Το θεώρημα

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει
• f(α) • f(β) < 0 .

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = 0 .

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης  f(x) = 0  στο ανοικτό διάστημα (α, β) .

Συνέπειες

1. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ϵ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ϵ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.
2. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Φύλλο εργασίας