damianosk2001's blog

Απο το http://eisatopon.blogspot.gr/

Στον παρακατω συνδεσμο θα διαβασετε ενα καταπληκτικο αποσπασμα απο διαλογο του φιλοσοφου Σωκρατη για τα μαθηματικα. Γιατι φιλοσοφια και μαθηματικα ειναι αλληλενδετα!!!

http://thalesandfriends.org.s90141.gridserver.com/wp-content/uploads/2012/03/socrates_scan.pdf

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ψάχνεις για κανέναν, αγαπητέ μου ‘Ιπποκράτη;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Όχι, Σωκράτη, γιατί τον βρήκα κιόλας. Είσαι εσύ.

Έψαχνα παντού να σε βρω. Κάποιος στην αγορά μου ‘πε ότι σε είδε να

περπατάς στις όχθες του πόταμου Ιλισού και έτσι σε βρήκα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Ωραία, λοιπόν, πες μου πρώτα γιατί ήρθες και μετά

θέλω να σε ρωτήσω κάτι για τη συζήτηση μας με τον Πρωταγόρα. Τη

θυμάσαι;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Και με ρωτάς; Από τότε δεν έχει περάσει ούτε στιγμή

που να μην την έχω στο μυαλό μου. ‘Ακριβώς λοιπόν γι’ αυτή τη

συζήτηση ήρθα σήμερα να ζητήσω τη συμβουλή σου.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Φαίνεται, αγαπητέ μου ‘Ιπποκράτη, ότι θέλεις να

συζητήσουμε για το ίδιο ακριβώς ζήτημα που κι εγώ θέλω να

μιλήσουμε. Έτσι τα δυο ζητήματα είναι ένα και το αυτό. Είναι φανερό

ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν δίκιο όταν λένε ότι το δύο δεν είναι ποτέ

ίσο με το ένα.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Και, αλήθεια, Σωκράτη, τα μαθηματικά είναι ακριβώς το θέμα που θέλω να

συζητήσουμε.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: ‘Ασφαλώς το ξέρεις, ‘Ιπποκράτη, ότι δεν είμαι μαθηματικός. Γιατί δεν πήγες να πεις τα

προβλήματα σου στο φημισμένο Θεόδωρο;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Με ξαφνιάζεις, Σωκράτη. Εσύ απαντάς στα ερωτήματα μου, πριν ακόμα σου πω ποια

είναι. Ήρθα να ζητήσω τη γνώμη σου για το αν πρέπει να γίνω μαθητής του Θεόδωρου. Την

περασμένη φορά, όταν ήρθα σε σένα με σκοπό να γίνω μαθητής του Πρωταγόρα, πήγαμε μαζί σ

αυτόν και εσύ έφερες με τέτοιο τρόπο τη συζήτηση, που φάνηκε καθαρά ότι αυτός δεν ήξερε ούτε το

αντικείμενο της διδασκαλίας του. ‘Αποτέλεσμα ήταν ν’ αλλάξω γνώμη και να μην τον ακολουθήσω. Η

συζήτηση εκείνη με βοήθησε να καταλάβω τι να μην κάνω, δεν μου έδειξε όμως τι να κάνω. Και

ακόμη αναρωτιέμαι. Πηγαίνω στα συμπόσια και στην πάλαιστρα με άλλους νέους της ηλικίας μου,

μπορώ να πω ότι περνώ ευχάριστα, άλλα αυτό δε με Ικανοποιεί. Με ενοχλεί που αισθάνομαι τον εαυτό

μου άμαθη. Συγκεκριμένα αισθάνομαι ότι η γνώση που έχω είναι μάλλον αβέβαιη. Στη συζήτηση με

τον Πρωταγόρα κατάλαβα ότι η γνώση μου για τόσο συνηθισμένες έννοιες όπως η αρετή, η

δικαιοσύνη και η τόλμη απέχει πολύ από το να είναι ικανοποιητική. Δεν πειράζει όμως· νομίζω ότι

είναι πρόοδος το ότι τώρα βλέπω καθαρότερα την αμάθεια μου.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Είμαι ευχαριστημένος, φίλε μου ‘Ιπποκράτη, που με καταλαβαίνεις τόσο καλά. Πάντα

λέω στον εαυτό μου με αρκετή ειλικρίνεια ότι δεν ξέρω τίποτα. Η διάφορα ανάμεσα σε μένα και σε

άλλους ανθρώπους είναι ότι, εγώ δεν φαντάζομαι πως ξέρω αυτό που στην πραγματικότητα δεν ξέρω.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Αυτό δείχνει ξεκάθαρα τη σοφία σου, Σωκράτη. Τέτοια γνώση όμως δεν υπάρχει

αρκετή σε μένα. Νιώθω μεγάλη ανάγκη να αποκτήσω κάποιες βέβαιες και σταθερές γνώσεις και δε θα

‘μαι ευτυχισμένος μέχρι να το πετύχω. Σκέφτομαι συνέχεια στα σοβαρά τι είδος γνώσης να

προσπαθήσω ν’ αποκτήσω. Ο Θεαίτητος, τελευταία, μου είπε ότι βεβαιότητα υπάρχει μόνο στα

μαθηματικά και μού πρότεινε να μάθω μαθηματικά από τον δάσκαλο του το Θεόδωρο, που είναι ο πιο

ειδικός στους αριθμούς και στη γεωμετρία, σ’ όλη την ‘Αθήνα. Δε θα ‘θελα όμως πάλι να κάνω το ίδιο

λάθος που έκανα, όταν ήθελα να γίνω μαθητής του Πρωταγόρα. Γι’ αυτό, πες μου Σωκράτη, θα βρω το

είδος της γνώσης που ζητώ, αν διδαχτώ τα μαθηματικά από το Θεόδωρο;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Αν θέλεις πραγματικά να σπουδάσεις μαθηματικά, γιέ του ‘Απολλόδωρου, το καλύτερο,

βέβαια, που ‘χεις να κάνεις είναι να πας στο φίλο μου τον Θεόδωρο, που τον εκτιμώ πολύ. Πρέπει

όμως ν’ αποφασίσεις μόνος σου αν πραγματικά θέλεις να σπουδάσεις μαθηματικά ή όχι. Κανένας

άλλος από σένα τον ίδιο δε μπορεί να ξέρει καλύτερα τις ανάγκες σου.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Γιατί αρνείσαι να με βοηθήσεις Σωκράτη; Μήπως, χωρίς να το καταλάβω σε

πρόσβαλα;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Με παρεξήγησες, νεαρέ μου φίλε. Δεν είμαι θυμωμένος άλλα μου ζητάς κάτι το

αδύνατο. Ο καθένας πρέπει να αποφασίζει μόνος του τι θέλει να κάνει. Δεν μπορώ να κάνω τίποτα

περισσότερο από το να βοηθήσω, σα μια μαμή να γεννηθεί η απόφαση σου.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Σε παρακαλώ, αγαπητέ Σωκράτη, μην αρνείσαι να με βοηθήσεις κι αν είσαι

ελεύθερος τώρα, ας αρχίσουμε αμέσως.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Καλά, λοιπόν, Ας γίνει αφού το θέλεις. Ας ξαπλώσουμε στη σκιά αυτού του πλάτανου

κι ας αρχίσουμε. ‘Αλλά, πρώτα, για πες μου, είσαι έτοιμος να κάνεις τη συζήτηση με τον τρόπο που

προτιμώ; Εγώ θα σε ρωτάω και συ θα πρέπει να δίνεις τις απαντήσεις. “Έτσι θα μπορέσεις να δεις

καθαρά τι κιόλας ξέρεις. Γιατί μ’ αυτή τη μέθοδο θα βλαστήσουν οι σπόροι των γνώσεων που ήδη

κατέχεις. Ελπίζω πως δε θα κάνεις σαν τον βασιλιά Δαρείο που σκότωσε τον προϊστάμενο των

ορυχείων του, όταν του έφερε μόνο χαλκό από ένα ορυχείο πού ό βασιλιάς νόμιζε ότι περιείχε

χρυσάφι.

‘Ελπίζω πώς δεν ξεχνάς ότι ένας μεταλλωρύχος μπορεί να βρει σ’ ένα ορυχείο μόνο ό,τι αυτό περιέχει.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: ‘Ορκίζομαι ότι δε θα κάνω περιττές παρεμβάσεις, άλλα, μα το Δία, Ας αρχίσουμε να

βγάζουμε μετάλλευμα αμέσως.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Εντάξει. Λοιπόν, για πες μου, ξέρεις τι είναι τα μαθηματικά; ‘Υποθέτω ότι, αφού θέλεις

να τα σπουδάσεις, μπορείς και να ορίσεις τι είναι.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Νομίζω ότι κι ένα παιδί θα μπορούσε να το κάνει. Τα μαθηματικά είναι μια απ’ τις

επιστήμες και μάλιστα μια από τις πιο ωραίες.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Δεν σου ζήτησα να επαινέσεις τα μαθηματικά, άλλα να περιγράψεις τη φύση

τους. Για παράδειγμα, δεν σε ρωτούσα για την τέχνη των γιατρών, θ απαντούσες ότι αυτή η τέχνη

ασχολείται με την υγεία και την αρρώστια και έχει σα σκοπό να θεραπεύει την αρρώστια και να

διατηρεί την υγεία. Σωστά δεν τα λέω;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Βέβαια.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Λοιπόν, απάντησε μου σ’ αυτό. Η Ιατρική ασχολείται με κάτι που υπάρχει η με κάτι

που δεν υπάρχει; “Αν δεν υπήρχαν καθόλου γιατροί, θα εξακολουθούσε να υπάρχει η αρρώστια;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: ‘Οπωσδήποτε και μάλιστα πολύ περισσότερο από όσο τώρα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: “Ας ρίξουμε μια ματιά σε μια άλλη τέχνη, ας πούμε π.χ. στην αστρονομία. Συμφωνείς

μαζί μου ότι οι αστρονόμοι μελετούν την κίνηση των άστρων;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Σίγουρα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Κι αν σε ρωτήσω, αν η αστρονομία ασχολείται με κάτι που υπάρχει, ποια θα είναι η

απάντηση σου;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Η απάντηση μου είναι καταφατική.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: θα υπήρχαν τ’ άστρα, αν δεν υπήρχε ούτε ένας αστρονόμος στον κόσμο;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Βέβαια. Κι αν ο Ζευς στο θυμό του εξόντωνε το ανθρώπινο είδος, τ’ άστρα θα

εξακολουθούσαν να λάμπουν στον ουρανό τις νύχτες. ‘Αλλά γιατί μιλάμε για την αστρονομία, αντί για

τα μαθηματικά;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Μην είσαι ανυπόμονος, καλέ μου φίλε. “Ας πάρουμε μερικές άλλες τέχνες, για να τις

συγκρίνουμε με τα μαθηματικά. Πώς θα περιέγραφες τον άνθρωπο που έχει γνώσεις για όλα τα

πλάσματα που ζουν στα δάση η στα βάθη της θάλασσας;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Αυτός είναι ένας επιστήμονας που μελέτα την ζωντανή φύση.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Συμφωνείς, λοιπόν, ότι αυτός ο άνθρωπος μελέτα πράγματα τα όποια υπάρχουν;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Συμφωνώ.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: “Αν τέλος πω ότι κάθε τέχνη ασχολείται με κάτι που υπάρχει, θα συμφωνούσες;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Απόλυτα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Τώρα πες μου, νεαρέ μου φίλε, ποιο είναι το αντικείμενο των μαθηματικών; Τι

πράγματα μελετά ο μαθηματικός;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : “Έκανα στο Θεαίτητο την ίδια ερώτηση. Μου απάντησε ότι ο μαθηματικός μελέτα

τους αριθμούς και τα γεωμετρικά σχήματα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Η απάντηση είναι σωστή, άλλα τι λες, αυτά τα πράγματα υπάρχουν;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Βέβαια. Πως θα μπορούσαμε να μιλάμε γι’ αυτά, αν δεν υπήρχαν;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Πες μου, τώρα, αν δεν υπήρχαν μαθηματικοί, θα υπήρχαν οι πρώτοι αριθμοί; Κι αν

είναι έτσι, που θα υπήρχαν αυτοί;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Πραγματικά, δεν ξέρω τι να σου απαντήσω. Προφανώς, αν οι μαθηματικοί

στοχάζονται τους πρώτους αριθμούς, τότε αυτοί υπάρχουν στη συνείδησή τους. ‘Αλλά αν δεν υπήρχαν

μαθηματικοί, οι πρώτοι αριθμοί δεν θα υπήρχαν πουθενά.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Εννοείς ότι πρέπει να πούμε, πως οι μαθηματικοί μελετούν πράγματα που δεν

υπάρχουν;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Ναι, νομίζω ότι πρέπει να το παραδεχθούμε.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ας δούμε την ερώτηση από μια άλλη σκοπιά. “Έγραψα εδώ, σ’ αυτή την κερένια

πλάκα, τον αριθμό 37. Τον βλέπεις;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ναι, τον βλέπω.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Μπορείς να τον αγγίξεις με το χέρι σου;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Βέβαια.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Τότε μήπως οι αριθμοί υπάρχουν στ’ αλήθεια;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Νομίζω, Σωκράτη, ότι με κοροϊδεύεις. Δες εδώ, έχω σχεδιάσει στην ίδια πλάκα ένα

δράκο με επτά κεφάλια. Βγαίνει σαν συμπέρασμα ότι ένας τέτοιος δράκος υπάρχει; Δε συνάντησα

ποτέ κάποιον που να έχει δει δράκο και είμαι σίγουρος ότι δράκοι δεν υπάρχουν καθόλου, παρά μόνο

σε παραμύθια με νεράιδες. αλλά κι αν υποθέσουμε ότι κάνω λάθος, δηλαδή ότι κάπου πέρα από τις

‘Ηράκλειες στήλες πραγματικά υπάρχουν δράκοι, αυτό τίποτα δεν έχει να κάνει με τη ζωγραφιά μου.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Σωστά τα είπες, Ιπποκράτη. Και συμφωνώ απόλυτα μαζί σου. αλλά σημαίνει αυτό, ότι

δεν και μπορούμε να μιλάμε για τους αριθμούς και να τους γράφουμε, αυτοί δεν υπάρχουν στην

πραγματικότητα;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ασφαλώς.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Μη βγάζεις βιαστικά συμπεράσματα. Ας κάνουμε μιαν ακόμα προσπάθεια. Μιλώ

σωστά όταν λέω ότι μπορούμε να μετρήσουμε τα πρόβατα εδώ στο λιβάδι η τα πλοία στο λιμάνι του

Πειραιά;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ναι, μπορούμε.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Και τα πρόβατα και τα πλοία υπάρχουν;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Προφανώς.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: αλλά αν τα πρόβατα υπάρχουν, ο αριθμός τους δεν πρέπει να είναι κάτι που κι αυτό

υπάρχει;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Παίζεις μαζί μου, Σωκράτη. Οι μαθηματικοί δεν μετρούν πρόβατα. Αυτό είναι

δουλειά των βοσκών.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Εννοείς ότι εκείνο που μελετούν οι μαθηματικοί δεν είναι ο αριθμός των προβάτων η

πλοίων η άλλων πραγμάτων που υπάρχουν, άλλα ο αριθμός αυτός καθ’ αυτός; Και έτσι ενδιαφέρονται

για κάτι που υπάρχει μόνο στα μυαλά τους;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Ναι, αυτό εννοώ.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Μου είπες ό,τι σύμφωνα με τον Θεαίτητο, οι μαθηματικοί μελετούν τους αριθμούς και

τα γεωμετρικά σχήματα. Ποια η γνώμη σου για τα σχήματα; Αν σε ρωτήσω αν υπάρχουν, τι θ’

απαντήσεις;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Και βέβαια υπάρχουν. Μπορούμε π. χ. να δούμε το σχήμα ενός ωραίου αγγείου κι

ακόμα να το ψαύσουμε με τα χέρια μας.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω. Αν δεις ένα αγγείο, τι βλέπεις, το αγγείο η το

σχήμα του;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Βλέπω και τα δυο.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Είναι το ίδιο πράγμα σα να βλέπεις ένα αρνί; Βλέπεις και το αρνί και το μαλλί του;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Βρίσκω πολύ επιτυχημένη την παρομοίωση.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Αυτό μοιάζει να κουτσαίνει σαν τον “Ήφαιστο. Γιατί, μπορείς να κόψεις τα μαλλιά του

αρνιού και να δεις μετά το αρνί χωρίς μαλλιά και τα μαλλιά χωρίς αρνί. Μπορείς να ξεχωρίσεις, με

παρόμοιο τρόπο, το σχήμα του αγγείου απ’ το ίδιο το αγγείο;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Βέβαια όχι. Και τολμώ να πω ότι κανένας δεν μπορεί.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Και παρόλα αυτά εξακολουθείς να πιστεύεις πως μπορείς να δεις ένα γεωμετρικό

σχήμα;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : ‘Αρχίζω ν’ αμφιβάλλω γι’ αυτό.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Έξαλλου, αν οι μαθηματικοί μελετούσαν τα σχήματα των αγγείων, δεν θα τους

ονομάζαμε αγγειοπλάστες;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: ‘Οπωσδήποτε.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : “Έπειτα, αν ο Θεόδωρος είναι ο καλύτερος μαθηματικός, δε θα ήταν και ο καλύτερος

αγγειοπλάστης; “Έχω ακούσει πολλούς ανθρώπους να τον επαινούν άλλα κανένας δεν μου είπε ότι

ξέρει και από αγγειοπλαστική. ‘Αμφιβάλλω αν θα μπορούσε να φτιάξει ακόμα και το πιο απλό αγγείο.

Η μήπως οι μαθηματικοί ασχολούνται με το σχήμα των αγαλμάτων και των κτιρίων;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: “Αν πράγματι συνέβαινε έτσι, τότε θα ήταν γλύπτες και αρχιτέκτονες.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Καλά. Λοιπόν φίλε μου, Έχουμε καταλήξει στο συμπέρασμα ότι οι μαθηματικοί όταν

μελετούν τη γεωμετρία, δεν ενδιαφέρονται για τα σχήματα των πραγματικών αντικειμένων όπως των

αγγείων, άλλα για τα σχήματα που υπάρχουν μόνο στις σκέψεις τους. Συμφωνείς;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Δεν μπορώ να κάνω κι αλλιώς.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Αφού δεχτήκαμε ότι οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται για πράγματα που δεν υπάρχουν

στην πραγματικότητα, άλλα μόνο στις σκέψεις τους, ας εξετάσουμε την δήλωση του Θεαίτητου, την

οποία ανάφερες, ότι δηλαδή τα μαθηματικά μας δίνουν περισσότερο αξιόπιστη και πιο αληθινή γνώση

απ’ όσην οποιοσδήποτε άλλος κλάδος επιστήμης. Πες μου, σου έδωσε ο Θεαίτητος καθόλου

παραδείγματα;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ναι, είπε για παράδειγμα πως δεν μπορεί κανείς να ξέρει ακριβώς πόσο μακριά είναι

η Αθήνα από τη Σπάρτη. Βέβαια, οι άνθρωποι που κάνουν αυτό το ταξίδι, συμφωνούν για τον αριθμό

των ήμερων που πρέπει να περπατήσει κάποιος, άλλα είναι αδύνατο να γνωρίζουν ακριβώς πόσα

πόδια είναι η απόσταση. ‘Ωστόσο μπορεί κανείς να πει ότι, με τη βοήθεια του θεωρήματος του

Πυθαγόρα, υπολογίζουμε την διαγώνιο ενός τετραγώνου. Ο Θεαίτητος είπε, επίσης, ότι είναι αδύνατο

να δώσουμε τον ακριβή αριθμό των ανθρώπων που κατοικούν στην Ελλάδα. Αν κάποιος προσπαθούσε

να τους μετρήσει όλους ποτέ δε θα είχε την ακριβή εικόνα, γιατί, ενώ θα μετρούσε, μερικοί

ηλικιωμένοι θα πέθαιναν και μερικά παιδιά θα γεννιόνταν. “Έτσι, ο τελικός αριθμός μπορούσε να είναι

μόνο κατά προσέγγιση σωστός. ‘Αλλά αν ρωτήσεις ένα μαθηματικό πόσες ακμές έχει ένα κανονικό

δωδεκάεδρο, θα σου πει ότι το δωδεκάεδρο περιορίζεται από 12 έδρες, που η κάθε μια έχει 5 ακμές.

“Έτσι, έχουμε 60 ακμές, άλλα επειδή κάθε ακμή ανήκει σε δυο έδρες και δρα τις έχουμε μετρήσει δυο

φορές, ο αριθμός των ακμών του δωδεκάεδρου είναι Ίσως με 30 και δεν χωρά αμφιβολία γι’ αυτό.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ανέφερε άλλα παραδείγματα;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Αρκετά, άλλα δεν τα θυμάμαι όλα. Είπε ότι στην πραγματικότητα ποτέ δε βρίσκεις

δύο πράγματα, που να είναι ακριβώς τα ίδια. Ποτέ δύο αυγά δεν είναι ακριβώς τα ίδια, ακόμα και οι

κολώνες του ναού του Ποσειδώνα, είναι λίγο διαφορετικές η μια από την άλλη. ‘Αλλά μπορεί να είναι

κανείς σίγουρος, ότι οι δύο διαγώνιοι ενός ορθογώνιου είναι ακριβώς ίσες. ‘Ανέφερε τον ‘Ηράκλειτο, ο

όποιος έλεγε ότι κάθε τι που υπάρχει διαρκώς μεταβάλλεται και ότι βέβαιη γνώση είναι δυνατή μόνο

για πράγματα που δεν αλλάζουν ποτέ, όπως π.χ. είναι ο περιττός και ο άρτιος αριθμός, η ευθεία

γραμμή και ο κύκλος.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Αυτά λοιπόν τα παραδείγματα, μ’ έπεισαν πως στα μαθηματικά μπορούμε να

αποκτήσουμε γνώση που να είναι έξω από κάθε αμφισβήτηση, ενώ στις άλλες επιστήμες η στην

καθημερινή ζωή αυτό είναι αδύνατο. “Ας προσπαθήσουμε να συνοψίσουμε τα αποτελέσματα τις

Ερευνάς μας για τη φύση των μαθηματικών. Δεν έχω δίκιο να λέω ότι φτάσαμε στο συμπέρασμα πως

τα μαθηματικά μελετούν πράγματα που δεν υπάρχουν και είναι σε θέση να βρουν όλη την αλήθεια γι’

αυτά;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Ναι, αυτό το δεχτήκαμε.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Αλλά για πες μου, για τ’ όνομα του Δία, αγαπητέ Ιπποκράτη, δεν είναι μυστήριο κάποιος

να μπορεί να ξέρει περισσότερα για πράγματα που δεν υπάρχουν απ’ ό,τι για πράγματα που υπάρχουν;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ; “Αν τα θέμα μπαίνει έτσι, βέβαια είναι μυστήριο. Είμαι σίγουρος δη υπάρχει κάποιο

λάθος στα επιχειρήματα μας.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ; “Όχι, γιατί προχωρήσαμε με μεγάλη φροντίδα και ελέγχαμε τα κάθε σκαλί της

επιχειρηματολογίας μας. Δεν μπορεί να υπάρχει λάθος στα συλλογισμό μας. ‘Αλλά, πρόσεξε με,

σκέφθηκα κάτι που θα μας βοηθήσει να λύσουμε το αίνιγμα.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Πες μου το γρήγορα, γιατί βρίσκομαι σε αγωνία.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ ϊ Σήμερα τα πρωί ήμουν στα διάδρομο του σπιτιού του δεύτερου άρχοντα, όπου δίκαζαν

τη γυναίκα ένας μαραγκού από τα χωριά Πόθος, με την κατηγορία της προδοσίας, πως δηλαδή με τη

βοήθεια του εραστή της σκότωσε τον άντρα της. Η γυναίκα διαμαρτυρόταν και ακόμη Ορκίστηκε

στην “Άρτεμη και στην Αφροδίτη πως είναι αθώα, πως ποτέ δεν αγάπησε άλλον, έκτος από τον άντρα

της και πως α άντρας της δολοφονήθηκε από πειρατές. Καλέσανε πολλούς για μάρτυρες. “Άλλοι είπαν

ότι η γυναίκα ήταν ένοχη, άλλοι ότι ήταν αθώα. “Ήταν αδύνατο ν’ ανακαλύψεις τι είχε συμβεί

πραγματικά.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Μου φαίνεται, πως με περιπαίζεις πάλι. Πρώτα μ’ έμπλεξες τελείως και τώρα αντί να

βοηθήσεις να βρω την αλήθεια, μου διηγείσαι τέτοιες ιστορίες.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Μη θυμώνεις, φίλε μου, γιατί Έχω σοβαρούς λόγους που σου μιλώ γι’ αυτή τη γυναίκα

της οποίας η ένοχη ήταν αδύνατο να εξακριβωθεί. “Ένα πράγμα, λοιπόν, είναι βέβαιο, Η γυναίκα

υπάρχει. Την είδα με τα ίδια μου τα μάτια, όπως και όλοι που ήταν εκεί, πολλοί από τους οποίους ποτέ

δεν Έχουν πει ψέματα στη ζωή τους και που αν τους ρωτήσεις θα πάρεις την ίδια απάντηση.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Η μαρτυρία σου είναι αρκετή για μένα, αγαπητέ Σωκράτη. “Ας δεχτούμε πως η

γυναίκα υπάρχει. ‘Αλλά τι σχέση Έχει αυτό με τα μαθηματικά;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Περισσότερη απ’ όση φαντάζεσαι. ‘Αλλά για πες μου πρώτα, ξέρεις την ιστορία για τον

Αγαμέμνονα και την Κλυταιμνήστρα;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Ο καθένας την ξέρει αυτή την Ιστορία. Είδα την τριλογία του Αισχύλου στο θέατρο

τον περασμένο χρόνο.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Για πες μου την ιστορία με λίγες λέξεις.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: ‘Ενώ ο ‘Αγαμέμνονας, ο βασιλιάς των Μυκηνών, πολεμούσε κάτω από τα τείχη της

Τροίας, η γυναίκα του η Κλυταιμνήστρα, διέπραξε μοιχεία με τον Αίγισθο, τον εξάδελφο του άντρα

της. Μετά την πτώση της Τροίας, όταν ο “Αγαμέμνονας γύρισε σπίτι του, η γυναίκα του με τον εραστή

της, τον δολοφόνησαν.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Πες μου ‘Ιπποκράτη, είναι βέβαιο ότι η Κλυταιμνήστρα ήταν ένοχη;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Δεν καταλαβαίνω γιατί μου κάνεις τέτοιες ερωτήσεις. Δεν υπάρχει αμφιβολία γι’

αυτή την ιστορία. Σύμφωνα με τον Όμηρο, όταν ο Οδυσσέας επισκέφθηκε τον κάτω κόσμο,

συνάντησε τον ‘Αγαμέμνονα, που του αφηγήθηκε για το άτυχο ριζικό του.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Είσαι όμως σίγουρος ότι η Κλυταιμνήστρα, ο ‘Αγαμέμνονας κι όλα τα άλλα πρόσωπα

της Ιστορίας υπήρξαν πραγματικά;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ίσως να εξοστρακιζόμουν αν το έλεγα αυτό δημόσια, άλλα έχω τη γνώμη πως είναι

αδύνατον να αποδείξεις σήμερα, μετά από τόσους αιώνες, ότι οι Ιστορίες του Ομήρου είναι η δεν είναι

αληθινές. ‘Αλλά αυτό δεν έχει σημασία. Όταν σου είπα ότι η Κλυταιμνήστρα ήταν ένοχη, δεν

εννοούσα την πραγματική Κλυταιμνήστρα — να δεχτούμε ότι έζησε ποτέ τέτοιο πρόσωπο — άλλα

την Κλυταιμνήστρα στην ‘Ομηρική μας παράδοση, δηλαδή την Κλυταιμνήστρα στην Τριλογία του

Αισχύλου.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Να πω ότι δεν ξέρουμε τίποτα για την πραγματική Κλυταιμνήστρα; ‘Ακόμα και η

ύπαρξη της είναι αβέβαιη, άλλα όσο για την Κλυταιμνήστρα που είναι ένα από τα πρόσωπα της

Τριλογίας του Αισχύλου, είμαστε βέβαιοι ότι ήταν ένοχη και ότι σκότωσε τον ‘Αγαμέμνονα, αφού μας

το λέει ο Αισχύλος.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ναι, βέβαια. Αλλά γιατί επιμένεις σε όλα αυτά;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: θα το δεις σε λίγο. Ας συνοψίσω όσα έχουμε βρει. Στη περίπτωση της γυναίκας με

σάρκα και οστά, που δικαζόταν σήμερα στην ‘Αθήνα, είναι αδύνατον ν’ αποδείξουμε ότι ήταν ένοχη,

ενώ δεν μπορεί να υπάρχει αμφιβολία για την ένοχη της Κλυταιμνήστρας που είναι ένα από τα

πρόσωπα του έργου και η οποία, πιθανότατα, δεν υπήρξε ποτέ. Συμφωνείς;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Τώρα αρχίζω να καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. ‘Αλλά θα ήταν καλύτερα, αν

έβγαζες τα συμπεράσματα μόνος σου.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Το συμπέρασμα είναι αυτό: “Έχουμε πολύ περισσότερο σίγουρη γνώση για πρόσωπα

που υπάρχουν μόνο στη φαντασία μας, π.χ. για τα πρόσωπα σ’ ένα θεατρικό έργο, απ’ ό,τι για ζώντα

πρόσωπα.

“Αν πούμε ότι η Κλυταιμνήστρα ήταν ένοχη, αυτά σημαίνει μόνο πως έτσι την φαντάστηκε ο

Αισχύλος και την παρουσίασε στα έργο του. Η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια με τα μαθηματικά.

Μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι οι διαγώνιοι ένας ορθογωνίου είναι ίσες, γιατί αυτά έπεται από τον

ορισμό του ορθογωνίου, όπως δίνεται από τους μαθηματικούς.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: ‘Εννοείς Σωκράτη, ότι το παράδοξο αποτέλεσμα μας είναι πραγματικό αληθινό και

ότι ένας μπορεί να έχει περισσότερο βέβαιη γνώση για πράγματα που δεν υπάρχουν π.χ. για τα

αντικείμενα των μαθηματικών, απ’ ότι για τα πραγματικά αντικείμενα της φύσης; Νομίζω ότι τώρα

καταλαβαίνω την αιτία γι’ αυτό. Οι ιδέες που εμείς οι ίδιοι δημιουργούμε είναι από την ίδια τους τη

φύση εντελώς γνωστές σε μας και μπορούμε να βγάλουμε όλη την αλήθεια γι’ αυτές, γιατί δεν έχουν

άλλη υπόσταση έξω απ’ τη φαντασία μας. “Όμως, τα αντικείμενα που υπάρχουν στον

πραγματικό κόσμο δεν είναι ταυτόσημα με την εικόνα μας γι’ αυτά, η όποια πάντοτε είναι ελλιπής

και προσεγγιστική, γι’ αυτό η γνώση μας γι’ αυτά τα πραγματικά πράγματα δεν μπορεί ποτέ να είναι

πλήρης και αρκετά σίγουρη.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Αυτή είναι η αλήθεια, νεαρέ μου φίλε, και την διατύπωσες καλύτερα απ’ ότι θα

μπορούσα να το κάνω εγώ.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Αυτό οφείλεται σε σένα Σωκράτη, γιατί εσύ με οδηγείς να καταλάβω αυτά τα

πράγματα. Βλέπω τώρα, όχι μόνο ότι ο Θεαίτητος είχε αρκετά δίκιο που μου είπε ότι πρέπει να

σπουδάσω μαθηματικά αν θέλω να αποκτήσω αλάνθαστη γνώση, άλλα και γιατί είχε δίκιο. “Όμως, αν

και με οδήγησες με υπομονή ως τώρα, σε παρακαλώ μη μ’ εγκαταλείψεις ακόμα, γιατί μια από τις

ερωτήσεις μου, στην πραγματικότητα η πιο σημαντική, εξακολουθεί να μένει αναπάντητη.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ποια είναι αυτή η ερώτηση;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Σε παρακαλώ, θυμήσου Σωκράτη ότι ήρθα να ζητήσω τη συμβουλή σου για το αν

θα πρέπει να σπουδάσω μαθηματικά. Με βοήθησες να αναγνωρίσω ότι τα μαθηματικά και μόνο τα

μαθηματικά μπορούν να μου δώσουν το είδος της στερεής γνώσης που θέλω. ‘Αλλά ποια η

χρησιμότητα αυτής της γνώσης; Είναι φανερά ότι αν κάποιος αποκτήσει κάποια γνώση για τον

υπαρκτό κόσμο, έστω και αν αυτή η γνώση είναι ελλιπής και όχι αρκετά σίγουρη, είναι όμως χρήσιμη

και για το άτομο και για την πολιτεία. “Αν κάποιος αποκτήσει κάποια γνώση για πράγματα, όπως τ’

αστέρια, μπορεί π.χ. να είναι χρήσιμη για την θαλασσοπλοΐα μέσα στη νύχτα. ‘Αλλά ποια η

χρησιμότητα της γνώσης για πράγματα μη υπαρκτά, σαν αυτά που προσφέρουν τα μαθηματικά;

‘Ακόμα κι αν είναι ξεκάθαρη και πέρα Από κάθε αμφιβολία, ποια είναι η χρησιμότητα της γνώσης που

αφορά σε πράγματα, που δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: ‘Αγαπητέ μου φίλε, είμαι απόλυτα σίγουρος ότι ξέρεις την απάντηση, μόνο που θέλεις

να μ’ εξετάσεις.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Μα τον Ηρακλή, δεν την ξέρω την απάντηση. Σε παρακαλώ, βοήθησε με.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ; Καλά, λοιπόν, ας προσπαθήσουμε να την βρούμε. “Έχουμε καταλήξει στο ότι οι ιδέες

των μαθηματικών δημιουργούνται από τον ίδιο τον μαθηματικό. Πες μου, σημαίνει αυτό ότι ο

μαθηματικός εκλέγει τις έννοιες του αυθαίρετα, όπως του αρέσει;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : “Όπως σου είπα, δεν ξέρω ακόμα πολλά πράγματα για τα μαθηματικά. ‘Αλλά μου

φαίνεται ότι ο μαθηματικός είναι τόσο ελεύθερος να εκλέξει τα αντικείμενα της μελέτης του όσο είναι

κι ο ποιητής, να εκλέξει τα πρόσωπα των έργων του. Και όπως ο ποιητής δίνει στα πρόσωπα αυτά

όποια χαρακτηριστικά του αρέσουν, έτσι μπορεί και ο μαθηματικός να προικίσει τις έννοιες του μ’

εκείνες τις ιδιότητες, που του αρέσουν.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: “Αν τα πράγματα ήταν έτσι, θα υπήρχαν τόσες μαθηματικές αλήθειες όσοι και οι

μαθηματικοί. Πως εξηγείς λοιπόν, το γεγονός ότι όλοι οι μαθηματικοί μελετούν τις ίδιες Ιδέες και τα

ίδια προβλήματα; Πως εξηγείς αυτό που συμβαίνει συχνά; Μαθηματικοί που ζουν μακριά ο ένας από

τον άλλο και δεν έχουν καμιά επαφή, να ανακαλύπτουν ανεξάρτητα τις ίδιες αλήθειες; Ποτέ δεν

άκουσα ότι δύο ποιητές έγραψαν το Ίδιο ποίημα.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ούτε εγώ έχω ακούσει κάτι τέτοιο για ποίημα, θυμάμαι, όμως, ότι μου είπε ο

Θεαίτητος πως ανακάλυψε κάποιο πολύ ενδιαφέρον θεώρημα για τις ασύμμετρες αποστάσεις. Έδειξε

τα αποτελέσματα του στο δάσκαλο του το Θεόδωρο, ο όποιος του παρουσίασε ένα γράμμα από τον

Αρχύτα, μέσα στο όποιο ήταν γραμμένο σχεδόν λέξη προς λέξη το ίδιο θεώρημα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Στην ποίηση αυτό θα ήταν αδύνατο. Βλέπεις λοιπόν τώρα πως υπάρχει ένα πρόβλημα.

Αλλά ας συνεχίσουμε. Πως εξηγείς ότι οι μαθηματικοί διαφορετικών χωρών συνήθως συμφωνούν για

την αλήθεια, ενώ μπορεί να μη συμφωνούν για ζητήματα που αφορούν στην πολιτεία, όπως π.χ. οι

Πέρσες και οι Σπαρτιάτες έχουν αρκετά αντίθετες απόψεις από μας στην Αθήνα; Και, επιπλέον, και

εμείς εδώ, συχνά δε συμφωνούμε ο ένας με τον άλλο.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Μπορώ να απαντήσω στην τελευταία ερώτηση. Σε υποθέσεις που αφορούν στην

πολιτεία ο καθένας ενδιαφέρεται με βάση το προσωπικό του συμφέρον, και αυτά τα προσωπικά

συμφέροντα βρίσκονται συχνά σε αντίθεση. Αυτός είναι ο λόγος, για τον όποιο είναι δύσκολο να

έρθουν σε μια συμφωνία. Ενώ ο μαθηματικός οδηγείται καθαρά από την επιθυμία του να βρει την

αλήθεια.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : θέλεις να πεις πως οι μαθηματικοί προσπαθούν να βρουν μιαν αλήθεια, που είναι

τελείως ανεξάρτητη από το άτομο τους;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Ναι, αυτό θέλω να πω.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Αλλά τότε είχαμε κάνει λάθος, όταν συμπεράναμε πως οι μαθηματικοί εκλέγουν τα

αντικείμενα της μελέτης τους με οδηγό μονάχα τη βούληση τους. Φαίνεται πως το αντικείμενο της

μελέτης τους έχει κάποιο είδος ύπαρξης, που είναι ανεξάρτητη από τα άτομα τους. Πρέπει να λύσουμε

αυτό το νέο αίνιγμα.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Δεν βλέπω πως ν’ αρχίσω.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Αν εξακολουθείς να έχεις υπομονή, ας προσπαθήσουμε γι’ αυτό μαζί. Πες μου, ποια

είναι η διαφορά ανάμεσα στον ναυτικό, που ανακαλύπτει ένα ακατοίκητο νησί και στον ζωγράφο, που

βρίσκει ένα καινούριο χρώμα, τα όποιο κανένας άλλος ζωγράφος δεν έχει χρησιμοποιήσει πριν απ’

αυτόν;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Νομίζω πως ο ναυτικός μπορεί να ονομαστεί εξερευνητής, και ο ζωγράφος,

εφευρέτης. Ο ναυτικός ανακαλύπτει ένα νησί που υπήρχε πριν απ’ αυτόν, μόνο που ήταν άγνωστο, ενώ

ο ζωγράφος εφευρίσκει ένα καινούριο χρώμα, το όποιο πριν δεν υπήρχε καθόλου.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Κανένας δεν θα μπορούσε να απαντήσει καλύτερα στην ερώτηση αυτή. ‘Αλλά, για πες

μου, ο μαθηματικός που βρίσκει μια νέα αλήθεια, την ανακαλύπτει ή την εφευρίσκει; Είναι δηλ.

εξερευνητής, Όπως ο ναυτικός, ο εφευρέτης, όπως ο ζωγράφος;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Μου φαίνεται, πως ο μαθηματικός μοιάζει περισσότερο με άνθρωπο που

ανακαλύπτει. Είναι ένας τολμηρός ναύτης που ταξιδεύει στην άγνωστη θάλασσα της σκέψης και

εξερευνά τις ακτές, το νησιά και τις δίνες της.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Καλά το λες και συμφωνώ απόλυτα μαζί σου. θα πρόσθετα μόνο, ότι σε μικρότερη

έκταση ο μαθηματικός είναι και ένας εφευρέτης, ειδικά όταν επινοεί νέες έννοιες. Αλλά κι ο καθένας

που ανακαλύπτει πρέπει να είναι σε κάποια έκταση και εφευρέτης. Για παράδειγμα, αν ένας ναύτης

θέλει να πάει σε μέρη, που άλλοι ναύτες πριν απ’ αυτόν αδυνατούσαν να πλησιάσουν, πρέπει να

φτιάξει ένα πλοίο, που να είναι καλύτερο από τα πλοία που χρησιμοποίησαν αυτοί. Οι νέες έννοιες,

που εφεύραν οι μαθηματικοί είναι σαν τα νέα πλοία που μεταφέρουν αυτόν που τις ανακαλύπτει, πιο

πέρα, στη μεγάλη θάλασσα της σκέψης.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: ‘Αγαπητέ μου Σωκράτη, με βοήθησες να βρω την απάντηση στην ερώτηση που μου

φαινόταν τόσο δύσκολη. Ο κύριος σκοπός του μαθηματικού είναι να εξερευνήσει τα μυστικά και τα

αινίγματα της θάλασσας της ανθρώπινης σκέψης. Αυτά υπάρχουν ανεξάρτητα από το πρόσωπο του

μαθηματικού, αν και όχι από την ανθρωπότητα σαν ένα όλο. Ο μαθηματικός έχει κάποια ελευθερία να

εφευρίσκει νέες ιδέες, σαν εργαλεία, και φαίνεται πως μπορεί να το κάνει από μόνος του, χωρίς

εξωτερικό επηρεασμό. ‘Οπωσδήποτε δεν είναι εντελώς ελεύθερος σ, αυτό που κάνει, γιατί οι νέες

έννοιες πρέπει να είναι χρήσιμες στη δουλειά του. Ο ναύτης, επίσης, μπορεί να φτιάξει οποιοδήποτε

είδος πλοίου της εκλογής του, άλλα βέβαια θα ήταν τρελός να κατασκευάσει πλοίο που θα

συντριβόταν με την πρώτη θύελλα. Τώρα, νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Αν τα βλέπεις όλα καθαρό, προσπάθησε ξανά να απαντήσεις στην ερώτηση: Ποιο είναι

το αντικείμενο των μαθηματικών;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι έκτος από τον κόσμο στον όποιο ζούμε, υπάρχει

και ένας άλλος κόσμος, ο κόσμος της ανθρώπινης σκέψης και ότι ο μαθηματικός είναι ο άφοβος

ναυτικός που εξερευνά αυτόν τον κόσμο, χωρίς ποτέ να κάνει πίσω, μπροστά στις φουρτούνες, τους

κινδύνους και τις περιπέτειες που τον περιμένουν.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Φίλε μου, η νεανική σου ορμή με συγκλονίζει. Φοβάμαι όμως πως στο φούντωμα του

ενθουσιασμού σου, παραβλέπεις μερικά πράγματα.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ποια είναι αυτά τα πράγματα

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Δεν θέλω να σε απογοήτεψω, άλλα αισθάνομαι δη στην κύρια ερώτηση σου δεν έχει

ακόμα δοθεί απάντηση. Δεν έχουμε ακόμα απαντήσει στην ερώτηση: Σε τι χρησιμεύει η εξερεύνηση

της θαυμάσιας θάλασσας που είναι η ανθρώπινη σκέψη;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: “Έχεις δίκιο αγαπητέ μου Σωκράτη, όπως πάντα. αλλά μην εφαρμόσεις τη μέθοδο

σου αυτή τη φορά και πες μου την απάντηση αμέσως.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Όχι φίλε μου. ‘Ακόμα κι Αν μπορούσα, δεν θα τα έκανα. Κι αυτό για δικό σου όφελος.

Η γνώση που αποκτά κάποιος χωρίς μόχθο, είναι σχεδόν άχρηστη γι’ αυτόν. Καταλαβαίνουμε εντελώς

εκείνη μόνο τη γνώση, που ίσως με κάποια εξωτερική βοήθεια, αποκαλύπτουμε στους εαυτούς μας,

ακριβώς όπως ένα φυτό μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο το νερό που απορροφά από το χώμα με τις

δικές του ρίζες.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : ‘Εντάξει, ας συνεχίσουμε την έρευνα μας με την ίδια μέθοδο, αλλά τουλάχιστον

βοήθα με, με μια ερώτηση.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : “Ας γυρίσουμε πίσω στο σημείο που καταλήξαμε πριν, πως ο μαθηματικός δεν

ασχολείται με τον αριθμό των προβάτων, πλοίων η άλλων υπαρκτών πραγμάτων, άλλα με τους ίδιους

τους αριθμούς. Δε νομίζεις όμως, ότι εκείνο που ανακαλύπτουν οι μαθηματικοί ότι ισχύει για τους

καθαρούς αριθμούς, ισχύει και για τους αριθμούς των υπαρκτών πραγμάτων; Για παράδειγμα, ο

μαθηματικός βρίσκει ότι ο 17 είναι ένας πρώτος αριθμός. Συνεπώς δεν είναι αληθινό ότι δεν μπορείς

να μοιράσεις 17 ζωντανά πρόβατα σε μια ομάδα ανθρώπων, δίνοντας στον καθένα τον ίδιο αριθμό

προβάτων, έκτος αν η ομάδα έχει 17 ανθρώπους;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Και βέβαια είναι αληθινό.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Λοιπόν, τι γίνεται με τη γεωμετρία; Δε μπορεί να εφαρμοσθεί στο χτίσιμο των σπιτιών,

στην κατασκευή αγγείων η στον υπολογισμό του ποσού των σιτηρών που μπορεί να αντέξει ένα πλοίο;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Βέβαια, μπορεί να εφαρμοσθεί, αν και μου φαίνεται ότι γι’ αυτούς τους πρακτικούς

λόγους του τεχνίτη, δε χρειάζονται τόσα πολλά μαθηματικά. Οι απλοί νόμοι, γνωστοί ήδη από τους

γραφείς των Φαραώ στην Αίγυπτο, είναι αρκετοί για τις περισσότερες περιπτώσεις και οι καινούργιες

ανακαλύψεις για τις όποιες μου μίλησε ο Θεαίτητος με μεγάλο ενθουσιασμό, ούτε χρησιμοποιήθηκαν,

ούτε χρειάστηκαν στην πρακτική.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: ” Ίσως όχι προς το παρόν, άλλα μπορεί να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ενδιαφέρομαι για το παρόν.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : “Αν θέλεις να γίνεις μαθηματικός, πρέπει να καταλάβεις ότι θα δουλεύεις περισσότερο

για το μέλλον. Τώρα ας γυρίσουμε στην κύρια ερώτηση. Είδαμε πως η γνώση για κάποιον άλλο κόσμο

τον κόσμο της σκέψης, για πράγματα που δεν υπάρχουν με τη συνηθισμένη σημασία της λέξης, μπορεί

να χρησιμοποιηθεί στην καθημερινή ζωή για ν’ απαντήσει σ’ ερωτήσεις για τον πραγματικό κόσμο.

Δεν είν’ εκπληκτικό;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Ακόμα περισσότερο, είναι ακατανόητο. Είναι πραγματικά ένα θαύμα.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ίσως να μην είναι και τόσο μυστηριώδες κι αν ανοίξουμε το όστρακο αυτής της

ερώτησης, μπορεί να βρούμε ένα αληθινό μαργαριτάρι.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Σε παρακαλώ, αγαπητέ μου Σωκράτη, μη μιλάς με γρίφους, σαν την Πυθία.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Πες μου, τότε, σου προκαλεί έκπληξη, όταν κάποιος, που έχει ταξιδέψει σε μάκρυνες

χώρες, που έχει δει και έχει πείρα για πολλά πράγματα, επιστρέφει στην πόλη του και χρησιμοποιεί

την πείρα του για να δίνει καλές συμβουλές στους συμπολίτες του;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: “Όχι, καθόλου.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : ‘Ακόμα και αν οι χώρες που ο ταξιδιώτης έχει επισκεφθεί βρίσκονται πολύ μακριά

και κατοικούνται από ένα εντελώς διαφορετικό είδος ανθρώπων που μιλούν μιαν άλλη γλώσσα και

που λατρεύουν άλλους θεούς;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Όχι, ακόμα και σ’ αυτή την περίπτωση, γιατί υπάρχουν πολλά κοινά πράγματα

ανάμεσα σε διαφορετικούς λαούς.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Τώρα, πες μου, Αν είχε δειχτεί ότι ο κόσμος των μαθηματικών, παρά τις ιδιορρυθμίες

του, είναι, με ορισμένη έννοια, όμοιος με τον πραγματικό μας κόσμο, θα εξακολουθούσες να το

βλέπεις σαν θαύμα, ότι τα μαθηματικά μπορούν να εφαρμοσθούν για τη μελέτη του πραγματικού

κόσμου;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Σ’ αυτή τη περίπτωση όχι, άλλα δεν βλέπω καμιά ομοιότητα ανάμεσα στον

πραγματικό κόσμο και στο φανταστικό κόσμο των μαθηματικών.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Βλέπεις το βράχο στην άλλη πλευρά του ποταμού, εκεί που ο ποταμός φαρδαίνει και

σχηματίζει λίμνη;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Τον βλέπω.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Και βλέπεις την εικόνα του βράχου, που αντανακλάται στο νερό;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Και βέβαια τη βλέπω.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Τότε πες μου, ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο βράχο και στην αντανάκλαση του;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Ο βράχος είναι ένα στερεό κομμάτι από σκληρή ύλη. θερμαίνεται από τον ήλιο. “Αν

τον άγγιζες, θα αισθανόσουν ότι η επιφάνεια του δεν είναι λεία. Το είδωλο όμως στο νερό δεν

μπορούμε να το αγγίξουμε· αν έβαζα το χέρι μου επάνω του, θα άγγιζα μόνο το δροσερό νερό.

Συγκεκριμένα, η αντανακλώμενη εικόνα δεν υπάρχει στη πραγματικότητα. Είναι αυταπάτη, τίποτε

άλλο.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Δεν υπάρχει τίποτα κοινό ανάμεσα στο βράχο και στο είδωλο του που καθρεφτίζεται;

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Λοιπόν, με ορισμένη έννοια, η αντανακλώμενη εικόνα είναι μια πιστή ζωγραφιά

του βράχου. Το περίγραμμα του βράχου ακόμα και οι μικρές προεξοχές του, είναι καθαρά ορατές στην

αντανακλώμενη εικόνα. αλλά και τι μ’ αυτό; θέλεις να πεις πως ο κόσμος των μαθηματικών είναι μια

αντανακλώμενη εικόνα του πραγματικού κόσμου στον καθρέφτη της σκέψης μας;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Το είπες και μάλιστα πολύ καλά.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : αλλά πως είναι δυνατόν;

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: “Ας θυμηθούμε πως αναπτύχθηκαν οι αφηρημένες ιδέες των μαθηματικών. Είπαμε πως

ο μαθηματικός ασχολείται με τους καθαρούς αριθμούς και όχι με τους αριθμούς των πραγματικών

αντικειμένων. αλλά νομίζεις ότι κάποιος που ποτέ δεν έχει μετρήσει πραγματικά αντικείμενα, μπορεί

να καταλάβει την αφηρημένη ιδέα του αριθμού; Όταν ένα παιδί μ_____αθαίνει να μετρά, πρώτα μετρά

πετραδάκια και μικρά ξυλαράκια. Μόνον αν ξέρει ότι δύο πετραδάκια και τρία πετραδάκια μας

κάνουν πέντε πετραδάκια και το ίδιο για τα ξυλαράκια η κέρματα, τότε είναι Ικανό να καταλάβει ότι

δυο και τρία κάνουν πέντε. Η περίπτωση είναι ουσιαστικά η ίδια και στη γεωμετρία. Το παιδί φτάνει

στην ιδέα της σφαίρας μέσα από την πείρα του με στρογγυλά αντικείμενα, όπως οι μπάλες. Το

ανθρώπινο είδος ανάπτυξε όλες τις θεμελιώδεις ιδέες των μαθηματικών με παρόμοιο τρόπο. Αυτές οι

ιδέες αποκρυσταλλώνονται από τη γνώση του πραγματικού κόσμου και έτσι δεν είναι εκπληκτικό,

άλλα εντελώς φυσικό, που διατηρούν τα σημάδια της καταγωγής τους, όπως τα παιδιά των γονιών

τους. Και ακριβώς όπως τα παιδιά, όταν μεγαλώσουν, γίνονται προστάτες των γονιών τους, έτσι και

κάθε κλάδος των μαθηματικών, αν είναι αρκετά αναπτυγμένος, γίνεται ένα χρήσιμο εργαλείο στην

εξερεύνηση του πραγματικού κόσμου.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Τώρα, είναι εντελώς ξεκάθαρο σε μένα, πως η γνώση των μη υπαρκτών πραγμάτων

του κόσμου των μαθηματικών, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη δυνατότητα να ασχοληθούμε με

διαφορετικά πράγματα την ίδια ώρα.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Εσύ τι λες για τις παρακάτω παρομοιώσεις : “Αν κάποιος κοιτάζει μια πόλη από την

κορυφή ενός κοντινού βουνού, αποκτά πληρέστερη εικόνα απ’ δη αν περπατάει μέσα στους

δικτυωτούς δρόμους της ή αν ένας στρατηγός παρακολουθεί τις κινήσεις ενός εχθρικού στρατού από

ένα λόφο, παίρνει καθαρότερη εικόνα για την κατάσταση απ’ ότι ένας στρατιώτης της πρώτης

γραμμής, που βλέπει μόνο αυτούς που είναι ακριβώς απέναντι του.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : ‘Ωραία, με ξεπερνάς στο να εφευρίσκεις νέες παρομοιώσεις, άλλα επειδή δεν θέλω να

υστερήσω, άσε με να προσθέσω ακόμα μια παραβολή. Τελευταία, είδα έναν πίνακα του Άριστοφώντα,

και ο ζωγράφος με προειδοποίησε: «”Αν πας πολύ κοντά στην εικόνα, Σωκράτη, θα δεις μόνο

χρωματισμένα στίγματα, άλλα δεν θα δεις ολόκληρη την εικόνα».

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ: Βέβαια, είχε δίκιο. Και εσύ είχες, όταν δεν άφηνες να τελειώσουμε τη συζήτηση,

πριν φτάσουμε στην καρδιά της ερώτησης. αλλά νομίζω ότι είναι ώρα να γυρίσουμε στην πόλη, γιατί

τα πέπλα της νύχτας πέφτουν και εγώ έχω πεινάσει και διψάσει. “Αν έχεις ακόμα υπομονή, θα ‘θελα να

σε ρωτήσω κάτι, ενώ θα περπατάμε.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ : Εν τάξει, ας αρχίσουμε και μπορείς να κάνεις την ερώτηση σου.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ : Η συνομιλία μας μ’ έπεισε τελείως ότι θα πρέπει ν’ αρχίσω να σπουδάζω μαθηματικά

και σου είμαι ευγνώμων γι’ αυτό. αλλά πες μου, γιατί δεν κάνεις εσύ ο ίδιος μαθηματικά; Κρίνοντας

απ’ τη βαθειά γνώση σου για την αληθινή φύση και την σπουδαιότητα των μαθηματικών, μαντεύω πως

θα ξεπερνούσες όλους τους μαθηματικούς της Ελλάδας, αν αποφάσιζες να εντρυφήσεις σ’ αυτά. θα

ήμουν ευχαριστημένος να σε ακολουθήσω σαν μαθητής σου στα μαθηματικά, αν με δεχόσουν.

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: “Όχι, αγαπητέ ‘Ιπποκράτη, αυτό δεν είναι δουλειά μου. Ο Θεόδωρος γνωρίζει πολύ

περισσότερα για τα μαθηματικά απ’ ό,τι ξέρω εγώ και δεν μπορείς να βρεις καλύτερο δάσκαλο απ’

αυτόν. “Όσο για την ερώτηση σου, γιατί δεν είμαι μαθηματικός, θα σου εξηγήσω τους λόγους. Δεν

κρύβω την μεγάλη εκτίμηση μου για τα μαθηματικά. Νομίζω ότι εμείς οι “Έλληνες δεν έχουμε κάνει

σε καμιά άλλη τέχνη τόσο σημαντική πρόοδο, όσο στα μαθηματικά και αυτό είναι μόνο η αρχή. “Αν

δεν εξοντώσουμε ο ένας τον άλλον σε ανόητους πολέμους, θα πετύχουμε θαυμάσια αποτελέσματα,

τόσο σαν εξερευνητές όσο και σαν εφευρέτες. Με ρώτησες, γιατί δεν προσχωρώ στις τάξεις εκείνων,

που καλλιεργούν αυτή τη μεγάλη επιστήμη. Συγκεκριμένα, είμαι κατά κάποιο τρόπο μαθηματικός,

άλλα διαφορετικού είδους. Μια εσωτερική φωνή, μπορείς να την πεις μαντείο, την οποία πάντοτε

ακούω προσεχτικά, με ρωτούσε πολλά χρόνια πριν «Ποια είναι η πηγή των μεγάλων προόδων που οι

μαθηματικοί έχουν κάνει στην ευγενική τους επιστήμη;». ‘Απάντησα: «Νομίζω ότι η πηγή της

επιτυχίας των μαθηματικών βρίσκεται στις μεθόδους τους, στους υψηλούς κανόνες της λογικής

τους. στον χωρίς τον παραμικρό συμβιβασμό αγώνα τους για την πλήρη αλήθεια, στη συνήθεια τους ν’

αρχίζουν πάντοτε από πρώτες αρχές, στο να ορίζουν επακριβώς κάθε έννοια που χρησιμοποιούν και

στο ν’ αποφεύγουν τις εσωτερικές αντιφάσεις». Η εσωτερική μου φωνή απάντησε: «Πολύ καλά, άλλα

γιατί νομίζεις Σωκράτη ότι αυτή η μέθοδος σκέψης και συζήτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για

τη μελέτη των αριθμών και των γεωμετρικών σχημάτων; Γιατί δεν προσπαθείς να πείσεις τους

συμπολίτες σου να εφαρμόζουν τους ίδιους υψηλούς λογικούς κανόνες σε κάθε άλλο τομέα, για

παράδειγμα στη φιλοσοφία και στην πολιτική, στη συζήτηση των πρόβλημα των της καθημερινής

Ιδιωτικής και δημόσιας ζωής;» ‘Από τότε αυτός έγινε ο τελικός μου σκοπός. “Έχω αποδείξει —

θυμάσαι για παράδειγμα τη συζήτηση μας με τον Πρωταγόρα — ότι εκείνοι που τους νομίζουν

σοφούς είναι oι πιο αμαθείς ανόητοι. Σ’ όλη την επιχειρηματολογία τους λείπουν τα σταθερά θεμέλια,

επειδή χρησιμοποιούν — σε αντίθεση με τους μαθηματικούς — αόριστες και μόνο μισοκατανοημένες

έννοιες. Μ’ αυτή μου τη δράση κατάφερα να τους κάνω σχεδόν όλους εχθρούς μου. Αυτό δεν είναι

εκπληκτικό, γιατί για όλους τους ανθρώπους που είναι νωθροί στη σκέψη και από τεμπελιά

ευχαριστούνται να χρησιμοποιούν σκοτεινούς ορούς, είμαι μια ζωντανή επίπληξη. Στους ανθρώπους

δεν αρέσουν εκείνοι που συνέχεια τους θυμίζουν τα σφάλματα που είναι ανίκανοι η απρόθυμοι να

διορθώσουν. Δε θα αργήσει η μέρα που αυτοί οι άνθρωποι θα πέσουν πάνω μου και θα με

εξολοθρεύσουν. αλλά εωσότου έρθει αυτή η μέρα, θα συνεχίσω να υπακούω στο κάλεσμα της

εσωτερικής φωνής μου. “Όσο για σένα, οπωσδήποτε να πας στο Θεόδωρο.

Τι είναι τα Μαθηματικά;

“Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά; Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:
– Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.
– Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.
– Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.
Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ’ όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.”
– W. T. TUTTE

“Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλός μας, για να επικοινωνήσει με τον εαυτό του.”
– GRACIELLA CHICHILNISKY

“Η ουσία των Μαθηματικών είναι η αλήθεια.”
– GEORG CANTOR

“Τα Μαθηματικά είναι το αντικείμενο για το οποίο ποτέ δεν ξέρουμε για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.”
– BERTRAND RUSSELL

“Εκείνο το υλικό που μερικές φορές είναι διαυγές … και μερικές φορές ασαφές … είναι …
τα μαθηματικά.”
– IMRE LAKATOS

Γιατί ασχολούμαστε με τα Μαθηματικά;

“Όποιος τα αγνοεί [τα μαθηματικά] δεν μπορεί να γνωρίσει τις άλλες επιστήμες ούτε και τα αντικείμενα του κόσμου μας … Και το χειρότερο είναι ότι οι άνθρωποι που τα αγνοούν δεν συνειδητοποιούν την ίδια τους την άγνοια και επομένως δεν προσπαθούν να τη θεραπεύσουν.“
– ΡΟΓΗΡΟΣ ΒΑΚΩΝ

“Η ζωή είναι ευχάριστη για δύο μόνο λόγους:
για την ανακάλυψη στα Μαθηματικά και για τη διδασκαλία των Μαθηματικών.“
– SIMEON POISSON

“Όταν ήμουν 11 χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη… Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό όσο και ο πρώτος έρωτας. Δεν είχα ποτέ φανταστεί ότι υπήρχε κάτι τόσο γοητευτικό στον κόσμο.“
– BERTRAND RUSSEL

Η μάθηση στα Μαθηματικά

“Όταν ήμουν μικρός, κόμπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε μία ώρα. Στο κολέγιο έμαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες μαθηματικά την ημέρα μπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθμός. Ακόμα και μία σελίδα, όμως, μπορεί να είναι αρκετή.”
– WILLIAM THURSTON

“Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας.
Έπρεπε να αποστηθίσω: ‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’.
Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.”
– BERTRAND RUSSEL

“Ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μας κινητοποιεί. Όχι όμως απρόσιτο, ώστε να βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Πρέπει να λειτουργεί ως οδηγός στα δαιδαλώδη μονοπάτια της κρυμμένης αλήθειας και ως υπόμνηση της χαράς μιας επιτυχούς λύσης.”
– DAVID HILBERT

Σχετικά με τα Μαθηματικά

“Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η αριθμητική είναι η βασίλισσα των μαθηματικών.”
– CARL FRIEDRICH GAUSS

“Τα μαθηματικά διαθέτουν όχι μόνον αλήθεια, αλλά και ανώτερη ομορφιά […] τόση όση μόνον η πιο μεγαλιώδης τέχνη μπορεί να επιδείξει.”
– BERTRAND RUSSELL

“Ο Αρχιμήδης θα παραμένει στη μνήμη των ανθρώπων όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, επειδή οι γλώσσες πεθαίνουν ενώ οι ιδέες των μαθηματικών όχι.”
– G. H. HARDY

“Εκείνος που κατανοεί τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο, θαυμάζει λιγότερο τις επινοήσεις των νεότερων μεγάλων ανδρών.”
– G. W. LEIBNIZ

“Στη βάση όλων των μαθηματικών βρίσκεται η καθαρή θεωρία συνόλων.”
– ANDREI KOLMOGOROV

“Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση.”
– ΠΟΥΣΚΙΝ

“Οι αριθμοί κυβερνούν το σύμπαν.”
– ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ

“Η φιλοσοφία είναι καταγεγραμμένη σε αυτό το τεράστιο βιβλίο – εννοώ το Σύμπαν – που βρίσκεται συνέχεια μπροστά μας. Δεν μπορούμε όμως να το κατανοήσουμε, εκτός αν καταλάβουμε τη γλώσσα του και ερμηνεύσουμε τα στοιχεία με τα οποία έχει γραφεί.
Είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών και τα στοιχεία του είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι και τα άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία είναι ανθρωπίνως αδύνατο να γίνει κατανοητή έστω και μία λέξη.”
– GALILEO GALILEI

“Η γνώση στην οποία στοχεύει η γεωμετρία είναι η γνώση του αιώνιου.”
– ΠΛΑΤΩΝΑΣ

“Δικαιούμαστε να χαρακτηρίσουμε τέλεια μια μαθηματική θεωρία μόνο όταν μπορούμε να την εξηγήσουμε σχεδόν σε κάθε άνθρωπο.”
– DAVID HILBERT

Περιοχές των Μαθηματικών

“Η Άλγεβρα είναι γεναιόδωρη. Συχνά δίνει περισσότερα από όσα της ζητούνται.”
– D‘ ALEMBERT

“Ο κάθε ανόητος μπορεί να κάνει ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους, που και ο σοφότερος μαθηματικός δεν θα μπορεί να απαντήσει.”
– G. H. HARDY

“Ένα πρόβλημα της θεωρίας αριθμών είναι εξίσου διαχρονικό μ’ ένα αληθινό έργο τέχνης.”
– DAVID HILBERT

“Η έννοια, η οποία είναι πραγματικά θεμελιώδης, που αποτελεί τη βάση και διεισδύει σε όλη τη μοντέρνα Ανάλυση και Γεωμετρία, είναι αυτή της φανταστικής ποσότητας στην Ανάλυση και του φανταστικού χώρου στη Γεωμετρία.”
– ARTHUR CAYLLEY

“Σύμφωνα με τον Leibniz, ζούμε στον καλύτερο δυνατό κόσμο. Γι’ αυτό το λόγο οι νόμοι του είναι δυνατόν να περιγραφούν από αρχές ακροτάτων.”
– C. L. SIEGEL

“Αποστρέφομαι με φόβο και φρίκη την αξιοθρήνητη κακία των συναρτήσεων που δεν έχουν παραγώγους.”
– CHARLES HERMITE

“Ενώ η Ανάλυση ενδιαφέρεται για ολόκληρα μεταλλεία, η Γεωμετρία ψάχνει για τις ωραίες πέτρες.”
– S. S. CHERN

“Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε του οποίου η σημασία να μην συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου.”
– LEONARD EULER

“Αν κολλήσετε σε ένα πρόβλημα Απειροστικού Λογισμού και δεν ξέρετε τι άλλο να κάνετε, δοκιμάστε να ολοκληρώσετε κατά μέρη ή να κάνετε αλλαγή μεταβλητών.”
– JERRY KAZDAN

“Όταν μια ποσότητα είναι μέγιστη ή ελάχιστη, εκείνη τη στιγμή η ροή της ούτε αυξάνεται ούτε ελαττώνεται.”
– I. NEWTON

“Το ζήτημα που τίθεται σε κάθε επιστημονική εργασία είναι τούτο:
μαγεία ή γεωμετρία.”
– RENE THOM

“Η εκθετική συνάρτηση ταυτίζεται με την παράγωγό της
Αυτή είναι η πηγή όλων των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης και ο κύριος λόγος της μεγάλης σημασίας που έχει στις εφαρμογές.”
– R. COURANT H. ROBBINS

“Νομίζω ότι [η θεωρία του Cantor] είναι ένα από τα σπουδαιότερα δείγματα ανθρώπινης ευφυΐας και ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρώπινης δραστηριότητας.”
– DAVID HILBERT

“Κανείς δεν θα μας εκδιώξει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Cantor για μας.”
– DAVID  HILBERT

Ο Σάμιουελ Λόιντ γεννήθηκε στην Φιλαδέλφεια των ΗΠΑ στις 31 Ιανουαρίου 1841 και πέθανε στις 10 Απριλίου 1911. Ήταν ο μεγαλύτερος Αμερικανός συνθέτης γρίφων (διασκεδαστικών μαθηματικών, λογικών, σκακιστικών, λεκτικών, οπτικών), γιατί δημιούργησε πάνω από 10000 γρίφους.

Ο Λόιντ έγινε γνωστός σε πολύ κόσμο το 1878, όταν επινόησε τον γρίφο Δεκαπέντε. Ο γρίφος είναι ένα τετραγωνικό πλαίσιο που έχει μέσα 15 τετραγωνικές ψηφίδες σε διάταξη 4×4 οπότε υπάρχει μια θέση κενή.

Το ζητούμενο είναι να μπουν οι ψηφίδες στη σωστή σειρά (1,2,3,4…) γλιστρώντας τα πάνω στον πίνακα, εκμεταλλευόμενοι κάθε φορά το κενό που σχηματίζεται από την κίνησή τους.

Δοκιμάστε το (αν δεν παίζει πατήστε Continue και στην συνέχεια Play):

ο παιχνίδι ονομάσθηκε « Πύργος του Ανόι » από το σχήμα του πύργου που θυμίζει την αρχιτεκτονική των ναών στις χώρες της Άπω ανατολής. Το παιχνίδι πρωτοεμφανίστηκε από τον Γάλλο μαθηματικό  Έντουαρτ Λούκας γύρω στα 1883 με προέλευση μάλλον από τις Ινδίες.

Σύμφωνα με κάποιο μύθο σε ένα ναό της Άπω Ανατολής, οι ιερείς προσπαθούσαν να μετακινήσουν έναν σωρό δίσκων από ένα στύλο σε έναν άλλο.Ο αρχικός σωρός είχε 64 δίσκους τοποθετημένους από κάτω προς τα πάνω
σε φθίνουσα σειρά ως προς τις διαστάσεις τους. Οι ιερείς προσπαθούσαν να μετακινήσουν τον σωρό από αυτόν τον στύλο σε έναν άλλο, με τον περιορισμό ότι ένας δίσκος μόνο μετακινείται κάθε φορά και ότι σε καμία περίπτωση δεν μπορεί ένας μεγαλύτερος δίσκος να τοποθετηθεί πάνω σε έναν μικρότερο. Ένας τρίτος στύλος είναι διαθέσιμος για να τοποθετούνται οι δίσκοι προσωρινά. Υποτίθεται πως θα έρθει το τέλος του κόσμου όταν οι ιερείς τελειώσουν την δουλειά τους.

Περισσοτερες πληροφοριες μπορειτε να βρειτε στην ιστοσελιδα του 3ου Γυμνασιου Σερρων http://3gym-serron.ser.sch.gr/OLDSITE/Anoi.htm

Δοκιμάστε το (αν δεν παίζει πατήστε Continue και στην συνέχεια Play) :

Το ξυπνητήρι χτυπάει. Κοιτάζετε το ρολόι. Η ώρα είναι 6.30 το πρωί. Δεν έχετε καλά-καλά σηκωθεί από το κρεβάτι και ήδη τουλάχιστον έξι μαθηματικές εξισώσεις έχουν μπει στη ζωή σας. Το τσιπάκι της μνήμης που αποθηκεύει την ώρα στο ρολόι σας δεν θα μπορούσε να φτιαχτεί χωρίς μια βασική εξίσωση της Κβαντομηχανικής. Η ώρα του έχει οριστεί από ένα ραδιοηλεκτρικό σήμα το οποίο δεν θα είχαμε επινοήσει ούτε στα όνειρά μας χωρίς τις τέσσερις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ. Αυτό δε το σήμα μεταδίδεται με βάση τον τύπο που είναι γνωστός ως κυματική εξίσωση. Κολυμπάμε συνεχώς σε έναν κρυφό ωκεανό εξισώσεων. Υπάρχουν πίσω από τις μεταφορές, το οικονομικό σύστημα, την Υγεία, την πρόληψη και τη διερεύνηση του εγκλήματος, τις επικοινωνίες, το φαγητό, το νερό, τη θέρμανση και τον φωτισμό μας.

Οταν μπαίνετε στο ντους εξισώσεις ρυθμίζουν την παροχή του νερού σας. Τα δημητριακά στο πρωινό σας προέρχονται από σοδειές που καλλιεργήθηκαν με τη βοήθεια στατιστικών εξισώσεων. Το αεροδυναμικό σχήμα του αυτοκινήτου με το οποίο πηγαίνετε στη δουλειά σας οφείλεται ως έναν βαθμό στις εξισώσεις Ναβιέ – Στρόουκς που περιγράφουν πώς ο αέρας ρέει γύρω του. Ανοίγοντας τον πλοηγό σας μπαίνετε ξανά στο πεδίο της Κβαντικής Φυσικής, όπως και σε αυτό των νόμων του Νεύτωνα για την κίνηση και τη βαρύτητα, οι οποίοι βοήθησαν στην εκτόξευση και στον καθορισμό της τροχιάς των γεωδαιτικών δορυφόρων. Η συσκευή χρησιμοποιεί επίσης εξισώσεις-γεννήτριες τυχαίων αριθμών για τον συγχρονισμό των σημάτων, τριγωνομετρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό της θέσης, καθώς και την ειδική και γενική σχετικότητα για την ακριβή ανίχνευση της κίνησης των δορυφόρων υπό τη βαρύτητα της Γης.

Χωρίς εξισώσεις το μεγαλύτερο μέρος της τεχνολογίας μας δεν θα είχε εφευρεθεί ποτέ. Βεβαίως σημαντικές εφευρέσεις όπως η φωτιά και ο τροχός προήλθαν χωρίς καμία μαθηματική γνώση. Παρ’ όλα αυτά χωρίς τις εξισώσεις θα βρισκόμασταν ακόμη σε έναν κόσμο του Μεσαίωνα.

Οι εξισώσεις δεν περιορίζονται όμως μόνο στην τεχνολογία. Χωρίς αυτές δεν θα κατανοούσαμε τη Φυσική που διέπει τις παλίρροιες, τα κύματα που σκάνε στην ακτή, τις συνεχείς μεταβολές του καιρού, τις κινήσεις των πλανητών, τα πυρηνικά καμίνια των άστρων, τις σπείρες των γαλαξιών – την απεραντοσύνη του Σύμπαντος και τη θέση μας μέσα σε αυτό.

Υπάρχουν χιλιάδες σημαντικές εξισώσεις. Οι επτά στις οποίες επικεντρώνομαι εδώ – η κυματική εξίσωση, οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ, ο μετασχηματισμός του Φουριέ και η εξίσωση του Σρέντινγκερ – απεικονίζουν πώς οι εμπειρικές παρατηρήσεις οδήγησαν σε εξισώσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε τόσο στην επιστήμη όσο και στην καθημερινή ζωή.

Ενας κόσμος κυμάτων

Κατ’ αρχάς, η κυματική εξίσωση. Ζούμε σε έναν κόσμο κυμάτων. Τα αφτιά μας ανιχνεύουν κύματα συμπίεσης στον αέρα ως ήχους, ενώ τα μάτια μας ανιχνεύουν κύματα φωτός. Οταν ένας σεισμός πλήττει μια πόλη, η καταστροφή προκαλείται από σεισμικά κύματα που κινούνται μέσα στη Γη. Θα ήταν δύσκολο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες να μην προβληματιστούν σχετικά με τα κύματα, η αφορμή όμως ήρθε από τις τέχνες: πώς παράγει ήχο ένα βιολί; Το ερώτημα ανάγεται στην αρχαιότητα και στους Πυθαγόρειους, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι αν τα μήκη δύο χορδών ίδιου είδους και τάσης διέπονται από έναν απλό λόγο όπως 2:1 ή 3:2, τότε παράγουν νότες οι οποίες όταν παίζονται μαζί ακούγονται ασυνήθιστα αρμονικές. Οι πιο σύνθετοι λόγοι είναι δυσαρμονικοί και δυσάρεστοι στο αφτί. Ο ελβετός μαθηματικός Γιόχαν Μπερνούλι ήταν ο πρώτος που κατάλαβε το νόημα αυτών των παρατηρήσεων. Το 1727 απεικόνισε τη χορδή ενός βιολιού σαν έναν τεράστιο αριθμό από πυκνά σημεία μάζας που συνδέονται μεταξύ τους με ελάσματα. Χρησιμοποίησε τους νόμους του Νεύτωνα για να εξαγάγει τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος και στη συνέχεια τις έλυσε. Από τις λύσεις συμπέρανε ότι το απλούστερο σχήμα για μια παλλόμενη χορδή είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Υπάρχουν επίσης άλλοι τρόποι δόνησης – ημιτονοειδείς καμπύλες στις οποίες περισσότερα από ένα κύματα ταιριάζουν στο μήκος της χορδής, γνωστές στους μουσικούς ως αρμονικές.

Ντ’Αλαμπέρ: Βιολιά και σεισμοί

Σχεδόν 20 χρόνια μετά, ο Ζαν λε Ρον ντ’ Αλαμπέρ ακολούθησε μια παρόμοια διαδικασία. Επικεντρώθηκε όμως στην απλοποίηση των εξισώσεων της κίνησης και όχι στη λύση τους. Αυτό που προέκυψε ήταν μια κομψή εξίσωση η οποία περιγράφει πώς το σχήμα της χορδής αλλάζει με τον χρόνο. Αυτή είναι η κυματική εξίσωση, η οποία δηλώνει ότι η επιτάχυνση οποιουδήποτε μικρού τμήματος της χορδής είναι ανάλογη με την τάση που επιδρά σε αυτήν. Αυτό υποδηλώνει ότι τα κύματα των οποίων οι συχνότητες δεν παρουσιάζουν μια αναλογία απλών αριθμών παράγουν έναν δυσάρεστο θόρυβο σαν βουητό ο οποίος είναι γνωστός ως «διακροτήματα» (beats). Αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο οι απλοί αριθμητικοί λόγοι δίνουν νότες που ακούγονται αρμονικές.

Η κυματική εξίσωση μπορεί να τροποποιηθεί για να χειριστεί πιο σύνθετα φαινόμενα, όπως οι σεισμοί. Εξελιγμένες μορφές της κυματικής εξίσωσης επιτρέπουν στους σεισμολόγους να ανιχνεύσουν τι συμβαίνει εκατοντάδες χιλιόμετρα κάτω από τα πόδια μας. Μπορούν να χαρτογραφήσουν τις τεκτονικές πλάκες της Γης καθώς αυτές γλιστρούν η μία κάτω από την άλλη προκαλώντας σεισμούς και ηφαιστειακές εκρήξεις. Το μεγαλύτερο τρόπαιο σε αυτόν τον τομέα θα ήταν ένας αξιόπιστος τρόπος πρόβλεψης των σεισμών και των ηφαιστειακών εκρήξεων και πολλές από τις μεθόδους που διερευνώνται γι’ αυτόν τον σκοπό βασίζονται στην κυματική εξίσωση.

Από την άμαξα στον τηλέγραφο

Οι εξισώσεις κρύβονται ακόμη και πίσω από τις καλλιέργειες που φέρνουν τα δημητριακά στο πρωινό μας.

Η πιο σημαντική όμως έμπνευση που πρόσφερε η κυματική εξίσωση γεννήθηκε με τις εξισώσεις του Μάξγουελ για τον ηλεκτρομαγνητισμό. Το 1820 οι περισσότεροι άνθρωποι φώτιζαν τα σπίτια τους με κεριά και φανάρια. Αν θέλατε να στείλετε κάποιο μήνυμα, γράφατε ένα γράμμα και το βάζατε σε μια άμαξα που την έσερναν άλογα· για τα επείγοντα μηνύματα, παραλείπατε την άμαξα. Μέσα σε 100 χρόνια τα σπίτια και οι δρόμοι είχαν ηλεκτρικό φωτισμό, σήματα μεταφέρονταν με τον τηλέγραφο από ήπειρο σε ήπειρο και οι άνθρωποι άρχισαν ακόμη και να μιλάνε ο ένας στον άλλον από μακριά μέσω τηλεφώνου. Η ραδιοεπικοινωνία είχε αποδειχθεί στο εργαστήριο και ένας επιχειρηματίας είχε στήσει μια επιχείρηση πουλώντας «ασύρματα» στο κοινό.

Η κοινωνική και τεχνολογική επανάσταση πυροδοτήθηκε από τις ανακαλύψεις δύο επιστημόνων. Περίπου το 1830 ο Μάικλ Φαραντέι έθεσε τα θεμέλια της Φυσικής του Ηλεκτρομαγνητισμού. Τριάντα χρόνια αργότερα ο Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ ξεκίνησε την αναζήτησή του προσπαθώντας να διατυπώσει μια μαθηματική βάση για τα πειράματα και τις θεωρίες του Φαραντέι.

Φαραντέι: τα πεδία

Την εποχή εκείνη οι περισσότεροι φυσικοί που εργάζονταν στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό αναζητούσαν αναλογίες με τη βαρύτητα, την οποία έβλεπαν ως μια δύναμη που επενεργεί σε δύο σώματα τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Ο Φαραντέι είχε μια διαφορετική ιδέα: για να εξηγήσει τη σειρά των πειραμάτων που έκανε σε σχέση με τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό υποστήριξε ότι και τα δύο φαινόμενα είναι πεδία τα οποία διαχέονται στον χώρο, αλλάζουν με τον χρόνο και μπορούν να ανιχνευθούν από τις δυνάμεις που παράγουν. Ο Φαραντέι διετύπωσε τις θεωρίες του με τους όρους γεωμετρικών σχημάτων, όπως οι γραμμές μαγνητικής δύναμης.

Ο Μάξγουελ επαναδιατύπωσε αυτές τις ιδέες κατ’ αναλογία με τα Μαθηματικά της ροής των ρευστών. Υποστήριξε ότι οι γραμμές της δύναμης ήταν ανάλογες με τις διαδρομές που ακολουθούν τα μόρια ενός ρευστού και ότι η ένταση του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου ήταν ανάλογη με την ταχύτητα του ρευστού. Ως το 1864 ο Μάξγουελ είχε διατυπώσει τέσσερις εξισώσεις για τις βασικές αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα ηλεκτρικά και στα μαγνητικά πεδία. Οι δύο μάς λένε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν μπορούν να διαρρεύσουν σε μεγάλη απόσταση. Οι άλλες δύο μάς λένε ότι όταν μια περιοχή ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κυκλικά δημιουργεί μαγνητικό πεδίο, ενώ μια περιστρεφόμενη περιοχή μαγνητικού πεδίου δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο.

Μάξγουελ: Φως στο φως

Εκείνο όμως το οποίο έκανε όλα αυτά τόσο εκπληκτικά ήταν αυτό που ο Μάξγουελ έκανε στη συνέχεια. Κάνοντας μερικές απλές μετατροπές στις εξισώσεις του, μπόρεσε να εξαγάγει την κυματική εξίσωση και συμπέρανε ότι το φως θα πρέπει να είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτό και μόνο ήταν καταπληκτικό, εφόσον κανείς ως τότε δεν είχε φανταστεί μια τόσο θεμελιώδη σχέση ανάμεσα στο φως, στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό. Δεν ήταν όμως μόνον αυτό. Το φως υπάρχει σε διάφορα χρώματα, αντίστοιχα με διαφορετικά μήκη κύματος. Τα μήκη κύματος που εμείς βλέπουμε περιορίζονται από τη χημεία των χρωστικών του ματιού που ανιχνεύουν το φως. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ οδήγησαν σε μια συγκλονιστική πρόβλεψη – ότι ήταν δυνατόν να υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος. Κάποια από αυτά, με μήκη κύματος μεγαλύτερα από αυτά που μπορούμε να δούμε, θα άλλαζαν τον κόσμο: τα ραδιοκύματα.

Το 1887 ο Χάινριχ Χερτς απέδειξε πειραματικά τα ραδιοκύματα. Δεν υπολόγισε όμως την πιο επαναστατική εφαρμογή τους. Αν μπορούσε κανείς να εντυπώσει ένα σήμα επάνω σε ένα τέτοιο κύμα θα μπορούσε να μιλήσει στον κόσμο. Ο Νίκολα Τέσλα, ο Γουλιέλμος Μαρκόνι και άλλοι έκαναν το όνειρο αυτό πραγματικότητα και ολόκληρη η πανοπλία των σύγχρονων επικοινωνιών, από το ραδιόφωνο και την τηλεόραση ως το ραντάρ και τις ζεύξεις μικροκυμάτων για τα κινητά τηλέφωνα, ήταν ένα φυσικό επακόλουθο. Και όλα προήλθαν από τέσσερις εξισώσεις και δύο σύντομους υπολογισμούς. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ δεν άλλαξαν απλώς τον κόσμο. Ανοιξαν έναν καινούργιο.

Εξίσου σημαντικά με αυτά που περιγράφουν οι εξισώσεις του Μάξγουελ είναι εκείνα που δεν περιγράφουν. Αν και οι εξισώσεις αποκάλυψαν ότι το φως είναι κύμα, οι φυσικοί σύντομα ανακάλυψαν ότι η συμπεριφορά του μερικές φορές δεν συμβάδιζε με αυτή την άποψη. Αν ρίξετε φως σε ένα μέταλλο παράγεται ηλεκτρισμός – ένα φαινόμενο που ονομάζεται φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Αυτό θα είχε νόημα μόνο αν το φως συμπεριφερόταν σαν σωματίδιο. Ηταν λοιπόν το φως κύμα ή σωματίδιο; Στην πραγματικότητα ήταν και τα δύο. Η ύλη αποτελείται από κβαντικά κύματα και μια σφιχτοδεμένη δέσμη κυμάτων ενεργεί σαν σωματίδιο.

Σρέντινγκερ: Νεκρή ή ζωντανή;

Στον παράξενο κόσμο των κβαντικών υπολογισμών του Σρέντιγκερ μια γάτα μπορεί να είναι νεκρή και ζωντανή ταυτοχρόνως.

Το 1927 ο Ερβιν Σρέντινγκερ ανέπτυξε μια εξίσωση για τα κβαντικά κύματα. Αυτή ταίριαζε άψογα στα πειράματα, ενώ παράλληλα περιέγραφε έναν πολύ παράξενο κόσμο, στον οποίο τα θεμελιώδη σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο δεν είναι αυστηρά καθορισμένα αντικείμενα αλλά νέφη πιθανοτήτων. Η ιδιοστροφορμή (spin) ενός ηλεκτρονίου είναι σαν ένα νόμισμα το οποίο μπορεί να είναι μισό κορόνα – μισό γράμματα ώσπου να πέσει στο τραπέζι. Σύντομα οι θεωρητικοί άρχισαν να προβληματίζονται για ένα σωρό κβαντικές παραξενιές, όπως οι γάτες που ήταν ταυτοχρόνως νεκρές και ζωντανές και τα παράλληλα σύμπαντα στα οποία ο Αδόλφος Χίτλερ κέρδιζε τον Β’ Παγκόσμιο Πόλεμο.

Η Κβαντομηχανική δεν περιορίζεται όμως μόνο σε φιλοσοφικά αινίγματα. Σχεδόν όλες οι σύγχρονες συσκευές – ηλεκτρονικοί υπολογιστές, κινητά τηλέφωνα, κονσόλες βιντεοπαιχνιδιών, αυτοκίνητα, ψυγεία, φούρνοι – έχουν τσιπ μνήμης που βασίζονται στο τρανζίστορ, του οποίου η λειτουργία βασίζεται στην Κβαντομηχανική των Ημιαγωγών. Νέες χρήσεις της Κβαντομηχανικής φθάνουν σχεδόν κάθε εβδομάδα. Οι κβαντικές τελείες – μικροσκοπικοί «σβώλοι» ημιαγωγών – μπορούν να εκπέμψουν φως οποιουδήποτε χρώματος και χρησιμοποιούνται στις βιολογικές απεικονίσεις, όπου μπορούν να αντικαταστήσουν τις παραδοσιακές, συχνά τοξικές, χρωστικές. Οι μηχανικοί και οι φυσικοί προσπαθούν να επινοήσουν έναν κβαντικό υπολογιστή ο οποίος θα μπορεί να εκτελεί πολλούς διαφορετικούς υπολογισμούς παράλληλα, σαν τη γάτα που είναι μαζί νεκρή και ζωντανή.

Τα λέιζερ αποτελούν μιαν άλλη εφαρμογή της Κβαντομηχανικής. Τα χρησιμοποιούμε για να διαβάσουμε πληροφορίες από μικροσκοπικά «λακκάκια» στους δίσκους CD, DVD και Blu-ray. Οι αστρονόμοι τα χρησιμοποιούν για να μετρήσουν την απόσταση από τη Γη ως τη Σελήνη. Ισως ακόμη και να ήταν δυνατόν να εκτοξεύσουμε διαστημικά οχήματα από τη Γη επάνω σε μια ισχυρή ακτίνα λέιζερ.

Φουριέ: πάνω απ’ όλα η μέθοδος

Το τελευταίο κεφάλαιο σε αυτή την ιστορία έρχεται από μια εξίσωση η οποία μας βοηθά να κατανοήσουμε τα κύματα. Αρχίζει το 1807, όταν ο Ζοζέφ Φουριέ επινόησε μια εξίσωση για τη ροή της θερμότητας. Υπέβαλε το σχετικό άρθρο στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, όμως αυτό απερρίφθη. Το 1812 η Ακαδημία όρισε τη θερμότητα ως θέμα για το ετήσιο βραβείο της. Ο Φουριέ υπέβαλε ένα μακροσκελέστερο, αναθεωρημένο άρθρο – και κέρδισε.

Η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά του βραβευμένου άρθρου του Φουριέ δεν ήταν η εξίσωση αλλά ο τρόπος με τον οποίο την έλυσε. Ενα βασικό πρόβλημα ήταν το να βρει κανείς πώς η θερμότητα κατά μήκος μιας λεπτής ράβδου αλλάζει με τον χρόνο με βάση το πρότυπο της αρχικής θερμοκρασίας. Ο Φουριέ θα μπορούσε να λύσει την εξίσωση άνετα αν η θερμοκρασία μεταβαλλόταν σαν ημιτονοειδές κύμα κατά μήκος της ράβδου. Απεικόνισε ένα πιο σύνθετο πρότυπο με έναν συνδυασμό ημιτονοειδών καμπυλών με διαφορετικά μήκη κύματος, έλυσε την εξίσωση για κάθε συνιστώσα ημιτονοειδή καμπύλη και πρόσθεσε αυτές τις λύσεις μεταξύ τους. Ο Φουριέ υποστήριξε ότι η μέθοδος αυτή ίσχυε για οποιοδήποτε πρότυπο, ακόμη και για εκείνα στα οποία η θερμοκρασία αλλάζει απότομα τιμή. Το μόνο που χρειαζόταν ήταν να προσθέσει κανείς έναν άπειρο αριθμό συνιστωσών από ημιτονοειδείς καμπύλες.

Παρ’ όλα αυτά το νέο άρθρο του Φουριέ επικρίθηκε ότι δεν ήταν αρκετά τεκμηριωμένο και για ακόμη μία φορά η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε να το δημοσιεύσει. Το 1822 ο Φουριέ αγνόησε τις αντιρρήσεις και δημοσίευσε τη θεωρία του ως βιβλίο. Δύο χρόνια αργότερα έγινε γραμματέας της Ακαδημίας, έβγαλε τη γλώσσα στους επικριτές του και δημοσίευσε την αρχική εργασία στην επιθεώρηση της Ακαδημίας. Ωστόσο οι επικριτές είχαν ένα δίκιο. Οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να συνειδητοποιούν ότι οι άπειρες σειρές ήταν επικίνδυνα όντα: δεν συμπεριφέρονταν πάντα σαν τα ωραία, πεπερασμένα αθροίσματα. Η επίλυση αυτών των ζητημάτων αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη, όμως η τελική ετυμηγορία ήταν ότι η ιδέα του Φουριέ θα μπορούσε να τεκμηριωθεί πλήρως αποκλείοντας τα εξαιρετικά άτακτα πρότυπα. Το αποτέλεσμα είναι ο μετασχηματισμός του Φουριέ, μια εξίσωση η οποία αντιμετωπίζει ένα μεταβαλλόμενο με τον χρόνο σήμα ως το άθροισμα μιας σειράς από συνιστώσες ημιτονοειδείς καμπύλες υπολογίζοντας τα πλάτη και τις συχνότητές τους.

Παρών σε κάθε «κλικ»

Σήμερα ο μετασχηματισμός του Φουριέ επηρεάζει τη ζωή μας με χίλιους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να αναλύσουμε το σήμα της δόνησης που παράγεται από έναν σεισμό και να υπολογίσουμε τις συχνότητες στις οποίες η ενέργεια που μεταδίδεται στο έδαφος είναι μεγαλύτερη. Ενα βήμα για την αντισεισμική θωράκιση ενός κτιρίου είναι να εξασφαλίσει κανείς ότι οι προτιμώμενες συχνότητες του κτιρίου διαφέρουν από αυτές της σεισμικής δόνησης.

Αλλες εφαρμογές περιλαμβάνουν την απάλειψη του θορύβου από παλαιές ηχογραφήσεις, την ανακάλυψη της δομής του DNA μέσω της απεικόνισης με ακτίνες Χ, τη βελτίωση της λήψης των ραδιοηλεκτρικών σημάτων και την αποφυγή ανεπιθύμητων κραδασμών στα αυτοκίνητα. Επίσης όλοι μας επωφελούμαστε από αυτήν κάθε φορά που παίρνουμε μια ψηφιακή φωτογραφία.

Ο κ. Ιαν Στιούαρτ είναι καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόρικ της Βρετανίας.

Πηγη:
http://grifoi.org/paradoja.html