Μαρία Δ. Χάλκου, Maria Chalkou, Δρ. Μαθηματικών, Σχολικός Σύμβουλος

Ἱστορικὴ πρακτικὴ μέθοδος ὑπολογισμοῦ ἐμβαδῶν κανονικῶν πολυγώνων, ὅταν δίνεται ἡ πλευρά τους.
1) Ἡ διαδικασία ξεκινᾶ μὲ τὸν ὑπολογισμὸ ἐμβαδοῦ κύκλου περιμέτρου 22 σπιθαμῶν τὸ ὁποῖο εὑρίσκεται ἴσο μὲ 38 1/2.
Γνωρίζουμε ὅτι τὸ ἐμβαδὸν κύκλου ἀκτίνας ρ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση
Ε= πρ². Ἐπειδὴ ἡ περίμετρος Π εἶναι ἴση μὲ 22 καὶ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση Π= 2πρ, ὑπολογίζουμε τὴν ἀκτίνα ρ= 11/π, ὁπότε ἀντικαθιστώντας στὸν τύπο τοῦ ἐμβαδοῦ ἔχουμε:
Ε= π(121/π²)= 121/π= 38 1/2 , ἀπὸ ὅπου προκύπτει π= 3 1/7. Δηλαδὴ ἔχουμε μία προσεγγιστικὴ τιμὴ γιὰ τὸ π, τὴν ὁποία κάποιοι συγγραφεῖς τῆς ἀρχαιότητας μεταξὺ τῶν ὁποίων καὶ ὁ Ἤρων ὁ Ἀλεξανδρεὺς χρησιμοποιοῦσαν κατὰ τοὺς ὑπολογισμοὺς τους.

2) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 40-γώνου ὅταν δίδεται ἡ πλευρὰ του ἴση μὲ 1/2 μιᾶς σπιθαμῆς.
Στὸ συγκεκριμένο ζήτημα, παρατηροῦμε πὼς ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, καὶ τὴν πολλαπλασιάζουμε μὲ τὸν ἑαυτόν της βρίσκοντας 400. Κατόπιν διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 5/8, καὶ βρίσκουμε πὼς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ 40-γώνου εἶναι ἴσο μὲ 31 7/10.
3) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 30-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 2/3.
Ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, πολλαπλασιάζουμε τὸ 20 μὲ τὸν ἑαυτόν του, καὶ τὸ ἀποτέλεσμα τὸ ὁποῖο εἶναι 400 τὸ διαιροῦμε μὲ τὸ 12 2/3 βρίσκοντας γιὰ τὸ ἐμβαδὸν τὴ τιμὴ 31 11/19 τετραγωνικὲς σπιθαμές.
4) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 20-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 1 σπιθαμὴ.
Στὸ συγκεκριμένο πρόβλημα διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 11/16 βρίσκοντας 31 1/2.
5) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 18-γώνου πλευρᾶς 1 1/9 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 3/4, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/3.
6) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 16-γώνου πλευρᾶς 1 1/4 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 5/6, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/6.
7) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 14-γώνου πλευρᾶς 1 3/7 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 11/12, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 29/30.
Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 12-γώνου πλευρᾶς 1 2/3 τῆς σπιθαμῆς.
Διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 13 καὶ βρίσκουμε 30 10/13.
9) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 10-γώνου πλευρᾶς 2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 1/9, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/2.
10)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 8-γώνου πλευρᾶς 2 1/2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 8/31, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/6.
11)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ ἑξαγώνου πλευρᾶς 3 1/3 σπιθαμῶν.
Στὰ χειρόγραφα τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 5/7, καὶ ἔτσι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 29 1/6.
Σήμερα, ἐφ’ ὅσον τὸ κανονικὸ 6-γωνο πλευρᾶς 3 1/3 ἀποτελεῖται ἀπὸ 6 ἴσα ἰσόπλευρα τρίγωνα, θὰ ὑπολογίζαμε τὸ ἐμβαδὸν χρησιμοποιώντας τὴν σχέση:
Ε= 6.[(3 1/3)²√3]/4= (3/2)(100/9)√3= 28,87 κατὰ προσέγγιση. Αὐτὴ ἡ τιμή, ὅπως διαπιστώνουμε, εἶναι μικρότερη ἀπὸ τὴν τιμὴ 29 1/6, ἡ ὁποία προκύπτει μὲ τὴν Ἱστορικὴ μέθοδο.
12)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ πενταγώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 4 σπιθαμές.
Τὸ 400 στὴν συγκεκριμένη περίπτωση διαιρεῖται μὲ τὸ 14 6/13, ὁπότε προκύπτει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ 27 2/3.

Σήμερα ὑπολογίζουμε τὴν πλευρὰ χ κανονικοῦ 10-γώνου ἐγγεγραμμένου σὲ κύκλο ἀκτίνας ρ χρησιμοποιώντας τὴν ἀναλογία ρ/χ= χ/(ρ- χ), ἀπὸ τὴν ὁποία προκύπτει ὅτι χ= (ρ/2)(√5- 1).

Κατόπιν χρησιμοποιοῦμε τὸν τύπο τοῦ Ἀρχιμήδη:
χ2ν= √[2ρ²- ρ√(4ρ²-χν²)], ἀπὸ τὸν ὁποῖον (ἐφαρμόζοντας γιὰ ν= 5 καὶ ἐπιλύοντας ὡς πρὸς χν= χ5) προκύπτει:
χ5= (ρ/2)√(10- 2√5).
Ἄν λοιπὸν ἡ πλευρὰ τοῦ πενταγώνου εἶναι ἴση μὲ 4 σπιθαμές, τότε ἀντικαθιστώντας στὴν σχέση αὐτή τὸ χ5 μὲ τὸ 4, θὰ ἔχουμε τὴν ἀκτίνα ἴση μὲ [√(10-2√5)(5+√5)]/5. Τὸ δὲ ἀπόστημα τοῦ 5-γώνου θὰ εἶναι ἴσο μὲ:
√[(10- 2√5)(5+√5)²/25- (ρ²/16)(10- 2√5)]. Ἀντικαθιστοῦμε τὴν ἤδη εὑρεθεῖσα τιμὴ τοῦ ρ, καὶ τελικὰ τὸ ἐμβαδὸν προκύπτει ἀπὸ τὸν τύπο:
Ε= 5(χ5.α5/2)=……..= (5+√5)√(10+2√5)= 4√(25+10√5)= 27,6 κατὰ προσέγγιση.
13) Ὑπολογισμὸς τοῦ ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 9-γώνου
Χρησιμοποιοῦσαν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κανονικοῦ 10-γώνου καθὼς καὶ τοῦ κανονικοῦ 8-γώνου, τὰ ὁποῖα εἶναι 30 1/2 καὶ 30 1/6 ἀντίστοιχα. Εὕρισκαν τὸ “ἐξ’ ἀναλόγου” αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, τὸ ὁποῖο εἶναι ἴσο μὲ 30 1/3. Βλέπουμε ἐδῶ πὼς ἐννοοῦσαν τὴν μέση τιμὴ αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, ἡ ὁποία μέση τιμὴ θεωροῦσαν πὼς εἶναι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κανονικοῦ 9-γώνου.
14) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 7-γώνου
Εὕρισκαν τὸ “ἐξ ἀναλόγου” τῶν ἐμβαδῶν κανονικοῦ 8-γώνου καὶ 6-γώνου.

Δημοσιεύτηκε στις 10th Φεβρουάριος 2008 στις 10:31 και βρίσκεται κάτω από Επιστημονικά άρθρα. Μπορείς να παρακολουθείς τα σχόλια για το άρθρο χρησιμοποιώντας RSS 2.0 feed. Μπορείς να πας στο τέλος και να αφήσεις σχόλιο. Το Pinging προσωρινά δεν επιτρέπεται.