Εσύ τυχαίε αναγνώστη έχεις περισσότερα πόδια από τον μέσο όρο των ελλήνων. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι σωστή αυτή η πρόταση;

Απ: Μεγαλύτερη από 99,9%!!! Ο λόγος είναι απλός: Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν ελάχιστοι που λόγω τραυματισμού ή εκ γεννετής έχουν ένα μόνο ποδι τότε ο μέσος όρος των ποδιών όλων των ελλήνων είναι λίγο μικρότερος απο 2. Επομένως όποιος έχει 2 πόδια έχει περισσότερα από τον μ.ο. των ελλήνων!!!

Οι συνέπειες ενός απλού θεωρήματος

Το θεώρημα του Bayes

Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει το θεώρημα του Bayes που μαθαίνουν όλοι οι πρωτοετείς φοιτητές των θετικών επιστημών. Διατυπώθηκε από τον Άγγλο μαθηματικό και πρεσβυτεριανό ιερέα Τόμας Μπέυζ (Thomas Bayes 1701–1761). Επρόκειτο για μια νέα προσέγγιση σε ένα θεμελιώδες αίνιγμα: πως να προχωρήσεις αντίστροφα από τις παρατηρήσεις στα κρυφά αίτια όταν οι πληροφορίες που έχεις είναι ελλιπείς. Το θεώρημα αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Pierre-Simon Laplace, που δημοσίευσε τη μοντέρνα διατύπωση το 1812 στο βιβλίο του «Théorie analytique des probabilités». Μάλιστα χρησιμοποίησε το θεώρημα για να εκτιμήσει την μάζα του πλανήτη Κρόνου. Έτσι, ο Laplace ήταν ένας από τους πρώτους «Μπεϋζιανούς» στατιστικολόγους.

Σύμφωνα με τον John Horgan, (από το άρθρο του στο Scientific American με τίτλο «Bayes’s Theorem: What’s the Big Deal?» ), οι Μπεϋζιανές στατιστικές εμφανίζονται παντού, από τη φυσική μέχρι την έρευνα για τον καρκίνο, από την οικολογία μέχρι την ψυχολογία. Οι φυσικοί έχουν προτείνει Μπεϋζιανές ερμηνείες της κβαντομηχανικής αλλά και Μπεϋζιανά επιχειρήματα υπέρ της θεωρίας των χορδών και των πολυσυμπάντων.

Οι φιλόσοφοι υποστηρίζουν ότι η επιστήμη στο σύνολό της μπορεί να ιδωθεί ως μια Μπεϋζιανή διαδικασία και ότι το θεώρημα Bayes μπορεί να διακρίνει ανάμεσα στην επιστήμη και την ψευδο-επιστήμη με μεγαλύτερη ακρίβεια από την αρχή της διαψευσιμότητας, της μεθόδου που υποστηρίχθηκε από τον Karl Popper.

Οι ερευνητές της τεχνητής νοημοσύνης, συμπεριλαμβανομένων των σχεδιαστών των αυτό-κινούμενων οχημάτων της Google, χρησιμοποιούν Μπεϋζιανό λογισμικό, για να βοηθήσουν τις μηχανές να αναγνωρίσουν δομές και να παίρνουν αποφάσεις. Τα Μπεϋζιανά προγράμματα, σύμφωνα με την Sharon Bertsch McGrayne , συγγραφέα του βιβλίου «The Theory That Would Not Die», αναγνωρίζουν τα spam στα e-mail, εκτιμούν τους κινδύνους στην ιατρική και την κρατική ασφάλεια και μεταξύ άλλων αποκωδικοποιούν και το DNA. Στον ιστότοπο edge.org,ο νομπελίστας φυσικός John Mather ανησυχεί για το ότι οι Μπεϋζιανές μηχανές μπορεί να γίνουν τόσο ευφυείς που θα κάνουν τους ανθρώπους άχρηστους.

Ερευνητές της γνωσιακής επιστήμης εικάζουν ότι οι εγκέφαλοί μας ενσωματώνουν Μπεϋζιανούς αλγορίθμους για να αντιλαμβάνονται, να προμελετούν και να αποφασίζουν. Τον περασμένο Νοέμβριο, επιστήμονες και φιλόσοφοι διερεύνησαν αυτή τη δυνατότητα σε ένα συνέδριο στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης που είχε ως θέμα το ερώτημα: «Είναι ο εγκέφαλος Μπεϋζιανός;».

Οι φανατικοί επιμένουν πως αν οι περισσότεροι από μας συνειδητά υιοθετήσουν την Μπεϋζιανή λογική (σε αντίθεση με την ασυνείδητη Μπεϋζιανή διαδικασία που υποτίθεται χρησιμοποιούν οι εγκέφαλοί μας), τότε ο κόσμος μας θα ήταν πολύ καλύτερος.

O Sheldon Cooper στο τηλεοπτικό σίριαλ Big Bang Theory χρησιμοποιεί το θεώρημα του Bayes

Όσον αφορά την κατανόηση του θεωρήματος του Bayes, ο Horgan θεωρεί πολύ χρήσιμο το δοκίμιο,  “An Intuitive Explanation of Bayes’ Theorem”, του θεωρητικού της τεχνητής νοημοσύνης Eliezer Yudkowsky, την παρουσίαση του θεωρήματος στη Wikipedia, αλλά και την σύντομη παρουσίαση του φιλοσόφου Curtis Brown.

Όμως και ο ίδιος επιχειρεί στο άρθρο του να εξηγήσει τα σχετικά με το θεώρημα Bayes, και μάλιστα όπως αναφέρει … κυρίως για το δικό του όφελος!

Δίνει λοιπόν το συνηθισμένο παράδειγμα εφαρμογής του θεωρήματος στην ιατρική:

Έστω ότι κάνατε ένα τεστ για μια ασθένεια Α που οι στατιστικές δείχνουν ότι προσβάλλεται 1 στους 100 ανθρώπους της ηλικίας σας. Αν το τεστ ήταν 100% αξιόπιστο, τότε δεν θα χρειαζόταν το θεώρημα του Bayes.

Όμως, τα ιατρικά τεστ διάγνωσης ποτέ δεν είναι 100% αξιόπιστα (τουλάχιστον μέχρι σήμερα). Ας πούμε λοιπόν πως το τεστ διάγνωσης της ασθένειας Α είναι 90% αξιόπιστο. Που σημαίνει ότι 90 στους 100 ανθρώπους που έχουν την ασθένεια Α βρίσκονται θετικοί στο τεστ, και 90 στους 100 ανθρώπους που δεν έχουν προσβληθεί από την εν λόγω ασθένεια βρίσκονται αρνητικοί στο τεστ.

Έστω ότι κάνετε το τεστ και βγήκε θετικό. Ποια είναι η πιθανότητα να έχετε προσβληθεί από την ασθένεια Α;

Ενώ η πρώτη απάντηση που έρχεται στο μυαλό των περισσότερων είναι 90% ή κάπου εκεί κοντά σ’ αυτό το νούμερο, η εφαρμογή του θεωρήματος Bayes δίνει ένα αναπάντεχο αποτέλεσμα: 8,33% !!

Ας δούμε γιατί, αφού πρώτα υιοθετήσουμε τον παρακάτω συμβολισμό:

Ρ(Α) = η πιθανότητα ένα άτομο της ηλικίας σας να προσβληθεί από την ασθένεια Α = 1/100 = 0,01

Ρ(Υ) = η πιθανότητα ένα άτομο της ηλικίας σας να μην έχει προσβληθεί από την ασθένεια = 99/100 = 0,99

Ρ(Θ|Α) = η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό για ένα άτομο που φέρει την ασθένεια = 90/100 = 0,9

Ρ(Θ|Υ) = η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό για ένα άτομο που είναι υγιές = 10/100 = 0,1

και Ρ(Α|Θ) = το ζητούμενο, η πιθανότητα ένα άτομο που βρέθηκε θετικό στο τεστ να έχει προσβληθεί πράγματι από την ασθένεια Α.

Tότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Bayes θα έχουμε:

Το αποτέλεσμα γίνεται πιο κατανοητό με το παρακάτω διάγραμμα:

Βλέπουμε ότι σε σύνολο 90 + 990 = 1080 ατόμων που βγήκαν θετικοί στο τεστ, μόνο οι 90 πάσχουν από την ασθένεια οπότε:  Ρ(Α|Θ) = 90/1080 =0,083.

Το ενδεχόμενο κατάχρησης του θεωρήματος αρχίζει από την εκ των προτέρων εκτίμηση της πιθανότητας Ρ(A), που συχνά καλείται «prior». Στο παράδειγμα της ασθένειας Α θεωρήσαμε την τιμή 0,01. Το ζήτημα είναι πως προκύπτει αυτή η εκτίμηση – ότι δηλαδή 1 στους 100 ανθρώπους μιας συγκεκριμένης ηλικίας προσβάλλονται από την συγκεκριμένη ασθένεια…. Σε πολλές περιπτώσεις η εκτίμηση της εκ των προτέρων πιθανότητας περιέχει υποκειμενικούς παράγοντες. Η εκτίμηση αυτής της πιθανότητας – όχι για την εκδήλωση μιας αρρώστιας – αλλά για κάτι που ίσως δεν υπάρχει όπως τα πολυσύμπαντα, την πληθωριστική διαδικασία του σύμπαντος ή τον Θεό και στη συνέχεια η εφαρμογή του θεωρήματος προωθεί την ψευδο-επιστήμη και την δεισιδαιμονία.

Στο θεώρημα του Bayes βρίσκεται ενσωματωμένο ένα ηθικό μήνυμα: αν δεν είστε σχολαστικός στην αναζήτηση εναλλακτικών ερμηνειών για τα δεδομένα σας, τότε τα δεδομένα σας θα επιβεβαιώσουν ακριβώς αυτό που ήδη πιστεύετε….

… διαβάστε περισσότερα http://blogs.scientificamerican.com/cross-check/bayes-s-theorem-what-s-the-big-deal/

http://physicsgg.me/2016/01/07/%CE%BF%CE%B9-%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%80%CE%B5%CE%B9%CE%B5%CF%82-%CE%B5%CE%BD%CF%8C%CF%82-%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%BF%CF%8D-%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82/

Τηλεπαιχνίδι :
Ο παρουσιαστής σας ζητάει να διαλέξετε μία από τις τρεις προτεινόμενες κουρτίνες Α, Β και Γ. Πίσω από την μία υπάρχει ένα δώρο. Πίσω από μία από τις άλλες 2 υπάρχει το Ζονγκ. Ας υποθέσουμε ότι επιλέγουμε την Α. Η βοηθός του παρουσιαστή , η Μενεγάκη π.χ. , γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από τις πόρτες Β και Γ. Ανοίγει π.χ. την Β και εμφανίζεται το Ζονγκ. Επειδή σας συμπαθήσανε στο στούντιο σας δίνουν μία δεύτερη ευκαιρία να επιλέξετε. Σας ρωτάνε. Θέλετε να διατηρήσετε την αρχική σας επιλογή (κουρτίνα Α) ή να αλλάξετε γνώμη και να διαλέξετε την τρίτη επιλογή (κουρτίνα Γ , καθώς στην Β υπήρχε το Ζόνγκ) ;

Τρεις καταδικοι εχουν μια τελευταια ευκαιρια για να γλιτωσουν την ζωη τους. Θα διαλεξουν με κλειστα τα ματια απο μια καλπη που εχει τρεις μπαλες (δυο μαυρες και μια ασπρη). Οποιος παρει την ασπρη γλιτωνει. Οι αλλοι δυο εκτελουνται. Αν ειχατε την επιλογη θα διαλεγατε πρωτος, δευτερος, τριτος ή δεν εχει καμια σημασια; (Εννοειται οτι οποιος τραβαει μια μπαλα δεν την επανατοποθετει στην καλπη).

Εστω οτι ριχνουμε ενα αμεροληπτο νομισμα και αντιστοιχουμε την ενδειξη “γραμμα” στο 0 και την ενδειξη “κορωνα” στο 1.Σχηματιζουμε ετσι μια τυχαια σειρα απο 0 και 1 με ιση πιθανοτητα εμφανισης του 0 και του 1. Το ερωτημα ειναι ποιος αριθμος εχει μεγαλυτερη πιθανοτητα να εμφανιστει πρωτος: Το 100 ή το 111;
Hint: Η απαντηση ΔΕΝ ειναι οτι και οι δυο εχουν την ιδια πιθανοτητα να εμφανιστουν πρωτοι. Γιατι αν ρωτουσαμε ποια ειναι η πιθανοτητα να εμφανιστει ο 100 ή ο 111 η απαντηση θα ηταν οτι και οι δυο εχουν πιθανοτητα ιση με 1/2^3 δηλ. ιση με 1/8 να εμφανιστουν. Η ερωτηση ομως ειναι διαφορετικη: Ρωταμε ποιος εχει μεγαλυτερη πιθανοτητα να εμφανιστει ΠΡΩΤΟΣ!!

Σε τρεις μελλοθανατους αποφασιζουν να δωσουν μια τελευταια ευκαιρια: Θα τραβηξουν απο μια καλπη που περιεχει 2 μαυρες και μια ασπρη μπαλα. Οποιος τυχει την ασπρη αθωωνεται!! Ποιος εχει περισσοτερες πιθανοτητες να αθωωθει, αυτος που θα τραβηξει πρωτος, ο δευτερος ή ο τριτος;

(εννοειται οτι οποιος τραβαει δεν ξαναριχνει μεσα την μπαλα που τραβηξε)

Τηλεπαιχνίδι : Ο παρουσιαστής σας ζητάει να διαλέξετε μία από τις τρεις προτεινόμενες κουρτίνες Α, Β και Γ. Πίσω από την μία υπάρχει ένα δώρο. Πίσω από μία από τις άλλες 2 υπάρχει το Ζονγκ. Ας υποθέσουμε ότι επιλέγουμε την Α. Η βοηθός του παρουσιαστή , η Μενεγάκη π.χ. , γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από τις πόρτες Β και Γ. Ανοίγει π.χ. την Β και εμφανίζεται το Ζονγκ. Επειδή σας συμπαθήσανε στο στούντιο σας δίνουν μία δεύτερη ευκαιρία να επιλέξετε. Σας ρωτάνε. Θέλετε να διατηρήσετε την αρχική σας επιλογή (κουρτίνα Α) ή να αλλάξετε γνώμη και να διαλέξετε την τρίτη επιλογή (κουρτίνα Γ , καθώς στην Β υπήρχε το Ζόνγκ) ; Προκειμένου να διπλασιάσετε την πιθανότητα να κερδίσετε το δώρο , όσο και αν φαίνεται περίεργο και δύσπιστο εκ μέρους σας , πρέπει να αλλάξετε επιλογή!!!

Εξηγούμαι για να μην παρεξηγούμαι: Υπάρχουν τρεις κουρτίνες οι Α , Β , Γ. Η πιθανότητα στην αρχή του παιχνιδιού να βρείτε το δώρο είναι 1/3 ή 33,33%. Η πιθανότητα να μην το βρείτε είναι βεβαίως 2/3 ή 66,66%. Αν λοιπόν αλλάξετε κουρτίνα , η πιθανότητα να κερδίσετε θα γίνει 2/3 ή 66,66% και αντίστοιχα η πιθανότητα να χάσετε θα είναι 33,33% .

Ιδού ο πίνακας αν δεν αλλάξετε γνώμη :

Το δώρο βρίσκεται κορτίνα :Α

Επιλέγετε κουρτίνα: Α

Η Μενεγάκη ανοίγει: Β ή Γ

Αποτέλεσμα : Μένετε στην Α και κερδίζετε

Το δώρο βρίσκεται κουρτίνα: Β
Επιλέγετε κουρτίνα : Α
Η Μενεγάκη ανοίγει : Γ
Αποτέλεσμα : Μένετε Α και χάνετε

Το δώρο βρίσκεται κουρτίνα: Γ
Επιλέγετε κουρτίνα :Α
Η Μενεγάκη ανοίγει : Β
Αποτέλεσμα : Μένετε Α και χάνετε

Ιδού ο Πίνακας αν αλλάξετε γνώμη :

Το δώρο βρίσκεται κουρτίνα: Α
Επιλέγετε κουρτίνα : Α
Η Μενεγάκη ανοίγει : Β
Αποτέλεσμα : Αλλάζετε από Α σε Γ και χάνετε

Το δώρο βρίσκεται κουρτίνα: Β
Επιλέγετε κουρτίνα : Α
Η Μενεγάκη ανοίγει : Γ
Αποτέλεσμα : Αλλάζετε από Α σε Β και κερδίζετε

Το δώρο βρίσκεται κουρτίνα: Γ
Επιλέγετε κουρτίνα : Α
Η Μενεγάκη ανοίγει : Β
Αποτέλεσμα : Αλλάζετε από Α σε Γ και κερδίζετε

Άρα οι πιθανότητες να κερδίσετε έγιναν 66,66% . Διπλασιάστηκαν!!!