S.A.M.

30 Ιουνίου, 2024

Από την Ρώμη με αγάπη

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 5:25 μμ

Το ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 από τις ιταλικές εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια τον Ιούνιο του 2024.

prob2f

«Στην αρχή και στο τέλος, έχουμε το μυστήριο… Τα μαθηματικά μας φέρνουν πιο κοντά σε αυτό το μυστήριο, ακόμα κι αν δεν το διαπερνά». (Ε. Ντε Τζόρτζι)

Εξετάστε την οικογένεια συναρτήσεων f_n\left(x\right)=\sqrt[n]{x^2}-\sqrt{ax^2+bx+1}, με n\in N,n>1 και a,\ b\ \in \ R, a\ <\ 0.

  1. Επαληθεύστε ότι, όποια και αν είναι η τιμή του n, η συνάρτηση f_n δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο με τετμημένη x\ =\ 0. Προσδιορίστε την τιμή του n στην οποία το γράφημα της f_n έχει γωνιακό σημείο. Για τις κατάλληλες τιμές των παραμέτρων a,\ b, το γράφημα \textrm{α}, στο σχήμα, αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση f_2(x)=|x|-\sqrt{ax^2+bx+1}. Προσδιορίστε τις παραμέτρους a και b, λαμβάνοντας υπόψη ότι η f_2 ορίζεται στο [-1; 1] και ότι το γράφημά είναι συμμετρικό σε σχέση με τον άξονα y.

prob2a

Από τώρα και στο εξής, ας υποθέσουμε a\ =\ -1,\ b\ =\ 0.

  1. Μελετήστε τη συνάρτηση g(x)=|x|+\sqrt{1-x^2} , επαληθεύοντας ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στα άκρα του πεδίου ορισμού της και στο σημείο με τετμημένη x\ =\ 0. Υποδείξτε το γράφημά της με \beta και σχεδιάστε την καμπύλη \gamma\ =\ \alpha\ \cup \ \beta.
  2. Η γραμμή r, της εξίσωσης x\ =\ k, με -1\ <\ k\ <\ 1, τέμνει την \gamma στα σημεία P και Q. Αποδείξτε ότι το μέτρο του τμήματος PQ είναι μέγιστο όταν είναι ο άξονας συμμετρίας της \gamma.
  3. Βεβαιωθείτε ότι η συνάρτηση H(x)=\frac{1}{2}(arcsin(x)+x\sqrt{1-x^2}) είναι αρχική της συνάρτησης h(x)=\sqrt{1-x^2} . Με τη μέθοδο που θεωρείτε καταλληλότερη, υπολογίστε το εμβαδόν της πεπερασμένης περιοχής του επιπέδου που οριοθετείται από την \gamma.

«Οι μορφές που δημιουργούνται από τον μαθηματικό, όπως αυτές που δημιουργούνται από τον ζωγράφο ή τον ποιητή, πρέπει να είναι όμορφες: οι ιδέες, όπως τα χρώματα ή οι λέξεις, πρέπει να συνδέονται αρμονικά. Η ομορφιά είναι η θεμελιώδης προϋπόθεση: δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά». (Γ. Χ. Χάρντι)

Λύση

Διαβάστε όλο το άρθρο »

7 Ιανουαρίου, 2024

Μπακλαβάς

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 11:54 πμ

Πόσα είναι τα τρίγωνα;

Αριθμός τριγώνων

Λύση Διαβάστε όλο το άρθρο »

7 Αυγούστου, 2023

Ο καναδικός Fibonacci δεν είναι άρτιας τάξεως.

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 3:53 μμ

Το θέμα είναι από καναδικό διαγωνισμό μαθηματικών
Ορίζουμε στους φυσικούς αριθμούς την συνάρτηση f(a,b)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab} . Για παράδειγμα, f(1,\ 2)=3.
(a) Βρείτε την τιμή του f(2,\ 5).
(b) Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς \alpha για τους οποίους ο αριθμός f(a,\ a) είναι φυσικός.
(c) Αν οι \alpha,\ \ \beta καθώς και ο f(a,b) είναι φυσικοί αριθμοί , να δείξετε ότι ο f(a,b) είναι πολλαπλάσιος του 3.
(d) Βρείτε 4 ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) με 2\ <\ a\ <\ b τέτοια, ώστε ο f(a,b) να είναι ακέραιος.

Λύση
Διαβάστε όλο το άρθρο »

26 Μαΐου, 2023

Επιλογή όλων των εξισώσεων σε ένα αρχείο Word

Κάτω από: Εκπαιδευτικά —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 8:42 μμ

Πολλές φορές χρειάζεται να επιλέξουμε όλες τις μαθηματικές εξισώσεις ενός κειμένου σε ένα αρχείο Word για να τις κάνουμε ομοιόμορφες με μια κίνηση.

 

Παρακάτω έχουμε τον κώδικα σε VBA για την επιλογή όλων των μαθηματικών εξισώσεων σε ένα αρχείο Word.


Sub SelectAllEquations()
Dim xMath As OMath
Dim I As Integer
With ActiveDocument
.DeleteAllEditableRanges wdEditorEveryone
For I = 1 To .OMaths.Count
Set xMath = .OMaths.Item(I)
xMath.Range.Editors.Add wdEditorEveryone
Next
.SelectAllEditableRanges wdEditorEveryone
.DeleteAllEditableRanges wdEditorEveryone
End With
End Sub

Διαβάστε όλο το άρθρο »

19 Απριλίου, 2023

Εφαπτομένη και παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης (μια γραφική προσέγγιση)

Κάτω από: γ' λυκείου μαθηματικά —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 10:09 μμ

Εφαπτομένη και παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης

Αν και το σχήμα είναι αυτοεπεξηγηματικό, ας το περιγράψουμε αναλυτικά. Διαβάστε όλο το άρθρο »

11 Απριλίου, 2023

Ο Ευκλείδης προτείνει… Άσκηση 393

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 10:16 πμ

Το μαθηματικό περιοδικό “Ευκλείδης” προτείνει…

Ευκλείδης B’ 127 (2023) τ.3/57

Άσκηση 393

Δίνεται κύβος ΑΒΓΔΕΖΗΘ με ακμή α = 1, απέναντι έδρες τις ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ και με κατακόρυφες ακμές τις ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ και ΔΘ. Στην ακμή ΑΔ θεωρούμε τμήμα \Delta K = \frac{1}{4}, στην ΒΑ τμήμα B\Lambda} = \frac{1}{4}, στη ΖΗ τμήμα ZM = \frac{1}{4} και στην ΗΘ τμήμα \Theta N = \frac{1}{4}.  Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΛΜΝ.            Φρουντζής Βασίλης – Αγρίνιο

 

Λύση

393

Από την ισότητα \frac{AK}{A\Delta} = \frac{A\Lambda}{AB} = \frac{3}{4} ,  συμπεραίνουμε ότι ΚΛ//ΒΔ, ομοίως ΜΝ//ΘΖ και από την προφανή παραλληλία των διαγωνίων ΒΔ και ΘΖ προκύπτει ότι ΚΛ//ΜΝ . Από τα ισοσκελή και ορθογώνια τρίγωνα ΑΚΛ, ΗΜΝ, έχουμε K\Lambda = MN( = \sqrt{2}\frac{3}{4}\alpha = \frac{3\sqrt{2}}{4}) οπότε το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο. Διαβάστε όλο το άρθρο »

31 Αυγούστου, 2022

Περιτετράγωνο

Κάτω από: β' λυκείου μαθηματικά κατεύθυνσης —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 11:18 πμ

Έστω το τετράπλευρο ABCD με συντεταγμένες A(0,8), B(1,0), C(5,0), D(7,6)

Να περιγράψετε το τετράπλευρο ABCD σε ένα τετράγωνο SPQT και να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου.

peritetragono

Απάντηση
Διαβάστε όλο το άρθρο »

29 Ιουλίου, 2022

Μια “απόδειξη” ότι κάθε πολυώνυμο δευτέρου βαθμού είναι πάντα θετικό!!!!

Κάτω από: παιχνίδια —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 8:59 μμ

 

howPossible2

Μια “απόδειξη” ότι το τριώνυμο ax^2+bx+c είναι πάντα θετικό, δηλαδή για κάθε x \in R

19 Ιουλίου, 2022

Ο Ευκλείδης Προτείνει… Άσκηση 392 τ. 124

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 9:52 μμ

Ο Ευκλείδης Προτείνει…
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β’ 124 (2022) τ.4/1

Άσκηση 392

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του AH_1,BH_2,\Gamma H_3. Αν B_1,\Gamma _1 οι προβολές των Β και Γ στην ευθεία H_2H_3 να αποδείξετε ότι:
α. H_3B_1=H_2\Gamma _1 β. H_1H_2+H_1H_3=B_1\Gamma _1
Σταματιάδης Βαγγέλης – Ν. Ιωνία
Λύση

Διαβάστε όλο το άρθρο »

10 Ιουλίου, 2022

Απόδειξη τριγωνομετρικής πρότασης χωρίς λόγια

Κάτω από: Λύσεις —— ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ @ 3:27 μμ

Να αποδείξετε ότι \frac{\eta\mu(\alpha+\beta)}{\eta\mu(\alpha-\beta)}=\frac{\epsilon\phi\alpha+\epsilon\phi\beta}{\epsilon\phi\alpha-\epsilon\phi\beta}

 

Απόδειξη χωρίς λόγια

sninsin 1

Μπορείτε να το εξηγήσετε;

Παλιότερα άρθρα »

©2024 S.A.M. Φιλοξενείται από Blogs.sch.gr

Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH