S.A.M.

31 Ιουλίου, 2026

Απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος σε μια γραμμή

Κάτω από: manim,Γεωμετρία —Με ετικέτα , , , — ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 12:14 μμ

mikrografia2

Με την βοήθεια του παραπάνω σχήματος, να αποδείξετε σύντομα το πυθαγόρειο θεώρημα.

Η απάντηση στο παρακάτω βίντεο-animation

https://youtu.be/IuTkrI_HZ7o

 

30 Δεκεμβρίου, 2025

Η τράπεζα θεμάτων γεωμετρίας Α’ και Β’ Λυκείου στο geogebra

Κάτω από: Γεωμετρία —Με ετικέτα , , , — ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 5:30 μμ

Οι σελίδες γεωμετρία α’ λυκείου και γεωμετρία β λυκείου  περιλαμβάνουν, σε μορφή «Geogebra book», σχεδόν όλα τα θέματα της τράπεζας θεμάτων για τα αντίστοιχα μαθήματα.

Επιπλέον, όλα τα αρχεία Geogebra που έχουν δημιουργηθεί είναι διαθέσιμα για ελεύθερη χρήση σε συμπιεσμένους φακέλους με ονόματα α γεω.zip (400 θέματα για την Α’ Λυκείου) και  β γεω.zip (165 θέματα για την Β’ Λυκείου).

Τα θέματα είναι οργανωμένα ανά ενότητα, ώστε να μπορεί ο μαθητής να τα λύσει βήμα-βήμα, να δει τις κατασκευές και να ελέγξει τις απαντήσεις του. Με τα αρχεία Geogebra, ο μαθητής μπορεί να πειραματιστεί με τα γεωμετρικά σχήματα, να δει ζωντανά πώς αλλάζουν οι ιδιότητες τους και να κατανοήσει καλύτερα τις έννοιες. Χρήσιμο εργαλείο για αυτοδιδασκαλία, επανάληψη, για προετοιμασία στις εξετάσεις ή και για τους εκπαιδευτικούς που θέλουν να εμπλουτίσουν το μάθημά τους.

Παρακάτω βλέπετε δυο screenshots του “βιβλίου”.

a geo b geo

 

30 Ιουλίου, 2025

Απολλώνιο πρόβλημα: η περίπτωση Ευθεία Ευθεία Σημείο

Κάτω από: manim,Γεωμετρία —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 10:43 μμ

Τα προβλήματα του Απολλώνιου χρονολογούνται από τον 3ο και 2ο αιώνα π.Χ., όταν διατυπώθηκαν από τον Απολλώνιο της Πέργας. Αρχικά, ήταν ένα μόνο πρόβλημα: βρείτε έναν κύκλο που εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους. Με την πάροδο του χρόνου, διατυπώθηκαν παραλλαγές όπου τα τρία δεδομένα αντικείμενα θα μπορούσαν να περιλαμβάνουν οποιονδήποτε συνδυασμό γραμμών, κύκλων και σημείων. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα δέκα πιθανούς συνδυασμούς. Ο στόχος είναι πάντα να βρείτε τον κύκλο που αγγίζει και τα τρία δεδομένα αντικείμενα.

Σε αυτό το βίντεο παρουσιάζουμε την περίπτωση που έχουμε δύο ευθείες γραμμές, ένα σημείο και αναζητούμε κύκλο που εφάπτεται στις δυό γραμμές και περνά από το εν λόγω σημείο.
Το βίντεο δημιουργήθηκε με το λογισμικό Manim.

8 Σεπτεμβρίου, 2024

Υπολογισμός του π με κανονικά πολύγωνα

Κάτω από: Γεωμετρία —Με ετικέτα , — ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 2:38 μμ

Στον σύνδεσμο που ακολουθεί δείχνουμε μια μέθοδο προσέγγισης της τιμής του \pi.

Συγκεκριμένα σε έναν κύκλο ακτίνας 1 εγγράφουμε και περιγράφουμε κανονικά πολύγωνα με m πλευρές. Καθώς ο αριθμός των πλευρών των πολυγώνων αυξάνει, τα πολύγωνα προσεγγίζουν τον κύκλο. Το ίδιο και το εμβαδόν των πολυγώνων προσεγγίζει το εμβαδόν του κύκλου, που είναι \pi\cdot r^2=\pi.

calc pi

Υπολογισμός του π με κανονικά πολύγωνα – GeoGebra

30 Ιουνίου, 2024

Από την Ρώμη με αγάπη

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 5:25 μμ

Το ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 από τις ιταλικές εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια τον Ιούνιο του 2024.

prob2f

«Στην αρχή και στο τέλος, έχουμε το μυστήριο… Τα μαθηματικά μας φέρνουν πιο κοντά σε αυτό το μυστήριο, ακόμα κι αν δεν το διαπερνά». (Ε. Ντε Τζόρτζι)

Εξετάστε την οικογένεια συναρτήσεων f_n\left(x\right)=\sqrt[n]{x^2}-\sqrt{ax^2+bx+1}, με n\in N,n>1 και a,\ b\ \in \ R, a\ <\ 0.

  1. Επαληθεύστε ότι, όποια και αν είναι η τιμή του n, η συνάρτηση f_n δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο με τετμημένη x\ =\ 0. Προσδιορίστε την τιμή του n στην οποία το γράφημα της f_n έχει γωνιακό σημείο. Για τις κατάλληλες τιμές των παραμέτρων a,\ b, το γράφημα \textrm{α}, στο σχήμα, αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση f_2(x)=|x|-\sqrt{ax^2+bx+1}. Προσδιορίστε τις παραμέτρους a και b, λαμβάνοντας υπόψη ότι η f_2 ορίζεται στο [-1; 1] και ότι το γράφημά είναι συμμετρικό σε σχέση με τον άξονα y.

prob2a

Από τώρα και στο εξής, ας υποθέσουμε a\ =\ -1,\ b\ =\ 0.

  1. Μελετήστε τη συνάρτηση g(x)=|x|+\sqrt{1-x^2} , επαληθεύοντας ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στα άκρα του πεδίου ορισμού της και στο σημείο με τετμημένη x\ =\ 0. Υποδείξτε το γράφημά της με \beta και σχεδιάστε την καμπύλη \gamma\ =\ \alpha\ \cup \ \beta.
  2. Η γραμμή r, της εξίσωσης x\ =\ k, με -1\ <\ k\ <\ 1, τέμνει την \gamma στα σημεία P και Q. Αποδείξτε ότι το μέτρο του τμήματος PQ είναι μέγιστο όταν είναι ο άξονας συμμετρίας της \gamma.
  3. Βεβαιωθείτε ότι η συνάρτηση H(x)=\frac{1}{2}(arcsin(x)+x\sqrt{1-x^2}) είναι αρχική της συνάρτησης h(x)=\sqrt{1-x^2} . Με τη μέθοδο που θεωρείτε καταλληλότερη, υπολογίστε το εμβαδόν της πεπερασμένης περιοχής του επιπέδου που οριοθετείται από την \gamma.

«Οι μορφές που δημιουργούνται από τον μαθηματικό, όπως αυτές που δημιουργούνται από τον ζωγράφο ή τον ποιητή, πρέπει να είναι όμορφες: οι ιδέες, όπως τα χρώματα ή οι λέξεις, πρέπει να συνδέονται αρμονικά. Η ομορφιά είναι η θεμελιώδης προϋπόθεση: δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά». (Γ. Χ. Χάρντι)

Λύση

Διαβάστε όλο το άρθρο »

7 Ιανουαρίου, 2024

Μπακλαβάς

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 11:54 πμ

Πόσα είναι τα τρίγωνα;

Αριθμός τριγώνων

Λύση Διαβάστε όλο το άρθρο »

7 Αυγούστου, 2023

Ο καναδικός Fibonacci δεν είναι άρτιας τάξεως.

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 3:53 μμ

Το θέμα είναι από καναδικό διαγωνισμό μαθηματικών
Ορίζουμε στους φυσικούς αριθμούς την συνάρτηση f(a,b)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab} . Για παράδειγμα, f(1,\ 2)=3.
(a) Βρείτε την τιμή του f(2,\ 5).
(b) Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς \alpha για τους οποίους ο αριθμός f(a,\ a) είναι φυσικός.
(c) Αν οι \alpha,\ \ \beta καθώς και ο f(a,b) είναι φυσικοί αριθμοί , να δείξετε ότι ο f(a,b) είναι πολλαπλάσιος του 3.
(d) Βρείτε 4 ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) με 2\ <\ a\ <\ b τέτοια, ώστε ο f(a,b) να είναι ακέραιος.

Λύση
Διαβάστε όλο το άρθρο »

26 Μαΐου, 2023

Επιλογή όλων των εξισώσεων σε ένα αρχείο Word

Κάτω από: Εκπαιδευτικά —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 8:42 μμ

Πολλές φορές χρειάζεται να επιλέξουμε όλες τις μαθηματικές εξισώσεις ενός κειμένου σε ένα αρχείο Word για να τις κάνουμε ομοιόμορφες με μια κίνηση.

 

Παρακάτω έχουμε τον κώδικα σε VBA για την επιλογή όλων των μαθηματικών εξισώσεων σε ένα αρχείο Word.


Sub SelectAllEquations()
Dim xMath As OMath
Dim I As Integer
With ActiveDocument
.DeleteAllEditableRanges wdEditorEveryone
For I = 1 To .OMaths.Count
Set xMath = .OMaths.Item(I)
xMath.Range.Editors.Add wdEditorEveryone
Next
.SelectAllEditableRanges wdEditorEveryone
.DeleteAllEditableRanges wdEditorEveryone
End With
End Sub

Διαβάστε όλο το άρθρο »

19 Απριλίου, 2023

Εφαπτομένη και παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης (μια γραφική προσέγγιση)

Κάτω από: γ' λυκείου μαθηματικά —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 10:09 μμ

Εφαπτομένη και παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης

Αν και το σχήμα είναι αυτοεπεξηγηματικό, ας το περιγράψουμε αναλυτικά. Διαβάστε όλο το άρθρο »

11 Απριλίου, 2023

Ο Ευκλείδης προτείνει… Άσκηση 393

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 10:16 πμ

Το μαθηματικό περιοδικό “Ευκλείδης” προτείνει…

Ευκλείδης B’ 127 (2023) τ.3/57

Άσκηση 393

Δίνεται κύβος ΑΒΓΔΕΖΗΘ με ακμή α = 1, απέναντι έδρες τις ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ και με κατακόρυφες ακμές τις ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ και ΔΘ. Στην ακμή ΑΔ θεωρούμε τμήμα \Delta K = \frac{1}{4}, στην ΒΑ τμήμα B\Lambda} = \frac{1}{4}, στη ΖΗ τμήμα ZM = \frac{1}{4} και στην ΗΘ τμήμα \Theta N = \frac{1}{4}.  Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΛΜΝ.            Φρουντζής Βασίλης – Αγρίνιο

 

Λύση

393

Από την ισότητα \frac{AK}{A\Delta} = \frac{A\Lambda}{AB} = \frac{3}{4} ,  συμπεραίνουμε ότι ΚΛ//ΒΔ, ομοίως ΜΝ//ΘΖ και από την προφανή παραλληλία των διαγωνίων ΒΔ και ΘΖ προκύπτει ότι ΚΛ//ΜΝ . Από τα ισοσκελή και ορθογώνια τρίγωνα ΑΚΛ, ΗΜΝ, έχουμε K\Lambda = MN( = \sqrt{2}\frac{3}{4}\alpha = \frac{3\sqrt{2}}{4}) οπότε το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο. Διαβάστε όλο το άρθρο »

Παλιότερα άρθρα »

©2026 S.A.M. Φιλοξενείται από Blogs.sch.gr

Όροι χρήσης blogs.sch.gr | Δήλωση προσβασιμότητας
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH