Μία εύχρηστη και δωρεάν εφαρμογή που μετατρέπει φωτογραφίες που έχουμε βγάλει με το κινητό μας σε pdf είναι και το Office Lens της Microsoft (χωρίς να προσθέτει λογότυπο στα παραγόμενα pdfs).
Παρακολουθείστε το παρακάτω βιντεάκι για να δείτε την διαδικασία :
Η σωστή μαθηματική εκπαίδευση, βασισμένη στην κοινή λογική, εξασκεί τη μεθοδική και κριτική σκέψη και την ευφυΐα, ενισχύει την ικανότητα έκφρασης και διατύπωσης με σαφήνεια και λιτότητα και συμβάλλει στην ικανότητα λήψης ορθών αποφάσεων και γενικότερα στην καλλιέργεια του πνεύματος. Στο ερώτημα «πού χρειάζονται τα Μαθηματικά;» η προφανής απάντηση είναι παντού! Επόμενη ερώτηση «ποια Μαθηματικά χρειάζονται;».
Η απάντηση είναι όλα τα Μαθηματικά, ακόμα και αυτά που θεωρούνται «πολύ θεωρητικά»! Υπάρχουν δομές και λειτουργίες στη φύση και στην κοινωνία οι οποίες ερμηνεύονται ή προτυποποιούνται μόνο με τη βοήθεια κάποιων μέχρι χθες ακραία θεωρητικών μαθηματικών, τα οποία πλέον σήμερα ανήκουν στην οικογένεια των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Γενικότερα είναι δυσδιάκριτη η κατηγοριοποίηση των μαθηματικών σε θεωρητικά και εφαρμοσμένα. Αντικείμενα όπως η Άλγεβρα, ο Λογισμός, η Ανάλυση, η Συναρτησιακή Ανάλυση (Γραμμική και Μη Γραμμική), η Συνδυαστική, η Λογική, η Θεωρία Αριθμών, τα Δυναμικά Συστήματα, οι Διαφορικές Εξισώσεις (Συνήθεις και Μερικές), Θεωρία Πιθανοτήτων, Στοχαστικά Μαθηματικά, Στατιστική αποτελούν εργαλεία που χρησιμοποιούνται εξίσου στα θεωρητικά και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η Θεωρία Αριθμών είναι απαραίτητη στην κλασική κρυπτογραφία, ενώ η Συναρτησιακή Ανάλυση είναι ένα από τα βασικά εργαλεία της Κβαντικής Κρυπτογραφίας. Τα Δυναμικά Συστήματα χρησιμοποιούνται στη μελέτη της δυναμικής πληθυσμών και της εξάπλωσης ιών. Η Μηχανική Μάθηση και η Τεχνητή Νοημοσύνη βασίζονται σε έναν συνδυασμό μεθόδων Βελτιστοποίησης, Υπολογιστικής Στατιστικής και Θεωρίας Πιθανοτήτων. Η Στατιστική είναι στον πυρήνα των Big Data. Η Τοπολογική Θεωρία Κόμβων έχει σημαντικές εφαρμογές στη μελέτη του DNA, των πρωτεϊνών και των πολυμερών. Η Αρμονική Ανάλυση στηρίζει την ανάπτυξη νέας τεχνολογίας σε ανάλυση σημάτων και εικόνων. Ακόμα και η Google ιδρύθηκε βασιζόμενη στον αλγόριθμο Page Rank, ο οποίος εκτιμά την κορυφαία ιδιοτιμή μιας τεράστιας αναπαράστασης όλων των συνδέσμων του κυβερνοχώρου.
Πέρα από την ενασχόληση των πτυχιούχων μαθηματικών στη μαθηματική εκπαίδευση σε όλες τις βαθμίδες και μορφές του εκπαιδευτικού συστήματος, αναφέρουμε εδώ επιγραμματικά κάποια επαγγέλματα στα οποία η παρουσία μαθηματικών είναι εξίσου απαραίτητη και σημαντική. Ορισμένα εξ αυτών αναλύονται πιο διεξοδικά σε άλλα κείμενα της σημερινής παρουσίασης.
Διαχειριστής βάσης δεδομένων. Ενώ οι δεξιότητες υπολογιστών τείνουν να κυριαρχούν στην πλειονότητα αυτής της καριέρας, υπάρχει ανάγκη για μαθηματικές δεξιότητες που βελτιώνουν τη βάση δεδομένων και την καθιστούν πιο αποτελεσματική και χρήσιμη.
Χρηματοοικονομικός αναλυτής. Σε αυτή την εργασία θα αξιολογήσετε την απόδοση των αποθεμάτων, θα αξιολογήσετε τα χρηματοοικονομικά δεδομένα και θα μελετήσετε τις τάσεις των οικονομικών αγορών. Η ικανότητα χρήσης μαθηματικών (όπως διαφορικών εξισώσεων, στατιστικών και στοχαστικών) για την ενίσχυση της μελλοντικής επιτυχίας είναι σημαντική σε αυτή τη δουλειά. Οι περισσότερες εταιρείες απαιτούν, εκτός των μαθηματικών, γνώσεις και στα χρηματοοικονομικά.
Αναλυτής έρευνας αγοράς: Εάν μια εταιρεία πρόκειται να επενδύσει εκατομμύρια ευρώ σε ένα προϊόν ή μια υπηρεσία, πρέπει να γνωρίζει εάν υπάρχει μια κατάλληλη αγορά γι’ αυτό. Η δουλειά των αναλυτών έρευνας αγοράς είναι να κάνουν αυτόν τον προσδιορισμό. Χρησιμοποιώντας προηγμένες μαθηματικές μεθόδους παρακολουθούν την αγορά, προβλέπουν τις τάσεις πωλήσεων και μετρούν την αποτελεσματικότητα των προγραμμάτων μάρκετινγκ.
Επιστήμονας της Έρευνας Πληροφοριών: Η τεχνολογία των υπολογιστών αλλάζει πάντα, και είναι ευθύνη των επιστημόνων της έρευνας πληροφοριών να εφεύρουν και να σχεδιάσουν νέους τρόπους χρήσης αυτών των συστημάτων. Αυτό μπορεί να μη φαίνεται σαν μια μαθηματική καριέρα, αλλά η ικανότητα επίλυσης σύνθετων προβλημάτων, συχνά χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά ως θεμέλιο, είναι κρίσιμη. Αυτή η καριέρα απαιτεί γνώσεις της επιστήμης των υπολογιστών.
Αναλογιστής: Εδώ γίνεται εκτίμηση κινδύνου έναντι του χρηματοοικονομικού κόστους, ώστε οι επιχειρήσεις να λάβουν σωστές αποφάσεις. Οι αναλογιστές βοηθούν τις εταιρείες να κάνουν τις σωστές επιλογές για πολλά ζητήματα, όπως πολιτικές, τιμές, έξοδα κ.ά. Η εργασία περιλαμβάνει τη συλλογή στατιστικών πληροφοριών, την εκτίμηση πιθανότητας και τον έλεγχο ασφαλιστηρίων συμβολαίων. Η βαθύτερη κατανόηση των μαθηματικών είναι απαραίτητη εδώ.
Χρηματοοικονομικός Σύμβουλος: Οι άνθρωποι πρέπει να λαμβάνουν οικονομικές αποφάσεις, αλλά λίγοι καταλαβαίνουν τις λεπτομέρειες των αποθεμάτων, ομολόγων, φόρων, τόκων και άλλων μαθηματικών ζητημάτων που εμπλέκονται στα χρηματοοικονομικά. Μεγάλο μέρος της εργασίας σχετίζεται με τα μαθηματικά, όπως η εκτίμηση των αποδόσεων σε λογαριασμούς συνταξιοδότησης ή μετοχές.
Αναλυτής Επιχειρησιακής Έρευνας: Εκτελεί πολλά καθήκοντα, αλλά συνοψίζεται καλύτερα ως καριέρα επίλυσης προβλημάτων με χρήση μαθηματικών. Σε αυτή τη δουλειά εντοπίζονται τα προβλήματα, δημιουργείται το μαθηματικό πρότυπο, επιλύεται και χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα για τη χάραξη πολιτικής από την ηγεσία της επιχείρησης.➔
Αναλυτής Προϋπολογισμού: Ο αναλυτής προϋπολογισμού εργάζεται για επιχειρήσεις και οργανισμούς προετοιμάζοντας τον προϋπολογισμό, τη δημιουργία οικονομικής έκθεσης και τον προγραμματισμό δαπανών. Κυρίως εργάζονται για τις κυβερνήσεις, αλλά και για εκπαιδευτικές, κρατικές και επαγγελματικές υπηρεσίες.
Λογιστές: Οι λογιστές μπορεί να χρειάζονται ειδική εκπαίδευση και πιστοποιήσεις, αλλά ένα πτυχίο στα μαθηματικά είναι μια εξαιρετική αρχή. Οι λογιστές εξετάζουν τις οικονομικές καταστάσεις, υπολογίζουν τα φορολογικά στοιχεία και οργανώνουν οικονομικά αρχεία. Συχνά εργάζονται για κυβερνήσεις και ασφαλιστικές εταιρείες, οι περισσότεροι όμως αυτοαπασχολούνται.
Ασφαλιστής: Πώς μπορεί μια ασφαλιστική εταιρεία να προσφέρει κάλυψη που είναι κερδοφόρα και βιώσιμη; Όλα καταλήγουν στη μέτρηση της στατιστικής πιθανότητας και του κόστους κάλυψης. Προφανώς, αυτό περιλαμβάνει πολλούς αριθμούς και νούμερα, καθιστώντας την μια εξαιρετική καριέρα για άτομα με μαθηματικές γνώσεις.
Θετικός Επιστήμονας – Μηχανικός. Οι Φυσικοί, Βιολόγοι, Χημικοί, Μηχανικοί πρέπει προφανώς να κατανοήσουν τα μαθηματικά για να κάνουν τη δουλειά τους αποτελεσματικά. Είναι πρακτικά αδύνατο να είσαι, για παράδειγμα, Φυσικός χωρίς να έχεις σημαντικές γνώσεις μαθηματικών. Από τον Isaac Newton έως τον Stephen Hawking, οι Φυσικοί πάντα προσπαθούσαν να βελτιώσουν τα μαθηματικά μοντέλα για να κατανοήσουν τον κόσμο.
Μηχανικός Αεροδιαστημικής: Οι μηχανικοί της αεροδιαστημικής επινοούν νέα συστήματα για να διατηρούν τα αντικείμενα στον αέρα καλύτερα για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Χρησιμοποιώντας δημιουργικά τα μαθηματικά και τη φυσική, επινοούν νέες ατράκτους, πτερύγια, κινητήρες και άλλα στοιχεία για τα ιπτάμενα σκάφη. Επινοούν δοκιμές γι’ αυτές τις εφευρέσεις και καθορίζουν πώς οι δημιουργίες τους θα ενσωματωθούν σε πραγματικές ιπτάμενες μηχανές.
Κρυπτογράφος: Το πεδίο της κρυπτογραφίας έχει αλλάξει πολύ από τις ημέρες του Navajo Code Talkers, αλλά οι βασικές αρχές παραμένουν οι ίδιες. Ο κρυπτογράφος καθορίζει νέους τρόπους κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης δεδομένων. Αρκετή δουλειά ενός κρυπτογράφου είναι καθαρή ανάλυση δεδομένων. Ωστόσο, αυτό το πεδίο απαιτεί επίσης πολλή δημιουργικότητα, γεγονός που το καθιστά ιδανικό για μαθηματικές περιπέτειες.
Σε όλα αυτά τα επαγγέλματα με την πάροδο του χρόνου η συνεχής Επιμόρφωση και οι διαδικασίες Διά Βίου Μάθησης θα είναι πλέον μια καθημερινή πραγματικότητα. Επίσης στο μέλλον είναι αναμενόμενη η σημαντική αύξηση ζήτησης στελεχών από την αγορά εργασίας. Εκείνοι που εργάζονται σε θέσεις που σχετίζονται με τα μαθηματικά πρέπει να λάβουν πολλές πολύπλοκες πληροφορίες, να δημιουργήσουν θεωρίες, να βρίσκουν λύσεις και να παρέχουν καθοδήγηση. Αυτό απαιτεί ενεργές μαθησιακές δεξιότητες, οι οποίες επιτρέπουν να παραμένουν ενήμεροι για τα δεδομένα και τα θέματα που επηρεάζουν τις επιχειρήσεις τους. Δεξιότητες επικοινωνίας: Παρόλο που ο χειρισμός αριθμών αποτελεί τεράστιο μέρος της σταδιοδρομίας των μαθηματικών, σε καθημερινή βάση, οι επαγγελματίες πρέπει να γνωρίζουν πώς να χειρίζονται τους ανθρώπους. Ως αποτέλεσμα, οι λεκτικές και γραπτές επικοινωνιακές δεξιότητες είναι κρίσιμες. Δεξιότητες λήψης αποφάσεων: Οι εργαζόμενοι είναι συχνά υπεύθυνοι για αποφάσεις που επηρεάζουν τους πελάτες τους. Οι άνθρωποι βασίζονται στην εμπειρογνωμοσύνη τους και στην ικανότητά τους να κατανοούν πολύπλοκες πληροφορίες, επομένως χρειάζονται ισχυρές δεξιότητες λήψης αποφάσεων, που τους επιτρέπουν να ενεργούν ως αξιόπιστοι υποστηρικτές για λογαριασμό των πελατών τους. Δεξιότητες ανάλυσης συστημάτων: Αυτή η ικανότητα συνεπάγεται τον υπολογισμό του τρόπου λειτουργίας και αλλαγής των συστημάτων, δεδομένων των συνθηκών του περιβάλλοντός τους. Αυτό μπορεί να βοηθήσει τους επαγγελματίες να κατανοήσουν πώς οι ταχέως μεταβαλλόμενοι κόσμοι της επιστήμης, της τεχνολογίας και της χρηματοδότησης επηρεάζουν το έργο τους. Ομαδικές Ικανότητες: Η σταδιοδρομία των μαθηματικών απαιτεί πραγματικά μεγάλη συνεργασία. Προκειμένου να βρουν λύσεις σε τεχνολογικά και μαθηματικά προβλήματα, οι μαθηματικοί πρέπει να είναι σε θέση να εργαστούν ομαδικά, λαμβάνοντας πάντα υπόψη τη μεγαλύτερη εικόνα και τον τρόπο με τον οποίο η εργασία τους επηρεάζει τους γύρω τους.
Η ανάπτυξη των μαθηματικών σε μια χώρα έχει άμεσο αντίκτυπο στην αύξηση του εθνικού πλούτου. Έρευνα στη Μεγάλη Βρετανία απέδειξε ότι τα Μαθηματικά συνεισέφεραν πάνω από 200 δισεκατομμύρια λίρες στην οικονομία το 2010. Επίσης, πρόσφατες εκθέσεις του EPSRC (Engineering and Physical Sciences Research Council) δείχνουν ότι η έρευνα των Μαθηματικών Επιστημών παράγει ένα εξαιρετικό ποσοστό απόδοσης της επένδυσης. Ένας ρυθμός που ως λόγος οφέλους προς κόστος μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής: Μηχανική 88, Φυσική 31, Χημεία 246 και Μαθηματικές Επιστήμες 588. Η χώρα μας, βγαίνοντας από δύο μεγάλες κρίσεις, οφείλει να λάβει πολύ σοβαρά υπόψη έρευνες αυτής της μορφής.
*ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ, Ομότιμος καθηγητής ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ, πρόεδρος Πρω.Παιδεί.Α
Πηγή : www.kathimerini.gr
Η παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων διδάσκεται στην Γ’ γυμνασίου αλλά είναι απαραίτητη για όλες τις τάξεις του Λυκείου. Σε αυτό το βίντεο σας παρουσιάζω όλες τις περιπτώσεις μαζί με τα κατάλληλα παραδείγματα με τρόπο κατανοητό τόσο για τον απλό μαθητή όσο και για τον συνάδελφο διδάσκοντα.
Το πεδίο ορισμού συνάρτησης προϋποθέτει ένα αρκετά ευρύ υπόβαθρο γνώσεων από τις προηγούμενες τάξεις ξεκινώντας από το Γυμνάσιο και στη συνέχεια εμπεριέχει όλες τις γνώσεις από την Α και Β Λυκείου. Εδώ παρουσιάζονται όλες οι βασικές περιπτώσεις συναρτήσεων που απαιτούν περιορισμούς, συνοδευόμενες από κατάλληλα παραδείγματα.
Μια πολύ ενδιαφέρουσα σελίδα στο facebook, που σκοπό έχει να βοηθήσει τους υποψήφιους για πανελλαδικές εξετάσεις, με ανταλλαγή απόψεων, ασκήσεων, λύσεων και πολλών άλλων … αλλά και τους συναδέλφους :
Μαθηματικά για υποψήφιους
(Μπαρακλιάνος-Παπανδρέου)
Υπάρχουν πολλά άλυτα προβλήματα στα Μαθηματικά. Άλλα είναι απλώς δύσκολα,δηλαδή δεν έχει βρεθεί ακόμη η σωστή προσέγγιση που θα τα επιλύσει, άλλα είναι πιθανώς άλυτα εκ φύσεως, άλλα είναι άλυτα στα πλαίσια μιας συγκεκριμένης αντιμετώπισης που υπακούει υποχρεωτικά σε κάποια προδιαγραφή-νόρμα επίλυσης. Υπάρχει ένα τέτοιο πρόβλημα, που συν των άλλων έχει και θεϊκή προέλευση!
Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, το έθεσε ο ίδιος(σχεδόν..) ο εκηβόλος Φοίβος-Απόλλων στους κατοίκους της Δήλου, οι οποίοι ανήμποροι οι τάλανες να το αντιμετωπίσουν κατέφυγαν στον σοφό Πλάτωνα, μέσω του μαντείου των Δελφών.
Ο ημιμύθος λοιπόν λέει ότι γύρω στο 430 π.Χ μια φονική επιδημία μάστιζε το κυκλαδίτικο ιερό νησί και οι Δήλιοι κατέφυγαν στο μαντείο για να πάρουν έναν σωτήριο χρησμό-οδηγία. Το μαντείο αποφάνθηκε ότι για να τελειώσει το μαρτύριό τους έπρεπε να δείξουν λίγη περισσότερη γενναιοδωρία προς τον Απόλλωνα, αυξάνοντας το μέγεθος ενός κυβικού βωμού που του είχαν ήδη αφιερώσει, και μάλιστα όχι αυθαίρετα, αλλά έπρεπε να τον διπλασιάσουν ακριβώς!
Υπακούοντας στον χρησμό, όντως διπλασίασαν την ακμή του κύβου και έφτιαξαν έναν μεγαλύτερο βωμό, αποδεικνύοντας την ευσέβειά τους αλλά και την μαθηματική ασχετοσύνη τους! Και τα μικρά παιδιά ,στις μέρες μας βέβαια, ξέρουν ότι αν διπλασιαστεί η αρχική ακμή, έστω α, παίρνουμε έναν, όχι διπλάσιο, αλλά οκταπλάσιο κύβο.
(2α)3=8α3=8⋅V αρχικό.
Ο Απόλλων ήταν δυσαρεστημένος. Η ασθένεια συνέχισε να μαστίζει το νησί. Οι κάτοικοι, μαθημένοι πια στους διφορούμενους χρησμούς, κατέφυγαν για τη λύση του προβλήματός τους στον ξακουστό σοφό (και γεωμέτρη) Πλάτωνα τον Αθηναίο. Αυτός τους αποπήρε,όπως μάλλον τούς άξιζε! Αυτό που είχε ζητήσει το μαντείο δεν ήταν διπλάσια ακμή,αλλά διπλάσιος όγκος.
Συγκεκριμένα , έναν βωμό που η νέα του ακμή έστω α’, και ο νέος όγκος του ,έστω V’, θα ικανοποιούσαν τη σχέση: V′=α′3=2V=2⋅α3.
Ή ισοδύναμα: α′=2–√3⋅α
Αυτό λοιπόν που απαιτούσε ο θεός ήταν ένας βωμός με ακμή “τρίτη ρίζα του 2” φορές μεγαλύτερη.
Και ο σοφός Πλάτων κατέληξε ότι αυτό που ήθελε -κατά βάθος- ο θεός, εκφρασμένο μέσω του μαντείου, δεν ήταν βωμοί και μεγαλεία ,αλλά να ασχοληθούν λίγο περισσότερο με τα Μαθηματικά οι Δήλιοι , καθότι οι γεωμετρικές τους γνώσεις ήταν μάλλον θλιβερές.
Γνωρίζοντας λοιπόν το πρόβλημα,το οποίο όπως είδαμε ανάγεται στην γεωμετρική κατασκευή της τρίτης ρίζας του δύο, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο Απόλλωνας φάνηκε τελικά μεγαλόψυχος και απάλλαξε τους κατοίκους από τη μάστιγα, ή, κάπως πιο ρεαλιστικά, ότι η ασθένεια τελικά θεραπεύτηκε από μόνη της , καθώς το γνωστό από τότε ως “Δήλιον πρόβλημα” δεν έχει λύση , όπως απέδειξε, μόλις το 1837, ο Pierre Wantzel.
To Δήλιο πρόβλημα, ο διπλασιασμός του κύβου, απαιτεί χρήση μόνο “Κανόνα και διαβήτη” σύμφωνα με τα αυστηρά γεωμετρικά πρότυπα των Ελλήνων. Κι όταν λέμε “κανόνα”, δεν εννοούμε υποδεκάμετρο/χάρακα με σημάδια. Και επιπροσθέτως ,ο αριθμός των διακριτών βημάτων πρέπει να είναι πεπερασμένος. Η ελληνική νόρμα, εκφρασμένη μέσα από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, φαντάζει και είναι δύστροπη, αλλά έχει τη λογική της. Το να μην επιτρέπεται να χαραχτούν σημάδια στον κανόνα, έχει την έννοια του να μην μπορεί να προκαθοριστεί μια “μονάδα μέτρησης” πάνω στον κανόνα. Και αν αυτό ακούγεται κάπως φιλοσοφικό και αφηρημένο, ας σκεφτούμε τη σχετικότητα των “μονάδων μέτρησης” και των συστημάτων τους διαχρονικά.
Ο περιορισμός πάλι για πεπερασμένο αριθμό βημάτων είναι πιο “γήινος” και πηγάζει μάλλον από τον σεβασμό και την προσοχή ,αν όχι δέος, με τον οποίον αντιμετώπιζαν την έννοια του απείρου, και οπωσδήποτε από την κοινή λογική!
Ποιος εχέφρων άνθρωπος (και αυτοί οι “Παλαιοί” ήταν αρκούντως εχέφρονες) θα εκτελέσει άπειρες ας πούμε διχοτομήσεις μιας γωνίας; Για να θυμηθούμε έτσι κι άλλο ένα διάσημο άλυτο πρόβλημα της αρχαιότητας, την τριχοτόμηση της γωνίας. Αν ας πούμε διχοτομήσουμε (είναι πολύ εύκολο με κανόνα και διαβήτη) μία γωνία α, και συνεχίσουμε τις διχοτομήσεις “επ’ άπειρον”, παίρνουμε διαδοχικά γωνίες μέτρου α/2 , α/4, α/8,…, α/2^ν,… κι αν αθροίσουμε την ακολουθία:
α/4 + α/16 + α/64 +…+α/4^ν = α/3 … κι έχουμε τριχοτομήσει τη γωνία, μόνο που έχουμε καταστρατηγήσει τον κανόνα των πεπερασμένων βημάτων, και την κοινή λογική.
Delian Problem Or Doubling Cube Equivalence Among Various Parts Of Circle From Atlantic Codex Painting by Leonardo da Vinci
Επανερχόμενοι λοιπόν στο “Δήλιο πρόβλημα”, υπάρχουν πολλοί έξυπνοι τρόποι να λυθεί γεωμετρικά αλλά κανείς που να πληρεί την αυστηρή ελληνική νόρμα. Ασχολήθηκαν μεγάλα ονόματα των Μαθηματικών με το πρόβλημα.
Ο Αρχύτας (428-347 π.Χ), ο Μέναιχμος (380-320 π.Χ), ο Φίλων ο Βυζάντιος (280-220 π.Χ) , ο Νικομήδης (280-210 π.Χ), ο Διοκλής (240-180 π.Χ) και ο Ήρων ο Αλεξανδρινός (10-75 μ.Χ) , δώσανε λύσεις του προβλήματος. Όλες όμως αυτές οι λύσεις κάνουν χρήση κανόνα και διαβήτη χωρίς να τηρούνται οι απαραίτητοι περιορισμοί.
Ακόμη και μια ευφυής λύση,που αποδίδεται στον “πολύ” Ισαάκ Νεύτωνα, και φαίνεται πιο κάτω,απαιτεί να σημειωθεί η ακμή του κύβου πάνω στο χάρακα.
Στο σημείο αυτό, θα μπλέξουμε στην ιστορία μας και τον σπουδαίο Πέρση μαθηματικό (και με πολλές άλλες ιδιότητες ταυτόχρονα) και σοφό Ομάρ Καγιάμ.
Ένα από τα γνωστότερα μαθηματικά επιτεύγματα του Καγιάμ ήταν η εύρεση γεωμετρικών κατασκευών για τις ρίζες μιας κυβικής εξίσωσης, μέσω των τομών δύο κωνικών.
Η προσέγγιση του Καγιάμ είχε χρησιμοποιηθεί νωρίτερα από τον Μέναιχμο κυρίως, για την επίλυση συγκεκριμένων ειδικών περιπτώσεων κυβικών εξισώσεων και σε σχέση ακριβώς με τον διπλασιασμό του κύβου. Ο Καγιάμ ήταν ο πρώτος που γενίκευσε την γεωμετρική μέθοδο του Μέναιχμου ώστε να καλύψει ουσιαστικά όλες τις κυβικές. Μολαταύτα, με αρκετές “μεμονωμένες περιπτώσεις/αντιμετωπίσεις”, ώστε να αποφύγει τους αρνητικούς αριθμούς.
Αναφέρεται σε κάποιες σοβαρές πηγές και μελέτες , και είναι μάλλον γενικά αποδεκτό, πως ο Καγιάμ πίστευε λανθασμένα ότι η κυβική εξίσωση δεν μπορούσε να επιλυθεί αλγεβρικά, αλλά θεωρώ πως πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί στο να κάνουμε υποθέσεις σχετικά με το ότι μπορεί να αναφερόταν σε αυτό που συνιστά την σύγχρονη ιδέα μιας “αλγεβρικής” λύσης.
Μια από τις πιο διάσημες σχετικές ρήσεις του είναι:
“..Δεν πρέπει να δίνουμε μεγάλη σημασία στο γεγονός πως Άλγεβρα και Γεωμετρία είναι διαφορετικές στην εμφάνισή τους. Η Άλγεβρα είναι γεωμετρικά γεγονότα που έχουν αποδειχτεί!”
Αυτή η ρήση συνήθως “τεκμηριώνει” το πώς ο Ομάρ Καγιάμ συνέβαλλε στο “πάντρεμα-συμφιλίωση” των δύο τομέων, της Γεωμετρίας και της Άλγεβρας, που υπήρξαν τόσο αυστηρά διαχωρισμένοι από τους Έλληνες, και τον αναγάγει σε πρόδρομο του Ντεκάρτ…
Υπάρχει ασφαλώς κάποια αλήθεια σ’αυτή τη θεώρηση. Ο Καγιάμ ήταν σίγουρα πιο δεκτικός και “έτοιμος” από τους Έλληνες, στο να αντιμετωπίζει τα γεωμετρικά του τμήματα σαν “αριθμητικές ποσότητες” πιο πολύ,παρά σαν αυστηρά “χωρικές ,αφηρημένες οντότητες”. Και μάλιστα ανέπτυξε μια αριθμητική-υπολογιστική (“ευριστική” θα την λέγαμε ίσως σήμερα) εκδοχή της Ευκλείδειας (του Εύδοξου) θεωρίας της αναλογικότητας, η οποία προσεγγίζει πολύ τον ορισμό του Ντέντεκιντ (Dedekind) για τους άρρητους αριθμούς!
Ο Καγιάμ όμως, είπε αποδεδειγμένα και κάτι άλλο, πολύ σημαντικό για το θέμα μας.
“..Αυτή (η εξίσωση) δεν μπορεί να λυθεί με επιπεδομετρία , καθώς έχει έναν κύβο μέσα της. Για την επίλυση ,χρειαζόμαστε κωνικές τομές!”
Στο χωρίο του αυτό ακριβώς, μπορούμε να πιστώσουμε στον Καγιάμ την πετυχημένη πρόβλεψη περί της μη-επιλυσιμότητας του Δήλιου προβλήματος με “κανόνα και διαβήτη”, αλλά πιστεύω ότι ρίχνει και αποσαφηνιστικό φως στο υποτιθέμενα λανθασμένο πιστεύω του πως “η κυβική δεν μπορεί να λυθεί αλγεβρικά”.
Ας θυμηθούμε ότι γι’αυτόν “Η Άλγεβρα είναι γεωμετρία που έχει ΑΠΟΔΕΙΧΤΕΙ” και “Γεωμετρική Απόδειξη” για τον σίγουρα επηρεασμένο έντονα από τις αυστηρές ελληνικές νόρμες Πέρση σοφό, συνιστούσε ο “κανόνας και ο διαβήτης” . Αυτές ήταν οι “έγκυρες” αποδείξεις. Και τα τρία διάσημα αρχαία “άλυτα προβλήματα”, ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, ήταν ήδη γνωστό στην εποχή του ότι επιλύονταν με διάφορες γεωμετρικές μεθόδους, οι οποίες όμως ήταν “εκτός προδιαγραφών” και γι’αυτό θεωρούνταν -ως λογικές κατασκευές- κατώτερες. Οι ‘Ελληνες τις αποκαλούσαν “Μηχανικές κατασκευές” ,για να τις ξεχωρίσουν από τις αυστηρά Ευκλείδειες κατασκευές.
Έτσι, σε αυτά τα πλαίσια, μοιάζει μάλλον φυσική η δήλωση του Καγιάμ ,δεδομένης της θεώρησης σαν “έγκυρης” μόνο μιας θεωρητικής απόδειξης. Μιας αλήθειας που βασίζεται στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα (δηλαδή με “κανόνα και διαβήτη”). Με αυτή την ερμηνεία (και έχοντας πάντα στο μυαλό μας το “αξίωμά” του: “Άλγεβρα = αποδεδειγμένη Γεωμετρία) η περίφημη “λανθασμένη” δήλωσή του για την μη- επιλυσιμότητα των κυβικών είναι απολύτως σωστή, και κατ’ ουσίαν ήταν μια άλλης μορφής διατύπωση για το ότι το Δήλιο πρόβλημα δεν μπορούσε να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.
Αλλά ας εμβαθύνουμε και λίγο στο “Γιατί;”, σε σχέση πάντα με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.
Οι αριθμοί που μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη ανήκουν σε διαδοχικά σύνολα (με σύγχρονη αλγεβρική ορολογία θα μιλούσαμε για “επεκτάσεις σωμάτων”), της μορφής:K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ K4 ⊂…Kν ⊂…όπου τα στοιχεία του Κο είναι της μορφής α(ο) + β(ο)−−−−√ του Κ1, της μορφής α1+β1−−√, με α1, β1 να ανήκουν στο Κ0 και ούτω καθεξής. Σε κάθε σύνολο Κν δηλαδή, ανήκουν τα στοιχεία της μορφής: αν+βν−−√, με αν και βν να ανήκουν στο Κ(ν-1).Σε καθένα από τα σώματα αυτά ,στα οποία ανήκουν οι κατασκευάσιμοι αριθμοί, περιέχονται λοιπόν γραμμικοί συνδυασμοί τετραγωνικών ριζών των στοιχείων των προηγούμενων σωμάτων, που στην ουσία περιέχουν ρίζες τέταρτης, όγδοης, κ.ο.κ τάξης. Οι κυβικές ρίζες λοιπόν, ΔΕΝ περιέχονται σε αυτά τα επεκτάσιμα σύνολα.
Το μαντείο ζήτησε έναν βωμό που δεν ήταν κατασκευάσιμος, γιατί δεν απαιτεί ούτε τετραγωνική, ούτε τέταρτη, ούτε γενικά καμία ρίζα άρτιας τάξης. Έτσι, ο αριθμός αυτός δεν βρίσκεται σε κανένα από τα διαδοχικά σώματα της μορφής Κν. Ο Απόλλωνας, μάλλον δεν το γνώριζε αυτό.
Ιστορίες βασισμένες σε μαρτυρίες του γράφοντος και συναδέλφων αυτού.
Οι ιστορίες που θα ακούσετε παρακάτω είναι απίστευτες και όμως αληθινές. Είναι βασισμένες σε μαρτυρίες του γράφοντος και συναδέλφων αυτού.
Στην τηλεκπαίδευση ο εκπαιδευτικός αντιλαμβάνεται τα όσα διαδραματίζονται στο μάθημα με υποθέσεις και πιθανότητες και όχι με τη σιγουριά της δια ζώσης επικοινωνίας. Αυτή η ψηφιακή ομίχλη ανάμεσα στον εκπαιδευτικό και τους μαθητές ενίοτε προκαλεί ευτράπελα. Μην σας ξεγελάσει ο ανάλαφρος τρόπος περιγραφής του κειμένου. Η αλήθεια είναι ότι όντως εκ των υστέρων πολλά από αυτά αποκτούν μια ελαφρότητα. Την ώρα όμως που βιώνονται είναι ιδιαίτερα δύσκολα και σε βάζουν σε δοκιμασία.
Ευτράπελες ιστορίες
-Πάντως το νιώθεις πως όταν κάνεις μάθημα κάποιοι γονείς, παππούδες και γιαγιάδες έχουν πιάσει θέση και παρακολουθούν. Έτσι εξηγούνται τα πεσμένα νούμερα φέτος στα πρωινάδικα. Προσωπικά εμένα δεν με πειράζει. Τα καημένα τα παιδιά σκέφτομαι που έχουν συμμαθητές τη μαμά, το μπαμπά, τον παππού και τη γιαγιά.
–Μαθητής «φάντασμα» κάνει παράπονα γιατί πήρε χαμηλό βαθμό στο τετράμηνο. Είναι η πρώτη φορά στην ιστορία που καταγράφεται επικοινωνία φαντάσματος με τον κόσμο των ζωντανών.
-Κουράστηκες να βλέπεις τα ίδια 4 χεράκια σηκωμένα στο μάθημα. Και αποφασίζεις να εφαρμόσεις το «Όταν δεν πάει ο Μωάμεθ στο βουνό, πάει το βουνό στο Μωάμεθ». Ρωτάς έναν έναν τους μαθητές με κατάλογο. «Γιωργάκη, μπορείς να μας πεις τον 1ο Νόμο του Νεύτωνα;» Μούγκα ο Γιωργάκης. Ξανακάνεις την ερώτηση με πιο επιτακτικό ύφος αυτή τη φορά. Εμφανίζεται μήνυμα στο chat: «Κύριε μιλάω, δεν με ακούτε;». Απαντάς: «Όχι δεν σε ακούω, απάντησέ μου στο chat». Ξαφνικά το όνομα του Γιωργάκη εξαφανίζεται από τον πίνακα. Μετά από λίγο εμφανίζεται στο lobby. Τον αποδέχεσαι στην ψηφιακή τάξη και τον ρωτάς: «Τι έγινε Γιωργάκη;» Απαντά: «Με πέταξε έξω το σύστημα κύριε». Του λες: « Α ωραία, τώρα που σε ακούμε πες μας τον 1ο Νόμο του Νεύτωνα». Το όνομα του Γιωργάκη ξαφνικά εξαφανίζεται πάλι από τον πίνακα. Δύο τινά συμβαίνουν: είτε ο Γιωργάκης είναι θύμα του συστήματος είτε το σύστημα είναι ο ίδιος
-Ποια εξάρτηση από το διαδίκτυο; Αυτή δεν είναι τίποτα μπροστά στην εξάρτηση από την παρακολούθηση σειρών από τις γνωστές πλατφόρμες οικιακής θέασης. Οι μαθητές αντί να βγάζουν κεφάλαια, βγάζουν σεζόν.
-Πάντως έχει και τα καλά του το webex. Το πιο καλό από όλα είναι πως σε κάνει να νιώθεις παντοδύναμος, σου δίνει αέρα κυρίαρχου. Κάνεις admit σε όποιον θέλεις, κάνεις expel σε όποιον θέλεις και κανείς δεν μπορεί να σου πει κουβέντα αφού εσύ είσαι ο Host. Τις προάλλες ένα από τα ονόματα που εμφανίστηκε στο lobby ήταν «Νίκη Κεραμέως». «Ρε μπας και είναι αλήθεια;» αναρωτήθηκα. Κυκλοφορεί και μία φήμη, εδώ που τα λέμε, πως έχει κάνει κάποιες παρόμοιες επιθεωρήσεις σε άλλους. Τελικά δεν την έκανα admit και ας είχα και μια μικρή ανησυχία μήπως μου κάνει εκείνη expel από την εκπαίδευση.
-Υπάρχει και ο λομπίστας μαθητής. Βγαίνει και ξαναμπαίνει καμία 20σαριά φορές με αποτέλεσμα την περισσότερη ώρα να την περνάει περιμένοντας στο lobby.
-Ενώ στο δια ζώσης μάθημα μία καλημέρα αρκούσε για να χαιρετίσω όλο το τμήμα , στο webex οι καλημέρες είναι ατομικές. Κάθε παιδί μου λέει μία καλημέρα και η καλή μου ανατροφή επιβάλει να λάβει μία πίσω. Γιατί όμως τέτοια θέρμη από τα παιδιά να λένε καλημέρα; Για κάποια είναι ένα τσεκ πως όλα δουλεύουν ρολόι , είναι σαν να ρωτάνε: «ναι με ακούτε»; Για κάποια άλλα το καλημέρα είναι η μόνη πιστοποίηση ύπαρξης στο μάθημα, είναι σαν να σου λένε: «μην κοιτάτε που δεν συμμετέχω, είμαι εδώ και παρακολουθώ». Το κακό είναι πως εγώ ακούγομαι σαν να έχει κολλήσει η βελόνα. Στο φινάλε με πόσα διαφορετικά ηχοχρώματα και τόνους φωνής μπορεί να πει κάποιος «καλημέρα»;
–Στολή εργασίας εκπαιδευτικού κατά τη διάρκεια της τηλεκπαίδευσης αποτελούμενη από 3 διαφορετικά μέρη που όμως δένουν αρμονικά μεταξύ τους και συνθέτουν ένα μοναδικό αποτέλεσμα:
1) από τη μέση και πάνω υπηρεσιακό ντύσιμο σαν αυτό που θα είχαν και στο σχολείο,
2) από τη μέση και κάτω χαλαρό ντύσιμο με πιτζάμα, φόρμα ή σορτσάκι και
3) υπόδημα παντόφλα ή σαγιονάρα.
-Άλλο να μη χάνει η βρύση και άλλο να κρατιέται κλειστή. Εντάξει σχολική διαρροή δεν είχαμε με την τηλεκπαίδευση. Απλά σε πολλούς μαθητές η βρύση δεν είχε κανονική ροή είτε γιατί οι ίδιοι την κράταγαν κλειστή ή μισόκλειστη, είτε γιατί οι εκπαιδευτικοί δεν είχαν πρόσβαση σε αυτή για να μπορούν να την ανοίγουν όπως εν δυνάμει θα μπορούσαν στο δια ζώσης.
–Μαθήτρια εμφανίζεται στο μάθημα 15 λεπτά καθυστερημένη. «Γιατί άργησες»; τη ρωτάω «Είχα πρόβλημα με το σύστημα» μου απαντά με αγουροξυπνημένη, σχεδόν ναρκωμένη, φωνή. «Ποιο σύστημα το βιολογικό, που έχεις κάνει τη νύχτα μέρα»; σκέφτηκα να της πω. Τελικά δεν της είπα τίποτα και την άφησα να αλλάξει πλευρό αφού τίποτα άλλο δεν ήλπιζα να αλλάξει.
-Σηκώστε καλέ χεράκι, σας παρακαλώ. Ελεήστε το φτωχό εκπαιδευτικό που αισθάνεται εδώ και ώρα πως παραμιλάει και πως του επιστρέφει η φωνή του. Μήπως μια λύση θα ήταν το webex να άνοιγε λίγο τα δάχτυλα στο ψηφιακό χεράκι, να έφερνε λίγο σε μούντζα; Τότε μπορεί να είχαμε αύξηση της συμμετοχής.
-Ξεκίνησε πρόσφατα η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών για την τηλεκπαίδευση. Επίσης θα δοθεί κουπόνι 200 ευρώ στους οικονομικά ευάλωτους μαθητές για αγορά υπολογιστή. Ένα χρόνο και, μετά την έναρξη της τηλεκπαίδευσης. Κάλλιο αργά παρά ποτέ; Δε νομίζω. Κάλλιο ποτέ παρά αργά.
-Ερωτήσεις που στριμώχνουν κάθε εκπαιδευτικό, που τον κάνουν να χάνει τα λόγια του: «Πότε ανοίγουν τα Γυμνάσια κύριε; Θα γράψουμε εξετάσεις φέτος κύριε»; Και τα άτιμα έτσι «κύριο» όπως με προσφωνούν δεν μπορώ και να τους απαντήσω: «Κύριος οίδε πότε».
-Μαθητής από αυτούς που τους λέμε «φαντάσματα» ξαφνικά σηκώνει χεράκι. Ορμάς εσύ και του δίνεις το λόγο τρέμοντας μην το κατεβάσει και ακούς: «κύριε μπορώ να πάω τουαλέτα;» Προς στιγμήν σκέφτηκα να του πω «όχι», να δω τι θα γίνει. Του είπα: «φυσικά, το ρωτάς;». Δεν ενημερώθηκα ποτέ πότε γύρισε από την τουαλέτα.
-Ίσες ευκαιρίες μάθησης και τηλεκπαίδευση. Το ακούσαμε και αυτό από επίσημα χείλη. Με τόση ανισότητα τεχνολογικού εξοπλισμού και πρόσβασης δικτύου μεταξύ των μαθητών; Το άλλο με τον Τοτό το ξέρετε;
-Πάντως η e-αξιολόγηση με έναν μοναδικό τρόπο βελτιώνει τα μάλα τις επιδόσεις των μαθητών. Σε όσα τμήματα έβαλα τηλε-διαγωνίσματα οι βαθμοί εκτινάχθηκαν προς τα πάνω. Και αποδείχθηκε πως η ομαδοσυνεργατική μέθοδος είναι με διαφορά η πιο αποτελεσματική.
-Στις τηλεδιασκέψεις αναδείχθηκαν οι παρακάτω ειδικές κατηγορίες μαθητών:
α) οι αόμματοι: σε ακούν αλλά δεν σε βλέπουν
β) οι κωφοί: σε βλέπουν αλλά δεν σε ακούν
γ) οι άλαλοι σε βλέπουν, σε ακούν αλλά δεν μιλούν
δ) οι αόρατοι: σε βλέπουν, σε ακούν, τους ακούς αλλά δεν τους βλέπεις
ε) οι chaters: απαντούν μόνο μέσω chat
στ) τα φαντάσματα: μπορούν να σε δουν και να σε ακούσουν, μπορείς να τους δεις και να τους ακούσεις, απλά δεν είναι εκεί (πνευματικά ή και φυσικά) για να το κάνουν.
-Μαθητής παίρνει το λόγο, χωρίς χεράκι, και μου λέει: «κολλάτε κύριε». Του απαντώ με ύφος ανωτερότητας: «μήπως κολλάς εσύ και όχι εγώ»; Μου απαντάει: «όχι εσείς κολλάτε κύριε». Εμ τα ήθελε το μυξιάρικο οπότε του ρίχνω τη χαριστική βολή: «η δική μου σύνδεση είναι 200 Μbps, η δική σου»; Κάτι σαν 24 μου φάνηκε πως νιαούρισε το γατάκι. Σκέφτηκα να του πω: «για πες μου τώρα ποιος κολλάει» αλλά έδειξα ανωτερότητα, που έτσι και αλλιώς είχα, και του είπα απλά: «βγες και ξαναμπές». Υπάκουσε αποδεχόμενος την ήττα του.
-Μικρός με το όνομα Μάκης έχει ξεχάσει το μικρόφωνό του ανοιχτό. Ακούγεται η μαμά του να του λέει: «τι σουπίτσα έφτιαξα εγώ για το αγοράκι μου; φα’ τη τώρα πριν κρυώσει». Το πάτημά μου στο mute του Μάκη ήταν αστραπιαίο, να προλάβω πριν αρχίσει το ρούφηγμα της σούπας. Ουφ πρόλαβα στο τσακ. Αλλά ένας άλλος μικρός που μάλλον ζήλεψε το Μάκη πετάχτηκε και ρώτησε ειρωνικά: «ωραία η σουπίτσα Μάκη»; Το μπάχαλο που τόσο προσπάθησα να αποφύγω τελικά ήρθε οπότε… mute σε όλους. Αυτό το mute τι καλά θα ήτανε να το είχαμε και στο δια ζώσης μάθημα.
-Αλλά το καλύτερο το άφησα για το τέλος. Ποτέ μου δεν περίμενα πως τα ίδια αυτά παιδιά που πέταγαν τη σκούφια τους για να μην έρχονται σχολείο θα έφταναν στο σημείο να με ρωτούσαν με τόση λαχτάρα για το πότε θα ανοίξει. Καλά λένε πως μόνο όταν στερείσαι κάτι καταλαβαίνεις την αξία του. Αυτό βέβαια δεν είναι ευτράπελο μόνο. Είναι ταυτόχρονα ελπιδοφόρο μα και σκληρό.
Πηγή : www.alfavita.gr
Χρησιμοποιούμε cookies για να σας προσφέρουμε την καλύτερη δυνατή εμπειρία στη σελίδα μας. Εάν συνεχίσετε να χρησιμοποιείτε τη σελίδα, θα υποθέσουμε πως είστε ικανοποιημένοι με αυτό.ΕντάξειΔιαβάστε περισσότεραΜη αποδοχή
Μαθηματικά για υποψήφιους
(Μπαρακλιάνος-Παπανδρέου)
ESOS
Πρόσφατα σχόλια