Πώς ο Ευκλείδης απέδειξε πως οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι ;
Μια σύντομη απόδειξη της πρότασης μας παρουσίασε ο μαθητής Τσίντσης Κωνσταντίνος.
Αν υποθέσουμε πως όλοι οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν το σύνολο Ω={π1, π2,, π3, ..πμ} όπου πμ ο μεγαλύτερος πρώτος. Δημιουργούμε τον αριθμό Ν= π1π2, π3, ..πμ+1.
Ο αριθμός Ν ή θα είναι πρώτος οπότε βρήκαμε έναν πρώτο μεγαλύτερο από τον πμ ή δεν θα είναι πρώτος οπότε θα διαιρείται με κάποιον πρώτο. Δεν μπορεί όμως να διαιρείται με κανέναν από τους πρώτους του συνόλου Ω γιατί κάθε φορά που διαιρείται με κάποιον από αυτούς αφήνει υπόλοιπο 1. Άρα θα διαιρείται με κάποιον πρώτο έξω από το σύνολο Ω επομένως με κάποιον μεγαλύτερο από τον πμ. Ακολουθώντας διαρκώς τη διαδικασία αυτή μπορούμε να βρίσκουμε διαρκώς και μεγαλύτερους πρώτους. \
Άρα οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.