Συντάκτης: Γιώργος Καρουζάκης

«Ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι φτιαγμένος για να συγκρίνει, όχι να μετρά», επισημαίνουν, σε ένα ενδιαφέρον άρθρο που δημοσιεύεται στην πλατφόρμα επιστημονικών θεμάτων «The Conversation», η νευροεπιστήμονας  Liz Toomarian και η υποψήφια διδάκτορας Lindsey Hasak από το Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ.

«Οι άνθρωποι υπολογίζουν τους αριθμούς χρησιμοποιώντας δίκτυα διασυνδεόμενων νευρώνων σε ολόκληρο τον εγκέφαλο. Πολλά από αυτά τα «κανάλια» εμπλέκουν τον βρεγματικό φλοιό – μια περιοχή του εγκεφάλου που βρίσκεται ακριβώς πάνω από τα αυτιά. Αυτή η περιοχή είναι υπεύθυνη για την επεξεργασία των διαφορετικών ειδών ποσοτήτων ή μεγεθών, συμπεριλαμβανομένου του χρόνου, της ταχύτητας και της απόστασης, και αποτελεί τη βάση για άλλες αριθμητικές ικανότητες», γράφουν.

Και εξηγούν ότι ενώ τα γραπτά σύμβολα και οι προφορικοί όροι που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς είναι μια πολιτισμική εφεύρεση, η κατανόηση των ίδιων των ποσοτήτων δεν είναι: «Οι άνθρωποι -όπως και πολλά ζώα, συμπεριλαμβανομένων των ψαριών, των πτηνών και των πιθήκων- εμφανίζουν στοιχειώδεις αριθμητικές ικανότητες λίγο μετά τη γέννησή τους.

Τα βρέφη, οι ενήλικες, ακόμη και οι αρουραίοι, είναι ευκολότερο να διακρίνουν ανάμεσα σε σχετικά μικρούς αριθμούς από ό,τι σε μεγαλύτερους. Είναι πολύ πιο εύκολο να αντιληφθεί κανείς τη διαφορά μεταξύ του 2 και του 5 από τη διαφορά μεταξύ του 62 και του 65, παρά το γεγονός ότι και τα δύο σύνολα αριθμών διαφέρουν μόνο κατά 3».

Σύμφωνα με τις αρθρογράφους, ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι ρυθμισμένος να αναγνωρίζει μικρές ποσότητες, επειδή οι μικρότεροι αριθμοί είναι αυτοί με τους οποίους οι άνθρωποι αλληλοεπιδρούν περισσότερο σε καθημερινή βάση. Όταν, για παράδειγμα, ερευνητές ζήτησαν από αγοραστές στην ουρά του ταμείου ενός σουπερμάρκετ να εκτιμήσουν το συνολικό κόστος της αγοράς τους, οι τελευταίοι αναφέρθηκαν σε μια χαμηλότερη τιμή από το πραγματικό ποσό. Όσο πιο ακριβά ήταν τα είδη που είχαν αγοράσει, τόσο μεγαλύτερη ήταν η διαφορά μεταξύ του εκτιμώμενου και του πραγματικού ποσού.

Οι επιστήμονες συνδέουν, τέλος, αυτήν την εγκεφαλική λειτουργία με τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τους αριθμούς της τρέχουσας πανδημίας, λέγοντας ότι ο εγκέφαλος δεν μπορεί να κατανοήσει ακριβώς τι σημαίνει ότι ένα εκατομμύριο άνθρωποι έχουν χάσει τη ζωή τους. Η πανδημία είναι γεμάτη από δυσνόητους αριθμούς που ξεπερνούν κατά πολύ τις διαισθητικές ικανότητες επεξεργασίας αριθμών του εγκεφάλου. «Αν ο εγκέφαλος ήταν φτιαγμένος για να κατανοεί τέτοιου είδους αριθμούς, ίσως να είχαμε λάβει διαφορετικές ατομικές αποφάσεις ή να είχαμε υιοθετήσει διαφορετική συλλογική δράση», καταλήγουν.

Πηγή: “The Conversation”

https://thalesandfriends.org/el/2022/04/01/i-diskolia-katanoisis-megalon-arithmon/?fbclid=IwAR1YMqhcFy7Zbbjr-ymnScdt7l3Uln3PVxvIBAa1x7SRfZukkMiYAFrgoRc

(Επίκαιρο) Quiz πιθανοτήτων κ ιατρικής:

Ας υποθέσουμε ότι στην Ελλάδα 1 στους 100 έχει κορωναϊό  αυτή τη στιγμή δηλαδή ότι υπάρχουν 100.000 ενεργά κρούσματα σε έναν πληθυσμό 10.000.000. Ας υποθέσουμε επίσης ότι το μοριακό τεστ είναι 95% ακριβές όταν βγαίνει θετικό (δηλαδή αν πράγματι έχεις covid τις 95 φόρες από τις 100 θα βγει θετικό και τις 5 αρνητικό). Ας υποθέσουμε επίσης ότι είναι 95% ακριβές κ όταν βγαίνει αρνητικό(δηλαδή στους 100 υγιείς που κάνουν το τεστ θα δείξει και 5 ότι έχουν covid ενώ δεν θα έχουν). Αν  εγώ έκανα το τεστ και βγήκε θετικό ποια είναι η πιθανότητα να έχω πραγματικά covid???

Η αποδεδειγμένη μαθηματική απάντηση είναι μόλις 16%!!!! Δηλαδή με άλλα λόγια αν κάποιος κάνει το τεστ και βγει θετικό είναι κατά πολύ πιθανότερο(84%) να είναι υγιής παρά να έχει πράγματι κορωναϊό!!! Εσκεμμένα επέλεξα νούμερα που  να προσεγγίζουν την πραγματικότητα.

Προσοχή: Δεν ισχυρίζομαι ότι πρέπει να καταργήσουμε τα τεστ αλλά θα πρέπει σίγουρα να είμαστε επιφυλακτικοί στα αποτελέσματά τους και επομένως θα πρέπει να τα επαναλαμβάνουμε ώστε να μειώνονται οι πιθανότητες σφάλματος.

Ομάδα επιστημόνων ανακάλυψε ότι το μέσο σχήμα των πετρωμάτων που κατακερματίζονται στη φύση είναι ο κύβος, «δικαιώνοντας» τη θεωρία του αρχαίου φιλοσόφου για τη σύσταση της Γης

Αέρας, Νερό, Φωτιά και Γη: αυτά είναι τα τέσσερα θεμελιώδη στοιχεία τα οποία συνθέτουν το Σύμπαν, όπως το περιέγραψε ο Πλάτων στο έργο του «Τίμαιος». Καθένα από αυτά τα στοιχεία, σύμφωνα με τη σκέψη του μεγάλου φιλοσόφου, συνίσταται από κανονικά πολύεδρα: ο αέρας από οκτάεδρα, το νερό από εικοσάεδρα, η φωτιά από τετράεδρα, δηλαδή πυραμίδες, και η Γη από κύβους. Η γεωμετρική αυτή θεώρηση του Σύμπαντος, αν και όχι ακριβής, αποτέλεσε μία μεγάλη συμβολή στη φιλοσοφία της επιστήμης. Μία πρόσφατη ανακάλυψη έρχεται να αναστατώσει τα νερά φέρνοντας ξανά την κοσμολογία του Πλάτωνα στο προσκήνιο. Ο ούγγρος επιστήμονας Γκάμπορ Ντόμοκος, ο οποίος το 2006 απέδειξε την ύπαρξη ενός ομογενούς γεωμετρικού στερεού το οποίο έχει μόλις δύο σημεία ισορροπίας, ανακάλυψε με την ομάδα του ότι εάν κανείς παρατηρήσει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των θραυσμάτων τα οποία προκύπτουν καθώς τα πετρώματα κατακερματίζονται στη φύση, θα διαπιστώσει ότι το μέσο σχήμα είναι κύβος. Αποτελείται λοιπόν η Γη από κύβους, όπως υποστήριζε ο Πλάτων τον 4ο αιώνα π.Χ.;

«Οι αποστολές σε άλλους πλανήτες μάς φέρνουν πολλά πετρώματα και θα ήταν ευτύχημα εάν μπορούσαμε από το σχήμα τους να εξάγουμε κάποια συμπεράσματα για την ιστορία τους» λέει ο Γκάμπορ Ντόμοκος

Το τρίγωνο ως δομικός λίθος

Προτού βουτήξουμε στα βαθιά νερά της γεωμετρίας, ας δούμε μερικά ακόμη στοιχεία από την κοσμολογία του Πλάτωνα. Καθένα από τα γεωμετρικά στερεά τα οποία συνθέτουν το Σύμπαν μπορεί να αναλυθεί σε δύο βασικά σχήματα: το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο, το οποίο προκύπτει εάν διπλώσουμε ένα τετράγωνο στη διαγώνιό του, και το ορθογώνιο σκαληνό, το οποίο προκύπτει εάν χωρίσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε δύο ίσα μέρη. Ετσι, τα δύο ορθογώνια τρίγωνα αποτελούν τους δομικούς λίθους όλου του Σύμπαντος.

Μάλιστα στο έργο του «Επινομίς» ο Πλάτων βάζει στο παιχνίδι και το μόνο κανονικό πολύεδρο που δεν είχε συμπεριλάβει στο προηγούμενο έργο του: το δωδεκάεδρο, το οποίο απέδωσε στον αιθέρα, μία σύλληψη η οποία απασχόλησε επί αιώνες την επιστημονική κοινότητα. Η κοσμολογία του Πλάτωνα λοιπόν βασίστηκε στα γεωμετρικά στερεά τα οποία «χτίζουν» το Σύμπαν κουμπώνοντας το ένα με το άλλο. Με ποιον τρόπο όμως τα αποτελέσματα της πρόσφατης έρευνας, τα οποία δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική επιθεώρηση «Proceedings of Natural Academy of Science», αποτέλεσαν την αφορμή για να επανέλθει αυτή η σύλληψη στο προσκήνιο; «Η αρχική ιδέα είναι απλή» αναφέρει στο ΒΗΜΑ-Science ο Γκάμπορ Ντόμοκος, κύριος συγγραφέας της δημοσίευσης και επικεφαλής του Τμήματος Μηχανικής, Υλικών και Δομών του Πανεπιστημίου Τεχνολογίας και Οικονομικών της Βουδαπέστης. «Αν κανείς θραύσει με τυχαίο τρόπο ένα πολύεδρο σε δύο θραύσματα και μετά συνεχίσει την κατάτμηση αυτών των θραυσμάτων ξανά και ξανά θα καταλήξει σε έναν μεγάλο αριθμό διαφορετικών πολυεδρικών σχημάτων. Κατά μία έννοια το μέσο προκύπτον σχήμα των θραυσμάτων θα είναι κύβος» εξηγεί ο ερευνητής. «Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και με έναν κύβο. Εάν κανείς κόψει με τυχαίο τρόπο έναν κύβο σε επίπεδες επιφάνειες, προκύπτουν πολύεδρα, των οποίων ο μέσος όρος των εδρών, των κορυφών και των ακμών παραπέμπει πάλι στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του κύβου».

Αναζητώντας την ιδέα στη φύση

Για να επιβεβαιώσει την υπόθεσή του, ο ερευνητής πραγματοποίησε υπολογιστικές προσομοιώσεις με τη συμβολή του ερευνητή υπολογιστικής φυσικής Γιάνος Τέρεκ. Τα αποτελέσματα ήταν πολύ ενθαρρυντικά, αφού οι προσομοιώσεις με εκατοντάδες γεωμετρικά σχήματα επαλήθευσαν την αρχική υπόθεση. Ακολουθώντας μία συμβουλή που του είχε δώσει παλαιότερα ο εκλιπών πια διακεκριμένος ρώσος μαθηματικός Βλαντίμιρ Αρνολντ, ο ερευνητής θέλησε να εξετάσει εάν το μοτίβο αυτό παρατηρείται στη φύση. Για να διερευνήσει αυτό το ενδεχόμενο, ο ούγγρος επιστήμονας απευθύνθηκε στον γεωφυσικό Ντάγκλας Τζέρολμακ από το Πανεπιστήμιο της Πενσιλβάνια στη Φιλαδέλφεια των ΗΠΑ. «Το εύρημα αυτό είναι είτε λανθασμένο είτε εξαιρετικό!» σχολίασε ο καθηγητής στον ερευνητή όταν αυτός του παρουσίασε τα πρώιμα αποτελέσματά του.

Αποφάσισαν να ξεκινήσουν από κοινού μία σειρά πειραμάτων τα οποία περιελάμβαναν υπολογιστικές προσομοιώσεις γεωλογικών φαινομένων, μελέτες στο πεδίο και στατιστικές αναλύσεις, μία ολοκληρωμένη δηλαδή μελέτη η οποία θα τους επέτρεπε να συνθέσουν μία συνεκτική θεωρία. Ουσιαστικά το ερώτημα στο οποίο απάντησαν είναι τι σχήματα δημιουργούνται όταν τα πετρώματα θραύονται σε πέτρες.

Είναι εντυπωσιακό ότι διαπίστωσαν πως η βασική μαθηματική υπόθεσή τους συνδέει γεωλογικές διεργασίες όχι μόνο στη Γη αλλά και στο ηλιακό σύστημα. «Αρχικά συλλέξαμε εκατοντάδες θραύσματα πετρωμάτων από το φυσικό περιβάλλον» εξηγεί ο ούγγρος ερευνητής. «Εξετάζοντας τα πετρώματα βρήκαμε ότι η συντριπτική πλειονότητα των γεωμετρικών χαρακτηριστικών τους παρέπεμπαν σε κύβο, ανεξαρτήτως τού αν είχαν προέλθει από φυσική θραύση λόγω φυσικών φαινομένων ή από εξόρυξη με τεχνητά μέσα».

O χάρτης των σχημάτων ανά ασκηθείσα τάση

Σε ένα δεύτερο επίπεδο, οι ερευνητές θέλησαν να διερευνήσουν τον τρόπο με τον οποίο προέκυψαν αυτά τα πετρώματα. Στην επίτευξη αυτού του στόχου συνέβαλαν οι υπολογιστικές προσομοιώσεις, οι οποίες πραγματοποιήθηκαν με τη συμβολή του γεωλόγου Φέρεντς Κουν. Ασκώντας πολλές διαφορετικές μορφές μηχανικής τάσης στα μοντέλα τους, οι ερευνητές κατακερμάτιζαν τα πετρώματα μελετώντας τα σχήματα που προέκυπταν. «Δημιουργήσαμε με αυτόν τον τρόπο έναν χάρτη στον οποίο αντιστοιχίσαμε τα διαφορετικά σχήματα στις διαφορετικές μορφές τάσης που ασκήθηκαν» εξηγεί ο ερευνητής, συμπληρώνοντας ότι «κάθε πέτρωμα αποτελείται από διαφορετικούς δομικούς λίθους που εξαρτώνται από τις τάσεις τις οποίες έχει ήδη δεχθεί στο πέρασμα του χρόνου. Καθώς συμβαίνει η σύνθλιψη του πετρώματος όμως, ανεξάρτητα από τον αρχικό δομικό λίθο, δημιουργούνται θραύσματα, τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των οποίων παραπέμπουν κατά μέσο όρο στον κύβο».

Μέρος αυτής της λογικής είναι ότι τα στοιχεία που προκύπτουν από ένα προηγουμένως συμπαγές αντικείμενο πρέπει να ταιριάζουν χωρίς κενά, όπως τα κομμάτια ενός πιάτου που έσπασε. Οπως αποδεικνύεται, το μόνο από τα λεγόμενα κανονικά πολύεδρα (πολύεδρα δηλαδή με πλευρές ίσου μήκους) που ταιριάζουν χωρίς κενά είναι κύβοι.

Εξαιρέσεις

Φυσικά, αυτό δεν συμβαίνει χωρίς εξαιρέσεις. Οπως αναφέρει ο ερευνητής, υπάρχουν κάποιες σπάνιες περιπτώσεις στις οποίες η τάση η οποία ασκείται οδηγεί στη δημιουργία θραυσμάτων που δεν έχουν χαρακτηριστικά κύβου. «Αυτό παρατηρείται σε δομές όπου ασκούνται τάσεις σχετικά σπάνιες στη φύση, όπως παραδείγματος χάριν στις βασαλτικές κολόνες, οι οποίες σχηματίζονται κατά την ψύξη της λάβας». Τέτοιου είδους πετρώματα παρατηρούνται στο λεγόμενο «Μονοπάτι του Γίγαντα», το οποίο βρίσκεται στο Ηνωμένο Βασίλειο, ή στους «Βράχους του Μοεράκι» στη Νέα Ζηλανδία. Η τάση για δημιουργία θραυσμάτων με γεωμετρικά χαρακτηριστικά κύβου δεν παρατηρείται ούτε στις δισδιάστατες δομές, σε πλάκες δηλαδή των οποίων το πάχος θεωρείται αμελητέο σε σχέση με το μήκος και το πλάτος. Στις πλάκες τα θραύσματα εμφανίζουν στην πλειονότητά τους τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά ενός τετράπλευρου.

Από τον κύβο στο γκόμποκ

Η ανακάλυψη αυτή δεν είναι μεμονωμένη. Στην πραγματικότητα έρχεται να συμπληρώσει μία προηγούμενη ερευνητική εργασία του επιστήμονα, ο οποίος το 2006 είχε αποδείξει με τη συμβολή του ερευνητή Πίτερ Βαρκόνι την ύπαρξη του γεωμετρικού στερεού γκόμποκ (Gömböc). Είναι ο ρώσος μαθηματικός Βλαντίμιρ Αρνολντ, ο οποίος είχε προτείνει πρώτος την ύπαρξη αυτού του στερεού, το οποίο είναι ομογενές και έχει μόλις δύο σημεία ισορροπίας, ένα ευσταθές και ένα ασταθές. Αυτό σημαίνει ότι το στερεό ισορροπεί με ευστάθεια σε μία θέση, αλλά υπάρχει και μία θέση στην οποία εμφανίζει ασταθή ισορροπία, την οποία χάνει με την παραμικρή δύναμη που θα του ασκηθεί. Το στερεό αυτό, όπως εξηγεί ο ούγγρος επιστήμονας, μαζί με το εύρημα ότι τα θραύσματα των πετρωμάτων έχουν κατά μέσο όρο τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά ενός κύβου, υποδεικνύουν την αρχή της εξελικτικής διαδικασίας των πετρωμάτων και την τελική μορφή την οποία τείνουν να λάβουν.

«Ο κύκλος ζωής των πετρωμάτων εκτείνεται σε εκατομμύρια χρόνια. Η εξέλιξή τους οφείλεται στον κατακερματισμό τους, εξαιτίας του οποίου χάνουν μέρος της μάζας τους. Αυτό που βρήκαμε εμείς είναι ότι το ταξίδι αυτό ξεκινά από τον κύβο, όχι έναν ορατό κύβο αλλά έναν κύβο ο οποίος διαφαίνεται στον μέσο όρο των γεωμετρικών χαρακτηριστικών των θραυσμάτων. Επειτα, υπάρχει ένας γενικός κανόνας στα Μαθηματικά, σύμφωνα με τον οποίο τα σημεία ισορροπίας των αντικειμένων κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας διαδικασίας ολοένα και μειώνονται. Το γκόμποκ έχει τα ελάχιστα σημεία ισορροπίας. Ετσι, στη φύση τα πετρώματα ξεκινούν από τον κύβο, ο οποίος έχει 26 σημεία – ευσταθούς και ασταθούς – ισορροπίας και, χωρίς να φτάνουν ποτέ σε αυτό, τείνουν στο γκόμποκ, το οποίο έχει δύο σημεία ισορροπίας. Ολα τα πετρώματα στη φύση κινούνται ανάμεσα σε αυτές τις δύο ακραίες καταστάσεις. Με αυτόν τον τρόπο ο κύβος και το γκόμποκ οριοθετούν το πλαίσιο της εξέλιξης των πετρωμάτων».

Πολύτιμη γνώση για πρακτικές εφαρμογές

Πάντως, τα ευρήματα αυτά δεν περιορίζονται στην περιγραφή των πετρωμάτων της Γης. «Η θεωρία μας είναι καθαρά γεωμετρική, έτσι δεν έχουμε κανέναν λόγο να πιστεύουμε ότι μία τέτοια θεωρία δεν θα είναι έγκυρη και σε πλανήτες εκτός της Γης» σημειώνει ο ερευνητής. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό, καθώς διαθέτοντας έναν λεπτομερή χάρτη των μοτίβων κατακερματισμού των πετρωμάτων, οι επιστήμονες μπορούν να εξάγουν διάφορα συμπεράσματα για τη γεωλογική ιστορία τους και για τις τάσεις τις οποίες έχουν δεχθεί. «Είναι πολύ σημαντικό να είμαστε σε θέση να περιγράψουμε την εξέλιξη των πετρωμάτων. Οι αποστολές σε άλλους πλανήτες μάς φέρνουν πολλά πετρώματα και θα ήταν ευτύχημα εάν μπορούσαμε από το σχήμα τους να εξάγουμε κάποια συμπεράσματα για την ιστορία τους» αναφέρει ο κ. Ντόμοκος.

Τα αποτελέσματα των ερευνητών, όσο θεωρητικά και να φαντάζουν, μπορούν να έχουν επίσης καθημερινές εφαρμογές στην έρευνα. «Δημιουργήσαμε ένα θεωρητικό πλαίσιο το οποίο συνάγει το γεωφυσικό υπόβαθρο της διεργασίας κατακερματισμού με βάση αποκλειστικά τα γεωμετρικά σχήματα που παρατηρούνται στα πετρώματα. Επίσης, η μελέτη μας καταλήγει σε συμπεράσματα σχετικά με το εσωτερικό των πετρωμάτων βάσει των μοτίβων των επιφανειακών ρωγμών τους. Τα συμπεράσματα αυτά θα μπορούσαν να χρησιμεύσουν σε διάφορες βιομηχανικές εφαρμογές, όπου η ροή ενός ρευστού, όπως παραδείγματος χάριν του πετρελαίου, διαδραματίζει καίριο ρόλο».

Από τον Πλάτωνα λοιπόν στη βιομηχανία, περνώντας από τα πετρώματα άλλων πλανητών εκτός της Γης, η ανακάλυψη αυτή αποτελεί μία ενδιαφέρουσα συμβολή στην επιστήμη.

«Η διαίσθηση τον οδήγησε στον κύβο»

«Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» ήταν η φράση που αναγραφόταν στο υπέρθυρο της Ακαδημίας του Πλάτωνα, δηλαδή να μην εισέρχεται κανένας που δεν γνωρίζει γεωμετρία. «Οι διαισθήσεις του Πλάτωνα, υποστηριζόμενες από την ευρεία σκέψη του για την επιστήμη, μπορεί να τον οδήγησαν σε αυτήν την ιδέα για κύβους» ανέφερε σε δηλώσεις του ο δρ Γκάμπορ Ντόμοκος.

«Περήφανος για το γκόμποκ στην Ελλάδα»

«Υπάρχουν πολλά αριθμημένα γεωμετρικά στερεά γκόμποκ. Μερικά από αυτά βρίσκονται σε μόνιμες εκθέσεις μεγάλων πανεπιστημίων, όπως αυτό του Χάρβαρντ, του Πρίνστον, του Κέιμπριτζ, της Σορβόννης ή της Χαϊδελβέργης. Είμαι ιδιαίτερα περήφανος που το γκόμποκ με αριθμό 1837 εκτίθεται μόνιμα στο πιο φημισμένο πανεπιστήμιο της Ελλάδας, το Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών» σημειώνει ο δρ Γκάμπορ Ντόμοκος.

Η 11ετής έρευνα που «βρήκε» το γκόμποκ

Η ιδέα του γεωμετρικού στερεού γκόμποκ είναι γέννημα-θρέμμα του διακεκριμένου ρώσου μαθηματικού Βλαντίμιρ Αρνολντ, ο οποίος είχε προτείνει ότι ένα στερεό του οποίου η μάζα είναι ομοιογενώς κατανεμημένη μπορεί να έχει δύο σημεία ισορροπίας, σε πείσμα της υπόλοιπης επιστημονικής κοινότητας η οποία πίστευε ότι ένα τέτοιο σώμα μπορεί να έχει μέχρι τέσσερα σημεία ισορροπίας. «Σε μία συζήτηση που είχαμε το 1995, ο Αρνολντ μού πέρασε το “μικρόβιο” να διερευνήσω την ύπαρξη του συγκεκριμένου γεωμετρικού στερεού» θυμάται ο Γκάμπορ Ντόμοκος. «Μου πήρε 11 χρόνια για να αποδείξω την ύπαρξη αυτού του στερεού». Δεδομένου ότι το επιστημονικό υπόβαθρο του ερευνητή είναι η αρχιτεκτονική και ως εκ τούτου δεν ήταν εξοικειωμένος με ένα πολύ υψηλό επίπεδο Μαθηματικών, το οποίο απαιτείται στο πεδίο των Θεωρητικών Μαθηματικών, ο Αρνολντ είχε πλησιάσει τον δρα Ντόμοκος μετά από μία ομιλία του λέγοντάς του «πολύ ωραία δουλειά, αλλά τώρα πρέπει να κάνεις λίγα σοβαρά Μαθηματικά!». Τον προέτρεψε έτσι να αναζητήσει το γεωμετρικό στερεό στη φύση. Πράγματι, ο επιστήμονας με επίμονη έρευνα «είδε» το γκόμποκ σε ένα πλήθος φυσικών στοιχείων, από το κέλυφος της χελώνας μέχρι τις πέτρες του Αρη. Και όπως όλες οι πολύτιμες προτροπές, έτσι κι αυτή του μεγάλου μαθηματικού τον συνόδευσε στην ακαδημαϊκή του πορεία και του έδωσε το έναυσμα να αναζητήσει τις ιδέες του Πλάτωνα στα πετρώματα. «Δυστυχώς δεν έζησε για να δει το αποτέλεσμα» λέει κλείνοντας την κουβέντα. Ενα αριθμημένο αντίγραφο του στερεού γκόμποκ διατηρείται στο Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ο αριθμός του είναι 1837, η χρονολογία ίδρυσης του ιστορικού πανεπιστημίου!

Το γκομπόκ 1837 που ανήκει στο Πανεπιστήμιο Αθηνών

Ο Χάιζενμπεργκ και η δομή της ύλης ως έννοια

«Πιστεύω ότι η μοντέρνα Φυσική κατέληξε σαφώς υπέρ του Πλάτωνα. Στην πραγματικότητα, οι μικρότεροι δομικοί λίθοι της ύλης δεν είναι φυσικά αντικείμενα με τη συνήθη έννοια, είναι μορφές, έννοιες οι οποίες μπορούν να εκφραστούν με μη αμφιλεγόμενο τρόπο στη μαθηματική γλώσσα» έγραφε ο Βέρνερ Χάιζενμπεργκ στο έργο του «Νόμοι της Φύσης και Δομή της Υλης». Οπως σημειώνει ο καθηγητής Γκάμπορ Ντόμοκος, οι ιδέες του Πλάτωνα αποτέλεσαν τον σπόρο της ιδέας του ατόμου, του δομικού λίθου της ύλης. «Ο Πλάτων υποστήριζε ότι η Γη, η Φωτιά, ο Αέρας και το Νερό αποτελούνται το καθένα από πανομοιότυπα κανονικά πολύεδρα. Παρότι αυτή η ιδέα δεν ισχύει απόλυτα, μεγάλοι θεωρητικοί φυσικοί όπως ο Βέρνερ Χάιζενμπεργκ έδωσαν έμφαση στη θεμελιώδη αρχή της ιδέας: ότι η φύση αποτελείται από πανομοιότυπα, συμμετρικά στοιχεία. Σήμερα, αυτά τα στοιχεία αποκαλούνται άτομα» σημειώνει ο ερευνητής, καταλήγοντας ότι «η έρευνά μας έδειξε ότι η ιδέα του Πλάτωνα είναι ακριβής όσον αφορά τη διαδικασία του κατακερματισμού των πετρωμάτων».

Πηγή: https://www.tovima.gr/2020/08/30/science/i-anakalypsi-pou-fernei-ton-platona-ksana-sto-proskinio/

4.4.3 Genikeymenh Mh Plhrothta (A. Aragevrghs)

Η γεωμετρία όπως είναι γνωστό ασχολείται με το χώρο, αφού καταστήσει σαφές τι είναι χώρος. Χώρος για τη γεωμετρία είναι ένα σύνολο σημείων και ευθειών. Έτσι αν ο  χώρος αναφέρεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, τα σημεία του χώρου μας είναι τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας και οι ευθείες του χώρου μας είναι οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας.

Κείμενο  του  Γιώργου Μπαντέ 

Ο επίπεδος χώρος των δύο διαστάσεων, δηλαδή το γνωστό μας επίπεδο, περιγράφεται πλήρως από τη γεωμετρία του Ευκλείδη, με σημεία και ευθεία τα γνωστά μας Ευκλείδεια σχήματα. Τα σχήματα αυτά συμπεριφέρονται με έναν ορισμένο τρόπο, όπως τα περιέγραψε ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του, τα οποία περιέχουν 23 Ορισμούς, 9 κοινές αρχές και 5 αξιώματα-αιτήματα, τα οποία αξιώματα δεν είναι τίποτα άλλο παρά υποθέσεις για τη συμπεριφορά των σημείων και των ευθειών του επιπέδου. Το να ρωτούμε λοιπόν αν τα αξιώματα του Ευκλείδη ισχύουν στο χώρο, ισοδυναμεί με το να ρωτούμε αν ο χώρος είναι Ευκλείδειος.

Ένα παράδειγμα ορισμού είναι οι παράλληλες ευθείες (ορισμός 23), παράλληλες είναι οι ευθείες του ίδιου επιπέδου, που προεκτεινόμενες επ’ άπειρο και από τα δύο μέρη, δεν συναντώνται σε κανένα από αυτά.
Παράδειγμα κοινής αρχής: αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν ίσα.

Τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι τα εξής [1]:

1. Υπάρχει ακριβώς μία ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία.
2.Κάθε ευθεία γραμμή μπορεί να επεκταθεί επ’ άπειρο, είναι ανοιχτή. Αργότερα συμπληρώθηκε από το ότι  για δύο τυχόντα σημεία της Α, Β υπάρχει πάντα ένα άλλο Γ,  ώστε το Β  να βρίσκεται μεταξύ των Α και Γ
3.Είναι δυνατόν να χαράξουμε ένα κύκλο, με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα. Το αξίωμα αυτό φαίνεται να μην έχει σχέση με τα σημεία και τις ευθείες. Όμως αν προσέξουμε τον Ευκλείδειο ορισμό του κύκλου, που είναι η γραμμή της οποίας τα σημεία ισαπέχουν από ένα άλλο, θα δούμε ότι το αξίωμα αυτό εξασφαλίζει τη λειτουργία του διαβήτη παντού στο χώρο. Με άλλα λόγια ορίζει ότι η απόσταση στο επίπεδο (χώρο) όπως κι αν οριστεί, πρέπει να εξασφαλίζει το αμετάβλητο του μήκους για ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο μετακινείται από το ένα μέρος στο άλλο.
4.Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Πάλι πρέπει να γνωρίζουμε τον Ευκλείδειο ορισμό της ορθής γωνίας για να ερμηνεύσουμε το αξίωμα: «όταν δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν τις διαδοχικές γωνίες ίσες, τότε κάθε μια από αυτές είναι ορθή γωνία. Άρα το 4ο αξίωμα ισοδυναμεί με την υπόθεση ότι οι ευθείες γραμμές δεν έχουν γωνιακά σημεία, «σπάσιμο». Ας θυμηθούμε το μέγιστο κύκλο της σφαίρας και την ευθεία του επιπέδου.
5. το διασημότερο: [2] εάν ευθεία τέμνουσα δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών, τότε αν οι δύο ευθείες επεκταθούν επ’ άπειρον, θα τέμνονται προς τα μέρη όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες)

Όλα  αυτά είναι τα θεμέλια   της γεωμετρίας του Ευκλείδη.

Οι συνδυασμοί των πρώτων αυτών αρχών,  θα παράγουν μέσω του παραγωγικού συλλογισμού την αποδεικτική επιστήμη, για τη γεωμετρία θα παράγουν τα θεωρήματα.

Το τμήμα της γεωμετρίας που οι προτάσεις του θεμελιώνονται στο 5ο  αξίωμα (αίτημα)  αποτελεί την καθαυτό Ευκλείδεια γεωμετρία, ενώ το σύνολο των προτάσεων που δεν στηρίζονται στο 5ο αξίωμα, αποτελούν τη Απόλυτη γεωμετρία.
Παραδείγματα προτάσεων της Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι:
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές.
Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών πολυγώνου είναι 4 ορθές.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα και οι επεκτάσεις του.
Το μήκος περιφερείας είναι 2πρ  κλπ
Προτάσεις της απόλυτης γεωμετρίας είναι οι 28 πρώτες των «Στοιχείων» (κατασκευαστικές) π.χ  είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο με δοθείσα πλευρά.

Αλλά γεννιέται συγχρόνως ένα ερώτημα που δεν απαντήσαμε. Πως γνωρίζουμε ότι τα αξιώματα που πήραμε είναι τα σωστά αξιώματα; Τι θα πει σωστά αξιώματα; Για παράδειγμα, είναι απαλλαγμένα από αντιφάσεις; Κάθε θεώρημα της γεωμετρίας αποδεικνύεται με τη χρήση των αξιωμάτων ή μήπως θα χρειάζονταν περισσότερα,  που ο Ευκλείδης παρέβλεψε; Τι σχέση πρέπει να έχουν τα αξιώματα μεταξύ τους;

Αυτά θα μπουν στην έρευνα μετά δύο χιλιάδες χρόνια! Είναι τα μυστικά των αξιωματικών βάσεων, που η ανακάλυψή τους στη μαθηματική πρακτική, θα  ξ ε κ ι ν ή σ ε ι  τ υ χ α ί α   με τη φοβερή ιδέα του Λομπατσέφσκυ.

Τα παράδοξα της Ευκλείδειας γεωμετρίας

Κάθε κλάδος των Μαθηματικών, στην αρχή παρουσιάζει «παράδοξα», μέχρις ότου  οι έννοιες που εισάγει να «καθήσουν» καλά στα μυαλά των μαθηματικών. Το ίδιο συνέβη και με τη γεωμετρία. Τα παράδοξα της γεωμετρίας κράτησαν αιώνες, όσους περίπου και τα παράδοξα του Ζήνωνα, και τερματίστηκαν με τη λεγόμενη «απελευθέρωση» της γεωμετρίας, μετά το Λομπατσέφσκυ.
Μια κριτική μελέτη των «Στοιχείων» σε μεταγενέστερες εποχές, απεκάλυψε ότι ορισμένες προτάσεις βασίζονται σε γεωμετρικές ιδιότητες τις οποίες ο Ευκλείδης θεώρησε αυτονόητες, χωρίς όμως αυτές να μπορούν να δικαιολογηθούν ούτε από τους ορισμούς και τα αξιώματα , ούτε και να προκύπτουν από άλλες γνωστές προτάσεις. Κατά το 19ο αιώνα είχε γίνει αντιληπτό ότι τα αξιώματα και οι ορισμοί του Ευκλείδη δεν επαρκούσαν για τη λογική απόδειξη όλων των θεωρημάτων των «Στοιχείων». Θα δούμε το πρώτο παράδοξο, που είναι η «απόδειξη» ότι όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή.
Σε ένα τρίγωνο ABC έστω η διχοτόμος της Α και η μεσοκάθετος  του τμήματος BC όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν αυτές συμπίπτουν τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές . Έστω ότι τέμνονται στο Ρ και φέρουμε τις κάθετες ΡΕ και ΡF  στις πλευρές ΑΒ και ΑC. Tότε τα τρίγωνα που συμβολίζονται με α είναι ίσα (μια πλευρά και δύο γωνίες., άρα ΡΕ=ΡF  Ομοίως τα τρίγωνα που συμβολίζονται με γ  είναι ίσα άρα ΡΒ=ΡC. Από αυτό προκύπτει ότι και τα τρίγωνα β είναι ίσα άρα ΒΕ+ΕΑ=CF+FA  δηλαδή το ΑBC είναι ισοσκελές.

Το σωστό σχήμα δίνεται με το Ρ έξω από το τρίγωνο αλλά ακριβώς ένα από τα σημεία Ε και F να βρίσκεται ανάμεσα στις κορυφές του τριγώνου, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Ακόμα έχουμε AE=AF  και PE=PF  και PB=PC ακόμα προκύπτει ότι BE=FC αλλά τώρα βλέπουμε  δεν προκύπτει ότι AB=AC , διότι ενώ το F είναι ανάμεσα στα A και C, το Ε δεν είναι ανάμεσα στα Α και Β. Αυτό δείχνει τη σπουδαιότητα του «μεταξύ» σαν έννοια στη γεωμετρία, που δεν υπάρχει στον Ευκλείδη. Ο Pasch ήταν ανάμεσα στους πρώτους  που θεώρησε τα «αξιώματα διάταξης» και ο Χίλμπερτ τα ενσωμάτωσε στα δικά του «θεμέλια της Γεωμετρίας»

Ένα άλλο σημείο της κριτικής στον Ευκλείδη ήταν στο θέμα των ορισμών. Ο Ευκλείδης ακολουθώντας το Ελληνικό σχέδιο της υλικής αξιωματικής μεθόδου, έκανε προσπάθειες να ορίσει ή τουλάχιστον να εξηγήσει όλους τους όρους της μεθόδου του. Τι είναι σημείο; Κάτι που δεν έχει μέρη ή μέγεθος. Δηλαδή; Αυτό μοιάζει με ορισμό του «τίποτα». Στην πραγματικότητα  θέλουμε το σημείο σαν κάτι πολύ μικρό, πολύ συγκεκριμένο στίγμα, και αν μας πιέσουν τι εννοούμε με το πολύ μικρό, πολύ συγκεκριμένο στίγμα θα πούμε:  λοιπόν εννοούμε σημείο.
Δεν μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε ρητά όλους τους όρους, το έναν μέσω των άλλων, αυτό δεν μπορεί να συμβεί χωρίς να αποφύγουμε την κυκλικότητα, και πάντα θα υπάρχουν κάποιοι πρωταρχικοί όροι που θα ορίζονται σιωπηρά, με την έννοια ότι είναι αυτά τα πράγματα που πληρούν τα αξιώματα, τα αξιώματα σε τελευταία ανάλυση είναι υποθέσεις για τους πρωταρχικούς όρους. Αυτή είναι η συνταγή για τη σύγχρονη αξιωματική μέθοδο. Και πώς  ορίστηκε το σημείο; Αυτό χρειάστηκαν χιλιετίες για να απαντηθεί: απλά αδιαφορούμε  τι σημαίνει. Ο Χίλμπερτ όρισε ότι «για κάθε ζεύγος σημείων υπάρχει μια ευθεία γραμμή που τα περιέχει» Η πρόταση δεν απαιτεί από εμάς να ξέρουμε τι είναι το σημείο, αλλά όταν έχουμε δύο από αυτά, υπάρχει ένα άλλο πράγμα που λέγεται ευθεία, που τα περιέχει. Το σημείο δηλώνεται με αμοιβαίες σχέσεις οι οποίες εκφράζονται με  λέξεις όπως «κείνται» «μεταξύ» κλπ. Αλλά όμως η αντίληψη αυτή επεκτείνεται στα μαθηματικά, όπως είδαμε σε προηγούμενο άρθρο (φορμαλισμός).
Ένα  άλλο σημείο κριτικής από τους λογικιστές είναι η πρόταση 1.4  κατασκευής ισοπλεύρου τριγώνου δοθείσας πλευράς. Εκεί θεώρησε ότι δύο κύκλοι με κέντρα τα άκρα ενός τμήματος και ακτίνα το τμήμα, τέμνονται. Αυτό πράγματι δεν προκύπτει από τη θεμελίωση,  για τον Ευκλείδη όμως είναι διαισθητικά προφανές και δεν παράγει λανθασμένο αποτέλεσμα. Χρειάζονται εν τούτοις αξιώματα που να μας διαβεβαιώνουν για τη γεωμετρική έννοια της συνέχειας, η οποία σε Καρτεσιανούς όρους είναι ισοδύναμη με την πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Θα μπορούσε, λέει η σύγχρονη κριτική, οι δύο κύκλοι να είχαν κενά στην περίμετρό τους, να έμπαινε ό ένας μέσα στον άλλο σαν κρίκοι, και να μην τέμνονται! Μα πότε θα μπορούσε να συμβεί αυτό; Αν π.χ  το επίπεδο είχε σημεία μόνο με ρητές συντεταγμένες δηλαδή το επίπεδο να είχε κενά, αόρατες τρύπες!

Ο Ποσειδώνιος έγραψε έργα για τη Φυσική, τη Μετεωρολογία, τη Φυσική Γεωγραφία, την Αστρονομία, την Αστρολογία και τη μαντεία, τη Σεισμολογία, τη Γεωλογία και την Ορυκτολογία, την Υδρολογία, τη Βοτανική, την Ηθική, τη Λογική, τα Μαθηματικά, την Ιστορία, τη Φυσική Ιστορία, την Ανθρωπολογία, και τη στρατηγική.
Την αυστηρότερη κριτική στο έργο του Ευκλείδη  άσκησε ο Ράσελ στο άρθρο του «η διδασκαλία του Ευκλείδη». Αν και το άρθρο είναι πολύ σημαντικό για την ιστορική συνέχεια της αξιωματικής μεθόδου, και η κριτική είναι πράγματι ένα δείγμα του λογικισμού, είναι εν τούτοις προκλητική και μίζερη. Όπως είπε κάποιος, το κυριότερο σφάλμα του Ευκλείδη στα μάτια του Ράσελ είναι ότι δεν είχε διαβάσει το έργο του Ράσελ. Κάνει κριτική με όρους… της ελλειπτικής γεωμετρίας, (πρόταση 1.4) «στην οποία δεν είναι πάντοτε δυνατό να κατασκευάσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με δοθείσα βάση» άρα ο Ευκλείδης θεώρησε την ευθεία όχι κλειστή (στην ελλειπτική γεωμετρία η ευθεία είναι κλειστή), αλλά χωρίς να το ορίσει αυστηρά.
Πράγματι μια  σιωπηρή υπόθεση του Ευκλείδη είναι ότι η ευθεία έχει άπειρη έκταση. Αν και στο αξίωμα 2 ορίζεται ότι η ευθεία μπορεί να παραχθεί απεριόριστα, αυτό, αυστηρά λογικά,  δεν συνεπάγεται ότι η ευθεία είναι άπειρη σε έκταση, αλλά ότι είναι απεριόριστη. Το τόξο ενός μέγιστου κύκλου που ενώνει δύο σημεία στη σφαίρα, μπορεί να παράγεται επ’ αόριστον αλλά δεν συνεπάγεται ότι έχει άπειρη έκταση, απλά είναι απεριόριστο. Χρειάζεται, λέει ο Ράσελ  ένα αξίωμα «σε κάθε ευθεία γραμμή υπάρχει τουλάχιστο ένα σημείο του οποίου η απόσταση από ένα σημείο της ευθείας ή εκτός αυτής υπερβαίνει μια δοθείσα απόσταση».
Το σημείο αυτό για μας είναι χαρακτηριστικό: πράγματι υπάρχει έλλειμμα, όμως ο Ευκλείδης δουλεύει με την άπειρη σε έκταση ευθεία, το γνωρίζουμε, άρα τα λάθη της κατασκευής του θα αναφέρονται σε αυτήν την ευθεία, και όχι σε παρανόηση του ποια ευθεία εννοούμε. Όμως τέτοια λάθη δεν εντοπίστηκαν για αιώνες. Ο Ευκλείδης είναι συνεπής στη λογική επεξεργασία  για αυτά που ορίζει, έστω και υπονοεί διαισθητικά.
Άλλο σημείο της κριτικής του Ράσελ είναι η τέταρτη πρόταση για την μετακίνηση (επιθέτηση) των σχημάτων στον ορισμό της ισότητας: ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε την μετακίνηση των τριγώνων για να αποδείξει ότι αν δύο πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα συμπίπτουν, αλλά δεν αξιωματικοποίησε, ούτε όρισε την μετατόπιση. Ο Ράσελ σχολιάζει: «η τέταρτη πρόταση είναι ο ιστός της ανοησίας. Η επιθέτηση είναι λογικά μια άχρηστη επινόηση. Γιατί αν τα τρίγωνά μας είναι χωρικά, όχι υλικά, υπάρχει μια λογική αντίφαση στο να τα μετακινήσουμε , ενώ αν είναι υλικά, δεν μπορούν να είναι τελείως άκαμπτα, και όταν τα επιθέσουμε σίγουρα θα παραμορφωθούν από το αρχικό τους σχήμα. Αυτό που προϋποτίθεται, αν πρέπει  να διατηρηθεί κάτι ανάλογο με την απόδειξη του Ευκλείδη είναι το παρακάτω περίπλοκο αξίωμα…..»
Επίσης για την πρόταση 7 «είναι τόσο εσφαλμένη ώστε ο Ευκλείδης θα έκανε καλύτερα να μην προσπαθήσει καν μια απόδειξη  Πρώτα  χρησιμοποιεί έναν απροσδιόριστο όρο στην έκφραση στην ίδια πλευρά της ευθείας. Ο ορισμός απαιτεί ένα αξίωμα που μπορεί να τεθεί ως εξής…..»
Πολλή λογική λοιπόν από το Ράσσελ, και όμως τα λογικά κενά στην παρουσίαση του Ευκλείδη δεν έφεραν ασάφειες ή αμφισβητήσεις όσον αφορά τους αποδεκτούς κανόνες του λογισμού. Οι μαθηματικοί όλων των αιώνων επικοινωνούσαν και συζητούσαν τις Ευκλείδειες αποδείξεις χωρίς ποτέ να θέσουν θέματα ορθότητας. Είναι η μεγάλη απόδειξη ότι χωρίς τη διαίσθηση δεν υπάρχει μαθηματική έμπνευση. Μπορούσε άραγε να ξεκινήσει η γεωμετρία με τους όρους του Ράσελ; Πως συνέβη ώστε ένας εξέχων λογικιστής όπως ο Ράσελ να μην έχει παράξει ποτέ ένα απλό θεώρημα; Ακόμα και το 5ο αίτημα ανήκει σε αυτή τη γραμμή της διαισθητικής  ερμηνείας.
Μέσα από αυτήν τη γενικευμένη κριτική έχουν προταθεί πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για τη γεωμετρία του Ευκλείδη, πρώτα από τον Moritz Pasch το 1882, και στη συνέχεια τους  Hilbert, Birkhoff,  και Tarski.
Το παράδοξο των παραλλήλων
Όμως το μεγαλύτερο παράδοξο της Ευκλείδειας γεωμετρίας, αυτό που σημάδεψε την ιστορία της γεωμετρίας μέχρι τον 19ο αιώνα είναι το 5ο αξίωμα, το περίφημο αξίωμα των παραλλήλων.
Τι ακριβώς συνέβαινε;
Σίγουρα το 5ο αξίωμα δεν είναι τόσο σαφές, σύντομο και κατανοητό όσο τα άλλα τέσσερα, αφού έμπαινε στην περιγραφή το άπειρο για τη συμπεριφορά  της ευθείας. Δεν ήταν σαφές και αποδεκτό να μιλούμε για τομή δύο ευθειών…στο άπειρο. Η πρόταση αυτή δε φάνηκε εξ’ αρχής άμεσα προφανής στους γεωμέτρες, (Παπαφλωράτος), όμως ο Αριστοτέλης είχε   προειδοποιήσει: «..το αξίωμα είναι μια υπόθεση όχι αναγκαστικά φανερή ούτε αναγκαστικά αποδεκτή από το μαθητή..».
Η πραγματική απαρχή της αμφισβήτησης φαίνεται να είναι γεωμετρική, που απορρέει από το ίδιο το σύστημα. Το χορό των είκοσι αιώνων τον άνοιξε ο Πρόκλος, που έθεσε το πρόβλημα εξ’ αρχής:
παρατηρεί ότι δύο προτάσεις του 1ου Βιβλίου των Στοιχείων είναι αντίστροφες:
1. το 5ο αίτημα: εάν ευθεία τέμνουσα δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών, τότε αν οι δύο ευθείες επεκταθούν επ’ άπειρον, θα συμπίπτουν προς τα μέρη όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες)
2. η 17η πρόταση: Σε κάθε τρίγωνο οι δύο γωνίες είναι μικρότερες των δύο ορθών, με οποιονδήποτε τρόπο και αν ληφθούν, − στην απόδειξη της οποίας δεν χρησιμοποιείται το 5ο αίτημα.

Εξώφυλλο βιβλίου έκδοσης 1791 για τον Πρόκλο
Θεωρεί λοιπόν ότι δεν είναι δυνατόν από δύο αντίστροφες προτάσεις η μία να έχει απόδειξη ενώ η άλλη να μην είναι δυνατόν να αποδειχθεί ούτε αν είναι αληθής, ούτε αν είναι ψευδής. Αν όμως μία πρόταση μπορεί να αποδειχθεί, τότε δεν είναι «νόμιμο» να τεθεί ως αίτημα, κι εδώ είχε δίκιο.
Και συνεχίζει: όταν οι δύο ορθές ελαττώνονται (ω+φ<180ο, σχ. 1) είναι αληθές και αναγκαίο ότι οι ευθείες ε και ε΄ συγκλίνουν. Αλλά η πρόταση ότι θα συναντηθούν κάποτε, αφού συγκλίνουν όλο και περισσότερο καθώς αναπτύσσονται, είναι εύλογη αλλά όχι αναγκαία χωρίς την  ύπαρξη κάποιου επιχειρήματος ότι πράγματι συμβαίνει αυτό. Η ύπαρξη των ασύμπτωτων καμπύλων, οι οποίες συνεχώς πλησιάζουν αλλά δεν τέμνονται, αφήνει ανοικτό το ενδεχόμενο να υπάρχουν και ασύμπτωτες ευθείες, δεν μπορεί λοιπόν αυτό να συμβαίνει  στην περίπτωση των παράλληλων ευθειών; και επομένως η απόδειξη του 5ου αιτήματος είναι αναγκαία. Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγει ο Πρόκλος μπορεί να συμπυκνωθεί στην φράση του: «Τοῦτο καὶ παντελῶς διαγράφειν χρὴ τῶν αἰτημάτων·»
Οι αποτυχημένες προσπάθειες για απόδειξη, διατυπώθηκαν από τους Πρόκλο, Πτολεμαίο, Ποσειδώνιο, Γέμινο, Wallis Saccheri, Carnot, Laplace, Lambert, Clairaut, Legendre,  W.Bolyai, Gauss, και  όλες αυτές αργά ή γρήγορα απεδείχτηκαν ότι στηρίζονται σε μια υπόθεση  ισοδύναμη με το αρχικό αξίωμα του Ευκλείδη.  Αναφέρω μερικές  χαρακτηριστικές διατυπώσεις:
Playfair: από σημείο εκτός ευθείας μία μόνο παράλληλη άγεται προς αυτή.
Γκάους: «δεν υπάρχει ανώτερο όριο στο εμβαδόν ενός τριγώνου».
Legendre και W.Bolyai: από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος.
Lambert  και Clairaut: αν σε ένα τετράπλευρο , τρεις γωνίες είναι ορθές, τότε και η τέταρτη είναι ορθή.
Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι δύο ορθές.
Όλες οι παραπάνω προτάσεις, και άλλες ακόμα, είναι ισοδύναμες εκφράσεις του 5ου αξιώματος.
Έχει ενδιαφέρον να δείξουμε την ισοδυναμία όλων των εναλλακτικών αξιωμάτων με αυτό του Ευκλείδη . Για να γίνει αυτό πρέπει να δείξουμε ότι το εναλλακτικό είναι ένα θεώρημα για το Ευκλείδειο σύστημα και αντίστροφα ότι το Ευκλείδειο 5ο αξίωμα προκύπτει ως θεώρημα από το Ευκλείδειο σύστημα στο οποίο έχουμε αντικαταστήσει το 5ο αξίωμα με το εν λόγω εναλλακτικό.
Όμως τα αίτια της ατέλειωτης έρευνας αιώνων για την απόδειξη του 5ου αξιώματος είναι βαθύτερα.
Ήταν που οι μαθηματικοί για πολλούς αιώνες, ξέχασαν την εμπειρική-διαισθητική βάση των αξιωμάτων του Ευκλείδη, ή ποτέ δεν την αξιολόγησαν ως τέτοια. Τα μυστικά των αξιωματικών βάσεων,  ανακαλύφτηκαν τυχαία, όταν  έγινε κατανοητό ότι το 5ο αξίωμα είναι αδύνατο να αποδειχτεί, α φ ο ύ   η   ά ρ ν η σ ή   τ ο υ   α π ό   τ ο   Λ ο μ π α τ σ έ φ σ κ υ ,   δ ε ν   ο δ η γ ο ύ σ ε   σ ε   κ ά π ο ι α   λ ο γ ι κ ή   α ν τ ί φ α σ η. Αυτή ήταν η μεγάλη ιδέα της νέας εποχής. Η μαθηματική ελευθερία που ήρθε μετά την αντικατάσταση του 5ου αξιώματος, άλλαξε τη γνώση αιώνων για το αξιωματικό σύστημα.  Τι ήταν τελικά τα αξιώματα; Πως ήταν δυνατόν το αξίωμα που καθορίζει τη φύση ολόκληρης της γεωμετρίας και αποτελεί τη βάση για τα περισσότερα θεωρήματα,  να …μην αποδεικνύεται, ούτε να είναι προφανές και αυταπόδεικτο, όπως τα άλλα; Κι όμως αυτό συνέβαινε! Το φαινόμενο αυτό ά φ η ν ε   α ν ο ι χ τ ό   τ ο   ε ν δ ε χ ό μ ε ν ο  η ευθεία να ορίζονταν και αλλιώς, πέρα από την εμπειρική περιγραφή του Ευκλείδη, που ήταν μια από τις πολλές. Αλλά αυτό άργησε να γίνει αντιληπτό, και όταν έγινε, η αξιωματική από εμπειρική μετεξελίχτηκε σε τυπική.
Η  αξιωματική μέθοδος ήταν μια μαθηματική μέθοδος, και σαν τέτοια  δεν θα έπρεπε να έχει σχέση με πεποιθήσεις για απόλυτες αλήθειες και a priori αντιλήψεις. Τα μαθηματικά κατασκευάζονται από τον άνθρωπο και δεν υπάρχουν έξω από αυτόν, σε κάποια παγκόσμια φιξαρισμένα σχέδια. Μια υπόθεση του δημιουργού παράγει μαθηματικά , μια άλλη υπόθεση, άλλα μαθηματικά. Αυτό ήταν που έφερε ο Λομπατσέφσκυ. Η διαπλοκή της διαίσθησης με το ά π  ε ι ρ ο  κατά την τομή των παραλλήλων, είναι κατά τη γνώμη μας  κομβικό σημείο, ωθούσε τη σκέψη  για άλλες υποθέσεις, πέραν της Ευκλείδειας, η οποία ήταν η ισχυρότερη. Σήμερα δεν μας κάνει καμιά εντύπωση που το πρώτο αξίωμα του Νεύτωνα για την αδρανειακή κίνηση δεν είναι ούτε προφανές ούτε αποδεικνύεται από τα άλλα, (κι εκεί υπάρχει η επ’  ά π ε ι ρ ο αδρανειακή κίνηση!) Η αποδέσμευση του αξιώματος από τα πράγματα και η ανάδειξή του σε πεποίθηση- υπόθεση του δημιουργού που κατασκευάζει την αξιωματική βάση, άργησε να αφομοιωθεί και ήταν μια επανάσταση στα μαθηματικά. Η αλήθεια των αξιωμάτων δε ήταν εξασφαλισμένη από τ ί π ο τ α.
Οι έννοιες της τυπικής αξιωματικής αναπτύχθηκαν περίπου έναν αιώνα μετά τις ανακαλύψεις του Λομπατσέφσκυ, τόσο κάνουν πάντα οι μαθηματικές ανακαλύψεις να αφομοιωθούν.
H μετεξέλιξη αυτή της αξιωματικής μεθόδου περιγράφεται στο  άρθρο: Αξιωματική μέθοδος. Ευκλείδης και Χίλμπερτ)
Πρέπει να αναφέρουμε εδώ, ότι πρωτοπόρος στην προσπάθεια ανάδειξης της ανεξαρτησίας του 5ου αξιώματος είναι ο Saccheri. Στην προσπάθειά του να αποδείξει το 5ο αξίωμα διατυπώνει τρεις υποθέσεις: της οξείας γωνίας (υπερβολική γεωμετρία), της αμβλείας (ελλειπτική γεωμετρία) και της ορθής(Ευκλείδεια). Τα θεωρήματα που παρήγαγε με την υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των 180ο συγκροτούν ένα είδος γεωμετρίας τόσο λογικής όσο και η Ευκλείδεια. Ωστόσο ο Saccheri δεν το αντιλήφθηκε. (σχολικό βιβλίο γεωμετρίας για το Λύκειο)
Και ο Ευκλείδης; Γνώριζε ο Ευκλείδης μεταμαθηματικά; όχι βέβαια, αλλά  μάλλον η δ ι α ι σ θ η τ ι κ ή   σ ύ λ λ η ψ η   τ ο υ   φ α ι ν ο μ έ ν ο υ  ήταν τόσο ισχυρή, ώστε τον οδήγησε σε αυτή τη στάση σιωπής, αφήνοντας ανοιχτό το θέμα της ανεξαρτησίας για τους επόμενους.
Η ιστορία αυτή του 5ου αξιώματος θα τελειώσει τον 19ο αιώνα με τις ανεξάρτητες εργασίες των Bolyai (υιού) και του Λομπατσέφσκυ που θα παρακολουθήσουμε σε επόμενο άρθρο. Μέχρι τότε, τα αξιωματικά θεμέλια της γεωμετρίας (εννοιολογικά) ήταν τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη.

Πηγές:
Τα θεμέλια της γεωμετρίας (Xίλμπερτ) Τροχαλία, μετάφραση Στρατής Παπαδόπουλος
Foundations and fundamentals concepts of Mαthematics  του   Howard Eves
Η αλήθεια της γεωμετρίας www.mpantes.gr
www.mathpages.com
The teaching of Euclic (Bertrand Russel διαδίκτυο)
www.mathifone.gr
Σκέψεις  για τα μαθηματικά:  Steward Shapiro,Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών
[1] Παλιότερα, στην εποχή του Ευκλείδη η λέξη αίτημα  σήμαινε το αναπόδεικτο,  ή αυτό που αναγνωρίζεται ως αλήθεια , που γίνεται αποδεκτό, χωρίς απόδειξη. Σήμερα το αίτημα και το αξίωμα είναι ταυτόσημα.
[2] Ίσως η πιο διάσημη απλή έκφραση στην ιστορία της επιστήμης…..  C.J.Keyser

http://dimitris-ver.blogspot.gr/

1. 1. Πέντε Θεολογικά ερωτήµατα και αντίστοιχες προσπάθειες απάντησης µε µαθηµατικά εργαλεία. Ιωάννης Π. Πλατάρος , µετ.φοιτητής στο Παν. Αθηνών στο Μ.Π.Σ. «∆ιδακτική & Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» ∆/ση: Καπετάν Κρόµπα 37 , Τ.Κ. 24 200 Μεσσήνη .ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Σε όλες τις θρησκείες ο Θεός είναι άπειρος. Η κατανόησή του, αν είναιεφικτή, περνά µέσα από την κατανόηση του απείρου. Η διαισθητική προσέγγιση τηςέννοιας του απείρου , ιστορικά οδήγησε σε λάθη παρανοήσεις , παράξοξα και γόνιµεςαντιπαραθέσεις. Σήµερα τα µαθηµατικά έχουν διεισδύσει στην έννοια του άπειρου πάραπολύ και µπορεί εξ αυτού να εµπλουτισθεί και ο φιλοσοφικός και ο Θεολογικόςστοχασµός. Επίσης η µαθηµατική Λογική έχει άρει πλέον κάποια παράδοξά της. Μετέτοια εφόδια , µπορούµε να προσεγγίσουµε ερωτήµατα όπως τα παρακάτω: Μπορεί οΘεός που είναι άπειρη οντότητα να κατασκευάσει άλλες άπειρες οντότητες; Αφού είναιπαντοδύναµος , µπορεί να κατασκευάσει µια πέτρα που να µην µπορεί να σηκώσει; Ηέννοια «Θεάνθρωπος» που αποδίδεται στον Ιησού µήπως είναι αντιφατική; Μπορούσεάραγε ο Θεός να φτιάξει έναν καλύτερο κόσµο απ’ αυτόν µε τους πολέµους την πείνα καιτην αδικία που έφτιαξε;(Απ. : `Οχι σύµφωνα µε τον Leibniz !) Η πίστη στον Θεό απόέναν άνθρωπο και η ταυτόχρονη παραβατικότητά του µέσω αµαρτιών µήπως συνιστά τοάρον άωτον της ανθρώπινης ανοησίας; Αυτά τα ερωτήµατα διερευνά η παρούσα εργασίαστα οποία προσπαθεί είτε δώσει απαντήσεις είτε να διευρύνει το πεδίο αναφοράς τους.Παραθέτουµε τα ερωτήµατα που θα µας απασχολήσουν: ΕΡΩΤΗΜΑ 1. Ο Θεός ως άπειρη οντότητα , µπορεί να είναι κατασκευαστήςάπειρης οντότητας; Απάντηση: Οι στοχαστές του Μεσαίωνα ήταν ιδιαίτερα επιφυλακτικοί στο ανωτέρωερώτηµα , αφού η έννοια του απείρου εκείνη την εποχή ήταν ακόµα περιορισµένη. ∆ενείχε γίνει κατανοητό ότι υπάρχουν άπειρες οντότητες οι οποίες περιέχουν άλλες,«απείρως άπειρες», οντότητες! Για παράδειγµα σήµερα ξέρουµε ότι οι πραγµατικοί αριθµοί περιέχονται στοδιάστηµα (0,1) είναι περισσότεροι1 από όσους περιέχει το σύνολο των φυσικών .Κι όχι µόνο περισσότεροι από όσους έχει το , αλλά περισσότεροι κι από το 2σύνολο των φυσικών , περισσότεροι κι απ’ όσους έχει το σύνολο των ρητών ,1 «Περισσότεροι» υπό την έννοια ότι δεν είναι «αριθµήσιµοι» δηλ. δεν δύνανται να αντιστοιχηθούνµέσω µιας «1-1 και επί» αντιστοίχισης µε το σύνολο των φυσικών Ν. Αν υποθέσουµε ότι αυτό είναιεφικτό και όλοι οι αριθµοί του (0, 1) έχουν αντιστοιχηθεί στο Ν , τότε σύµφωνα µε το περίφηµο«διαγώνιο επιχείρηµα» του Cantor µπορούµε να βρούµε στοιχείο του (0,1) , που «να περισσεύει» και ναµην έχει αντιστοιχηθεί , όπερ…άτοπο !2 Εδώ αξίζει να σκεφθούµε ότι το χαρακτηρίζεται από την Ανάλυση ως «πυκνό» , δηλαδή µεταξύ δύοοσοδήποτε γειτονικών ρητών, πάντα υπάρχει κι ένας τρίτος!
2. 2. περισσότεροι κι από τους αλγεβρικούς αριθµούς3 Α , περισσότερους ακόµα κι από τοπλήθος των στοιχείων του Ακ , όπου κ οποιοσδήποτε φυσικός! Αν έχοµε όρεξη να κατασκευάσουµε ένα ακόµη µεγαλύτερο σύνολο, µπορούµενα χρησιµοποιήσουµε την εντυπωσιακή πρόταση που λέει ότι «Αριθµήσιµη4 ένωσηαριθµησίµων συνόλων, µας δίνει αριθµήσιµο σύνολο» Για παράδειγµα, αν ορίσω ως An = {xn : x ∈ A , n ∈ A , οπου A το συνολο των Αλγεβρικων } αυτό είναι ένααριθµήσιµο απειροσύνολο. Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση , τότε και το 1σύνολο Α = ∪ Αi είναι ένα απίστευτα µεγάλο , πλην αριθµήσιµο συνολο. Με i∈Aεπαγωγικό τρόπο µπορούµε να ορίσουµε ακόµα πιο µεγάλα αριθµήσιµα σύνολα , λ.χ. n n −1 Α = ∪ Ai ∀n ∈ . (1) i∈A Και βέβαια αυτό µπορεί να συνεχιστεί ….άπειρες φορές, αλλά θα δίνει πάντααριθµήσιµα σύνολα. Σκεφθείτε το µέγεθος του αριθµήσιµου συνόλου που προκύπτει n −1από µια µικρή τροποποίηση της (1) , αν όπου Α , θέσω A (φανταστείτε το!). Μόνοπου κι αυτό το απιστεύτως µεγάλο σύνολο θα είναι αριθµήσιµο. Και φυσικά ηκατασκευή αυτή δεν σταµατά εδώ! Τώρα ήλθε η στιγµή να αλλάξουµε ποιότητα…..απείρου! ‘Ετσι:Αν θεωρήσουµε το ελαχίστου µέτρου υποσύνολο του (0,1) , λ.χ. το διάστηµα Χ=(0,10-100.000.000.000.000) µε µ(Χ)=10-100.000.000.000.000 θα εξακολουθήσει να έχει n nΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ5 στοιχεία από το…. A ( ∀n ∈ ) , ακόµα και από το ( A) k ∀n, k ∈ . nΑλλά µ( ( A) k )=0 (ως προς το σύνηθες µέτρο µ ). Εδώ µπορεί εύκολα να γίνει η ενορατική σκέψη, πως η ειδοποιός ποιοτικήδιαφορά µεταξύ αριθµήσιµου και υπεραριθµήσιµου απείρου είναι το µέτρο µηδέν ήµέτρο µεγαλύτερο του µηδενός. `Οµως τα πράγµατα δεν είναι έτσι! Το περίφηµο«σύνολο του Cantor6» παρ’ ότι έχει µέτρο ίσο µε 0 , εν τούτοις είναι υπεραριθµήσιµο nκαι έτσι κι αυτό περιέχει ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ στοιχεία από το σύνολο ( A) k ∀n, k ∈ .3 Τους αλγεβρικούς αριθµούς Α , µπορούµε να τους φανταστούµε ως το , αν του προσαρτήσουµεακόµη και όλες τις τετραγωνικές ρίζες ρητών, χρησιµοποιώντας τις 4 γνωστές πράξεις, ακόµα και τηνύψωση σε δύναµη , αλλ’ όµως δύναµη µε ρητό εκθέτη .4 Παραθέτουµε τον ορισµό του Αρισθµησίµου συνόλου: Ένα σύνολο λέγεται αριθµήσιµο, ότανδύναται να τεθεί σε αντιστοιχία «1-1 και επί» µε υποσύνολο του Ν ή το ίδιο το Ν. Σύµφωνα µε αυτόν, όλα τα πεπερασµένα είναι αριθµήσιµα και από τα άπειρα µια µεγάλη κατηγορία που είναι καιυπερσύνολα του Ν, όπως λ.χ. το5 «ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ» πάντα µε την µαθηµατική έννοια ότι πλέον δεν είναι αριθµήσιµο . ∆ιότι και το έχει «διπλάσια» στοιχεία από το , όµως και τα δύο είναι αριθµήσιµα άρα έχουν «ίσο» αριθµόστοιχείων .6 Το σύνολο του Cantor ορίζεται ως εξής: Θεωρούµε το σύνολο [0,1] . Το χωρίζουµε σε τρία µέρη ίσουµέτρου ως εξής: [0, 1/3] , [1/3, 2/3] , [2/3,1] Κρατάµε τα δύο ακραία και πετάµε το µεσαίο. Σε κάθε ένααπό τα δύο που έχουµε, επαναλαµβάνουµε την προηγούµενη διαδικασία: ∆ηλ. Τα χωρίζουµε σε τρία ίσαµέρη, πετάµε το µεσαίο και κρατάµε τα δύο ακραία. Αυτή την διαδικασία θεωρούµε ότι την εκτελούµεεπ’ άπειρον. Το προκύπτον σύνολο , είναι το περίφηµο «σύνολο του Cantor» το οποίο έχει σπουδαίεςιδιότητες, µία των οποίων είναι , ότι παρ’ ότι έχει µέτρο 0 , είναι υπεραριθµήσιµο!.
3. 3. Περισσότερο ενδιαφέρον, αλλά και παραστατικότητα , παρουσιάζει τοµαθηµατικό γεγονός, ότι αν τµήσουµε το διάστηµα (0,1) µε µια ευθεία, η πιθανότητα νατο τµήσουµε σε αλγεβρικό αριθµό, είναι …µηδέν! Από την άλλη, το σύνολο των συναρτήσεων f : (0,1)  {0,1} έχει→περισσότερα στοιχεία από το (0,1) και µεταπηδούµε σε ακόµα ανώτερη τάξη απείρου!Κι αυτό βέβαια δεν σταµατά µόνον εδώ!……Επανερχόµενοι λοιπόν στο αρχικό ερώτηµα , διαπιστώνοµε µε ότι υπάρχουν οντότητεςάπειρες που περιέχουν άλλες «απείρως άπειρες» οντότητες. Συνεπώς , είναι δυνατόνµια άπειρη οντότητα όπως ο Θεός είναι δυνατόν να παράξει άπειρο αριθµό άπειρωνοντοτήτων. Βεβαίως όλα αυτά µε την προϋπόθεση ότι οι µαθηµατικές οντότητες«όντως υπάρχουν» στον πραγµατικό κόσµο και όχι σε κάποιον αφηρηµένο ιδεατόµαθηµατικό κόσµο ως ιδεατά µαθηµατικά αντικείµενα. Με αυτή την θεώρηση ηαπάντηση στο ερώτηµα, βεβαίως δεν είναι κλειστή και το περίφηµο θεολογικόερώτηµα του Μεσαίωνα περί του «Πόσοι `Αγγελοι είναι δυνατόν να χορέψουν στοκεφάλι µιας καρφίτσας» θα µένει ακόµα ανοικτό σε θεωρήσεις και απαντήσεις. ΕΡΩΤΗΜΑ 2. Ο Θεός ως Παντοδύναµος , δύναται να κατασκευάσει µιαπέτρα που να µην µπορεί να την …σηκώσει; Απάντηση: Η δήθεν απάντηση λέει ότι «αν µεν δεν µπορεί , τότε δεν είναι Παντοδύναµος»επίσης «αν µπορεί, τότε δεν θα µπορεί να σηκώσει την πέτρα, οπότε πάλι δεν είναιΠαντοδύναµος!» Η θεώρηση βεβαίως υπόκειται στην απλή Αριστοτέλεια λογική. Τοσυγκεκριµένο ερώτηµα, απλώς…δεν έχει νόηµα! , Στην ουσία ισοδυναµεί µε τοερώτηµα «αν είναι δυνατόν ο Θεός που είναι Παντοδύναµος , να µην είναι…Παντοδύναµος!» . Πρόκειται για αντίφαση. Σύµφωνα µε την «αρχή της αποκλίσεωςµέσου ή τρίτου» που κατά κόρον χρησιµοποιούµε στα µαθηµατικά , για κάθε πρότασηP , (ή Ρ αληθής ή ~Ρ αληθής ). Εποµένως το αγαπηµένο αυτό ερώτηµα των µαθητώνπρος τους θεολόγους καθηγητές τους, απλώς , δεν είναι κανονικό –λογικόερώτηµα!…… Το ενδιαφέρον της παραπάνω ερωτήσεως είναι το µη προφανές του µηνοήµατός της! Αυτό µάλλον συµβαίνει διότι ο λογισµός µε το άπειρο , ακόµα και σεστοιχειώδες επίπεδο δίνει συχνά αποτελέσµατα µη ευκόλως αποδεκτά –κατανοητά απότην ανθρώπινη συνείδηση που έχει µάθει να λογίζεται µε πεπερασµένες οντότητες. Ενδιαφέρουσα είναι και µια προσπάθεια απάντησης και του δικού µου θεολόγουπριν δεκαετίες , όπου προφανώς µη αντιλαµβανόµενος το αντιφατικόν τουερωτήµατος, µου έδωσε την εξής µεταφυσική απάντηση: «Ο Θεός δεν υπακούει στοδίπολο «λογικό-παράλογο» αφού είναι «Υπέρλογος!» ΕΡΩΤΗΜΑ 3. Υπό ποία έννοια ο Ιησούς ήταν «Θεάνθρωπος;» Απάντηση: Φυσικά πρόκειται για «δόγµα» της Χριστιανικής θρησκείας. Την έννοια«δόγµα» ένας µαθηµατικός την κατανοεί ως µια πρόταση της οποίας την αλήθεια τηνδεχόµαστε . Αυτό µοιάζει µε την έννοια «αξίωµα» µε την διαφορά ότι το αξίωµα είναιπροφανές και βέβαια µε βάση αυτό (στα πλαίσια µιας θεωρίας) δεν µπορεί να παραχθείαντίφαση. Υπάρχει όµως αντίφαση στην έννοια «Θεάνθρωπος;» Ας το δούµε: Ο Χριστός ως Θεός έχει άπειρες δυνατότητες. Ως άνθρωπος έχει πεπερασµένες .Σύµφωνα λοιπόν µε την αρχή «άπειρο +πεπερασµένο=άπειρο» θα µπορούσαµε ναπούµε αντιστοίχως , ότι «Θεός+άνθρωπος=Θεός» Συνεπώς η ανθρώπινη συµπεριφοράτου Ιησού είναι απολύτως αντιφατική. Εκτός αν δεχθούµε ότι άλλες χρονικές περιόδους
4. 4. ήταν Θεός και άλλες άνθρωπος. Αυτό ένας θεολόγος –ίσως- δεν το δέχεται, αφού οΘεός είναι «πέραν του χρόνου» και «υπέρ τον χρόνο» . Και σίγουρα αποτελεί δόγµα,πλην όµως η διαφαινόµενη αντίφαση πρέπει να απαντηθεί περισσότερο πειστικά. Βεβαίως κι από την µυθολογική µας αρχαιότητα υπήρχε η έννοια του «ηµιθέου»πλην όµως αυτή ήταν µη αντιφατική, αρκετά σαφώς ορισµένη και –το κυριότερο- οιτότε «Θεοί» είχαν µεν τεράστιες δυνατότητες, όχι όµως και άπειρες !…. ΕΡΩΤΗΜΑ 4 . Ο κόσµος µας , µε όλα τα στραβά του και τα ανάποδά του(πόλεµοι, εγκλήµατα, φτώχια, αδικία κ.τ.λ.) είναι ο καλύτερος δυνατός κόσµος πουθα µπορούσε να κατασκευάσει ο Θεός; Απάντηση: Και η διατύπωση και η απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα ανήκειστον µεγάλο φιλόσοφο και εκ των θεµελιωτών του απειροστικού λογισµού Leibniz. Toεξαιρετικά εντυπωσιακό είναι ότι ο Leibniz απαντά «ναι» και το αποδεικνύει! το είδοςτου αποδεικτικού συλλογισµού που χρησιµοποιεί λέγεται «τρίληµµα» αφού στηρίζεταισε τρεις προτασιακές συνιστώσες7. Σύµφωνα µε τον Leibniz: «Αν ο κόσµος µας δεν είναι άριστος, ο Θεός που τον δηµιούργησε ή δεν ήξερα ήδεν ήθελε ή δεν µπορούσε να τον κάνει άριστο. Αλλά ο Θεός ως Πάνσοφος ήξερε, ως Πανάγαθος ήθελε και ως Παντοδύναµοςµπορούσε να τον κάνει άριστο. `Αρα: Ο κόσµος µας είναι άριστος!» Η παραπάνω απόδειξη του Leibniz λογικά είναι υποδειγµατικά άψογη . Τοσυµπέρασµα όµως –εµπειρικά- µοιάζει «αντιφατικό» .γιατί αυτό; Μήπως επειδήχρησιµοποιεί ιδιότητες του Θεού που εµπεριέχουν το άπειρο; Πράγµατι : «Πανάγαθος» , δηλ έχει άπειρο βαθµό αγαθότητας . «Πάνσοφος» : `Εχει άπειροβαθµό σοφίας και γνώσης . «Παντοδύναµος» : `Εχει απεριόριστες δυνατότητες. Ανσκεφθούµε ότι ιστορικά ο άνθρωπος έκανε αρκετά λάθη στην προσπάθειά του ναεξηγήσει το άπειρο , προφανώς λόγω του πεπερασµένου της ανθρώπινης φύσεώς του,µπορούµε να πούµε –και εδώ-ότι η διαφαινόµενη «αντίφαση» του συµπεράσµατος τουLeibniz , δεν αποτελεί αντίφαση µεταξύ συµπεράσµατος και πραγµατικότητας, αλλάαντίφαση µεταξύ συµπεράσµατος ιδεατής ,υποκειµενικής, δεοντολογικής καιπερατοκρατικής τρόπον τινά αντίληψης που συνήθως έχουν οι άνθρωποι για τονκόσµο. Η λογική λέει ότι η έννοια «καλό» δεν είναι ούτε αυθύπαρκτη , αποµονωµένη ,ούτε αυτοοριζόµενη, αλλά υπάρχει και κατανοείται µόνο ως δίπολο µε την έννοια«κακό». Και αυτό βεβαίως πέραν από την εξαιρετικώς αµφίβολη υποκειµενικήεκτίµηση του τι είναι «καλό» ή «κακό» Επίσης ιστορικά είχαµε πολλά προβλήµαταστην πορεία κατανοήσεως ιδιοτήτων του απείρου, πόσο µάλλον αυτού του ιδίου. Οίδιος ο Leibnitz είχε υποστεί µεγάλη κριτική από τον Επίσκοπο του Berkeley σχετικάµε τα απειροστά που είχε εισάγει τότε, στις απαρχές του απειροστικού λογισµού ,όπου άλλοτε θεωρούσε το dx ως µηδέν και το απάλειφε , ενώ παρακάτω διαιρούσε µετο dx υποθέτοντας το διάφορο του µηδενός!8 Συνεπώς ο λογισµός µε το άπειρο, δενπαράγει πάντοτε αποτελέσµατα αµέσως αποδεκτά από την ανθρώπινη νόηση. Οιδύσκολες έννοιες του απείρου και του απειροστού δεν γίνονται αµέσως κατανοητέςαπό την ανθρώπινη διαίσθηση. Το πιστοποιεί η λίαν ενδιαφέρουσα και πολύ µακράπορεία θεµελιώσεως του Απειροστικού Λογισµού , από τον Αρχιµήδη έως τον7 Βλέπε σελ. 162 «ΛΟΓΙΚΗ» Ευάγγελου Π. Παπανούτσου , εκδόσεις ∆ωδώνη , Αθήνα –Γιάννινα 1985.8 Βλέπε «Εισαγωγή στην Φιλοσοφία των Μαθηµατικών» ∆ιονυσίου Α. Αναπολιτάνου, εκδόσειςΝΕΦΕΛΗ , Αθήνα 1985. σελ. 116
5. 5. Waierstrass . Τα παράδοξα του Ζήνωνος , αλλά και τα µεταγενέστερα διάσηµαπαράδοξα του Russell , του Cantor , των Bourali-Forti περιέχουν πάντα την «περίεργη»έννοια του απείρου9. `Ενα πείραµα που φανερώνει το µη προφανές της κατανόησης των ιδιοτήτωντου απείρου και το οποίο µπορεί να δοκιµάσει ο καθένας , είναι να θέσει σε φοιτητέςµαθηµατικών αλλά και µαθηµατικούς το εξής ερώτηµα: «Αν προσθέσω άπειρους στο πλήθος θετικούς αριθµούς , τι αποτέλεσµα θαπάρω; `Απειρο ή πεπερασµένο;» ή το γεωµετρικό ισοδύναµο ερώτηµα : «Αν θέσωάπειρα ευθύγραµµα τµήµατα επ’ ευθείας, τι θα προκύψει; Ευθ. τµήµα, ηµιευθεία ήευθεία;» Και βέβαια το ότι από άπειρους θετικούς µπορεί να προκύψει και πεπερασµένοάθροισµα ή αντιστοίχως ότι άπειρα ευθύγραµµα τµήµατα ενδεχοµένως να παράγουνευθύγραµµο τµήµα , αυτές θα είναι απαντήσεις µε την µικρότερη συχνότητα, παρ’ ότιαποτελεί κοινό τόπο και λίαν χρησιµοποιούµενο µαθηµατικό αποτέλεσµα σε ∞ 1εκατοντάδες εφαρµογές το γεγονός ότι ∑2 n =1 n = 1 . Μπορεί µάλιστα το προηγούµενοαποτέλεσµα να διδάσκεται από την Β’ Λυκείου , αλλά ο βαθµός αφοµοίωσής του , είναιελάχιστος. Κάθε µαθηµατικός ,στον περίγυρό του ,µπορεί να το επαληθεύσει. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η προσπάθεια «λογικής ερµηνείας» του«παράδοξου»(«Παράδοξο» διαισθητικά βεβαίως , για το πώς άραγε είναι δυνατόνάπειρες θετικές οντότητες να έχουν πεπερασµένο άθροισµα) «Χµ!…..» µου είπε ένας συνοµιλητής µου: «Νοµίζω ότι κατανοώ πλήρως τοαποτέλεσµα! Αυτό εξηγείται από το γεγονός, ότι ναι µεν διαρκώς προστίθεται κάποιαθετική ποσότητα, αλλά αυτή είναι διαρκώς µικρότερη, οπότε µετά από κάποιο αριθµόβηµάτων εκφυλίζεται σε απειροστό , που δεν µπορεί να αυξήσει σε άπειρο το άθροισµακαι το κρατάει σε πεπερασµένα επίπεδα!….» ∞ 1 Βεβαίως όταν του υπεδείχθη ότι ∑ n = ∞ , τότε ο ενθουσιασµός της n = 2.000.000.000«διαισθητικής κατανόησης» του προηγούµένου «παραδόξου» αντικαταστάθηκε απόαπορία και προβληµατισµό….. Ακόµη περισσότερο ενδιαφέρον επιστηµολογικά και διδακτικά έχει το γεγονόςότι ο χωρισµός ενός ευθυγράµµου τµήµατος σε άπειρα άλλα ευθύγραµµα τµήµατα ,είναι πολύ εύκολα αποδεκτός από την ανθρώπινη συνείδηση. Το αντίστροφο όµωςγίνεται εξαιρετικά δύσκολα αποδεκτό , αφού τα άπειρα ευθύγραµµα τµήµατα «πρέπει»να έχουν άθροισµα ή ηµιευθεία ή ευθεία , δηλ. άπειρη οντότητα, αλλά ποτέ ευθ. τµήµαδηλ. πεπερασµένη οντότητα. Κατά την γνώµη του γράφοντος , το προηγούµενο αποτελεί και τον πυρήνα τωνπερίφηµων παραδόξων του Ζήνωνα , αφού λ.χ. στο παράδοξο του βέλους που ποτέ δενφθάνει στον στόχο του, είναι εξαιρετικά δύσκολο να γίνει αποδεκτό από τηνανθρώπινη συνείδηση ότι άπειρες χρονικές περίοδοι ενδεχοµένως να έχουν άθροισµαπεπερασµένη χρονική περίοδο. Από τα προηγούµενα καθίσταται περισσότερο φανερή η δυσκολία κατανοήσεωςσε βάθος της έννοιας του απείρου, η οποία ακολούθησε µακρά ιστορική περίοδοξεκαθαρίσµατος . Συνεπώς , αφού είναι δύσκολη η κατανόησή της σε βάθος ακόµα κιαπό µαθηµατικούς, είναι προφανής και ο προβληµατισµός του κατά πόσον είναι9 Τα διάσηµα αυτά παράδοξα αλλά και άλλα περιέχονται στο βιβλίο της υποσηµειώσεως (5) σελ. .200
6. 6. δυνατόν αυτή η έννοια να γίνει εργαλείο χειρισµού σε ένα χώρο που επικρατούνδόγµατα και εξ αποκαλύψεως αλήθειες. Αν µη τι άλλο όµως είναι προκλητική η χρήσητων µαθηµατικών συµπερασµάτων στο έλεγχο των δογµάτων από απόψεως φυσικήςκαι λογικής υποστάσεως. Ως καίριο παράδειγµα έχουµε το παρακάτω τελευταίοερώτηµα και τον ενδιαφέροντα προβληµατισµό του . ΕΡΩΤΗΜΑ 5. Ο Θεός υπόσχεται «αιώνια ζωή» αλλά και «αιώνια τιµωρία»σε όσους ανθρώπους δεν διάγουν ενάρετο και Χριστιανικό βίο στην παρούσαπεπερασµένη φάση της ζωής µας . Υπάρχει κάποιο παράδοξο σε αυτή τηνυπόσχεση του Θεού και ποίο; Απάντηση: Αν πάρουµε την πεπερασµένη ζωή µας σε σχέση µε την άπειρη «αιώνια ζωή», έχουµε το αποτέλεσµα του 0%. Είναι αυτό που πολύ καλά γνωρίζουµε από τον πεπερασµενοαπειροστικό λογισµό ότι = 0 . Το προηγούµενο αποτέλεσµα είναι ∞απόλυτο. `Οσο µεγάλη ζωή και να ζήσει ο άνθρωπος , ακόµα και δισεκατοµµύρια έτη(που προφανώς είναι ανέφικτο ακόµα και για το απώτατο µέλλον ) σε σχέση µε την«αιώνια ζωή» (=άπειρα χρόνια ) είναι ένα παγερό ολοστρόγγυλο µηδενικό! Ακόµα πιοπαραστατικό είναι το να αντιληφθούµε , ότι η παρούσα φάση της πεπερασµένης ζωήςµας , είναι ακριβώς µηδενικής διάρκειας, σε σχέση µε την µεγάλη υπόσχεση του Θεούγια αιώνια και µακάρια ζωή , µε δεδοµένη και την αθανασία της ψυχής. Με δεδοµένο το προηγούµενο, η παραβατικότητα («αµαρτίες») των ανθρώπωνκαθίσταται φαινόµενο «άπειρης βλακείας». Η προηγούµενη εντός εισαγωγικών φράση,δεν αποτελεί εδώ ένα σχήµα λόγου, αλλά µια κυριολεξία , αν µεταφραστούν οισυνέπειες της πραγµατικότητας που όλοι βλέπουµε καθηµερινά. ∆ηλαδή µε άλλα λόγια,το ίδιο το γεγονός της διακύβευσης απώλειας της αιώνιας ζωής µε την παραβατικότηταπου εµφανίζουν οι πιστοί, οδηγεί στο νοµοτελειακό συµπέρασµα της «άπειρηςβλακείας» . ∆εν πρέπει να µας εκπλήσσει ένα τέτοιο συµπέρασµα, αλλά αντιθέτως ναµας εµβάλλει σε σοβαρό στοχασµό για το πώς είναι δυνατόν να διακινδυνεύει κάποιοςπιστός την αιώνια ζωή κάνοντας αµαρτίες σε µια ζωή κατ’ ουσίαν µηδενικής διάρκειας.∆ιακινδυνεύεται – κατ’ επανάληψιν µάλιστα – η αιώνια ζωή (οι αµαρτίες είναικαθηµερινότητα για όλους τους πιστούς) για το µηδέν; ∆ιακινδυνεύεται η παραποµπήστο «πυρ το εξώτερον» αιωνίως και ανεπιστρεπτί (ως γνωστόν «∆εν υπάρχει µετάνοιαµετά θάνατον») για παραβάσεις του ηθικού Χριστιανικού κώδικα από πιστούς σχεδόνκαθηµερινά και αυτό το γεγονός δεν συνιστά µια άκρως ακατανόητη συµπεριφορά ;Εποµένως , αν από την µία µεριά τεθεί η ανθρώπινη συµπεριφορά κι από την άλλη ηυπόσχεση του Θεού, βλέπουµε κάτι που είναι άκρως ακατανόητο . Τότε γιατί οιάνθρωποι ρέπουν προς την αµαρτία µε τέτοια συχνότητα και µάλιστα οι πιστοί; Εδώ ηύπαρξη της διαβολικής οντότητας µπορεί να εξηγήσει την συµπεριφορά αυτή, από τηνάλλη όµως , καταρρακώνεται κάθε έννοια ελευθερίας αυτοβουλίας και αυτεξούσιου τουανθρωπίνου όντος . Μία «πονηρή» οντότητα παρεµβαίνει στην βούληση του ανθρώπουκαι τον ωθεί σε αµαρτίες; Περιποιεί τιµή στον άνθρωπο η φράση «δεν φταίω εγώ ο όφιςµε εξηπάτησε;» Ικανοποιείται η ανθρώπινη αξιοπρέπεια µε την συχνή και διαρκήπροσφυγή στην εξοµολόγηση για απάλειψη των ανοµιών; Από την άλλη η αληθινήπίστη προς τον Θεό δεν αποτελεί ικανή συνθήκη για την µη διάπραξη ανοµιών –τουλάχιστον µε µεγάλη συχνότητα- από µέρους των δηλούντων ανενδίαστως καιαπολύτως ότι είναι βέβαιοι για την ύπαρξη του ανωτάτου `Οντος; ∆εν υπάρχει τεράστιααντίφαση στην καθηµερινή συµπεριφορά των ανθρώπων;
7. 7. Αλλά βέβαια ο προβληµατισµός δεν µπορεί να εξαντληθεί στα προηγούµενα ,µπορεί όµως να προαχθεί σε ανώτερο επίπεδο και µε την χρήση των εργαλείων τωνΜαθηµατικών και να προσεγγισθεί η αλήθεια υπό όποια έννοια υπάρχει κι αν βεβαίωςυπάρχει……… SUMMARY: In all the religions, the god is infinite. It’s comprehension, if it is feasible, passesthrough the comprehension of the infinite. The instinctive accession of the meaning ofthe infinite, historically has leaded into faults, misapprehensions, paradoxes and fertilecontradictions. Today Mathematiques have very much penetrated in the meaning of theinfinite, and because of this the philosophical and theological reflection can beenhanced. Also the Mathematician logic has attempted some of its paradoxes. Havingall these equipments we can access questions as the followings: Can the God createother infinite beings, being itself an infinite being? As long as it is omnipotent, can itconstruct a stone that it cannot lift? The meaning of “human God” that is given to theChrist, is it inconsistent? Could the God create a better world than the world of thewars, the fame and the injustice, that he it has created? (Not according to Leibniz). Doesthe faith of a man to the God and his simultaneous default through his signs make himthe acme of the human absurdity? These questions are examined in the present workthat tries to give answers or to enlarge the field of their reference.

Πηγή: https://www.slideshare.net/plataros/5-theologika-erwthmata

Ακριβώς όπως και το φως, τα μυρμήγκια που κινούνται πάνω σε διαφορετικές επιφάνειες δεν επιλέγουν τη διαδρομή τους με βάση την απόσταση, αλλά με βάση την ταχύτητα με την οποία θα φτάσουν στον προορισμό τους. Αυτό προκύπτει από νέα έρευνα του πανεπιστημίου του Ρέγκενσμπουργκ στη Γερμανία, σε μυρμήγκια του είδους Wasmannia auropunctata. Στην επιστήμη της οπτικής μια ακτίνα φωτός επιλέγει τη διαδρομή που απαιτεί τον λιγότερο χρόνο, ακόμα και αν η απόσταση που πρέπει να διανύσει είναι μεγαλύτερη. Αυτή είναι η αρχή του ελαχίστου χρόνου, γνωστή και ως αρχή του Φερμά. Όπως προέκυψε από τη μελέτη, την ίδια ακριβώς αρχή ακολουθούν και τα μυρμήγκια.

Στο πλαίσιο της έρευνας οι επιστήμονες καλλιέργησαν σε ειδικά διαμορφωμένο, κλειστό χώρο, αποικίες μυρμηγκιών, οι οποίες αποτελούνταν από χιλιάδες εργάτες και μερικές βασίλισσες. Τα μυρμήγκια περιορίστηκαν στη μια γωνιά του χώρου, ενώ στην άλλη γωνιά, ακριβώς απέναντι, οι επιστήμονες έβαλαν ως δόλωμα νεκρές κατσαρίδες. Για να φτάσουν στην τροφή τα μυρμήγκια έπρεπε να διανύσουν περιοχές καλυμμένες με διαφορετικά υλικά, τα οποία δημιουργούσαν λείες, τραχείες και γυάλινες επιφάνειες. Μάλιστα οι επιστήμονες έφτιαξαν μονοπάτια συνδυάζοντας τα υλικά ανά δυο για να δημιουργήσουν διαφορετική αίσθηση και να εξετάσουν ποια διαδρομή θα επέλεγαν τα μυρμήγκια.
Οι συνδυασμοί ήταν οι εξής: γυάλινο υλικό και τραχεία επιφάνεια, γυάλινο υλικό και λεία επιφάνεια, λεία και τραχεία επιφάνεια. Όπως προέκυψε από τη μελέτη, τα μυρμήγκια κινούνταν ταχύτερα πάνω στο γυάλινο υλικό συγκριτικά με οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, ενώ κινούνταν γρηγορότερα πάνω στη λεία επιφάνεια συγκριτικά με την τραχεία.
Για να φτάσουν στις κατσαρίδες τα μυρμήγκια δεν επέλεξαν την κοντινότερη, ευθεία διαδρομή, αλλά κινήθηκαν διαγώνια επιλέγοντας λείες επιφάνειες για να κερδίσουν χρόνο. Η έρευνα δείχνει ότι, εκτός από το φως, η αρχή του Φερμά εφαρμόζεται και σε ζωντανούς οργανισμούς. Τα μυρμήγκια κινούνται με βάση τα μονοπάτια φερομόνης. Μπορεί στην αρχή τα χημικά μονοπάτια να είναι τυχαία, ωστόσο με την πάροδο του χρόνου ταυτίζονται με τη βέλτιστη και πιο σύντομη διαδρομή.

Πηγή: http://dimitris-ver.blogspot.gr/2013/04/blog-post_7016.html?spref=fb&m=1