Μαθηματικά «ενάντια» στα πάντα

 

ΟΙ φυσικοί, οι χημικοί, οι βιολόγοι, οι μηχανικοί φτιάχνουν τις θεωρίες τους, συνήθως αυτές περιγράφονται από εξισώσεις, και τα μαθηματικά λύνουν αυτές τις εξισώσεις. Καμιά φορά μάλιστα δεν μπορούν να τις λύσουν. Αλλά οι θεωρίες υπάρχουν. ΟΙ εξισώσεις αυτές έχουν μέσα τους κάτι πολύ βασικό, το ρυθμό  που μεταβάλλεται στιγμιαία το όποιο φαινόμενο. Όταν τις λύσουν, το φαινόμενο αποκαλύπτεται, δηλαδή, γνωρίζουν πώς θα είναι το φαινόμενο στο μέλλον. Μ’ άλλα λόγια, προβλέπουν το μέλλον. Αυτό κάνουν οι νόμοι της φυσικής. Της χημείας, κλπ. Προβλέπουν και περιγράφουν. Ακόμα και μαθητές μπορούν να λύσουν, στη Γ Λυκείου, τέτοιες εξισώσεις πρόβλεψης.

 

Το σημαντικό λοιπόν είναι η κατασκευή της εξίσωσης, όχι η λύση της.. Ένα φαινόμενο που εξαρτάται από το χρόνο, περιγράφεται από μια εξίσωση τύπου ας πούμε Α. Όμως πάρα πολλά φαινόμενα δεν εξαρτώνται μόνο από το χρόνο. Ένα απλό είναι η κίνηση ενός σημείου που ταλαντώνεται πάνω σε μια χορδή. Εξαρτάται – το πλάτος ταλάντωσης του σημείου – και από το χρόνο και από τη θέση του σημείου. Τέτοια φαινόμενα που υπεισέρχονται και άλλες μεταβλητές εκτός από το χρόνο περιγράφονται με εξισώσεις θα λέμε τύπου Β. Πιο δύσκολες από του τύπου Α. Αλλά οι μαθηματικοί έρχονται και υπάκουα ανάγουν τέτοιες εξισώσεις σε τύπου Α, οπότε και αυτές λύνονται (συνήθως).

Είναι λοιπόν τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ μόνο ένα ΕΡΓΑΛΕΙΟ?

 

Ας δούμε την αναγωγή Εξίσωση τύπου Β  Εξίσωση τύπου Α.
Γιατί αυτή συμβαίνει? Όπως θα δούμε δεν είναι θέμα πράξεων. Είναι θέμα Δομών. Και εδώ είναι που μπαίνουν τα «κανονικά» Μαθηματικά.

 

Φανταστείτε τον τρισδιάστατο χώρο που ζούμε. Και μέσα σ’ αυτόν μια λεία επιφάνεια όπως η επιφάνεια μιας μπάλας, θα τη λέμε σφαίρα. Πάρτε ένα σημείο πάνω στη σφαίρα και φανταστείτε ένα επίπεδο που εφάπτεται στη σφαίρα σ’ αυτό το σημείο. Μετά θεωρείστε ότι το σημείο κινείται λίγο πάνω στη σφαίρα και παρασέρνει μαζί του το εφαπτόμενο επίπεδο έτσι ώστε σε κάθε θέση να παραμένει αυτό εφαπτόμενο. Τι συμβαίνει εδώ? Από το 1870 o Sophus Lie  ανακάλυψε ότι η στιγμιαία ταχύτητα που κινείται το εν λόγω σημείο είναι, ως διάνυσμα, παράλληλη της αρχικής θέσης του εφαπτόμενου επιπέδου του, πάντα και πάνω σε οποιαδήποτε επιφάνεια και αν γίνεται η κίνηση. Αυτό βέβαια προσδίδει μια ιδιαίτερη σχέση-δομή ανάμεσα σε δύο πολύ κοντινά εφαπτόμενα επίπεδα που λέγεται “Δομή επαφής”. Και είναι χαρακτηριστική ιδιότητα του τρισδιάστατου χώρου πού ζούμε αλλά και οποιουδήποτε ανάλογου περιττής διάστασης χώρου, 5-διάστατου, 7-διάστατου κλπ.

Ας πάρουμε τώρα μια εξίσωση τύπου Β (που όπως είπαμε ανάγεται σε τύπου Α). Αυτή ζει σε ένα (2n+1)- διάστατο χώρο, όπως ακριβώς η σφαίρα ζει μέσα στο συνήθη τρισδιάστατο χώρο. Στο παράδειγμα της χορδής: μια διάσταση το πλάτος ταλάντωσης, μια ο χρόνος, μια η θέση, μια η ταχύτητα του πλάτους ως προς το χρόνο και μια η ταχύτητα του πλάτους ως προς τη θέση. Και έτσι όπως ζει στο 5- διάστατο χώρο έχει την ιδιότητα κάποια επίσης πολύ κοντινά της “επίπεδα” να χαρακτηρίζονται από τη “δομή επαφής”, η οποία «τέμνοντας» καθορίζει μονοδιάστατες καμπύλες-τροχιές πάνω σ’ αυτή την “επιφάνεια”. Και αυτές οι καμπύλες-τροχιές δεν είναι τίποτα άλλο παρά οι λύσεις της εξίσωσης Α στην οποία ανάγεται (με … πράξεις) η εξίσωση Β.

Άρα αυτή η αναγωγή δεν είναι παρά οι πράξεις που αναπαριστούν ουσιαστικά τη Δομή Επαφής που ενυπάρχει αυτογενώς  μέσα στο χαρακτήρα του οποιουδήποτε περιττής διάστασης χώρου. (Η Συμπλεκτική Δομή αφορά αντίστοιχα άρτια διάσταση).

Και άρα τα φαινόμενα των φυσικών, χημικών κλπ. που επιλύονται όπως ας πούμε σ’ αυτό το παράδειγμα, εντάσσονται (όλα, όποια κι αν είναι αυτά!) στο πλαίσιο  της ύπαρξης αυτής της ιδιαίτερης δομής (επαφής).

Αυτά τα φαινόμενα και η περιγραφή των λύσεων τους στηρίζονται λοιπόν σε μια Μαθηματική Δομή, σ’ ένα νοητικό κατασκεύασμα που ενυπάρχει εξ αρχής μέσα στο χώρο περιγραφής των φαινομένων και είναι ανεξάρτητη και των φαινομένων και των τρόπων επίλυσης τους και των τρόπων αναπαράστασης τους. Δηλαδή ανεξάρτητη της Φυσικής, της Μηχανικής ή της χρήσης των άλλων επιστημών.

Έχει νόημα ενδογενές, αυτούσιο και αυθύπαρκτο.