S.A.M.

22 Ιουνίου, 2022

Ο Ευκλείδης προτείνει… Άσκηση 391 τ. 123

Κάτω από: Λύσεις —Με ετικέτα , — ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 3:31 μμ

Ο Ευκλείδης προτείνει…  Άσκηση 391 τ. 123 σελ.66

 

Να αποδείξετε ότι  \frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2(\frac{\pi}{9})}+\frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2(\frac{3π}{9})}+\frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2(\frac{5π}{9})}+\frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2(\frac{7π}{9})}=40 \textbf{(1)}

 

Λύση

    \[\frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2\left(\frac{\pi}{9}\right)}+\frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2\left(\frac{3π}{9}\right)}+\frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2\left(\frac{5π}{9}\right)}+\frac{1}{{\sigma\upsilon\nu}^2\left(\frac{7π}{9}\right)}=40\Longleftrightarrow \]

    \[{\epsilon\phi}^2\left(\frac{\pi}{9}\right)+1+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{3π}{9}\right)+1{+\epsilon\phi}^2\left(\frac{5π}{9}\right)+1+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{7π}{9}\right)+1=40\Longleftrightarrow \]

    \[{\epsilon\phi}^2\left(\frac{\pi}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{3π}{9}\right){+\epsilon\phi}^2\left(\frac{5π}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{7π}{9}\right)=36\]

Από τύπο του De Moivre έχουμε: \sigma\upsilon\nu\left(9x\right)+i\eta\mu\left(9x\right)={\left(\sigma\upsilon\nu\left(x\right)+i\eta\mu\left(x\right)\right)}^9=

    \[{\sigma\upsilon\nu}^9(x)\ +\ i\ 9{\sigma\upsilon\nu}^8(x)\ \eta\mu(x)\ -\ \left( \begin{array}{c} 9 \\ 2 \end{array} \right){\sigma\upsilon\nu}^7(x)\ {\eta\mu}^2(x)\ -i\left( \begin{array}{c} 9 \\ 3 \end{array} \right)\ {\sigma\upsilon\nu}^6(x)\ {\eta\mu}^3(x)\ +\ \left( \begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)\ {\sigma\upsilon\nu}^5(x)\ {\eta\mu}^4(x)\ +\ i\left( \begin{array}{c} 9 \\ 5 \end{array} \right)\ {\sigma\upsilon\nu}^4(x)\ {\eta\mu}^5(x)\ -\ \left( \begin{array}{c} 9 \\ 6 \end{array} \right)\ {\sigma\upsilon\nu}^3(x)\ {\eta\mu}^6(x)\ -\ i\left( \begin{array}{c} 9 \\ 7 \end{array} \right)\ {\sigma\upsilon\nu}^2(x)\ {\eta\mu}^7(x)\ +\ 9\ \sigma\upsilon\nu(x)\ {\eta\mu}^8(x)\ +\ i\ {\eta\mu}^9(x)\]

Άρα

    \[\sigma\upsilon\nu\left(9x\right)={\sigma\upsilon\nu}^9(x)\ -\ 36{\sigma\upsilon\nu}^7(x)\ {\eta\mu}^2(x)\ +\ 126\ {\sigma\upsilon\nu}^5(x)\ {\eta\mu}^4(x)\ -\ 84\ {\sigma\upsilon\nu}^3(x)\ {\eta\mu}^6(x)\ +\ 9\ \sigma\upsilon\nu(x)\ {\eta\mu}^8(x)\]

    \[\eta\mu\left(9x\right)=9{\sigma\upsilon\nu}^8(x)\ \eta\mu(x)\ -84\ {\sigma\upsilon\nu}^6(x)\ {\eta\mu}^3(x)\ +\ 126\ {\sigma\upsilon\nu}^4(x)\ {\eta\mu}^5(x)\ \ -\ 36\ {\sigma\upsilon\nu}^2(x)\ {\eta\mu}^7(x)\ +{\eta\mu}^9(x)\]

Οπότε έχουμε: \epsilon\phi\left(9x\right)=\frac{9{\sigma\upsilon\nu}^8\left(x\right)\eta\mu\left(x\right)-84\ {\sigma\upsilon\nu}^6\left(x\right){\eta\mu}^3\left(x\right)+\ 126\ {\sigma\upsilon\nu}^4\left(x\right){\eta\mu}^5\left(x\right)\ -\ 36\ {\sigma\upsilon\nu}^2\left(x\right){\eta\mu}^7\left(x\right)+{\eta\mu}^9\left(x\right)}{{\sigma\upsilon\nu}^9\left(x\right)-\ 36{\sigma\upsilon\nu}^7\left(x\right){\eta\mu}^2\left(x\right)+\ 126\ {\sigma\upsilon\nu}^5\left(x\right){\eta\mu}^4\left(x\right)-\ 84\ {\sigma\upsilon\nu}^3\left(x\right){\eta\mu}^6\left(x\right)+\ 9\ \sigma\upsilon\nu\left(x\right){\eta\mu}^8\left(x\right)}

 

Οπότε για  \sigma\upsilon\nu(x)\ne 0 έχουμε \epsilon\phi\left(9x\right)=\frac{9\ \epsilon\phi(x)\ -84\ \ {\epsilon\phi}^3(x)\ +\ 126\ {\epsilon\phi}^5(x)\ \ -\ 36\ {\epsilon\phi}^7(x)\ +{\epsilon\phi}^9(x)}{1\ -\ 36\ {\epsilon\phi}^2(x)\ +\ 126\ {\epsilon\phi}^4(x)\ -\ 84\ {\epsilon\phi}^6(x)\ +\ 9\ {\epsilon\phi}^8(x)}

 

Η εξίσωση \epsilon\phi\left(9x\right)=0\ \left({\mathbf 2}\right) έχει 9 διακριτές ρίζες στο διάστημα \left(-\frac{\pi}{2},\ \ \frac{\pi}{2}\right), τις x_\kappa=\frac{\kappa\pi}{9},\ -4\le \kappa\le 4.

 

Ισχύει ότι  \textbf{(2)}\Longleftrightarrow 9\ \epsilon\phi(x)\ -84\ \ {\epsilon\phi}^3(x)\ +\ 126\ {\epsilon\phi}^5(x)\ \ -\ 36\ {\epsilon\phi}^7(x)\ +{\epsilon\phi}^9(x)=0\Longleftrightarrow

    \[\epsilon\phi\left(x\right)\left(9\ -84\ \ {\epsilon\phi}^2\left(x\right)+\ 126\ {\epsilon\phi}^4\left(x\right)\ -\ 36\ {\epsilon\phi}^6\left(x\right)+{\epsilon\phi}^8\left(x\right)\right)=0{{\stackrel{για\ \epsilon\phi(x)\ne 0}{\Longleftrightarrow}}}\]

9\ -84\ \ {\epsilon\phi}^2\left(x\right)+\ 126\ {\epsilon\phi}^4\left(x\right)\ -\ 36\ {\epsilon\phi}^6\left(x\right)+{\epsilon\phi}^8\left(x\right)=0 \ \textbf{(3)}

Η εξίσωση \textbf{(3)} είναι 8ου βαθμού και έχει στο διάστημα \left(-\frac{\pi}{2},\ \ \frac{\pi}{2}\right) τις εξής 8 διακριτές ρίζες  :

    \[x=\frac{\kappa\pi}{9},\ -4\le \kappa\le 4,\ \kappa\ne 0. \]

Θέτω {\omega=\epsilon\phi}^2\left(x\right) οπότε η \textbf{(3)} γίνεται: 9\ -84\ \ \omega +\ 126\ \omega ^2\ -\ 36\ \omega ^3+\omega ^4=0 \ \textbf{(4) } που είναι εξίσωση 4ου βαθμού με 4 διακριτές ρίζες (αν έστω και δύο από αυτές συμπίπτουν, τότε η \textbf{(3)} θα είχε λιγότερες από 8 διακριτές ρίζες, άτοπο). Οι ρίζες \omega _\kappa={\epsilon\phi}^2\left(x_\kappa\right)={\epsilon\phi}^2\left(\frac{\kappa\pi}{9}\right)\ ,\ 1\le \kappa\le 4, είναι διακριτές μεταξύ τους, καθώς η συνάρτηση {\epsilon\phi}^2\left(x\right) είναι 1-1 στο \left(0,\ \ \frac{\pi}{2}\right) , ως γνησίως αύξουσα στο  \left(0,\ \ \frac{\pi}{2}\right).

 

Από τους τύπους του Vieta έχουμε για την \textbf{(4)} ότι \omega_1{+\omega }_2+\omega _3+\omega _4=36

 

Άρα  {\epsilon\phi}^2\left(\frac{\pi}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{2\pi}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{3\pi}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{4\pi }{9}\right)=36

 

Αλλά {\epsilon\phi}^2\left(\frac{4\pi}{9}\right)={\epsilon\phi}^2\left(\pi-\frac{4\pi }{9}\right)={\epsilon\phi}^2\left(\frac{5\pi }{9}\right) και όμοια {\epsilon\phi}^2\left(\frac{2\pi}{9}\right)={\epsilon\phi}^2\left(\frac{7\pi }{9}\right)

 

Τελικά έχουμε {\epsilon\phi}^2\left(\frac{\pi}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{3\pi}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{5\pi}{9}\right)+{\epsilon\phi}^2\left(\frac{7\pi}{9}\right)=36\Longleftrightarrow {\mathbf (}{\mathbf 1}{\mathbf )} και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

 

Γενίκευση: \sum^{k=n}_{k=1}{{\epsilon\phi}^2\left(\frac{\kappa\pi}{2n+1}\right)}=\binom{2n+1}{2} , \ n\in {{\rm N}}^* ή πιο απλά \sum^{k=n}_{k=1}{{\epsilon\phi}^2\left(\frac{\kappa\pi}{2n+1}\right)}=n(2n+1),\ n\in {{\rm N}}^*

 

 

Αφήστε μια απάντηση

«
»

©2025 S.A.M. Φιλοξενείται από Blogs.sch.gr

Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH