damianosk2001's blog

Τρεις καταδικοι εχουν μια τελευταια ευκαιρια για να γλιτωσουν την ζωη τους. Θα διαλεξουν με κλειστα τα ματια απο μια καλπη που εχει τρεις μπαλες (δυο μαυρες και μια ασπρη). Οποιος παρει την ασπρη γλιτωνει. Οι αλλοι δυο εκτελουνται. Αν ειχατε την επιλογη θα διαλεγατε πρωτος, δευτερος, τριτος ή δεν εχει καμια σημασια; (Εννοειται οτι οποιος τραβαει μια μπαλα δεν την επανατοποθετει στην καλπη).

Αν δινονται τα μηκη των τεσσαρων πλευρων ενος τραπεζιου ποιος ειναι ο πιο ευκολος τροπος να το κατασκευασουμε;

Ο Μεγαλος Χανος Κάλεσε και πάλι τους 88 σοφούς και αφού τους έδωσε από ένα κόκκινο και ένα άσπρο γάντι ,τους ανακοίνωσε το νέο παιχνίδι θανάτου που σκέφτηκε. Έχουν μια νύχτα να συναποφασίσουν κάποια στρατηγική(αν υπάρχει…), κατόπιν- ως συνήθως- ουδεμία συνεννόηση ή ομιλία επιτρέπεται, για να αντεπεξέλθουν στην εξής δοκιμασία:
Το πρωί θα ξυπνήσει ο καθένας
με χαραγμένο στο μέτωπό του έναν διαφορετικό πραγματικό αριθμό.
Όλοι θα μπορούν να δουν τους αριθμούς στα μέτωπα των άλλων, εκτός φυσικά από τον αριθμό στο δικό του μέτωπο ο καθένας.Κατόπιν θα φορέσουν από ένα γάντι σε όποιο χέρι θέλουν. Ένα άσπρο και ένα κόκκινο.
Μετά θα τους βάλουν σε μια μακριά, αύξουσα ανάλογα με τον αριθμό τους, σειρά, τον έναν δίπλα στον άλλον, και θα πιαστούν χέρι με χέρι. Το δεξί χέρι του καθενός με το αριστερό του επόμενου. Αν τα πιασμένα χέρια φορούν ίδιο χρώμα γάντια οι σοφοί θα γλυτώσουν. Αν έστω και ένα ζευγάρι πιασμένων χεριών είναι “ετερόχρωμο”, όλοι θα εκτελεστούν!
Υπάρχει κάποια στρατηγική που μεγιστοποιεί την πιθανότητα επιβίωσης των σοφών;

πηγη: eisatopon.blogspot.gr

Μιας και ολοι ειμαστε (ή ημασταν) στις παραλιες να θεσω ενα απλο πρακτικο προβλημα ιδιαιτερα ενδιαφερον και αρκετα πολυπλοκο:
Πώς (με ποια κλιση σε σχεση με το εδαφος) πρεπει να τοποθετησουμε την ομπρελα μας στην παραλια ωστε να εχουμε την μεγιστη σκια οταν ο ηλιος μεσουρανει 12¨00 και ποια ειναι η συναρτηση που μας δινει ανα πασα στιγμη την μεγιστη σκια. Ας υποθεσουμε οτι ειμαστε στην χαλκιδικη με γεωγραφικο πλατος 23 μοιρες.

Ένα παράξενο πρόβλημα του K.Fabel, 1952.
Το πρόβλημα που ακολουθεί διαφέρει από εκείνα που συνήθως συναντάμε σε βιβλία ή εφημερίδες. Αυτό που ζητάει είναι να βρούμε τι πρέπει να παίξουν τα Λευκά για να μην κάνουν ματ!

Εστω οτι ριχνουμε ενα αμεροληπτο νομισμα και αντιστοιχουμε την ενδειξη “γραμμα” στο 0 και την ενδειξη “κορωνα” στο 1.Σχηματιζουμε ετσι μια τυχαια σειρα απο 0 και 1 με ιση πιθανοτητα εμφανισης του 0 και του 1. Το ερωτημα ειναι ποιος αριθμος εχει μεγαλυτερη πιθανοτητα να εμφανιστει πρωτος: Το 100 ή το 111;
Hint: Η απαντηση ΔΕΝ ειναι οτι και οι δυο εχουν την ιδια πιθανοτητα να εμφανιστουν πρωτοι. Γιατι αν ρωτουσαμε ποια ειναι η πιθανοτητα να εμφανιστει ο 100 ή ο 111 η απαντηση θα ηταν οτι και οι δυο εχουν πιθανοτητα ιση με 1/2^3 δηλ. ιση με 1/8 να εμφανιστουν. Η ερωτηση ομως ειναι διαφορετικη: Ρωταμε ποιος εχει μεγαλυτερη πιθανοτητα να εμφανιστει ΠΡΩΤΟΣ!!

Σήμερα θα μιλήσουμε για άλλο ένα διάσημο παράδοξο των μαθηματικών, το θεώρημα Banach – Tarski.

Το θεώρημα αυτό ανακαλύφθηκε το 1924 από τους Stefan Banach και Alfred Tarsksi, οι οποίοι πήραν κάποιες ιδέες από τις κατασκευές ενός άλλου μαθηματικού, του Guiseppe Vitali.

Τι λέει όμως αυτό το θεώρημα και γιατί είναι παράδοξο; Χονδρικά μας λέει ότι αν έχουμε μια συνηθισμένη μπάλα στον χώρο, μπορούμε να την κόψουμε σε κατάλληλα κομμάτια και μετά μόνο με στροφές των κομματιών και μεταφορές τους σε άλλα σήμεια του χώρου, να φτιάξουμε μια μπάλα με διπλάσιο όγκο.

Με άλλα λόγια, αν κάτι τέτοιο γινόταν στην πραγματική ζωή, θα μπορούσαμε να κόψουμε ένα πορτοκάλι σε κομμάτια και να ξαναενώσουμε τα κομμάτια πολλές φορές για να πάρουμε ένα τεράστιο πορτοκάλι, σαν αυτό που βγάζουν κάποιες χώρες με τα γενετικά τροποιημένα τρόφιμα. Γνωρίζουμε όμως ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει στην ζωή, οπότε γιατί προκύπτει τέτοιο αποτέλεσμα στα μαθηματικά;

Θα κάνουμε λοιπόν μια παρουσίαση του αποτελέσματος σαν φανταστικό διάλογο μεταξύ ενός φοιτητή S και ενός μαθηματικού Μ.

S : Δεν μπορώ να το φανταστώ κατευθείαν στις τρεις διαστάσεις!

M : Ας δούμε αρχικά τι μπορούμε να κάνουμε στην μια διάσταση, όπου τα πράγματα είναι λίγο πιο εύκολα. Έστω ότι έχουμε τους κλασσικούς φυσικούς αριθμούς : 1, 2, 3, 4, …

Τώρα ξεχωρίζουμε τους άρτιους και τους περιττούς αριθμούς. Συνεπώς, έχουμε :

2, 4, 6, 8, . . .
1, 3, 5, 7, . . .

Τα δύο νέα μας σύνολα πρέπει να έχουν το ίδιο “μέγεθος” υπό την έννοια ότι μπορούμε να αντιστοιχίσουμε σε κάθε αριθμό του ενός συνόλου ένα αριθμό του άλλου με μοναδικό τρόπο. Δηλαδή,

Οι μαθηματικοί λένε αυτού του είδους την αντιστοιχία 1-1 και εύκολα μπορούμε να δούμε ότι τέτοιου είδους αντιστοιχία υπάρχει ανάμεσα και στα δυο μας σύνολα και στο αρχικό. Μπορούμε να φτιάξουμε από τους άρτιους τους φυσικούς; Βεβαίως, αρκεί να αντιστοιχίσουμε σε κάθε άρτιο τον μισό του και θα έχουμε το σύνολο που θέλουμε! Παρόμοια μπορούμε να δουλέψουμε και στους περιττούς. Όπως και να το κάνουμε, τα μαθηματικά είναι σωστά και επιτρέπουν να πάρουμε άπειρα αντικείμενα από ένα σύνολο με άπειρα αντικείμενα και στο τέλος και το αρχικό αλλά και το καινούργιο να έχουν κατά μια έννοια το ίδιο πλήθος στοιχείων.

S : Τι γίνεται όμως στον χώρο και συμβαίνει αυτό;

M : Ένας λόγος είναι ο τρόπος που επιλέγουμε τα κομμάτια. Όταν κόβουμε το πορτοκάλι σε κομμάτια, κάθε κομμάτι έχει συγκεκριμμένη μάζα και πυκνότητα, συνεπώς το άθροισμα των κομματιών δεν μπορεί να είναι διαφορετικό από το αρχικό πορτοκάλι. Αν πάρουμε ένα ιδεατό κομμάτι μιας μπάλας στο χώρο όμως, αυτή η μπάλα αποτελείται από άπειρα μη-αριθμήσιμα σημεία, φανταστείτε ότι εκεί που στο πορτοκάλι αντιστοιχεί μια πεπερασμένη πυκνότητα ανά σημείο, στην ιδεατή μας μπάλα έχουμε άπειρη. Έχουμε λοιπόν πολύ περισσότερα σημεία για να παίξουμε.

S : Ναι, ΟΚ αλλά και πάλι αν έχουμε μια μπάλα με όγκο 1, τα κομμάτια της θα έχουν σίγουρα μικρότερο όγκο όπως και αν κόψουμε. Επιπλέον είπες ότι επιτρέπονται μόνο στροφές και μεταφορές, συνεπώς ακόμα και αν έχουμε άπειρη πυκνότητα σημείων, δεν μπορούμε να “απλώσουμε” αυτά τα σημεία όπως θα κάναμε μια μπάλα από βούτυρο πάνω σε μια φέτα τόστ. Όπως την κόψουμε, τόσο όγκο θα καταλαμβάνει.

M : Πολύ σωστά είναι όλα αυτά, όμως η ερώτηση μόλις έξυσε ένα από τα πιο εξεζητημένα σημεία των μαθηματικών, αυτό της απόδοσης όγκου σε ένα κομμάτι του Ευκλείδιου χώρου. Πιο τυπικά, μια ερώτηση μέσα από την οποία ξεπήδησε ολόκληρος κλάδος ήταν,

Υπάρχει κάποιος τρόπος να οριστεί για κάθε σύνολο όγκος τέτοιος ώστε να επαληθεύει κάποιες διαισθητικές ιδιότητες που θα θέλαμε;

Τι ιδιότητες θα θέλαμε να έχει ένας τέτοιος ορισμός;

S : Φαντάζομαι ότι θα πρέπει να ο όγκος του Α να μην εξαρτάται από το που βρίσκεται το Α στον χώρο. Επιπλέον θα πρέπει αν πάρουμε άλλο ένα σύνολο Β ξένο ως προς το Α και το ενώσουμε με το Α, ο όγκος αυτού του νέου συνόλου θα πρέπει να έχει τον ίδιο όγκο με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Χμμμ… και αν δεν είναι ξένα, ίσως θα θα ήταν λογικό το νέο σύνολο που θα προκύψει από την ένωση να έχει όγκο μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των άλλων δύο. ΑΑΑΑ…. και θα πρέπει αν έχουμε ένα διάστημα/τετράγωνο/κύβο ή τις γενικεύσεις τους σε χώρους με περισσότερες διαστάσεις, με “πλευρές” μήκους 1, τότε ο όγκος θα πρέπει να βγαίνει πάντα 1.

M : Ακριβώς! Αυτές είναι κάποιες ιδιότητες που θα ήθελε ένας μαθηματικός να έχει ένας ορισμός του όγκου στον . Ένας άλλος μεγάλος μαθηματικός, ο Henri Lebesgue λοιπόν όρισε με έναν αρκετά τεχνικό αλλά και όμορφο τρόπο μια συνάρτηση που μας πηγαίνει από σύνολα του σε μη-αρνητικούς αριθμούς, έχει όλες αυτές τις ωραίες ιδιότητες και χάρις σε αυτή, επέκτεινε το πως μπορούμε να υπολογίσουμε όγκους συνόλων.

S : Όλα καλά ως εδώ. Που είναι το πρόβλημα;

Μ : Το πρόβλημα είναι ότι ο Vitali με μια κατασκευή του που βασιζόταν στο αξίωμα της επιλογής . . .

S : Δεν έχω πάρει θεωρία συνόλων . . . :embarrassed:

Μ : . . . το οπόιο λέει ότι αν έχεις κάποια σύνολα, ακόμα και άπειρου πλήθους, τότε μπορείς να επιλέξεις ένα στοιχείο από κάθε σύνολο και να φτιάξεις ένα νέο σύνολο. Ποίος θα περίμενε όμως ότι χάρις αυτό το απλο αξίωμα, ο Vitali θα μπορούσε να αποδείξει την ύπαρξη συνόλων στον (άρα και στον ) που δεν γίνεται να έχουν όγκο με βάση τον ορισμό του Lebesgue.

S : Ουπς… και μετά τι έγινε; Άλλαξαν τρόπο να μετράνε;

Μ : Όχι! Απλά δέχτηκαν ότι το μέτρο του Lebesgue είναι το καλύτερο που θα μπορούσαν να βρούν αν θέλουν να έχουν όλες τις ωραίες ιδιότητες που είπαμε και ότι θα υπάρχουν πάντα σύνολα που δεν θα μπορεί να τους αποδοθεί όγκος με βάση αυτό το μέτρο. Χώρισαν λοιπόν τα σύνολα του χώρου σε μετρήσιμα (αυτά που έχουν όγκο) και στα μη – μετρήσιμα. Στην συνέχεια λοιπόν ο Banach και ο Τarski χρησιμοποιήσαν πάλι το αξίωμα της επιλογής για να κόψουν την μπάλα σε άπειρα μη-αριθμήσιμα κομμάτια, από τα οποία κάποια είναι σίγουρα μη-μετρήσιμα.

S : Τα οποία επειδή είναι μη-μετρήσιμα, δεν επαλήθευουν της ιδιότητες του όγκου, σωστά;

Μ : Σωστά! Είναι απλά συνέπεια του τρόπου που μετράμε τον όγκο. Δεν γίνεται να έχουμε έναν τρόπο να αποδίδουμε όγκο σε ότι σύνολο θέλουμε, ο όγκος να έχει όλες αυτές τις ωραίες ιδιότητες και ταυτόχρονα να απαιτούμε να αποδίδεται όγκος σε όλα τα σύνολα του χώρου. Αυτό απέδειξαν αυτοί οι μαθηματικοί με τα παράδοξα τους.

S : Και μπορούμε να δούμε πως θα κόβαμε αυτά τα κομμάτια με κάποιο σχήμα;

Μ : Ευσεβείς πόθοι! Επειδή στην απόδειξη χρησιμοποιείται το αξίωμα της επιλογής, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κάπου εκεί έξω, κάποιος πολύπλοκος τρόπος για να τα κόψεις που επαληθεύει το θεώρημα. Πρόκειται δηλαδή για απόδειξη ύπαρξης και όχι κατασκευής και όπως συνηθίζεται, δεν υπάρχει κανένας τρόπος να βρεις πως θα κάνεις αυτό το κάτι που χρειάζεται.

S : Νομίζω ότι κατάλαβα!

Μ : Το ελπίζω γιατί θα εξεταστείς σε αυτό την Δευτέρα. Άντε και καλό Σαββατοκύριακο!

Πηγη: www.mathcom.gr

Φονικά καπέλα
Ο Μεγάλος Χάνος εκτός από μεγάλος και παντοδύναμος είναι – όπως συμβαίνει συχνά …- και ελαφρώς διεστραμμένος και “παιχνιδιάρης”. Αποφασίζει να τεστάρει τη σοφία των 88 σοφών συμβούλων του και να περικόψει … “λειτουργικά έξοδα” ,με το εξής φονικό παιχνίδι. Θα τοποθετηθούν και οι 88 σοφοί σε μία σειρά κοιτώντας όλοι προς τα μπροστά. Ο τελευταίος στη σειρά βλέπει όλους τους μπροστινούς, ο προτελευταίος βλέπει όλους τους μπροστινούς εκτός από τον τελευταίο, κ.λ.π ,έως τον πρώτο που τους έχει όλους πίσω του. Ο Χάνος θα φορέσει από ένα καπέλο σε κάθε έναν. Αποφασίζει ότι θα επιλέξει ένα χρώμα για κάθε καπέλο από τα 5 αγαπημένα του που είναι: Άσπρο, Μαύρο, Κόκκινο, Πράσινο και Γαλάζιο.
Δεν είναι σίγουρο όμως ότι θα χρησιμοποιήσει και τα 5 χρώματα!. Θα χρησιμοποιήσει αυθαίρετα, ανάλογα με το κέφι του της στιγμής, όποιο χρώμα από τα 5 του καπνίσει (μπορεί βέβαια, και τα 5) και με όποια συχνότητα θέλει. Όλοι βλέπουν το χρώμα των καπέλων των μπροστινών τους και μόνο αυτά. Κανείς δεν βλέπει το χρώμα του δικού του καπέλου, ούτε βέβαια όσων είναι πίσω του στην ουρά. Καμία κουβέντα ή συνθηματικό δεν επιτρέπεται μεταξύ των σοφών ,παρά μόνον η αναγγελία ενός χρώματος από τα 5. Όποιος σοφός βρίσκει το χρώμα του καπέλου του, σώνει τη ζωή του. Όποιος αναγγέλλει λάθος χρώμα αποκεφαλίζεται. Μια αναγγελία από τον καθέναν στην τύχη δίνει μια πιθανότητα επιβίωσης 1/5, όχι και τόσο ενθαρρυντική. Υπάρχει μια στρατηγική που μπορούν να συναποφασίσουν οι σοφοί πριν το “παιχνίδι” ,που να αυξάνει ίσως αυτές τις πιθανότητες; Ή ακόμη και να εξασφαλίζει σε κάποιον ή κάποιους, όσο το δυνατόν περισσότερους!, τη σωτηρία;
Σημείωση:
Επαφίεται στους σοφούς η σειρά με την οποία θα μιλήσει ο καθένας. Μπορούν να αποφασίσουν να μιλήσει οποιοσδήποτε πρώτος, δεύτερος, …88ος.
Επίσης, οι επιλογές είναι “ανεπηρέαστες”. Δηλαδή θα γίνουν πρώτα και οι 88 δηλώσεις, και μετά θα ακολουθήσουν οι αποκεφαλισμοί.
Διευκρινίζω το εξής:
Eίναι σχεδόν προφανές ότι οι μισοί τουλάχιστον μπορούν να σωθούν, αν οι άλλοι μισοί γίνουν “ήρωες”. Ας πούμε ξεκινάει ο 2ος που αναγγέλει το καπέλο του 1ου. Μετά ο 4ος αναγγέλει το χρώμα του 3ου, κ.λ.π, ο τελευταίος αναγγέλει το καπέλο του 87ου. Έτσι ας πούμε, σώνονται όλοι οι “μονοί” σοφοί και μένει στους “αρτιους-ήρωες” από μία πιθανότητα 1/5 στον καθένα ,μήπως σωθούν και κάποιοι απ’αυτούς(όσοι έχουν ίδιο χρώμα καπέλο με τον μπροστινό τους) Ζητείται “κάτι καλύτερο” απ’αυτό. Υπάρχει δηλαδή τρόπος να σωθούν ΣΙΓΟΥΡΑ περισσότεροι από 50%.

Επισης για να βοηθησω θα αναφερω οτι εχει να κανει με modulo και οτι μπορουν να σωθουν σιγουρα οι 87 απο τους 88!!!!

Πηγή: eisatopon.blogspot.gr