Ανατομία του καλού πέναλτι

«Ο φόβος του τερματοφύλακα πριν από το πέναλτι» έχει την τιμητική του στη λογοτεχνία με το διήγημα του Πέτερ Χάντκε και στον κινηματογράφο με την ομότιτλη ταινία του Βιμ Βέντερς. Ο γκολκίπερ όμως δεν είναι ο μόνος που «τρέμει» αυτή την αναμέτρηση. Το πέναλτι είναι ίσως η περισσότερο συναισθηματικά φορτισμένη στιγμή ενός ποδοσφαιρικού αγώνα, όχι μόνο γι΄ αυτόν που κάθεται κάτω από τα γκολπόστ αλλά και για τον παίκτη που εκτελεί το σουτ, και τελευταία βλέπουμε την ψυχοφθόρο αυτή διαδικασία να επαναλαμβάνεται όλο και συχνότερα στους τελικούς των μεγάλων διοργανώσεων. Η επιστήμη δεν θα μπορούσε να μείνει αμέτοχη μπροστά σε τόσο σασπένς.

Τα τελευταία χρόνια αρκετές επιστημονικές μελέτες- οι περισσότερες από βρετανικά πανεπιστήμια μια και, όπως θα υπενθύμιζαν οι κακεντρεχείς, η Εθνική Αγγλίας πάσχει ιδιαίτερα σε αυτόν τον τομέα- έχουν αρχίσει να διερευνούν διεξοδικά το θέμα. Εν όψει του τελικού του Τσάμπιονς Λιγκ και της διοργάνωσης του Παγκοσμίου Κυπέλλου Ποδοσφαίρου τα αποτελέσματά τους κάνουν αισθητή την παρουσία τους στον διεθνή Τύπο. Στατιστικές, μαθηματικοί υπολογισμοί, αλλά επίσης ψυχολογικά τεστ και «πραγματικές» μετρήσεις κατά τη δραματική στιγμή του σουτ έχουν τεθεί στην υπηρεσία ενός και μόνου σκοπού: την ανεύρεση μιας συνταγής για το «τέλειο πέναλτι».

Το τέλειο σουτ
Η πρώτη επιστημονικά τεκμηριωμένη συνταγή του είδους παρουσιάστηκε πριν από μία πενταετία από το Πανεπιστήμιο Τζον Μουρς του Λίβερπουλ. Αναλύοντας μαγνητοσκοπημένες φάσεις πέναλτι διάρκειας πολλών ωρών και κάνοντας τους απαραίτητους μαθηματικούς υπολογισμούς οι ερευνητές του Τμήματος Αθλημάτων και Σωματικής Αγωγής κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι ο μόνος τρόπος για να εξασφαλίσει κανείς το γκολ είναι να στείλει την μπάλα ψηλά, στη δεξιά ή στην αριστερή γωνία του τέρματος, κατά προτίμηση ακριβώς σε απόσταση ενός μέτρου από το οριζόντιο δοκάρι.

Για να επιτευχθεί αυτό υπολόγισαν ότι ο παίκτης θα πρέπει να κλωτσήσει την μπάλα με γωνία 20-30 μοιρών και με ταχύτητα 25-29 μέτρων το δευτερόλεπτο- ούτε λιγότερο ούτε περισσότερο. «Μόνον έτσι εξασφαλίζεται100% επιτυχία» ήταν το απόφθεγμα των ερευνητών, το οποίο έρχεται σε πλήρη αντίθεση με την παραδοσιακή αντίληψη των επαγγελματιών του ποδοσφαίρου που θεωρούν ότι το «καλό» πέναλτι χτυπιέται με δυνατό σουτ και χαμηλά.

Ψυχολογία και timing

Η πορτοκαλί στολή του Πετρ Τσεχ φαίνεται ότι πραγματικά «τραβάει» σαν μαγνήτης την μπάλα

Οι ψυχολόγοι αντιμετωπίζουν το πέναλτι σαν μια μονομαχία ανάμεσα στον παίκτη που εκτελεί το σουτ και στον τερματοφύλακα που το περιμένει. Ο τελευταίος θεωρείται ότι έχει ένα μικρό πλεονέκτημα: σύμφωνα με τις στατιστικές, το 65%-75% των πέναλτι καταλήγουν σε γκολ, πράγμα το οποίο «ψυχολογικά» σημαίνει ότι όλοι είναι πρόθυμοι να συγχωρήσουν τον γκολκίπερ που δεν κατορθώνει να αποκρούσει την μπάλα αλλά όχι τον παίκτη που αστοχεί: ο Ρομπέρτο Μπάτζιο και ο Ντέιβιντ Μπέκαμ το ξέρουν καλά. Από εκεί και πέρα το πλεονέκτημα κρίνεται σε μικρές αλλά, όπως φαίνεται, αποφασιστικές λεπτομέρειες. Η ταχύτητα στην εκτέλεση, στατιστικά, φαίνεται να ευνοεί τον «εκτελεστή». Αν ο παίκτης χτυπήσει γρήγορα την μπάλα- μέσα σε τρία το αργότερο δευτερόλεπτα από το σφύριγμα- έχει υπέρ του το στοιχείο της έκπληξης. Αν καθυστερήσει περισσότερο από 13 δευτερόλεπτα δημιουργεί στον τερματοφύλακα νευρικότητα, η οποία και πάλι μπορεί να αποβεί υπέρ του. Το ποσοστό επιτυχίας μεγαλώνει επίσης αν το σουτ πραγματοποιηθεί αφού ο τερματοφύλακας κινηθεί. Εδώ όμως απαιτείται προσοχή: ο παίκτης δεν πρέπει να καθυστερήσει περισσότερο από 0,43 χιλιοστά του δευτερολέπτου μετά την κίνηση του τερματοφύλακα, γιατί οι πιθανότητες για γκολ μειώνονται στο μισό.

Το βλέμμα που σκοράρει
Στην περίπτωση του πέναλτι ένα βλέμμα φαίνεται ότι μπορεί να σκοτώσει- τις πιθανότητες επιτυχίας φυσικά και όχι τον αντίπαλο. Το ζήτημα διερευνήθηκε πέρυσι από ψυχολόγους του Πανεπιστημίου του Εξετερ, οι οποίοι ζήτησαν από τους ποδοσφαιριστές της πανεπιστημιακής ομάδας να φορέσουν ειδικά γυαλιά που κατέγραφαν τις κινήσεις των ματιών και να επιδοθούν σε σειρά εκτελέσεων πέναλτι. Στον πρώτο «γύρο» όλα έμοιαζαν με μια «χαλαρή» προπόνηση. Στον δεύτερο γύρο εισήχθη ο παράγοντας του άγχους με ένα έπαθλο 50 λιρών (59 ευρώ) για την καλύτερη εκτέλεση.

Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι όσο πιο αγχωμένοι ήταν οι παίκτες τόσο πιο γρήγορα και για περισσότερη ώρα εστίαζαν το βλέμμα τους στον τερματοφύλακα, με αποτέλεσμα να στέλνουν την μπάλα προς το κέντρο του τέρματος όπου είναι και πιο εύκολο να αποκρουστεί. «Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη» αποφάνθηκαν οι ερευνητές «είναι να διαλέγειένα σημείο και να σουτάρει απευθείας εκεί αγνοώντας τον τερματοφύλακα». Η εξάσκηση σε αυτή τη στρατηγική, προσθέτουν, ευνοεί τον καλό συντονισμό μεταξύ των κινήσεων των ματιών και των κινήσεων του σώματος του ποδοσφαιριστή, οδηγώντας σε μεγαλύτερη ακρίβεια στα σουτ.

Η προδοσία της λεκάνης
Ο τερματοφύλακας, από την πλευρά του, κερδίζει αν κοιτάξει επίμονα και με παρατηρητικότητα τον αντίπαλο «μονομάχο». Το καλύτερο σημείο για να εστιάσει την προσοχή του είναι, σύμφωνα με τις έρευνες, η λεκάνη του παίκτη που εκτελεί το πέναλτι: ειδικά στα τελευταία βήματα πριν από το σουτ η κίνησή της προδίδει την κατεύθυνση που πρόκειται να ακολουθήσει η μπάλα.

Ο γκολκίπερ μπορεί επίσης να επιδοθεί σε κάποια τρικ για να επηρεάσει τις επιλογές του αντιπάλου του. Ερευνητές του Πανεπιστημίου του Χονγκ Κονγκ διαπίστωσαν ότι αν επιλέξει να σταθεί μόλις 6 ως 10 εκατοστά αριστερά ή δεξιά του κέντρου οδηγεί συνήθως αυτόν που εκτελεί το σουτ να στείλει την μπάλα προς την αντίθετη κατεύθυνση, όπου φαίνεται να υπάρχει περισσότερος χώρος.

Οσον αφορά την ψυχολογία αυτού που κάθεται κάτω από τα γκολπόστ, μια μελέτη που διεξήγαγαν ψυχολόγοι του Πανεπιστημίου του Τσίτσεστερ διαφωνεί ως έναν βαθμό με τα ευρήματα της έρευνας συναδέλφων τους του Εξετερ, αν και από εντελώς διαφορετική σκοπιά. Οι ερευνητές ζήτησαν από τερματοφύλακες να αξιολογήσουν αντιπάλους με βάση το βλέμμα και το χρώμα της φανέλας τους. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι γκολκίπερ ένιωθαν περισσότερο ανασφαλείς και θεωρούσαν ότι είχαν λιγότερες πιθανότητες να αποκρούσουν το πέναλτι αν ο αντίπαλος τους κοίταζε κατά πρόσωπο και φορούσε κόκκινη φανέλα, χρώμα το οποίο υποσυνείδητα συνδέεται με τον κίνδυνο και την επιθετικότητα.

ΣΟΥΤ ΣΤΟ ΚΟΚΚΙΝΟ
Αν στο επικείμενο Μουντιάλ δείτε πολλούς τερματοφύλακες να φορούν κόκκινη στολή,μην εκπλαγείτε.Η τελευταία μελέτη γύρω από τα πέναλτι δημοσιεύθηκε τον περασμένο μήνα και είχε ως εμπνευστή τον διάσημοΠετρ Τσεχ. Ο τσέχος τερματοφύλακας της Τσέλσι έχει αποκαλύψει ότι προτιμά να φοράει πορτοκαλί στολή γιατί πιστεύει ότι το χρώμα αυτό αποσπά τους αντιπάλους και τους κάνει να στέλνουν την μπάλα προς το μέρος του.

Οι ψυχολόγοι του Πανεπιστημίου του Τσίτσεστερ ζήτησαν από 40 ποδοσφαιριστές να εκτελέσουν δεκάδες πέναλτι επί μία εβδομάδα εναντίον του ίδιου τερματοφύλακα,ο οποίος άλλαζε στολές με τέσσερα διαφορετικά χρώματα- κόκκινο,κίτρινο,μπλε και πράσινο.Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι όταν ο γκολκίπερ φορούσε κόκκινη στολή είχε σχεδόν διπλάσιες πιθανότητες να αποκρούσει την μπάλα, ενώ το ποσοστό μειωνόταν δραματικά όταν φορούσε πράσινη.Συγκεκριμένα οι παίκτες που εκτέλεσαν τα πέναλτι σκόραραν σε ποσοστό 54% εναντίον της κόκκινης στολής,69% εναντίον της κίτρινης,72% εναντίον της μπλε και 75% εναντίον της πράσινης.

1. 1. Πέντε Θεολογικά ερωτήµατα και αντίστοιχες προσπάθειες απάντησης µε µαθηµατικά εργαλεία. Ιωάννης Π. Πλατάρος , µετ.φοιτητής στο Παν. Αθηνών στο Μ.Π.Σ. «∆ιδακτική & Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» ∆/ση: Καπετάν Κρόµπα 37 , Τ.Κ. 24 200 Μεσσήνη .ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Σε όλες τις θρησκείες ο Θεός είναι άπειρος. Η κατανόησή του, αν είναιεφικτή, περνά µέσα από την κατανόηση του απείρου. Η διαισθητική προσέγγιση τηςέννοιας του απείρου , ιστορικά οδήγησε σε λάθη παρανοήσεις , παράξοξα και γόνιµεςαντιπαραθέσεις. Σήµερα τα µαθηµατικά έχουν διεισδύσει στην έννοια του άπειρου πάραπολύ και µπορεί εξ αυτού να εµπλουτισθεί και ο φιλοσοφικός και ο Θεολογικόςστοχασµός. Επίσης η µαθηµατική Λογική έχει άρει πλέον κάποια παράδοξά της. Μετέτοια εφόδια , µπορούµε να προσεγγίσουµε ερωτήµατα όπως τα παρακάτω: Μπορεί οΘεός που είναι άπειρη οντότητα να κατασκευάσει άλλες άπειρες οντότητες; Αφού είναιπαντοδύναµος , µπορεί να κατασκευάσει µια πέτρα που να µην µπορεί να σηκώσει; Ηέννοια «Θεάνθρωπος» που αποδίδεται στον Ιησού µήπως είναι αντιφατική; Μπορούσεάραγε ο Θεός να φτιάξει έναν καλύτερο κόσµο απ’ αυτόν µε τους πολέµους την πείνα καιτην αδικία που έφτιαξε;(Απ. : `Οχι σύµφωνα µε τον Leibniz !) Η πίστη στον Θεό απόέναν άνθρωπο και η ταυτόχρονη παραβατικότητά του µέσω αµαρτιών µήπως συνιστά τοάρον άωτον της ανθρώπινης ανοησίας; Αυτά τα ερωτήµατα διερευνά η παρούσα εργασίαστα οποία προσπαθεί είτε δώσει απαντήσεις είτε να διευρύνει το πεδίο αναφοράς τους.Παραθέτουµε τα ερωτήµατα που θα µας απασχολήσουν: ΕΡΩΤΗΜΑ 1. Ο Θεός ως άπειρη οντότητα , µπορεί να είναι κατασκευαστήςάπειρης οντότητας; Απάντηση: Οι στοχαστές του Μεσαίωνα ήταν ιδιαίτερα επιφυλακτικοί στο ανωτέρωερώτηµα , αφού η έννοια του απείρου εκείνη την εποχή ήταν ακόµα περιορισµένη. ∆ενείχε γίνει κατανοητό ότι υπάρχουν άπειρες οντότητες οι οποίες περιέχουν άλλες,«απείρως άπειρες», οντότητες! Για παράδειγµα σήµερα ξέρουµε ότι οι πραγµατικοί αριθµοί περιέχονται στοδιάστηµα (0,1) είναι περισσότεροι1 από όσους περιέχει το σύνολο των φυσικών .Κι όχι µόνο περισσότεροι από όσους έχει το , αλλά περισσότεροι κι από το 2σύνολο των φυσικών , περισσότεροι κι απ’ όσους έχει το σύνολο των ρητών ,1 «Περισσότεροι» υπό την έννοια ότι δεν είναι «αριθµήσιµοι» δηλ. δεν δύνανται να αντιστοιχηθούνµέσω µιας «1-1 και επί» αντιστοίχισης µε το σύνολο των φυσικών Ν. Αν υποθέσουµε ότι αυτό είναιεφικτό και όλοι οι αριθµοί του (0, 1) έχουν αντιστοιχηθεί στο Ν , τότε σύµφωνα µε το περίφηµο«διαγώνιο επιχείρηµα» του Cantor µπορούµε να βρούµε στοιχείο του (0,1) , που «να περισσεύει» και ναµην έχει αντιστοιχηθεί , όπερ…άτοπο !2 Εδώ αξίζει να σκεφθούµε ότι το χαρακτηρίζεται από την Ανάλυση ως «πυκνό» , δηλαδή µεταξύ δύοοσοδήποτε γειτονικών ρητών, πάντα υπάρχει κι ένας τρίτος!
2. 2. περισσότεροι κι από τους αλγεβρικούς αριθµούς3 Α , περισσότερους ακόµα κι από τοπλήθος των στοιχείων του Ακ , όπου κ οποιοσδήποτε φυσικός! Αν έχοµε όρεξη να κατασκευάσουµε ένα ακόµη µεγαλύτερο σύνολο, µπορούµενα χρησιµοποιήσουµε την εντυπωσιακή πρόταση που λέει ότι «Αριθµήσιµη4 ένωσηαριθµησίµων συνόλων, µας δίνει αριθµήσιµο σύνολο» Για παράδειγµα, αν ορίσω ως An = {xn : x ∈ A , n ∈ A , οπου A το συνολο των Αλγεβρικων } αυτό είναι ένααριθµήσιµο απειροσύνολο. Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση , τότε και το 1σύνολο Α = ∪ Αi είναι ένα απίστευτα µεγάλο , πλην αριθµήσιµο συνολο. Με i∈Aεπαγωγικό τρόπο µπορούµε να ορίσουµε ακόµα πιο µεγάλα αριθµήσιµα σύνολα , λ.χ. n n −1 Α = ∪ Ai ∀n ∈ . (1) i∈A Και βέβαια αυτό µπορεί να συνεχιστεί ….άπειρες φορές, αλλά θα δίνει πάντααριθµήσιµα σύνολα. Σκεφθείτε το µέγεθος του αριθµήσιµου συνόλου που προκύπτει n −1από µια µικρή τροποποίηση της (1) , αν όπου Α , θέσω A (φανταστείτε το!). Μόνοπου κι αυτό το απιστεύτως µεγάλο σύνολο θα είναι αριθµήσιµο. Και φυσικά ηκατασκευή αυτή δεν σταµατά εδώ! Τώρα ήλθε η στιγµή να αλλάξουµε ποιότητα…..απείρου! ‘Ετσι:Αν θεωρήσουµε το ελαχίστου µέτρου υποσύνολο του (0,1) , λ.χ. το διάστηµα Χ=(0,10-100.000.000.000.000) µε µ(Χ)=10-100.000.000.000.000 θα εξακολουθήσει να έχει n nΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ5 στοιχεία από το…. A ( ∀n ∈ ) , ακόµα και από το ( A) k ∀n, k ∈ . nΑλλά µ( ( A) k )=0 (ως προς το σύνηθες µέτρο µ ). Εδώ µπορεί εύκολα να γίνει η ενορατική σκέψη, πως η ειδοποιός ποιοτικήδιαφορά µεταξύ αριθµήσιµου και υπεραριθµήσιµου απείρου είναι το µέτρο µηδέν ήµέτρο µεγαλύτερο του µηδενός. `Οµως τα πράγµατα δεν είναι έτσι! Το περίφηµο«σύνολο του Cantor6» παρ’ ότι έχει µέτρο ίσο µε 0 , εν τούτοις είναι υπεραριθµήσιµο nκαι έτσι κι αυτό περιέχει ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ στοιχεία από το σύνολο ( A) k ∀n, k ∈ .3 Τους αλγεβρικούς αριθµούς Α , µπορούµε να τους φανταστούµε ως το , αν του προσαρτήσουµεακόµη και όλες τις τετραγωνικές ρίζες ρητών, χρησιµοποιώντας τις 4 γνωστές πράξεις, ακόµα και τηνύψωση σε δύναµη , αλλ’ όµως δύναµη µε ρητό εκθέτη .4 Παραθέτουµε τον ορισµό του Αρισθµησίµου συνόλου: Ένα σύνολο λέγεται αριθµήσιµο, ότανδύναται να τεθεί σε αντιστοιχία «1-1 και επί» µε υποσύνολο του Ν ή το ίδιο το Ν. Σύµφωνα µε αυτόν, όλα τα πεπερασµένα είναι αριθµήσιµα και από τα άπειρα µια µεγάλη κατηγορία που είναι καιυπερσύνολα του Ν, όπως λ.χ. το5 «ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ» πάντα µε την µαθηµατική έννοια ότι πλέον δεν είναι αριθµήσιµο . ∆ιότι και το έχει «διπλάσια» στοιχεία από το , όµως και τα δύο είναι αριθµήσιµα άρα έχουν «ίσο» αριθµόστοιχείων .6 Το σύνολο του Cantor ορίζεται ως εξής: Θεωρούµε το σύνολο [0,1] . Το χωρίζουµε σε τρία µέρη ίσουµέτρου ως εξής: [0, 1/3] , [1/3, 2/3] , [2/3,1] Κρατάµε τα δύο ακραία και πετάµε το µεσαίο. Σε κάθε ένααπό τα δύο που έχουµε, επαναλαµβάνουµε την προηγούµενη διαδικασία: ∆ηλ. Τα χωρίζουµε σε τρία ίσαµέρη, πετάµε το µεσαίο και κρατάµε τα δύο ακραία. Αυτή την διαδικασία θεωρούµε ότι την εκτελούµεεπ’ άπειρον. Το προκύπτον σύνολο , είναι το περίφηµο «σύνολο του Cantor» το οποίο έχει σπουδαίεςιδιότητες, µία των οποίων είναι , ότι παρ’ ότι έχει µέτρο 0 , είναι υπεραριθµήσιµο!.
3. 3. Περισσότερο ενδιαφέρον, αλλά και παραστατικότητα , παρουσιάζει τοµαθηµατικό γεγονός, ότι αν τµήσουµε το διάστηµα (0,1) µε µια ευθεία, η πιθανότητα νατο τµήσουµε σε αλγεβρικό αριθµό, είναι …µηδέν! Από την άλλη, το σύνολο των συναρτήσεων f : (0,1)  {0,1} έχει→περισσότερα στοιχεία από το (0,1) και µεταπηδούµε σε ακόµα ανώτερη τάξη απείρου!Κι αυτό βέβαια δεν σταµατά µόνον εδώ!……Επανερχόµενοι λοιπόν στο αρχικό ερώτηµα , διαπιστώνοµε µε ότι υπάρχουν οντότητεςάπειρες που περιέχουν άλλες «απείρως άπειρες» οντότητες. Συνεπώς , είναι δυνατόνµια άπειρη οντότητα όπως ο Θεός είναι δυνατόν να παράξει άπειρο αριθµό άπειρωνοντοτήτων. Βεβαίως όλα αυτά µε την προϋπόθεση ότι οι µαθηµατικές οντότητες«όντως υπάρχουν» στον πραγµατικό κόσµο και όχι σε κάποιον αφηρηµένο ιδεατόµαθηµατικό κόσµο ως ιδεατά µαθηµατικά αντικείµενα. Με αυτή την θεώρηση ηαπάντηση στο ερώτηµα, βεβαίως δεν είναι κλειστή και το περίφηµο θεολογικόερώτηµα του Μεσαίωνα περί του «Πόσοι `Αγγελοι είναι δυνατόν να χορέψουν στοκεφάλι µιας καρφίτσας» θα µένει ακόµα ανοικτό σε θεωρήσεις και απαντήσεις. ΕΡΩΤΗΜΑ 2. Ο Θεός ως Παντοδύναµος , δύναται να κατασκευάσει µιαπέτρα που να µην µπορεί να την …σηκώσει; Απάντηση: Η δήθεν απάντηση λέει ότι «αν µεν δεν µπορεί , τότε δεν είναι Παντοδύναµος»επίσης «αν µπορεί, τότε δεν θα µπορεί να σηκώσει την πέτρα, οπότε πάλι δεν είναιΠαντοδύναµος!» Η θεώρηση βεβαίως υπόκειται στην απλή Αριστοτέλεια λογική. Τοσυγκεκριµένο ερώτηµα, απλώς…δεν έχει νόηµα! , Στην ουσία ισοδυναµεί µε τοερώτηµα «αν είναι δυνατόν ο Θεός που είναι Παντοδύναµος , να µην είναι…Παντοδύναµος!» . Πρόκειται για αντίφαση. Σύµφωνα µε την «αρχή της αποκλίσεωςµέσου ή τρίτου» που κατά κόρον χρησιµοποιούµε στα µαθηµατικά , για κάθε πρότασηP , (ή Ρ αληθής ή ~Ρ αληθής ). Εποµένως το αγαπηµένο αυτό ερώτηµα των µαθητώνπρος τους θεολόγους καθηγητές τους, απλώς , δεν είναι κανονικό –λογικόερώτηµα!…… Το ενδιαφέρον της παραπάνω ερωτήσεως είναι το µη προφανές του µηνοήµατός της! Αυτό µάλλον συµβαίνει διότι ο λογισµός µε το άπειρο , ακόµα και σεστοιχειώδες επίπεδο δίνει συχνά αποτελέσµατα µη ευκόλως αποδεκτά –κατανοητά απότην ανθρώπινη συνείδηση που έχει µάθει να λογίζεται µε πεπερασµένες οντότητες. Ενδιαφέρουσα είναι και µια προσπάθεια απάντησης και του δικού µου θεολόγουπριν δεκαετίες , όπου προφανώς µη αντιλαµβανόµενος το αντιφατικόν τουερωτήµατος, µου έδωσε την εξής µεταφυσική απάντηση: «Ο Θεός δεν υπακούει στοδίπολο «λογικό-παράλογο» αφού είναι «Υπέρλογος!» ΕΡΩΤΗΜΑ 3. Υπό ποία έννοια ο Ιησούς ήταν «Θεάνθρωπος;» Απάντηση: Φυσικά πρόκειται για «δόγµα» της Χριστιανικής θρησκείας. Την έννοια«δόγµα» ένας µαθηµατικός την κατανοεί ως µια πρόταση της οποίας την αλήθεια τηνδεχόµαστε . Αυτό µοιάζει µε την έννοια «αξίωµα» µε την διαφορά ότι το αξίωµα είναιπροφανές και βέβαια µε βάση αυτό (στα πλαίσια µιας θεωρίας) δεν µπορεί να παραχθείαντίφαση. Υπάρχει όµως αντίφαση στην έννοια «Θεάνθρωπος;» Ας το δούµε: Ο Χριστός ως Θεός έχει άπειρες δυνατότητες. Ως άνθρωπος έχει πεπερασµένες .Σύµφωνα λοιπόν µε την αρχή «άπειρο +πεπερασµένο=άπειρο» θα µπορούσαµε ναπούµε αντιστοίχως , ότι «Θεός+άνθρωπος=Θεός» Συνεπώς η ανθρώπινη συµπεριφοράτου Ιησού είναι απολύτως αντιφατική. Εκτός αν δεχθούµε ότι άλλες χρονικές περιόδους
4. 4. ήταν Θεός και άλλες άνθρωπος. Αυτό ένας θεολόγος –ίσως- δεν το δέχεται, αφού οΘεός είναι «πέραν του χρόνου» και «υπέρ τον χρόνο» . Και σίγουρα αποτελεί δόγµα,πλην όµως η διαφαινόµενη αντίφαση πρέπει να απαντηθεί περισσότερο πειστικά. Βεβαίως κι από την µυθολογική µας αρχαιότητα υπήρχε η έννοια του «ηµιθέου»πλην όµως αυτή ήταν µη αντιφατική, αρκετά σαφώς ορισµένη και –το κυριότερο- οιτότε «Θεοί» είχαν µεν τεράστιες δυνατότητες, όχι όµως και άπειρες !…. ΕΡΩΤΗΜΑ 4 . Ο κόσµος µας , µε όλα τα στραβά του και τα ανάποδά του(πόλεµοι, εγκλήµατα, φτώχια, αδικία κ.τ.λ.) είναι ο καλύτερος δυνατός κόσµος πουθα µπορούσε να κατασκευάσει ο Θεός; Απάντηση: Και η διατύπωση και η απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα ανήκειστον µεγάλο φιλόσοφο και εκ των θεµελιωτών του απειροστικού λογισµού Leibniz. Toεξαιρετικά εντυπωσιακό είναι ότι ο Leibniz απαντά «ναι» και το αποδεικνύει! το είδοςτου αποδεικτικού συλλογισµού που χρησιµοποιεί λέγεται «τρίληµµα» αφού στηρίζεταισε τρεις προτασιακές συνιστώσες7. Σύµφωνα µε τον Leibniz: «Αν ο κόσµος µας δεν είναι άριστος, ο Θεός που τον δηµιούργησε ή δεν ήξερα ήδεν ήθελε ή δεν µπορούσε να τον κάνει άριστο. Αλλά ο Θεός ως Πάνσοφος ήξερε, ως Πανάγαθος ήθελε και ως Παντοδύναµοςµπορούσε να τον κάνει άριστο. `Αρα: Ο κόσµος µας είναι άριστος!» Η παραπάνω απόδειξη του Leibniz λογικά είναι υποδειγµατικά άψογη . Τοσυµπέρασµα όµως –εµπειρικά- µοιάζει «αντιφατικό» .γιατί αυτό; Μήπως επειδήχρησιµοποιεί ιδιότητες του Θεού που εµπεριέχουν το άπειρο; Πράγµατι : «Πανάγαθος» , δηλ έχει άπειρο βαθµό αγαθότητας . «Πάνσοφος» : `Εχει άπειροβαθµό σοφίας και γνώσης . «Παντοδύναµος» : `Εχει απεριόριστες δυνατότητες. Ανσκεφθούµε ότι ιστορικά ο άνθρωπος έκανε αρκετά λάθη στην προσπάθειά του ναεξηγήσει το άπειρο , προφανώς λόγω του πεπερασµένου της ανθρώπινης φύσεώς του,µπορούµε να πούµε –και εδώ-ότι η διαφαινόµενη «αντίφαση» του συµπεράσµατος τουLeibniz , δεν αποτελεί αντίφαση µεταξύ συµπεράσµατος και πραγµατικότητας, αλλάαντίφαση µεταξύ συµπεράσµατος ιδεατής ,υποκειµενικής, δεοντολογικής καιπερατοκρατικής τρόπον τινά αντίληψης που συνήθως έχουν οι άνθρωποι για τονκόσµο. Η λογική λέει ότι η έννοια «καλό» δεν είναι ούτε αυθύπαρκτη , αποµονωµένη ,ούτε αυτοοριζόµενη, αλλά υπάρχει και κατανοείται µόνο ως δίπολο µε την έννοια«κακό». Και αυτό βεβαίως πέραν από την εξαιρετικώς αµφίβολη υποκειµενικήεκτίµηση του τι είναι «καλό» ή «κακό» Επίσης ιστορικά είχαµε πολλά προβλήµαταστην πορεία κατανοήσεως ιδιοτήτων του απείρου, πόσο µάλλον αυτού του ιδίου. Οίδιος ο Leibnitz είχε υποστεί µεγάλη κριτική από τον Επίσκοπο του Berkeley σχετικάµε τα απειροστά που είχε εισάγει τότε, στις απαρχές του απειροστικού λογισµού ,όπου άλλοτε θεωρούσε το dx ως µηδέν και το απάλειφε , ενώ παρακάτω διαιρούσε µετο dx υποθέτοντας το διάφορο του µηδενός!8 Συνεπώς ο λογισµός µε το άπειρο, δενπαράγει πάντοτε αποτελέσµατα αµέσως αποδεκτά από την ανθρώπινη νόηση. Οιδύσκολες έννοιες του απείρου και του απειροστού δεν γίνονται αµέσως κατανοητέςαπό την ανθρώπινη διαίσθηση. Το πιστοποιεί η λίαν ενδιαφέρουσα και πολύ µακράπορεία θεµελιώσεως του Απειροστικού Λογισµού , από τον Αρχιµήδη έως τον7 Βλέπε σελ. 162 «ΛΟΓΙΚΗ» Ευάγγελου Π. Παπανούτσου , εκδόσεις ∆ωδώνη , Αθήνα –Γιάννινα 1985.8 Βλέπε «Εισαγωγή στην Φιλοσοφία των Μαθηµατικών» ∆ιονυσίου Α. Αναπολιτάνου, εκδόσειςΝΕΦΕΛΗ , Αθήνα 1985. σελ. 116
5. 5. Waierstrass . Τα παράδοξα του Ζήνωνος , αλλά και τα µεταγενέστερα διάσηµαπαράδοξα του Russell , του Cantor , των Bourali-Forti περιέχουν πάντα την «περίεργη»έννοια του απείρου9. `Ενα πείραµα που φανερώνει το µη προφανές της κατανόησης των ιδιοτήτωντου απείρου και το οποίο µπορεί να δοκιµάσει ο καθένας , είναι να θέσει σε φοιτητέςµαθηµατικών αλλά και µαθηµατικούς το εξής ερώτηµα: «Αν προσθέσω άπειρους στο πλήθος θετικούς αριθµούς , τι αποτέλεσµα θαπάρω; `Απειρο ή πεπερασµένο;» ή το γεωµετρικό ισοδύναµο ερώτηµα : «Αν θέσωάπειρα ευθύγραµµα τµήµατα επ’ ευθείας, τι θα προκύψει; Ευθ. τµήµα, ηµιευθεία ήευθεία;» Και βέβαια το ότι από άπειρους θετικούς µπορεί να προκύψει και πεπερασµένοάθροισµα ή αντιστοίχως ότι άπειρα ευθύγραµµα τµήµατα ενδεχοµένως να παράγουνευθύγραµµο τµήµα , αυτές θα είναι απαντήσεις µε την µικρότερη συχνότητα, παρ’ ότιαποτελεί κοινό τόπο και λίαν χρησιµοποιούµενο µαθηµατικό αποτέλεσµα σε ∞ 1εκατοντάδες εφαρµογές το γεγονός ότι ∑2 n =1 n = 1 . Μπορεί µάλιστα το προηγούµενοαποτέλεσµα να διδάσκεται από την Β’ Λυκείου , αλλά ο βαθµός αφοµοίωσής του , είναιελάχιστος. Κάθε µαθηµατικός ,στον περίγυρό του ,µπορεί να το επαληθεύσει. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η προσπάθεια «λογικής ερµηνείας» του«παράδοξου»(«Παράδοξο» διαισθητικά βεβαίως , για το πώς άραγε είναι δυνατόνάπειρες θετικές οντότητες να έχουν πεπερασµένο άθροισµα) «Χµ!…..» µου είπε ένας συνοµιλητής µου: «Νοµίζω ότι κατανοώ πλήρως τοαποτέλεσµα! Αυτό εξηγείται από το γεγονός, ότι ναι µεν διαρκώς προστίθεται κάποιαθετική ποσότητα, αλλά αυτή είναι διαρκώς µικρότερη, οπότε µετά από κάποιο αριθµόβηµάτων εκφυλίζεται σε απειροστό , που δεν µπορεί να αυξήσει σε άπειρο το άθροισµακαι το κρατάει σε πεπερασµένα επίπεδα!….» ∞ 1 Βεβαίως όταν του υπεδείχθη ότι ∑ n = ∞ , τότε ο ενθουσιασµός της n = 2.000.000.000«διαισθητικής κατανόησης» του προηγούµένου «παραδόξου» αντικαταστάθηκε απόαπορία και προβληµατισµό….. Ακόµη περισσότερο ενδιαφέρον επιστηµολογικά και διδακτικά έχει το γεγονόςότι ο χωρισµός ενός ευθυγράµµου τµήµατος σε άπειρα άλλα ευθύγραµµα τµήµατα ,είναι πολύ εύκολα αποδεκτός από την ανθρώπινη συνείδηση. Το αντίστροφο όµωςγίνεται εξαιρετικά δύσκολα αποδεκτό , αφού τα άπειρα ευθύγραµµα τµήµατα «πρέπει»να έχουν άθροισµα ή ηµιευθεία ή ευθεία , δηλ. άπειρη οντότητα, αλλά ποτέ ευθ. τµήµαδηλ. πεπερασµένη οντότητα. Κατά την γνώµη του γράφοντος , το προηγούµενο αποτελεί και τον πυρήνα τωνπερίφηµων παραδόξων του Ζήνωνα , αφού λ.χ. στο παράδοξο του βέλους που ποτέ δενφθάνει στον στόχο του, είναι εξαιρετικά δύσκολο να γίνει αποδεκτό από τηνανθρώπινη συνείδηση ότι άπειρες χρονικές περίοδοι ενδεχοµένως να έχουν άθροισµαπεπερασµένη χρονική περίοδο. Από τα προηγούµενα καθίσταται περισσότερο φανερή η δυσκολία κατανοήσεωςσε βάθος της έννοιας του απείρου, η οποία ακολούθησε µακρά ιστορική περίοδοξεκαθαρίσµατος . Συνεπώς , αφού είναι δύσκολη η κατανόησή της σε βάθος ακόµα κιαπό µαθηµατικούς, είναι προφανής και ο προβληµατισµός του κατά πόσον είναι9 Τα διάσηµα αυτά παράδοξα αλλά και άλλα περιέχονται στο βιβλίο της υποσηµειώσεως (5) σελ. .200
6. 6. δυνατόν αυτή η έννοια να γίνει εργαλείο χειρισµού σε ένα χώρο που επικρατούνδόγµατα και εξ αποκαλύψεως αλήθειες. Αν µη τι άλλο όµως είναι προκλητική η χρήσητων µαθηµατικών συµπερασµάτων στο έλεγχο των δογµάτων από απόψεως φυσικήςκαι λογικής υποστάσεως. Ως καίριο παράδειγµα έχουµε το παρακάτω τελευταίοερώτηµα και τον ενδιαφέροντα προβληµατισµό του . ΕΡΩΤΗΜΑ 5. Ο Θεός υπόσχεται «αιώνια ζωή» αλλά και «αιώνια τιµωρία»σε όσους ανθρώπους δεν διάγουν ενάρετο και Χριστιανικό βίο στην παρούσαπεπερασµένη φάση της ζωής µας . Υπάρχει κάποιο παράδοξο σε αυτή τηνυπόσχεση του Θεού και ποίο; Απάντηση: Αν πάρουµε την πεπερασµένη ζωή µας σε σχέση µε την άπειρη «αιώνια ζωή», έχουµε το αποτέλεσµα του 0%. Είναι αυτό που πολύ καλά γνωρίζουµε από τον πεπερασµενοαπειροστικό λογισµό ότι = 0 . Το προηγούµενο αποτέλεσµα είναι ∞απόλυτο. `Οσο µεγάλη ζωή και να ζήσει ο άνθρωπος , ακόµα και δισεκατοµµύρια έτη(που προφανώς είναι ανέφικτο ακόµα και για το απώτατο µέλλον ) σε σχέση µε την«αιώνια ζωή» (=άπειρα χρόνια ) είναι ένα παγερό ολοστρόγγυλο µηδενικό! Ακόµα πιοπαραστατικό είναι το να αντιληφθούµε , ότι η παρούσα φάση της πεπερασµένης ζωήςµας , είναι ακριβώς µηδενικής διάρκειας, σε σχέση µε την µεγάλη υπόσχεση του Θεούγια αιώνια και µακάρια ζωή , µε δεδοµένη και την αθανασία της ψυχής. Με δεδοµένο το προηγούµενο, η παραβατικότητα («αµαρτίες») των ανθρώπωνκαθίσταται φαινόµενο «άπειρης βλακείας». Η προηγούµενη εντός εισαγωγικών φράση,δεν αποτελεί εδώ ένα σχήµα λόγου, αλλά µια κυριολεξία , αν µεταφραστούν οισυνέπειες της πραγµατικότητας που όλοι βλέπουµε καθηµερινά. ∆ηλαδή µε άλλα λόγια,το ίδιο το γεγονός της διακύβευσης απώλειας της αιώνιας ζωής µε την παραβατικότηταπου εµφανίζουν οι πιστοί, οδηγεί στο νοµοτελειακό συµπέρασµα της «άπειρηςβλακείας» . ∆εν πρέπει να µας εκπλήσσει ένα τέτοιο συµπέρασµα, αλλά αντιθέτως ναµας εµβάλλει σε σοβαρό στοχασµό για το πώς είναι δυνατόν να διακινδυνεύει κάποιοςπιστός την αιώνια ζωή κάνοντας αµαρτίες σε µια ζωή κατ’ ουσίαν µηδενικής διάρκειας.∆ιακινδυνεύεται – κατ’ επανάληψιν µάλιστα – η αιώνια ζωή (οι αµαρτίες είναικαθηµερινότητα για όλους τους πιστούς) για το µηδέν; ∆ιακινδυνεύεται η παραποµπήστο «πυρ το εξώτερον» αιωνίως και ανεπιστρεπτί (ως γνωστόν «∆εν υπάρχει µετάνοιαµετά θάνατον») για παραβάσεις του ηθικού Χριστιανικού κώδικα από πιστούς σχεδόνκαθηµερινά και αυτό το γεγονός δεν συνιστά µια άκρως ακατανόητη συµπεριφορά ;Εποµένως , αν από την µία µεριά τεθεί η ανθρώπινη συµπεριφορά κι από την άλλη ηυπόσχεση του Θεού, βλέπουµε κάτι που είναι άκρως ακατανόητο . Τότε γιατί οιάνθρωποι ρέπουν προς την αµαρτία µε τέτοια συχνότητα και µάλιστα οι πιστοί; Εδώ ηύπαρξη της διαβολικής οντότητας µπορεί να εξηγήσει την συµπεριφορά αυτή, από τηνάλλη όµως , καταρρακώνεται κάθε έννοια ελευθερίας αυτοβουλίας και αυτεξούσιου τουανθρωπίνου όντος . Μία «πονηρή» οντότητα παρεµβαίνει στην βούληση του ανθρώπουκαι τον ωθεί σε αµαρτίες; Περιποιεί τιµή στον άνθρωπο η φράση «δεν φταίω εγώ ο όφιςµε εξηπάτησε;» Ικανοποιείται η ανθρώπινη αξιοπρέπεια µε την συχνή και διαρκήπροσφυγή στην εξοµολόγηση για απάλειψη των ανοµιών; Από την άλλη η αληθινήπίστη προς τον Θεό δεν αποτελεί ικανή συνθήκη για την µη διάπραξη ανοµιών –τουλάχιστον µε µεγάλη συχνότητα- από µέρους των δηλούντων ανενδίαστως καιαπολύτως ότι είναι βέβαιοι για την ύπαρξη του ανωτάτου `Οντος; ∆εν υπάρχει τεράστιααντίφαση στην καθηµερινή συµπεριφορά των ανθρώπων;
7. 7. Αλλά βέβαια ο προβληµατισµός δεν µπορεί να εξαντληθεί στα προηγούµενα ,µπορεί όµως να προαχθεί σε ανώτερο επίπεδο και µε την χρήση των εργαλείων τωνΜαθηµατικών και να προσεγγισθεί η αλήθεια υπό όποια έννοια υπάρχει κι αν βεβαίωςυπάρχει……… SUMMARY: In all the religions, the god is infinite. It’s comprehension, if it is feasible, passesthrough the comprehension of the infinite. The instinctive accession of the meaning ofthe infinite, historically has leaded into faults, misapprehensions, paradoxes and fertilecontradictions. Today Mathematiques have very much penetrated in the meaning of theinfinite, and because of this the philosophical and theological reflection can beenhanced. Also the Mathematician logic has attempted some of its paradoxes. Havingall these equipments we can access questions as the followings: Can the God createother infinite beings, being itself an infinite being? As long as it is omnipotent, can itconstruct a stone that it cannot lift? The meaning of “human God” that is given to theChrist, is it inconsistent? Could the God create a better world than the world of thewars, the fame and the injustice, that he it has created? (Not according to Leibniz). Doesthe faith of a man to the God and his simultaneous default through his signs make himthe acme of the human absurdity? These questions are examined in the present workthat tries to give answers or to enlarge the field of their reference.

Πηγή: https://www.slideshare.net/plataros/5-theologika-erwthmata