damianosk2001's blog

Just another Blogs.sch.gr site Μαθηματικα

Η γεωμετρία κάνει τους ανθρώπους να ξεχωρίζουν

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 2 Απριλίου 2022

O Στάνισλας Ντεάν, γνωσιακός νευροεπιστήμονας του Κολεγίου της Γαλλίας, παρουσίασε το φθινόπωρο σε συνέδριο στο Βατικανό την έρευνα που πραγματοποιεί αναζητώντας το στοιχείο που καθιστά τον άνθρωπο, ιδιαίτερο και μοναδικό. Επί δεκαετίες, άλλωστε, προσπαθεί να εντοπίσει τις εξελικτικές ρίζες του μαθηματικού μας ενστίκτου. Στο βιβλίο του «Η αίσθηση των αριθμών: Πώς ο εγκέφαλος δημιουργεί μαθηματικά», πραγματεύεται αυτήν ακριβώς τη διαδικασία. Σήμερα, η στόχευσή του έχει αλλάξει και ο δρ Ντεάν θέλει να διαπιστώσει τι είδους σκέψεις ή υπολογισμοί δημιουργούνται αποκλειστικά στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Ο ίδιος εκτιμά πως μέρος της απάντησης βρίσκεται στο ένστικτό μας για τη γεωμετρία.

Για τον δρα Ντεάν, η ικανότητά μας να φανταζόμαστε (ένα τρίγωνο, τους νόμους της Φυσικής, μία τετραγωνική ρίζα) είναι ακριβώς αυτό που μας καθιστά μοναδικούς στο ζωικό βασίλειο. Μάλιστα, όπως υπογραμμίζει, η ίδια ικανότητα είναι αυτή που μας επιτρέπει να επινοήσουμε τη θρησκεία, παρότι μεταξύ των δύο υπάρχει τεράστια απόσταση.

Η μελέτη

Ο νευροεπιστήμονας Στάνισλας Ντεάν πιστεύει πως η ικανότητά μας να φανταζόμαστε (π.χ. ένα τρίγωνο ή τους νόμους της Φυσικής) είναι αυτή που μας επιτρέπει να επινοήσουμε και τη θρησκεία.

Την περασμένη άνοιξη, ο δρ Ντεάν και οι συνεργάτες του δημοσίευσαν στην επιθεώρηση Proceeding of the National Academy of Sciences μία μελέτη στην οποία συνέκριναν την ικανότητα αντίληψης γεωμετρικών σχημάτων ανθρώπου και μπαμπουίνου. Στόχος των επιστημόνων δεν ήταν μόνον η μέτρηση της οπτικής αντίληψης αλλά και της βαθύτερης γνωσιακής διαδικασίας. Ο Πλάτωνας πίστευε ότι μόνον ο άνθρωπος έχει αντίληψη της γεωμετρίας. Ο Νόαμ Τσόμσκι, αντιθέτως, πιστεύει ότι η ανθρώπινη ταυτότητά μας βασίζεται στον λόγο.

Στην έρευνά του ο δρ Ντεάν χρησιμοποίησε την τελευταία λέξη της τεχνολογίας: λειτουργική μαγνητική τομογραφία (fMRI), τεχνητή νοημοσύνη, μαθηματικά πρότυπα κ.ο.κ. Στους συμμετέχοντες, ανθρώπους και μπαμπουίνους, έδειξε έξι τετράπλευρα και τους ζήτησε να υποδείξουν το διαφορετικό. Ολοι οι άνθρωποι, Γάλλοι ενήλικοι και νήπια, αλλά και ενήλικοι από την ύπαιθρο της Ναμίμπια χωρίς καμία επίσημη εκπαίδευση, τα κατάφεραν καλύτερα όταν τα σχήματα ήταν κανονικά, με παράλληλες πλευρές και ορθές γωνίες. Οι ερευνητές εκτιμούν ότι αυτό το «φαινόμενο της γεωμετρικής κανονικότητας» συνιστά την «υπογραφή» της ανθρώπινης μοναδικότητας.

Η γεωμετρική κανονικότητα δεν έκανε καμία διαφορά στους μπαμπουίνους, οι οποίοι μπορούσαν μεν να διακρίνουν το μήλο ανάμεσα σε έξι φέτες καρπούζι, αλλά δεν μπορούσαν να διακρίνουν το διαφορετικό πολύγωνο.

Στο ίδιο συμπέρασμα κατέληξαν και οι υπόλοιπες εξετάσεις και δοκιμασίες που πραγματοποίησαν οι ερευνητές. Στη λειτουργική μαγνητική τομογραφία, οι περιοχές του εγκεφάλου που λειτουργούν όταν επεξεργαζόμαστε γεωμετρικά σχήματα, «μιλάμε τη γλώσσα της γεωμετρίας», είναι εντελώς διαφορετικά από αυτά που ενεργοποιούνται από τον γραπτό ή προφορικό λόγο. Η γλώσσα συχνά θεωρείται ότι είναι το χαρακτηριστικό της ανθρώπινης μοναδικότητας. Ο δρ Ντεάν, ωστόσο, υποστηρίζει ότι η ιδιαιτερότητά μας χαρακτηρίζεται από μία ακόμη πιο θεμελιώδη ικανότητα. «Πιθανώς ο λόγος ίσως να μην ξεκίνησε ως μια μέθοδος επικοινωνίας, αλλά μια μέθοδος αναπαράστασης. Ισως να είναι ικανότητα δηλαδή να αναπαριστάς στοιχεία του κόσμου που μας περιβάλλει», επισημαίνει.

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Η γεωμετρία κάνει τους ανθρώπους να ξεχωρίζουν

Παράδοξο των φακέλων!

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 19 Μαρτίου 2022

Φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε ένα τηλεπαιχνίδι. Μπροστά σας είναι τοποθετημένοι
δυο κλειστοί φάκελοι με χρήματα .
Ο παρουσιαστής σας ενημερώνει ο ένας φάκελος περιέχει διπλάσιο ποσό χρημάτων
από τον άλλο αλλά δεν γνωρίζετε ποιος. Επιλέγετε έναν φάκελο στην τύχη τον ανοί-
γετε και διαπιστώνετε ότι περιέχει το ποσό των 100 ευρώ. Ο παρουσιαστής σας δίνει
την δυνατότητα η να κρατήσετε τον ανοικτό φάκελο και το ποσό των 100 ευρώ η να
τον ανταλλάξετε με τον άλλο φάκελο.Ο άλλος φάκελος περιέχει με ισες πιθανότητες η
το διπλάσιο ποσό 200 ευρώ η το μισό των χρημάτων που βρήκατε 50 ευρώ. Οι πιθα-
νότητες να κερδίσετε η να χάσετε είναι ισες .Αλλά φυσικά το αναμενόμενο κέρδος εί-
ναι διαφορετικό στην πρώτη περίπτωση κερδίζετε 100 ευρώ επιπλέον στην δεύτερη
χάνετε μόνο 50. Άρα σας συμφέρει να τον ανταλλάξετε.
Σε αυτό σημείο όμως έχουμε θέμα. Προτού ανοίξετε τον φάκελο γνωρίζετε ότι οποι-
οδήποτε ποσό και αν βρείτε, το σκεπτικό θα παραμείνει το ίδιο, έτσι το πιο λογικό
πράγμα που έχετε να κάνετε είναι να ανταλλάξετε αμέσως το φάκελο με τον άλλο ,
δίχως να σας απασχολεί το άνοιγμα του: Διότι, αν ο φάκελος που κρατάτε περιέχει χ
ευρώ, τότε ο άλλος φάκελος θα περιέχει η χ/2 ή 2χ ευρώ , με ισες πιθανότητες .Όποτε
θα έχετε ισες πιθανότητες να κερδίσετε χ ευρώ ή να χάσετε χ/2 ευρώ. Άρα σας συμ-
φέρει να κάνετε την ανταλλαγή. Αλλά αν αρχικά είχατε επιλέξει το δεύτερο φάκελο,
τότε με το ίδιο σκεπτικό , θα σας συνέφερε να τον ανταλλάξετε αυτόματα με τον πρώ-
το.Αδιέξοδο ,φτάνουμε σε παράδοξο!! Είναι σαφές ότι υπάρχει αντίφαση αλλά ποιο
είναι το σφάλμα του παραπάνω συλλογισμού;
Ικανοποιητική ερμηνεία δεν έχει δοθεί μέχρι σήμερα.
Το παράδοξο είναι γνωστό από την δεκαετία του 1930 αλλά με την μορφή των φακέ-
λων παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από των καθηγητή μαθηματικών του Χάρβαρντ
Sandy zabell.
Απαλλαγμένη από πιθανότητες μια άλλη εκδοχή του παράδοξου δίνει ο Ρέι-
μοντ Σμούλιαν, Μαθηματικός με ειδίκευση στην Λογική και συγγραφέας βιβλίων με
γρίφους.
Το θέτει ως εξής:

Επιλέγουμε στην αρχή τον ένα από τους δυο φάκελους και αποφασίζουμε να τον α-
νταλλάξουμε με τον άλλο. Από την ανταλλαγή αυτή είναι σαφές ότι ή θα κερδίσουμε
ή θα χάσουμε. Θα αποδείξουμε τώρα δυο αντιφατικές προτάσεις:
● Πρόταση 1: Το ποσό που θα κερδίσουμε, αν κερδίσουμε, είναι μεγαλύτερο από το
ποσό που θα χάσουμε, αν χάσουμε.
● Πρόταση 2: Τα ποσά είναι ίσα.
Ευθύς έξαρχης είναι σαφές ότι δεν μπορούν να αληθεύουν και οι δυο προτάσεις .Θα
αποδείξουμε και τις δυο.
Η πρόταση 1 αναδιατυπώνει όσα αναφέραμε στην αρχή.
Αν χ ευρώ περιέχει ο φάκελος που κρατάμε ο άλλος περιέχει η χ/2 ή 2χ ευρώ. Α κερ-
δίσουμε από την ανταλλαγή θα κερδίσουμε χ ευρώ ενώ αν χάσουμε θα χάσουμε χ/2
ευρώ. Αφού το χ είναι μεγαλύτερο από χ/2 , το ποσό που θα κερδίσουμε θα είναι με-
γαλύτερο από αυτό που θα χάσουμε άρα ισχύει η πρόταση 1.
Όσο αφορά την πρόταση 2. Αν Δ είναι η διαφορά των ποσών στους 2 φάκελους, ή ,
με άλλα λόγια, έστω Δ το μικρότερο από τα δυο ποσά. Αν κερδίσουμε από την ανταλ-
λαγή θα κερδίσουμε Δ ευρώ αν χάσουμε θα χάσουμε Δ ευρώ. Άρα τα δυο ποσά είναι
ίσα. Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι ο φάκελος με το μικρότερο ποσό περιέχει 20
ευρώ. Οπότε αυτός με το μεγαλύτερο ποσό περιέχει 40 ευρώ. Αν κερδίσεις από την
ανταλλαγή, σημαίνει ότι είχαμε στα χέρια μας το φάκελο με τα λιγότερα χρήματα, ο-
πότε το κέρδος είναι 20 ευρώ. Αν όμως χάσουμε από την ανταλλαγή , αυτό σημαίνει
ότι κρατούσαμε το φάκελο με τα με τα 40 ευρώ και έτσι θα χάσουμε 20 ευρώ. Άρα 20
ευρώ είναι το ποσό που θα κερδίσουμε ,αλλά και το ποσό που θα χάσουμε. Το ίδιο
ισχύει και για κάθε Δ που είναι μικρότερο από τα δυο ποσά. Ο Αριθμός Δ είναι το πο-
σό που κερδίσουμε η θα χάσουμε. Οπότε αποδεικνύεται και η πρόταση 2, και τα ποσά
είναι τελικά ισα. Ισχύει τόσο η πρόταση 1 όσο και οι πρόταση 2!!!.Μπερδευτηκατε;
Δεν μπορούν να αληθεύουν και οι δυο προτάσεις.

Πηγή: Ψευδοαποδείξεις-Παράδοξα http://mathhmagic.blogspot.gr

Κατηγορία θεωρια παιγνιων | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Παράδοξο των φακέλων!

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ισοπαλία!

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 19 Μαρτίου 2022

.jpg

Κατηγορία Σκάκι | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Παίζουν τα λευκά και κάνουν ισοπαλία!

Ποδόσφαιρο και μαθηματικά

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 19 Φεβρουαρίου 2022

https://omathimatikos.gr/?p=53327

Κατηγορία Ψυχαγωγια-ανεκδοτα | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Ποδόσφαιρο και μαθηματικά

Το πρόβλημα της τετράγωνης κρεμάστρας

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 21 Ιανουαρίου 2022

272109220 4352397544866547 7694378680982748051 n

Κατηγορία Ενδιαφέροντα προβλήματα | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Το πρόβλημα της τετράγωνης κρεμάστρας

Οπτική του καθενός!

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 31 Οκτωβρίου 2021

Μπορεί να είναι εικόνα ποτό και κείμενο που λέει "Επαγγελματική οπτική X-1 f(x)- Αισιόδοξος μισογεμάτο Μαθηματικός Απαισιόδοξος μισοάδειο =(ny+1dy"

Κατηγορία Ψυχαγωγια-ανεκδοτα | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Οπτική του καθενός!

Υποτείνουσα!!!

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 27 Οκτωβρίου 2021

Κατηγορία Ψυχαγωγια-ανεκδοτα | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Υποτείνουσα!!!

Μιγαδικοί αριθμοί…

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 22 Οκτωβρίου 2021

Κατηγορία Ψυχαγωγια-ανεκδοτα | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Μιγαδικοί αριθμοί…

Ταυτότητες…

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 26 Αυγούστου 2021

-Καλησπέρα σας, πουλάτε ταυτότητες;

-Ναι, τι θα θέλατε;

-Θέλω  την  (α+β)2

-Φυσικά!!…

­­-Ορίστε  και  η  απόδειξη: (α+β)(α+β)=α2+αβ+βα+β22+2αβ+β2!!!

Κατηγορία Ψυχαγωγια-ανεκδοτα | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Ταυτότητες…

π=3,14159….

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 24 Αυγούστου 2021

Κατηγορία Ψυχαγωγια-ανεκδοτα | Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο π=3,14159….