- Ο διαιρετέος είναι ο αριθμός που θα διαιρεθεί.
- Ο διαιρέτης είναι ο αριθμός που δείχνει σε πόσα ίσα μέρη θα χωριστεί ο διαιρετέος.
- Το πηλίκο (το αποτέλεσμα της διαίρεσης) δείχνει πόσο μεγάλο είναι κάθε ένα από τα ίσα μέρη στα οποία χωρίστηκε ο διαιρετέος.
- Όταν ο άγνωστος είναι διαιρετέος, για να λύσουμε την εξίσωση πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη.
- Όταν ο άγνωστος είναι διαιρέτης, για να λύσουμε την εξίσωση διαιρούμε τον διαιρετέο με το πηλίκο.
- Για να λύσουμε μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου, διαιρούμε το γινόμενο με τον άλλο παράγοντα.
- Διαιρέτη βάζω πάντα τον αριθμό που είναι μαζί με το X και διαιρετέο το γινόμενο.
Χ = 192 : 24
Χ = 8
- Όταν σε μια εξίσωση ψάχνω κάποιον από τους δυο παράγοντες του πολλαπλασιασμού κάνω διαίρεση.
- Για να κάνω διαίρεση με κλάσματα αντιστρέφω τους όρους του 2ου κλάσματος και αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό.
- Αν κάποιος από τους δυο παράγοντες του πολλαπλασιασμού είναι μεικτός ή ακέραιος και ο άλλος κλάσμα για να κάνω τη διαίρεση πρέπει να τα κάνω όλα κλάσματα.
- Δεν μπορώ να κάνω διαίρεση αν ο διαιρέτης είναι δεκαδικός. Πρέπει να τον κάνω ακέραιο πολλαπλασιάζοντάς τον με το 10, 100, 1000, κ.τ.λ. ανάλογα με τα δεκαδικά του ψηφία. Το ίδιο πρέπει να κάνω και με το διαιρετέο.
Μειωτέος είναι ο αριθμός που μειώνεται. Στην κάθετη αφαίρεση είναι ο επάνω αριθμός, ενώ στην οριζόντια ο πρώτος αριθμός.
Αφαιρετέος είναι ο αριθμός που θα αφαιρεθεί από τον μειωτέο. Στην κάθετη αφαίρεση είναι ο κάτω αριθμός, ενώ στην οριζόντια ο δεύτερος αριθμός.
Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης λέγεται διαφορά.
- Όταν ο άγνωστος είναι ο μειωτέος, για να λύσω την εξίσωση προσθέτω στη διαφορά τον αφαιρετέο.
- Όταν ο άγνωστος είναι ο αφαιρετέος, για να λύσω την εξίσωση αφαιρώ από τον μειωτέο τη διαφορά.
- Εξίσωση ονομάζεται μια ισότητα που περιέχει μια μεταβλητή.
- Η τιμή που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση της εξίσωσης.
- Οι όροι που βρίσκονται αριστερά του ίσον (=) αποτελούν το πρώτο μέλος (α΄ μέλος) της εξίσωσης και αυτοί που βρίσκονται δεξιά το δεύτερο μέλος (β΄ μέλος).
στην εξίσωση Χ + 7 = 15
η τιμή Χ=8 είναι η λύση, γιατί 8 + 7 = 15
|
|
Βήμα 2: Συμβολίζω με μια μεταβλητή την άγνωστη ποσότητα.
Βήμα 3: Εκφράζω με ισότητα (εξίσωση) το πρόβλημα.
Βήμα 4: Λύνω την εξίσωση.
Βήμα 5: Επαληθεύω την εξίσωση.
Μια μεταβλητή είναι ένα γράμμα ή ένα σύμβολο το οποίο χρησιμοποιούμε σε μια αριθμητική παράσταση ή σε ένα πρόβλημα, για να δηλώσουμε έναν αριθμό που είναι άγνωστος και μπορεί να πάρει διάφορες τιμές.
- Το πιο συνηθισμένο γράμμα για το συμβολισμό μιας μεταβλητής στα μαθηματικά είναι το «Χ». Αυτό όμως δεν είναι υποχρεωτικό.
- Μια αριθμητική παράσταση που περιέχει μια μεταβλητή τη λέμε αλγεβρική παράσταση.
- Αν μια φράση περιέχει μια από τις λέξεις “κάποιος”, “ένας”, “μια τιμή”, ή κάποια παρόμοια, τότε γράφουμε στη θέση αυτού του μεγέθους μια μεταβλητή.
|
Για να πολλαπλασιάσω δύο ή περισσότερα κλάσματα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και το γινόμενο το βάζω αριθμητή και μετά πολλαπλασιάζω τους παρονομαστές και το γινόμενο το βάζω παρονομαστή. Με όποια σειρά κι αν πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.
|
|
|
2. Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος (δηλαδή τον αντίστροφο αριθμό του διαιρέτη) και κάνουμε πολλαπλασιασμό.
|
|
|
3. Για να βρούμε την τιμή του μέρους ενός αριθμού πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό αυτό με το κλάσμα που δείχνει το μέρος.
|
|
|
4. Για να υπολογίσω αριθμητικές παραστάσεις που περιέχουν κλασματικούς αριθμούς, πρώτα μετατρέπω, αν χρειάζεται, κάποιους από τους αριθμούς σε άλλη μορφή. Στην συνέχεια εκτελούμε τις πράξεις από αριστερά προς τα δεξιά, με τη γνωστή σειρά (παρενθέσεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, προσθέσεις κι αφαιρέσεις).
|
|
Για να λύσω ένα πρόβλημα που τα δεδομένα του βρίσκονται σε διαφορετικές μορφές (φυσικοί, δεκαδικοί, κλασματικοί, μεικτοί αριθμοί), ακολουθώ τα παρακάτω βήματα:
- 1ο βήμα: Μετρατρέπω όλα τα δεδομένα στην ίδια μορφή.
- 2ο βήμα: Εκτελώ τις πράξεις σύμφωνα με όσα λέει το πρόβλημα.
- 3ο βήμα: Ελέγχω αν το αποτέλεσμα που βρήκα είναι λογικό.
ΣΥΓΚΡΙΣΗ-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
- Για να μπορέσω να συγκρίνω δύο ή περισσότερα κλάσματα πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμητή ή τον ίδιο παρονομαστή.
Για να συγκρίνω δύο κλάσματα που έχουν διαφορετικούς και τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους, πρέπει να τα κάνω ομώνυμα.
ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
|
Για να βρούμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, πολλαπλασιάζουμε τους όρους σταυρωτά (σταυρωτά ή χιαστί γινόμενα).
|
Πώς δημιουργούμε ισοδύναμα κλάσματα;
Η διαδικασία αυτή ονομάζεται απλοποίηση (το κλάσμα γίνεται πιο απλό). |
|
Για να απλοποιήσω ένα κλάσμα και να το κάνω ανάγωγο, χρησιμοποιώ το Μ.Κ.Δ. με τον οποίο διαιρώ και τους δύο όρους του κλάσματος.
Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης
- Κάθε κλάσμα είναι ίσο με το πηλίκο μιας διαίρεση: (αριθμητής) : (παρονομαστή)
- Αντίστροφα κάθε διαίρεση μπορούμε να την εκφράσουμε και ως κλάσμα.
- Κάθε κλάσμα μπορεί να εκφραστεί ως δεκαδικός αν κάνουμε τη διαίρεση.
- Αν η διαίρεση είναι ατελής σταματάμε όπου μας χρειάζεται.
- Κάθε δεκαδικός μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα.
|
|
|
ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΕΙΚΤΟ ΑΡΙΘΜΟ
|
1.Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. 2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μεικτού. 3. Το κλάσμα του μεικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον ίδιο με το αρχικό κλάσμα. |
1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.
2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μεικτού αριθμού.
3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.
|
Κλάσμα είναι ο αριθμός που μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε την ακέραια μονάδα και πόσα από αυτά πήραμε.
Κάθε κλάσμα έχει:
|
Θυμάμαι ότι:
- Όταν ο αριθμητής είναι η μονάδα (το 1) και παρονομαστής οποιοσδήποτε αριθμός π.χ. 1/3 τότε το κλάσμα λέγεται κλασματική μονάδα.
- Ένα κλάσμα είναι ίσο με την ακέραια μονάδα, όταν έχει τον αριθμητή ίσο με τον παρονομαστή π.χ. 4/4.
- Όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος του παρονομαστή π.χ. 2/5 τότε το κλάσμα λέγεται γνήσιο.
- Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή π.χ. 5/2 τότε το κλάσμα λέγεται καταχρηστικό.
- Μεικτός αριθμός είναι αυτός που αποτελείται από ακέραιο και κλασματικό μέρος π.χ. 4 1/2.
Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουνε διαφορετικούς παρονομαστές.
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
|
Ένα γινόμενο, που έχει ίδιους παράγοντες (αριθμούς), μπορεί να γραφτεί σύντομα με τη μορφή δύναμης.
|
|
ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΣΤΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ- Ε.Κ.Π.
Πολλαπλάσια ενός αριθμού – Ε.Κ.Π.
|
Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν (δημιουργούνται) όταν πολλαπλασιάσουμε το συγκεκριμένο αριθμό με οποιοδήποτε ακέραιο αριθμό.
Παράδειγμα:
Τα πολλαπλάσια του 4 είναι το 4, 8, 12, 16… 4×2=8, 4×3=12, 4×4=16 Τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού είναι άπειρα, διότι άπειροι είναι και οι αριθμοί με τους οποίους μπορώ να τον πολλαπλασιάσω.
|
Κοινά πολλαπλάσια (Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών είναι τα πολλαπλάσια τα οποία είναι ίδια σε όλους τους αριθμούς
Παράδειγμα:
Π3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … Π4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … Π6 = 6, 12, 18, 24, 30, … Τα κοινά πολλαπλάσια του 3 του 4 και του 6, που είναι μικρότερα από το 30, είναι τα 12, 24.
|
Πώς βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών
1ος ΤΡΟΠΟΣ
- Βρίσκουμε μερικά πολλαπλάσια των αριθμών.
- Σημειώνουμε τα κοινά πολλαπλάσιά τους.
- Επιλέγουμε το μικρότερο από αυτά.
2ος ΤΡΟΠΟΣ
Παίρνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό. Εξετάζουμε αν είναι πολλαπλάσιο ταυτόχρονα των άλλων. Εάν είναι, αυτός είναι και το Ε.Κ.Π.
Εάν δεν είναι, παίρνουμε τον διπλάσιό του και εξετάζουμε το ίδιο πράγμα.
Εάν δεν είναι και πάλι πολλαπλάσιο των άλλων, παίρνουμε τον τριπλάσιό του και ελέγχουμε ξανά. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι να βρούμε ένα πολλαπλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού που να είναι πολλαπλάσιο ταυτόχρονα και των άλλων αριθμών. Αυτό θα είναι και το Ε.Κ.Π.
3ος ΤΡΟΠΟΣ
- Γράφω οριζόντια τους αριθμούς και δεξιά τους φέρνω μια κατακόρυφη γραμμή.
- Δεξιά της γραμμής γράφω πρώτους αριθμούς (2,3,5,7,11…) που διαιρούν έστω και έναν από τους αριθμούς που έχουν δοθεί.
- Τότε αριστερά της γραμμής, κάτω από τους αριθμούς που έχουν δοθεί, βάζω τα πηλίκα (όταν η διαίρεση είναι τέλεια) ή τον ίδιο αριθμό (όταν η διαίρεση δεν είναι τέλεια).
- Συνεχίζω την ίδια διαδικασία μέχρι όλα τα πηλίκα να γίνουν 1.
- Έτσι καταλήγουμε σε μια νέα γραμμή που όλα τα πηλίκα είναι μονάδες. Το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο των αριθμών που βρίσκονται δεξιά της κατακόρυφης γραμμής
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Δεντροδιάγραμμα
Γράφουμε το γινόμενο που μας δίνει τον αριθμό 12. Εδώ γράψαμε 2 Χ 6.
Ο αριθμός 2 είναι πρώτος, οπότε συνεχίζουμε τη διαδικασία για τον αριθμό 6, του οποίου το γινόμενο είναι 2 Χ 3.
Στην τρίτη σειρά γράφουμε τον αριθμό 2 και το γινόμενο 2 Χ 3.
Η ανάλυση τελειώνει, όταν όλοι οι παράγοντες είναι πρώτοι αριθμοί όπως εδώ (2, 2 και 3).
Άρα ο αριθμός 12 μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 12 = 2 Χ 2 Χ 3
Διαδοχικές διαιρέσεις
|
1. Εξετάζουμε ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί ακριβώς το 12. Είναι το 2. Διαιρούμε με το 2 και γράφουμε κάτω από το 6 το πηλίκο της διαίρεσης.
2. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για το 6. Διαιρούμε με το 2 και γράφουμε το πηλίκο της διαίρεσης που είναι το 3. 3. Το 3 δε διαιρείται με το 2. Πάμε στον επόμενο πρώτο αριθμό που είναι το 3 και εξετάζουμε αν διαιρείται με το 3. Διαιρούμε με το 3 και γράφουμε το πηλίκο της διαίρεσης που είναι το 1. 4. Αν το πηλίκο είναι η μονάδα τότε τελειώνει και η ανάλυση. Άρα ο αριθμός 12 εκφράζεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 12 = 2 Χ 2 Χ 3 |
- Ο αριθμός 60 γράφεται: 2 Χ 2 Χ 3 Χ 5
- Ο αριθμός 91 (πρώτος αριθμός) μπορεί να γραφτεί ως 1 Χ 91
ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Πρώτος λέγεται οποιοσδήποτε αριθμός που έχει μόνο δύο διαιρέτες: το 1 και τον εαυτό του.
Σύνθετος λέγεται κάθε αριθμός που εκτός από τον εαυτό του και το 1, έχει και άλλους διαιρέτες.
Το 7 είναι πρώτος αριθμός (οι διαιρέτες του είναι μόνο το 1 και το 7).
Το 4 είναι σύνθετος αριθμός (οι διαιρέτες του είναι: 1, 2, 4).
Το 24 είναι σύνθετος αριθμός (οι διαιρέτες του είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24).
Κόσκινο του Ερατοσθένη
Με την απλή μέθοδο του Ερατοσθένη, γνωστή ως “Κόσκινο του Ερατοσθένη”, που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα, βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από δοσμένο αριθμό.
Ένας αριθμός διαιρείται με το:
- το 10 όταν τελειώνει σε ένα τουλάχιστον 0
- το 100 όταν τελειώνει σε δύο τουλάχιστον 0
- το 1.000 όταν τελειώνει σε τρία τουλάχιστον 0
Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι το 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο ψηφίο είναι 0 ή 5.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3, αν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι 3, 6 ή 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν το τελευταίο ψηφίο είναι άρτιος (ζυγός) αριθμός (0,2,4,6,8).
Διαιρέτες ενός αριθμού – Μ.Κ.Δ. Αριθμών
- Όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν διαιρέτες τουλάχιστον το 1 και τον εαυτό τους.
- Ένας αριθμός μπορεί να έχει πολλούς διαιρέτες.
- Υπάρχουν αριθμοί που κάποιοι από τους διαιρέτες που έχουν είναι ίδιοι. Λέμε τότε ότι έχουν κοινούς διαιρέτες.
Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά πράξεων με αριθμούς.
Μια αριθμητική παράσταση μπορεί να περιλαμβάνει παρενθέσεις, αγκύλες κλπ.
Η προτεραιότητα των πράξεων
Οι φυλές ήταν: οι προσθέσεις, οι αφαιρέσεις, οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις.Κάποτε οι πολλαπλασιασμοί σκέφτηκαν πως θα μπορούσαν να συμμαχήσουν με τις διαιρέσεις για να νικήσουν και να υποδουλώσουν τις άλλες φυλές. Στη μεγάλη μάχη που έγινε, πολλοί αριθμοί θυσιάστηκαν πολεμώντας σαν ήρωες, ώσπου τελικά νίκησαν οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις το στρατό των προσθέσεων και των αφαιρέσεων.Μετά τη μάχη οι νικητές, αφού υποχρέωσαν τους αντιπάλους τους να υπογράψουν συνθήκη με την οποία αναγνωρίζονταν η προτεραιότητα των πολλαπλασιασμών και των διαιρέσεων απέναντι στις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις, άρχισαν το γλέντι και τα πανηγύρια. Ξέχασαν όμως μέσα στη χαρά τους τους αντάρτες. Τη φυλή των παρενθέσεων που ζούσε στα βουνά και πολλές φορές τους πολεμούσε.Ο στρατός των παρενθέσεων περίμενε την κατάλληλη ευκαιρία για να επιτεθεί. Αργά το βράδυ, ενώ όλοι γλεντούσαν, οι παρενθέσεις τους περικύκλωσαν και τους ανάγκασαν να παραδοθούν χωρίς να προλάβουν οι δύο σύμμαχοι να αντισταθούν.Η νέα συνθήκη που υπογράφηκε δήλωνε την ανωτερότητα των παρενθέσεων απέναντι σε όλους επιτρέποντας όμως στους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις να κρατήσουν την προτεραιότητά τους απέναντι στις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.
Όταν μια σειρά αριθμών συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (+ – Χ :), λέμε ότι έχουμε αριθμητική παράσταση.
π.χ. 3 + 5 • 6 – 12 : 4
Οι πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση γίνονται από αριστερά προς τα δεξιά:
Πρώτα γίνονται οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις.
Ακολουθούν οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις.
Αν υπάρχουν παρενθέσεις πρώτα γίνονται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά (πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις).
Αν έχουμε συνεχόμενους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις ή συνεχόμενες προσθέσεις και αφαιρέσεις, οι πράξεις γίνονται με τη σειρά που βρίσκονται στην αριθμητική παράσταση.
Διαίρεση φυσι
- Κάθε αριθμός αν διαιρεθεί με το 1, δίνει πηλίκο τον εαυτό του.
π.χ. 5 : 1 = 5
- Κάθε αριθμός αν διαιρεθεί με τον εαυτό του δίνει πηλίκο το 1.
π.χ. 9 : 9 = 1
- Το μηδέν (0) με όποιον αριθμό κι αν διαιρεθεί, δίνει πηλίκο τον εαυτό του.
π.χ. 0 : 5 = 0
- Δεν επιτρέπεται να διαιρέσουμε έναν αριθμό δια μηδέν (0).
π.χ. 4 : 0 είναι αδύνατο
- Σε κάθε διαίρεση αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει.
π.χ. 20 : 4 = 5 (20 • 2) : (4 • 2) = 40 : 8 = 5
- Όταν διαιρώ έναν αριθμό με 0,1 , 0,01 κτλ ο αριθμός μεγαλώνει, 10, 100, 1.000 φορές.
- Για να διαιρέσω ένα φυσικό αριθμό με το 0,1, το 0,01, το 0,001…, προσθέτω στον αριθμό ένα, δύο ή τρία… μηδενικά αντίστοιχα.
- Για να διαιρέσω ένα δεκαδικό αριθμό με το 0,1, το 0,01, το 0,001…, μεταφέρω την υποδιαστολή του αριθμού δεξιά μία, δύο ή τρεις… θέσεις αντίστοιχα. Αν τελειώσουν τα ψηφία του αριθμού, βάζω μηδενικά.
π
Ο Πυθαγόρας και ο Πυθαγόρειος πίνακας
|
|
Στην αρχαία Ελλάδα ζούσε ο Πυθαγόρας, μεγάλος φιλόσοφος και μαθηματικός. Γεννήθηκε σε χρονολογία που δεν μας είναι γνωστή, αλλά που εικάζεται πως είναι το 570 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως φέρεται η νήσος Σάμος. Είχε εφεύρει έναν «πίνακα», όπως τον έλεγε, που διευκόλυνε τους πολλαπλασιασμούς, οι οποίοι έως τότε γίνονταν με το μυαλό ή απλούστερα με πετραδάκια.
Μας φαίνεται τόσο απλό πράγμα! Ωστόσο, ο Πυθαγόρας αφιέρωσε είκοσι ολόκληρα χρόνια της ζωής του, ώσπου να επινοήσει αυτόν τον πίνακα, ο οποίος έκανε αθάνατο το όνομά του στους κατοπινούς αιώνες. |
ΠΡΟΣΕΧΩ
Ο πολλαπλασιασμός κάθε αριθμού με το μηδέν δίνει πάντα μηδέν .
0 χ 7 = 0 3,45 χ 0 = 0
Ο πολλαπλασιασμός κάθε αριθμού με το ένα έχει ως γινόμενο τον ίδιο τον αριθμό .
7 χ 1= 7 1 χ 2,3 = 2,3
Στον πολλαπλασιασμό δεκαδικών αριθμών, το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του γινομένου είναι ίδιο με το άθροισμα των δεκαδικών ψηφίων των παραγόντων του.
2, 345 χ 3, 27 = 7, 66815
Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών
και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών
- Στην κάθετη πρόσθεση και την αφαίρεση δεκαδικών αριθμών, οι υποδιαστολές μπαίνουν η μία κάτω από την άλλη. Έτσι τα δέκατα είναι κάτω από τα δέκατα, τα εκατοστά κάτω από τα εκατοστά κτλ.
- Στην κάθετη πρόσθεση ή αφαίρεση δεκαδικών αριθμών, αν οι δεκαδικοί δεν έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, για να μη μπερδεύομαι, προσθέτω μηδενικά στο δεκαδικό τους μέρος, έτσι ώστε όλοι να έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων.
ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΕ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα:
- Στη θέση του αριθμητή γράφουμε ολόκληρο τον αριθμό, χωρίς την υποδιαστολή, .
- Στη θέση του παρονομαστή γράφουμε τον αριθμό 1, με τόσα μηδενικά όσα και τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού.
Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό:
- Γράφουμε μόνο τον αριθμητή του
- και χωρίζουμε με υποδιαστολή , ξεκινώντας από δεξιά , τόσα δεκαδικά ψηφία, όσα μηδενικά είχε ο παρονομαστής
ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Οι δεκαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται όταν θέλω να εκφράσω με ακρίβεια ένα μέγεθος που δεν μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια φυσικών αριθμών, όπως οι τιμές διάφορων προϊόντων.
|
Οι αριθμοί αυτοί περιέχουν το ακέραιο μέρος ενός αριθμού και το δεκαδικό μέρος του. Ο χωρισμός ακέραιου και δεκαδικού μέρους γίνεται με την υποδιαστολή (κόμμα).
π.χ. 1 λίτρο βενζίνης κοστίζει 1,568 ευρώ
|
Δέκα μονάδες μιας τάξης είναι μία μονάδα της αμέσως μεγαλύτερης τάξης.
δηλ. 10 εκατοστά = 1 δέκατο , 10 χιλιοστά = 1 εκατοστό
- Τα μηδενικά στο τέλος των δεκαδικών αριθμών δεν έχουν καμία αξία.
8,2 = 8,20 = 8,200
2. Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γίνει δεκαδικός με την προσθήκη της υποδιαστολής και μηδενικών μετά από αυτή.
23,00 = 23 38 = 38,0 = 38,00
3. Για να ονομάσω ένα δεκαδικό αριθμό, ενεργώ ως εξής:
Χωρίζω το ακέραιο μέρος από δεξιά ανά τρία ψηφία.
Στη συνέχεια, διαβάζω το ακέραιο μέρος όπως ακριβώς και στους φυσικούς, προσθέτω το «και» ή το «κόμμα» και ανάλογα με τη θέση και την αξία του τελευταίου δεκαδικού ψηφίου προσθέτω το ανάλογο συνθετικό (δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά).
Παράδειγμα
Τον αριθμό 1340,287 τον γράφω πρώτα ως 1.340,287, οπότε διαβάζω χίλια τριακόσια σαράντα και (ή κόμμα) διακόσια ογδόντα εφτά
ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
