἥρωνα θὰ εὕρισκε 5 5/10.
Ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρὸς γνώριζε τοὺς τύπους, τοὺς ὁποίους ἀναφέραμε. Σύμφωνα μὲ αὐτόν, ἡ διαδικασία τῶν προσεγγίσεων μποροῦσε νὰ συνεχιστεῖ ἐπ’ ἄπειρον, ἀλλὰ ὅπως ἔχουμε ἤδη ἀναφέρει, καὶ στὸ χειρόγραφό μας περιγράφεται τρόπος, μὲ τὸν ὁποῖο ἐπιτυγχάνουμε ἄπειρες διαδοχικὲς προσεγγίσεις.
Αὐτὲς οἱ μέθοδοι ὑπολογισμοῦ τετραγωνικῆς ρίζας, φαίνεται ὅτι ἐγκαταλήφθηκαν μὲ τὴν πάροδο τοῦ χρόνου, καὶ τελικὰ τὸ ἔτος 1494 ὁ Luca Pacioli δίνει κάποια μέθοδο, ἡ ὁποία μοιάζει μὲ αὐτὴν ποὺ ἐδιδάσκετο μέχρι πρὶν λίγα χρόνια στὰ σχολεῖα τῆς Β’ θμιας ἐκπαίδευσης. Ἀργότερα, τὸ 1546 ὁ Cataneo πλησιάζει περισσότερο αὐτὴν τὴ μέθοδο, ἡ ὁποία θυμίζει τὴν πράξη τῆς διαίρεσης, καὶ παρουσίαζε γιὰ τοὺς μαθητὲς ἐξαιρετικὴ δυσκολία στὴν κατανόηση καὶ ἀπομνημόνευση.
Σχετικὰ μὲ τὴ ρίζα 3ης τάξης τὰ πράγματα ἦταν ἐντελῶς διαφορετικά. Δὲν ὑπῆρχε εὔκολη μέθοδος ὑπολογισμοῦ της καὶ ἡ διαδικασία εὕρεσής της θεωρεῖτο ἰδιαίτερα ἐπίπονη. Τὸ 1559 μ.Χ. ὁ Buteo ἐπιτυγχάνει νὰ ὑπολογίζει μόνο τὸ πρῶτο ψηφίο μιᾶς κυβικῆς ρίζας. Ἕναν αἰώνα ἀργότερα, ὁ Lagny πίστευε ὅτι χρειάζεται πολὺς χρόνος γιὰ τὴν εὕρεση τῆς κυβικῆς ρίζας κάποιου μεγάλου ἀριθμοῦ. Παρ’ ὅλα αὐτά, οἱ μαθηματικοὶ εἶχαν στὴ διάθεσή τους τοὺς γενικοὺς τύπους ὑπολογισμοῦ ριζῶν ν τάξεως. Στὸ χειρόγραφο (κεφ. 125) ἀναφέρεται ὅτι δὲν ὑπάρχει εὔκολη μέθοδος ὑπολογισμοῦ κυβικῆς ρίζας κάποιου ἀριθμοῦ, ἐντούτοις πιὸ κάτω στὸ ἴδιο κεφάλαιο οἱ ὑπολογισμοί τῶν ριζῶν τρίτης τάξεως γίνονται ἀπὸ τὸν συγγραφέα μὲ τὴν ἴδια ἄνεση, μὲ τὴν ὁποία ἔχουν ὑπολογισθεῖ καὶ οἱ τετραγωνικὲς ρίζες. Ἡ δὲ μεθοδολογία ποὺ ἀκολουθεῖται εἶναι τῆς ἰδίας μορφῆς μὲ αὐτὴ τῶν τετραγωνικῶν ριζῶν.
Βέβαια μὲ τὶς ρίζες τρίτης τάξεως ἀσχολήθηκαν καὶ ἄλλοι ἐπιστήμονες, ὅπως ὁ Mahävirä (9ος αἰ.) καὶ ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Μάλιστα ὁ Omar Khayyam, ὅπως ἔχουμε ἤδη ἀναφέρει, ἔχει δώσει γενικὸ τύπο εὕρεσης ρίζας τάξεως ν, σύμφωνα μὲ τὸν ὁποῖον θὰ ἔχουμε ἀκριβῶς τὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα μὲ αὐτὸ ποὺ δίνει ἡ μέθοδος τοῦ Φιμπονάτσι καὶ τοῦ Ἥρωνα.

Ἐπίλογος

Στὴν ἐργασία αὐτὴ ἔγινε ἀναφορὰ σὲ λίγα συγκεκριμένα θέματα ἀριθμητικῆς καὶ ἄλγεβρας τὰ ὁποῖα διαπραγματεύεται ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ κώδικα 65. Οἱ μέθοδοί του σχολιάσθηκαν καὶ συγκρίθηκαν μὲ ἄλλες μεθόδους ὄχι μόνο τῆς ἐποχῆς του, ἀλλὰ καὶ προγενεστέρων ἐποχῶν. Ἐξετάστηκε ἀκόμα ἡ ἐξέλιξη αὐτῶν τῶν μεθόδων ἕως τὴν σημερινὴ ἐποχή. Σὲ ὁρισμένες περιπτώσεις διαπιστώθηκε ὅτι ἀγνοοῦμε παντελῶς τοὺς προτεινόμενους ἀπὸ τὸν συγγραφέα τρόπους ἐπίλυσης ὅπως στὴν δοκιμὴ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μὲ τὴ μέθοδο τῶν ὑπολοίπων τῶν διαιρέσεων μὲ τὸν ἀριθμὸ 7. Σὲ ἄλλες περιπτώσεις ὅπως στὸν ὑπολογισμὸ ἀθροισμάτων διαδοχικῶν ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου, παρατηροῦμε ὅτι ἡ ὑπάρχουσα μέθοδος στὸ χειρόγραφο μᾶς ὁδηγεῖ σὲ ἐκτέλεση λιγοτέρων πράξεων ἀπὸ αὐτὲς ποὺ κάνουμε ἐφαρμόζοντας τοὺς σημερινοὺς τύπους ὑπολογισμοῦ τοῦ ν-οστοῦ ὅρου καὶ τοῦ ἀθροίσματος τῶν ν πρώτων ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου.
Τέλος ἐντοπίσθηκαν κοινὰ σημεῖα τοῦ κώδικα 65 (φ. 11r-126r), τῆς Ἀνώνυμης Ἀριθμητικῆς τοῦ Treviso, καὶ τῆς Summa τοῦ Luca Pacioli, καὶ εὑρέθησαν ἔννοιες ποὺ φαίνεται νὰ προϋπῆρχαν στὸ Βυζαντινὸ χειρόγραφό μας, ἐνῶ θεωροῦνται ἀπὸ τοὺς ἐρευνητὲς ὡς μεταγενέστερες. Ἂν δὲ συνεκτιμήσουμε καὶ τὸ γεγονός, ὅτι τὸ περιεχόμενο αὐτῶν τῶν τριῶν ἔργων παρουσιάζει πολλὲς ὁμοιότητες καὶ ὡς πρὸς τὴ διάταξή του, τότε φαίνεται πὼς ὁ Βιενναῖος Ἑλληνικὸς φιλ. κώδικας 65 τοῦ 15ου αἰ. (φ. 11r- 126r) δὲν εἶναι μόνο ἕνα πρόγραμμα διδασκαλίας Μαθηματικῶν τοῦ 15ου αἰ. ποὺ ἀπευθύνεται σὲ μαθητὲς ἀλλὰ καὶ σὲ ἐμπόρους καὶ τεχνίτες διαφόρων εἰδικοτήτων στὸ Βυζάντιο, ὅπως εἴχα θεωρήσει κατὰ τὴ διάρκεια τῆς ἐρευνητικῆς μου μελέτης. Εἶναι κάτι περισσότερο ἀπὸ αὐτό. Εἶναι μᾶλλον ἡ πρώτη Βυζαντινὴ Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια, ἡ ὁποία φαίνεται πὼς γράφηκε πρὶν ἀπὸ τὴ Summa τοῦ Luca Pacioli. Ἔτσι λοιπὸν διεκδικεῖ τὸν τίτλο τῆς πρώτης Ἐγκυκλοπαίδειας Μαθηματικῶν.

Τὸ βιβλίο μου μὲ τίτλο: “Μελέτη τοῦ Μαθηματικοῦ περιεχομένου τοῦ Βιενναίου Ἑλληνικοῦ φιλ. κώδικα 65 τοῦ 15ου αἰ. (φ. 11r-126r), μεταγραφή, εἰσαγωγὴ καὶ μαθηματικὰ σχόλια”, ἐκδόσεις Πανεπιστημίου Ἀθηνῶν (2003), εὑρίσκεται στὸ Ἐθνικὸ Κέντρο Τεκμηρίωσης (ΕΚΤ), ἀλλὰ καὶ στὶς ἑξῆς βιβλιοθῆκες:
1) Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Ἑλλάδος (Ἀρ. ΒΕ: 303703).
2) Δημόσια Ἱστορικὴ Βιβλιοθήκη Δημητσάνας (Ἀ.Τ.: Αα172ψ)
3) Γεννάδειος Βιβλιοθήκη τῆς Ἀμερικανικῆς Σχολῆς Κλασσικῶν Σπουδῶν τῆς Ἀθήνας (Β. Ν.: 000217691).
4) Βιβλιοθήκη τοῦ Πανεπιστημίου Harvard (H. N.: 010116112).
5) Βιβλιοθήκη τοῦ Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν Dumbarton Oaks στὴν Οὐάσινγκτον (QA14.B9 C43 2003).
6) Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Αὐστρίας (Verbund ID- Nr.: AC04777259)
Βιβλιογραφία

Adel Anbouba, L’ Argèbre Al-Badī d’ Al-Karagī, Pub. de l’ Univ. Libanaise, Beyrouth 1964.
Avicenne, Le livre de Science, trad. Moh. Achena et Th. Massé, Les belles lettres, 1986.
Barlaam von Seminara. Logistiké, ed. P. Carelos, Academy of Athens, 1996. Boyer – Uta. C. Merzbach, History of Mathematics, ed. A. Pnevmatikou, Athens, 1997.
Ν. Γεωργακοπούλου, Ἡ παιδεία στὴν Ἀρκαδία ἐπὶ τουρκοκρατίας, ἐκδ. Φύλλα, Τρίπολη 2000.
C. N. Constantinides, Higher Education in Byzantium in the thirteenth and early fourteenth centuries (1204- 1310), Cyprus Research Center, Nicosia Cyprus 1982.
Διοφάντου, Ἀριθμητικά, ἀρχαῖο κείμενο καὶ μετάφραση ἀπὸ τὸν E. Σταμάτη, OEΔB, Ἀθῆναι, 1963.
A. G. Drachmann,– M. S. Mahoney, Hero of Alexandria, DSB, τόμ. VΙ, 310-315. Εὐκλείδη, Γεωμετρία, ἐκδ. E. Σταμάτη, OEΔB, Ἀθῆναι, 1958, τόμ. II.
Euclides Elementa, ed. 1. L.Heiberg, Teubner, Lipsiae, 1884, τόμ. II.
Euclid: The thirteen books of the Elements, translated with introduction by Th. M. Gliozzi., “Cardano, Girolamo”, DSB, τόμ. ΙΙΙ.
Heath, “A History of Greek Mathematics”, τόμ. II, Dover, 1956.
Th. Heath, “A History of Greek Mathematics”, Oxford UΡ, τόμ. Ι (1921).
Η. Ηunger – K.Vogel, Ein Byzantinisches Rechenbuch des 15 Jahrhunderts. 100 Aufgaben aus dem Codex Vindobonensis Phil. Gr. 65, H. Bohlaus, Koln Komm. d. Österr, Acad. d. Wissenschaften in Wien, 1963.
H. Ηunger, Die hochspradilihe Literatur der Byzantiner (Ἑλλ. μετάφρ.: Βυζαντινὴ Λογοτεχνία), τόμ. I-III, εκδ. MIET, Ἀθῆναι, 1994, τόμ III.
S. A. Jayawardene, “Luka Pacioli”, DSB (Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. Coulston Gillispie, Ch. Scribner’s sons, τόμ. Ι-ΧVI, N. York 1970-1980.), τόμ. X.
G. Loria, Ἱστορία τῶν Μαθηματικῶν, ἐκδ. Παπαζήση, Ἀθήνα 1971, τόμ. II.
G. Pachymeris de Michaele et Andronico Palaeologis bonnae impensis, ed. Weberi 1835 (2).
Gay Robins and Sharles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, The British Museum Publications, London 1987.
P. L. Rose, “The Italian Renaissance of Mathematics”, Librairie Droz, Geneva 1975.
D.E.Smith, History of Mathematics, τόμ. I- II, Dover, New York, 1958.
B.L. Van der Waerden, “Science awakening”, μετάφρ. ἐκδ. Πανεπ. Κρήτης, Ἠράκλειο 2000.
J. H. Vincent, À la Géomètrie Pratique des Grecs. Extrait des notices des Manuscrits, τόμ. XIX pt. 2, Imr. Impériale, Paris 1858.
“Ἱστορία τῆς Βυζαντινῆς Αὐτοκρατορίας, (τόμ ΙΙ, κεφ. ΧΧVIII: Κ. Vogel, Ἡ Βυζαντινὴ Ἐπιστήμη). Ἑλλ. μετάφρ. τοῦ: History of the Byzantine Empire, (vol. II, ch. XXVIII: K. Vogel, “The Byzantine Science”), Univ. of Wisconsin Press, Cambridge, 1958.
K. Vogel ( μετάφρ. K. N. Σιδηρόπουλος), “Ἐγγράμματος λογισμὸς καὶ Ἰνδικὰ ψηφία στο Βυζάντιο”, NΕΥΣΙΣ 5, (Φθινόπωρο- Χειμώνας 1996) 80. Τὸ πρωτότυπο ἄρθρο εὑρίσκεται στό: Des XI. Internationalen Byzantinistenkongresses 1958, appl. Fr. Dölger and H. G. Beck, Munich, C. H. Beck’sche Verlagsbuchhandlung 1960.
K. Vogel, “Leonardo Fibonacci”, DSB, τόμ. IV, 604-613.
V. d. Waerden, Géomètrie and Algebra in Ancient Civilizations.
Μαρία Δ. Χάλκου, Ἡ μαθηματικὴ παιδεία καί ἡ ὁρολογία της στό Βυζάντιο σύμφωνα μὲ τόν Ἑλληνικὸ Βιενναῖο φιλ. Κώδικα 65, “Ἑῷα καὶ Ἑσπέρια”, τόμ. V, Ἀθῆναι 2001-2003.
Μαρία Δ. Χάλκου, Προβλήματα πολλαπλασιασμοῦ, διαίρεσης, ἀναλογιῶν καὶ προόδων, σύμφωνα με τον Βιενναῖο Ἑλληνικὸ φιλ. Κώδικα 65, Β’ Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ἀθήνα, 1999.
Περὶ ριζῶν, Γ’ Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ρέθυμνο, 2000.
Μαρία Δ. Χάλκου, Τὰ Μαθηματικὰ στὸ Βυζάντιο, Λογιστική, ἐκδ. Ἐπικαιρότητα, Ἀθήνα 2006.
Μαρία Δ. Χάλκου, Μελέτη τοῦ Μαθηματικοῦ περιεχομένου τοῦ Βιενναίου Ἑλληνικοῦ φιλολογικοῦ κώδικα 65 τοῦ 15ου αἰ, Εἰσαγωγή, Μεταγραφή, Μαθηματικὰ Σχόλια, Πανεπιστήμιο Ἀθηνῶν, Ἀθήνα 2003.
A. P. Youschkevitch, B. A. Rosenfeld, Omar Khayyam, DSB, τόμ. VII.

[1] Τὸ μέρος αὐτὸ τοῦ χειρογράφου ὀνομάσθηκε ἀπὸ ἐμένα «Ἑλληνικὴ Βιενναία Μαθηματικὴ Πραγματεία» (στὰ Ἀγγλικὰ: Tractatus Mathematicus Vindobonensis Graecus).