S.A.M.

9 Ιουλίου, 2022

Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 9:44 μμ

Να αποδειχθεί η ταυτότητα:

\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{6}{4+\cfrac{10}{5+\cfrac{15}{6+\cfrac{21}{\cdots}}}}}}}=

 

Λύση

 

Έστω ότι S_n=\frac{n(n+1)}{2}
θα δείξουμε ότι \frac{n}{\sqrt{3}+1}=\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}
Πράγματι

\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{(n+1)(1+\frac{1}{\sqrt{3}+1})}= \frac{\frac{n}{2}}{(1+\frac{\sqrt{3}-1}{2})}=\frac{n}{\sqrt{3}+1}

Άρα

\sqrt{3}=1+\sqrt{3}-1= 1+\frac{2}{\sqrt{3}+1}=
1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}=
1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=
1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\sqrt{3}+1}}=(από *)
1+\cfrac{1}{1+\cfrac{S_1}{2+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}}}=(από *)
1+\cfrac{1}{1+\cfrac{S_1}{2+\cfrac{S_2}{3+\cfrac{3}{\sqrt{3}+1}}}}=(από *)
1+\cfrac{1}{1+\cfrac{S_1}{2+\cfrac{S_2}{3+\cfrac{S_3}{4+\cfrac{4}{\sqrt{3}+1}}}}}=

klp

Αφήστε μια απάντηση

«
»

©2025 S.A.M. Φιλοξενείται από Blogs.sch.gr

Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH