Feed
Άρθρα
Σχόλια

Αρχείο για την κατηγορία 'ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ'

ΜΟΥΣΕΙΟ   ΗΡΑΚΛΕΙΔΩΝ

14

Ήταν μία πολύ ενδιαφέρουσα και πρωτότυπη έκθεση που μας προβλημάτισε και μας εντυπωσίασε ταυτόχρονα.  Γνωρίσαμε τους ξεχωριστούς και περίεργους πίνακες του Escher και του Vasarely μέσα από μία ενδιαφέρουσα παρουσίαση. Αποκομίσαμε πολλές γνώσεις για την τέχνη αλλά και τη Γεωμετρία. Χάρη στην επιτυχημένη παρουσίαση μεγάλωσε το ενδιαφέρον μας για την τέχνη και τη Γεωμετρία (Ελένη Μ.)

3z

 

Οι πίνακες ήταν πανέμορφοι και σχεδόν όλοι  έκρυβαν  ένα «μυστικό». Ο αγαπημένος μου πίνακας είναι η «σχετικότητα» του Escher , που έδειχνε ανθρώπους πάνω σε μία σκάλα,  στο ταβάνι,  στο πάτωμα. Αναρωτήθηκα αν και πού θα συναντηθούν άραγε αυτοί οι άνθρωποι; (Νίκος Λ.)

sx1

Στην Σχετικότητα, ο Escher όχι μόνο εξέφρασε την ιδέα ότι δεν μπορούν να διορθωθούν οι απόψεις, αλλά επίσης εισήγαγε μια ακόμη ιδέα την οποία θα εξερευνούσε ακατάπαυστα: αυτό που αποτελεί οροφή για τη μια ομάδα, είναι ο τοίχος για την άλλη. Αυτό που αποτελεί πόρτα για τη μια ομάδα, είναι καταπακτή για την άλλη. Όλο το περιβάλλον συνδέεται με ατέρμονες σκάλες, μοτίφο που συνδέεται με τη δουλειά του Escher. Ωθούμαστε από την ανάγκη να ακολουθήσουμε τα μονοπάτια και αν και το μυαλό μας λέει ότι είναι ατέρμονα, τα δεχόμαστε ως αληθοφανή.

Μου δόθηκε η ευκαιρία να παρατηρώ εξωπραγματικούς πίνακες, οι οποίοι συνδυάζουν τα μαθηματικά και την τέχνη. Μπόρεσα να κατανοήσω την ερμηνεία του τριγώνου Penrose καθώς και άλλων αδύνατων κατασκευών. Οι εμπειρίες και οι γνώσεις που απέκτησα είναι μοναδικές.(Δημήτρης Β.)

pen pen1

Το τρίγωνο Penrose είναι ένα τρίγωνο με τρεις ορθές γωνίες. Έτσι τουλάχιστον φαίνεται όταν παρατηρήσει κανείς μία-μία τις τρεις γωνίες του. Είναι όμως δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο; Το βίντεο, που ακολουθεί δίνει την απάντηση.

Μεταξύ των πινάκων μου προκάλεσε μεγάλο ενδιαφέρον ο πίνακας Belvedere. Στον πίνακα αυτό απεικονίζεται ένα τριώροφο κτίριο, το οποίο αν παρατηρηθεί προσεκτικά θα ανακαλυφθούν κάποια παράδοξα. Τα παράδοξα αυτά δίνουν την αίσθηση πως το κτίριο αυτό δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε τρεις διαστάσεις, παρά μόνον να σχεδιαστεί στο χαρτί.  Υπάρχει όμως περίπτωση το κτίριο αυτό να κατασκευαστεί στην πραγματικότητα. Αυτό είναι και το πιο ενδιαφέρον σημείο. Η απεικόνιση του στο χώρο είναι απλώς …απίστευτη. (Βασίλης Κ.)

belv

Μέσα από τον πίνακα εξερευνάται η ιδέα, πώς το δισδιάστατο επίπεδο επιτρέπει την δημιουργία κτιρίων, τα οποία δεν θα μπορούσαν να υπάρξουν σε έναν τρισδιάστατο κόσμο. Το κτίριο δείχνει να είναι ένα παλάτι, με ένα μπουντρούμι και έναν φυλακισμένο, που κάνει μια γκριμάτσα. Αλλά, παρατηρείστε το μικρό αγόρι στο πρώτο πλάνο – κρατά το κλειδί του γρίφου, έναν κύβο με ανέφικτη κατασκευή. Το κτίριο, που σχεδίασε ο Escher, έχει δύο παράλληλα δάπεδα, ορθογώνια το ένα με το άλλο και κάποιος μπορεί να αναρριχηθεί με ανεμόσκαλα από μέσα προς τα έξω του κτιρίου!

21

Έγινε μία προσπάθεια να κατανοήσουν οι μαθητές μας ότι όταν ένα αντικείμενο απεικονίζεται στο επίπεδο από μία συγκεκριμένη οπτική γωνία μπορεί να ξεγελάσει το μάτι. Παρατήρησαν το σχήμα του κύβου Necker και τη σκιά του στο επίπεδο, η οποία κάποια στιγμή φαινόταν να ομοιάζει με τον γνωστό μας κύβο.

32

 

Παρατηρείστε προσεκτικά και την παρακάτω εφαρμογή:

cube

 Ανάβαση και Κατάβαση 

connect

 

 

Μου άρεσε η επίσκεψη που κάναμε στο μουσείο. Με εντυπωσίασε πάρα πολύ το πείραμα που κάναμε.(Γεωργία Μ.)

10

Με λίγα και απλά σύνεργα γίναμε μικροί ζωγράφοι. Προσπαθήσαμε να αποτυπώσουμε όσο πιο πιστά γινόταν στον πίνακα μας ( πλεξιγκλάς) ένα απλό γεωμετρικό σχέδιο, το σχέδιο δύο παράλληλων ευθειών. 9 8 117

ααα

Το αποτέλεσμα, μας εξέπληξε οι παράλληλες ευθείες που είχαμε σχεδιάσει στο χαρτί απεικονίστηκαν στο πλεξιγκλάς ως  τεμνόμενες!

50ααα

Τι έγινε εδώ; Τι βλέπει το μάτι μας; Πώς έκαναν οι ζωγράφοι στην αναγέννηση τα σχέδια τους δίνοντας την αίσθηση του βάθους σε αυτά;

Είδαμε έναν πίνακα του Pissaro, στον υπολογιστή και εξηγήσαμε το «κόλπο»  του ζωγράφου. Δύο ευθείες του δρόμου, παράλληλες από όσο γνωρίζουμε στη πραγματικότητα, τέμνονταν και έδιναν την αίσθηση του βάθους στο σχέδιο!

pissaro

12

Δοκιμάσαμε και το αντίστροφο πείραμα. Φωτίσαμε τις τεμνόμενες ευθείες του πίνακα μας και είδαμε τη σκιά τους στο επίπεδο. Ήταν πάλι παράλληλες!

6

13ααα

Και ενώ ξεκαθαρίσαμε τα πράγματα και νοιώσαμε ικανοποίηση και χαρά, χαλαρώσαμε και ξαφνικά βρεθήκαμε μπροστά σε ένα νέο γρίφο:

16 15Ποια πρόταση λέει την αλήθεια; Είχαμε δύο προτάσεις στο μπρος και το πίσω μέρος μιας σελίδας,  που η μία όμως αναιρεί την άλλη. Είδαμε και έναν πίνακα που έκανε το ίδιο πράγμα αυτοαναφορά, όπως μας είπαν ή αυτοομοιότητα.

pin

Στο έργο αυτό, ο Escher παρουσιάζει μια οπτική απάτη! Στη λιθογραφία αυτή, βλέπουμε μια έκθεση χαρακτικών. Στην κάτω αριστερή γωνία, ένας νέος άνδρας κοιτάζει ένα από τα έργα, την απεικόνιση μιας παραλιακής πόλης. Εάν κανείς κοιτάξει κάτω από τα κτίρια στο δεξί μέρος του έργου, θα παρατηρήσει την είσοδο στην πινακοθήκη, πέρα από την οποία βρίσκεται ένας νέος άνδρας ο οποίος κοιτάζει τα χαρακτικά. Έτσι, ο νεαρός είναι ίδιος μέσα στο έργο το οποίο κοιτάζει! Ο Escher δημιούργησε αυτή την αυταπάτη αναπτύσσοντας τη σύνθεση συνολικά 256 φορές κυκλικά, κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ξεκινώντας από την κάτω αριστερή γωνία.  Ο καλλιτέχνης δεν μπόρεσε να συμπληρώσει την εικόνα στο κέντρο (έβαλε εκεί την υπογραφή του) αλλά τελευταίως ολοκληρώθηκε. Το βίντεο που βλέπετε παρακάτω δείχνει τη λύση του προβλήματος.

Λάτρεψα όλους τους καταπληκτικούς και πρωτότυπους πίνακες που είδαμε και νομίζω πως οι καλλιτέχνες χρειάστηκαν πολύ φαντασία και χρόνο να τους σχεδιάσουν. Κατάλαβα ότι πίσω από έναν πίνακα κρύβονται πολλά πράγματα, που στο παρελθόν δεν τα είχα προσέξει. Θα προσπαθήσω να ξαναπάω. (Γεωργία Μ.)

Είδαμε και φτιάξαμε τη λωρίδα του Mobius. Μία ταινία χαρτί κολλημένη με μία στροφή 180 μοιρών έδινε τη δυνατότητα στο μυρμήγκι να περιηγείται και στις δύο πλευρές της ταινίας προχωρώντας μόνο μπροστά!!!

23 22

Η δική μας ταινία τώρα δεν είχε πίσω πλευρά!!! 24 31

Η ξενάγηση ήταν καλή και ο τρόπος που τα εξηγούσε η κυρία με έκανε να καταλάβω τα πάντα. Δεν είχα σκεφτεί ποτέ ότι η τέχνη μπορεί να συνδέεται με τα μαθηματικά. Πέρασα υπέροχα, θέλω να ξαναπάω. ( Μαρία Σ.)

 

Έχω θετικές εντυπώσεις από την επίσκεψη μου στο μουσείο και θα πρότεινα στον καθένα να το επισκεφθεί.(Ναταλία Μ.)

cube2Οι εκπλήξεις συνεχίστηκαν στον άλλο όροφο του μουσείου. Είδαμε ωραιότατα γεωμετρικά σχέδια με φωτεινά χρώματα, ενός άλλου καλλιτέχνη του Vasarelly. Κοιτάζοντας ένα από αυτά προσπαθούσαμε να καταλάβουμε ποιο σχήμα μας θυμίζει. Ακούστηκαν 3 διαφορετικές απόψεις. Άλλος έβλεπε ένα κανονικό εξάγωνο, άλλος μία γωνία- κόγχη δωματίου και άλλος ένα δωμάτιο.  Τι από όλα ήταν; Παρατηρήσαμε ότι ο καλλιτέχνης σε όλα του τα σχέδια χρησιμοποιούσε 3 ημιάξονες με κοινή αρχή για να δώσει στο μάτι την αίσθηση του τρισδιάστατου αντικειμένου. Τα κατάφερνε εξαιρετικά όμως δεν μας έδινε και την πληροφορία του βάθους ή ήθελε να μας προβληματίσει σε αυτό. Είναι μέσα ή έξω; Πάνω ή κάτω; έχει ύψος ή βάθος; Η απεικόνιση ενός αντικειμένου στο επίπεδο  έχει μία διάσταση λιγότερη, μία πληροφορία λιγότερη και από κει αρχίζουν οι παρεξηγήσεις…

33Η υπεύθυνη του μουσείου μας είπε ότι και τα χρώματα που χρησιμοποιούσε μπορεί να λένε κάτι σε μας ή να εκφράζουν ένα συναίσθημα. Oι 4 πίνακες μπροστά μας μπορεί να εκπροσωπούν τις 4 εποχές.

Θα θυμάμαι πάντα την επίσκεψη μου στο μουσείο και εύχομαι στο μέλλον να βλέπω τους πίνακες και να μπορώ να τους εξηγήσω σε μένα αλλά και στους άλλους. (Χρήστος Φ.)

1a

Μου άρεσε που βρέθηκα εκτός σχολείου με τους καθηγητές μου και τις φίλες μου. (Χρύσα Σ.)

41

ααα

ααα

Μουσείο Ηρακλειδών: http://www.herakleidon-art.gr/el/index.cfm?get=home

Μερικοί μαθητές της Γ΄ γυμνασίου επισκεφθήκαμε στον ελεύθερο χρόνο μας το μουσείο Ηρακλειδών.  Αρχικά ξεναγηθήκαμε στον φιλόξενο χώρο της έκθεσης και είδαμε αρκετά εκθέματα των Vasarely και  Escher.

1 7 2 4 8

Σχήματα σχεδιασμένα σε χαρτί που έδιναν την εντύπωση τρισδιάστατου αντικειμένου αλλά και που μας προβλημάτιζαν.  Ποιο είναι το μπροστινό και ποιο είναι το πίσω μέρος τους; Πόσο δυνατή είναι η πραγματοποίηση της κατασκευής ενός τέτοιου αντικειμένου; Τι κοιτάζει ο ήρωας;  Ποια είναι η δομική μονάδα για τον σχεδιασμό του; Με ποιους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς  προέκυψε;   Τελειώνει αυτό ποτέ;  Πόσο πολύ μοιάζει το μέρος με το όλον;

 

 

 

 

 ααα

Στη συνέχεια καθίσαμε γύρω από ένα τραπέζι και ασχοληθήκαμε με ένα νέο κεφάλαιο μαθηματικών τις πιθανότητες. Μιλήσαμε με τα είδη πειραμάτων: πειράματα με βέβαιο αποτέλεσμα, αιτιοκρατικά και πειράματα με αβέβαιο αποτέλεσμα, τύχης.

100

Πραγματοποιήσαμε τα παρακάτω πειράματα:

1ο πείραμα τύχης:

Σε ένα μπιμπερό έχουμε 3 μπίλιες 2 κίτρινες και μία πράσινη.  Όταν το γυρίσω ανάποδα βλέπω στο στόμιο του μόνο δύο από αυτές.  Τι  πιθανότητα έχω να δω δύο κίτρινες μπίλιες; Μία πράσινη και μία κίτρινη;

3

9

ααα

2ο πείραμα αιτιοκρατικό (χάους)

Ακούσαμε για τα fractals, γεωμετρικά σχήματα με αυτοομοιότητα, που δεν μπορούμε να τα εξηγήσουμε με την ευκλείδεια γεωμετρία και κάναμε ένα πείραμα με ενδιαφέρον αποτέλεσμα:

chaos

Πώς θα κατανεμηθούν τα σημεία στο τρίγωνο?

Καθώς η ένδειξη του ζαριού είναι τυχαία κάθε φορά, η διάταξη των σημείων  θα είναι «χαοτική» στο τρίγωνο.  Σωστά ή λάθος?

Μπορείτε να δοκιμάσετε με την εφαρμογή πατώντας στην παραπάνω  εικόνα 

και να βρείτε αναλυτικά οδηγίες για την κατασκευή εδώ

ααα

3ο πείραμα 

Ρίχνουμε 50 ζάρια και ξεχωρίζουμε σε μία στήλη όσα έχουν μονή ένδειξη. Μαζεύουμε τα υπόλοιπα τα ξαναρίχνουμε και ξεχωρίζουμε όσα έχουν μονή ένδειξη και τα τοποθετούμε σε μια στήλη δίπλα από τη προηγούμενη. Επαναλαμβάνουμε μέχρι να τελειώσουν. Τι σχήμα θα φτιάξουν;  γιατί; Τι μας θυμίζει το σχήμα τους από την Άλγεβρα; Τι είδους είναι το πείραμα που κάναμε;

6 10

15 23

Ηλιόλουστη μέρα και την απολαύσαμε

22 21 20

Πρόσφατα μαθητές και εκπαιδευτικοί του σχολείου μας επισκεφθήκαμε την έκθεση: Αρχαία Ελληνική Τεχνολογία, του Κώστα Κοτσανά και την έκθεση: Θεοί και ήρωες της Αρχαίας Ελληνικής μυθολογίας, στο Γουδί. Η μια έκπληξη διαδέχονταν την άλλη κατά την περιήγηση μας στον χώρο. Από τη μια πανέξυπνες κατασκευές που έχουν κατασκευαστεί όπως περιγράφονται από τον Πλάτωνα, Αρχιμήδη, Ηρωνα κλπ για να εξυπηρετούν την καθημερινότητα των Αρχαίων Ελλήνων σε καιρό ειρήνης και πολέμου, από την άλλη υπέροχα μεγαλοπρεπή αγάλματα που προσομοίαζαν Θεούς και Ήρωες της Αρχαίας Ελληνικής μυθολογίας.

Στην έκθεση της Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας είδαμε τους προάγγελους των ρομπότ, της αεριοπροώθησης πυραύλων, του κινηματογράφου-θεάτρου,του ταξίμετρου, της επικοινωνίας, του πιάνου και πολλών αυτόματων έξυπνων κατασκευών. 

1

 

2

3

 

Περισσότερα για τις κατασκευές αυτές στο μουσείο Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας στο Κατάκολο του Πύργου Ηλείας

Εδώ μπορείτε να παρακολουθήσετε ζωντανά μια περιήγηση αρκετών εκθεμάτων της έκθεσης από τον Κο Κοτσανά, στα Τρίκαλα.

www.kotsanas.com

 

Στην έκθεση Θεοί και Ηρωες είχαμε την ευκαιρία να θυμηθούμε ιστορίες της μυθολογίας μας και να φανταστούμε να πρωταγωνιστούν σε αυτές Θεοί και ήρωες της αρχαιότητας. Στην έκθεση καθένας από αυτούς είναι ντυμένος με την ενδυμασία που τον αντιπροσωπεύει σε μια στιγμή επίδειξης και υπενθύμισης βασικής ιδιότητας του. Ο Ποσειδώνας με την τρίαινα, ο Αχιλλέας να κοιτάζει τη φτέρνα του, ο Προμηθέας στον Καύκασο κλπ και ο Πολύφημος στο τέλος της αίθουσας επιβλητικός με το υπερμέγεθος του.

4

 

6 11 13 12 14 10 9 8 7

17 18 22

Περισσότερα για την έκθεση Θεοί και ¨Ηρωες  ΕΔΩ

και φυσικά μετά την έκθεση παίξαμε σε παρακείμενο γήπεδο 
 
 
19 20
 
 

Aντικείμενα σχεδιασμένα στο επίπεδο

ααα

Όταν θέλουμε να απεικονίσουμε ένα αντικείμενο που υπάρχει ή που πρόκειται να κατασκευαστεί, χρησιμοποιούμε το σύστημα των ορθών προβολών. Σχεδιάζουμε την όψη, κάτοψη και τομές του στο χαρτί μας. Σχεδιάζουμε μια σμίκρυνση του αντικειμένου υπό κλίμακα, ώστε να έχουμε ακριβείς πληροφορίες και  αντίληψη για τις μορφές και τα μεγέθη σχημάτων, γραμμών και γωνιών του αντικειμένου. Είναι πολύ σημαντικά σχέδια γιατί μπορούμε να παραστήσουμε τη μορφή του χώρου από μέσα. Χρησιμοποιούμε δε σε συνδυασμό όλα μαζί κατόψεις, τομές και όψεις για να πάρουμε ή να δώσουμε το σύνολο των πληροφοριών για ένα χώρο, για ένα αντικείμενο στο χώρο.


Τα παραπάνω συμπληρώνονται με το αξονομετρικό σύστημα προβολών, οι οποίες στηρίζονται στις κατόψεις και τομές του αντικειμένου αλλά μας δίνουν μια τρισδιάστατη μορφή του. Στο αξονομετρικό σύστημα όλες οι παράλληλες γραμμές διατηρούν τη παραλληλία τους καθώς και το μέγεθος τους τα τμήματα.

aaa


Αντιθέτως στο προοπτικό σχέδιο οι παράλληλες γραμμές φαίνεται ότι συγκλίνουν σε ένα σημείο και τα τμήματα δεν κρατούν το μέγεθός τους αφού αυτά φαίνονται μεγαλύτερα όσο πιο κοντά μας βρίσκονται και μικρότερα όσο απομακρύνονται από εμάς. Σε αυτή τη περίπτωση το σχέδιο πλησιάζει περισσότερο σε αυτό που ¨βλέπει¨ το ανθρώπινο μάτι.

ααα



Με λογισμικά του υπολογιστή που αναπτύχθηκαν τα τελευταία χρόνια μπορούμε να έχουμε ένα συνδυασμό δισδιάστατης και τρισδιάστατης εικόνας. Μπορούμε δηλαδή να έχουμε σε μια εικόνα σχεδόν όλες τις πληροφορίες και μια καλή προσομοίωση της πραγματικότητας.


ααα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ



Παρατηρώντας το σχήμα του τραπεζιού βλέπουμε τις μπροστινές ακμές μεγαλύτερες από αυτές που είναι στη πίσω πλευρά. Οι ευθείες συγκλίνουν στο σημείο φυγής.

ααα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ


Αν παρατηρήσουμε καλά το παραπάνω σχέδιο τραπεζιού, βλέπουμε τρεις γραμμές ίσα ευθύγραμμα τμήματα, που σχηματίζουν ανάμεσα τους ίσες γωνίες 120 μοιρών . Οι ακμές του παραμένουν παράλληλες και ίσες.
Ας δούμε πως σχεδιάζοντας ευθύγραμμα τμήματα στο χαρτί μας, δίνουμε στο σχήμα τρισδιάστατη υπόσταση, με αξονομετρικό σύστημα.

Ακολουθήστε τις οδηγίες και απαντήστε στα ερωτήματα. Φανταστήτε, δοκιμάστε, παίξτε, σκεφθήτε και βγάλτε τα δικά σας συμπεράσματα.

Αρκετοί ζωγράφοι, όπως ο Vasarely έπαιξαν με το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων και τα χρώματα. Σχεδίασαν έργα βάζοντας μας σε αμφιβολίες.  Το μάτι μας μπερδεύεται μια βλέπει ένα κύβο μέσα σε έναν άλλο και την άλλη  ένα κομμάτι κύβου να λείπει από μια γωνία κύβου.


Παρατηρήστε το σχέδιο του Vasarely. Τι βλέπετε; Είσαστε σίγουροι;


Το τρίγωνο Penrose και ο Escher

To 1934 ο Σουηδός καλλιτέχνης Oscar Reutersvärd σχεδίασε ένα τρίγωνο με τρεις ορθές γωνίες. Οπως γνωρίζουμε ένα τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μία ορθή γωνία.  Είναι λοιπόν δυνατόν να υπάρχει στη πραγματικότητα μας ένα τρίγωνο με τρείς ορθές γωνίες; και βέβαια όχι.

Το 1950,  ο μαθηματικός Penrose ανακάλυψε αυτό το «αδύνατο τρίγωνο» σαν την αδυνατότητα στη πιο καθαρή της μορφή.  Τι συμβαίνει όμως; Πώς οι αισθήσεις μας ξεγελιώνται;  πώς μας μεταφέρουν ένα τέτοιο τρίγωνο ως πραγματικό;

Ο καλλιτέχνης Escher εμπνεύστηκε από το τρίγωνο αυτό και το χρησιμοποίησε σε πολλά έργα του για να μας προβληματίσει και να μας μεταφέρει τις ιδέες του.

Ασχοληθήτε με την εφαρμογή που ακολουθεί για να απαντήσετε στα παραπάνω ερωτήματα.


Στο Περθ της Δυτικής Αυστραλίας κατασκευάστηκε το τρίγωνο Penrose δείτε το βίντεο:


Περισσότερα :

Για το τρίγωνο Penrose:
http://mathworld.wolfram.com/PenroseTriangle.html

http://psylux.psych.tu-dresden.de/i1/kaw/diverses%20Material/www.illusionworks.com/html/impossible_triangle.html

Για τον Escher και τα έργα του:

http://www.herakleidon-art.gr/el/index.cfm?get=exhibits&show=past&ItemID=31

http://www.herakleidon-art.gr/el/detail.cfm?ItemID=31&PhotoID=105&get=exhibits&StartRow=22

Οφθαλμαπάτη

Οφθαλμαπάτη ή όχι;

Το μάτι μας έχει μάθει να ξεχωρίζει πιο αντικείμενο είναι πιο κοντά σε εμάς σε σχέση με ένα άλλο, συγκρίνοντας τα μεγέθη τους. Για παράδειγμα στη φωτογραφία βλέπουμε μαθητές να παρελαύνουν. Χωρίς δεύτερη σκέψη μπορούμε να πούμε ότι οι μαθητές που βλέπουμε στο κέντρο και αριστερά στη φωτογραφία, είναι πιο κοντά στο φακό ενώ οι άλλοι που φαίνονται στα δεξιά σε μικρότερο μέγεθος, βρίσκονται μακρύτερα.


Στη δεντροστοιχία που βλέπουμε τα δέντρα που βρίσκονται αριστερά είναι πιο κοντά στο φακό σε σχέση με τα άλλα στα δεξιά, που φαίνονται μικρότερα.


Με τον ιδιο τρόπο αναγνωρίζουμε το μπροστινό ή το πίσω μέρος ενός αντικειμένου. Για παράδειγμα το παραπάνω αυτοκίνητο  έχει το πίσω μέρος του πιο κοντά μας, ενώ το μπροστινό του μακρύτερα από εμάς.

Αρα γε αυτό που φαίνεται είναι πάντα αυτό που είναι; Με αυτο το θέμα ασχολήθηκαν επιστήμονες όλων των ειδικοτήτων αλλά και ζωγράφοι. Ζωγράφοι όπως ο Vasarely σχεδίασαν αντικείμενα με τέτοιο τρόπο ώστε να μας προβληματίσουν για το «είναι» και το «φαίνεσθαι». Ευθείες, άξονες, γεωμετρικά σχήματα, πλούσια χρώματα παίζουν για να μας γελάσουν.

Κοιτάξτε στην εικόνα που ακολουθεί,

το μικρό τετράγωνο φαίνεται να είναι πίσω στο βάθος.

Σίγουρα;


Δοκιμάστε το πείραμα και δυναμώστε τη φαντασία σας…


Δείτε περισσότερα έργα του Vasarely στο μουσείο Ηρακλειδών :


Το τετράγωνο του Sierpinski

Το τετράγωνο του Sierpinski – Μοτίβα

Εμφανίζουμε κάθε μία λίστα τετραγώνων χωριστά και μελετάμε τον τρόπο δημιουργίας του σχήματος. Μελετάμε το μήκος της πλευράς των τετραγώνων και τον αριθμό τους, τη περίμετρο και το εμβαδό τους.

Εμφανίζουμε τη μία λίστα κατόπιν της άλλης και περιγράφουμε το σχήμα που προκύπτει. Επαναλαμβάνουμε τη προηγούμενη μελέτη για το τελικό σχήμα.

Αν υποθέσουμε ότι επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία πολλές πολλές φορές έχουμε το τετράγωνο του Sierpinski.



Πατήστε την εικόνα παραπάνω για να πειραματιστείτε, ενναλακτικά εδώ :Sierpinski_square

Mπορούμε να υπολογίσουμε τη περίμετρο και το εμβαδό της επιφάνειας μεταξύ του σχήματος όλων των τετραγώνων (ροζ χρώματος) και του αρχικού τετραγώνου;

Τι παρατηρούμε;

Το τρίγωνο του Sierpinski

Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ.

σχήμα 1

Βρίσκουμε τα μέσα των πλευρών του και σχηματίζουμε τα τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα από τα οποία αφαιρούμε το μεσαίο.Εχουμε το βασικό μοτίβο, σχήμα 1.

Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία στα τρίγωνα που εναπομένουν.

Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία πάρα πολλές φορές το τρίγωνο που δημιουργείται ονομάζεται τρίγωνο του Sierpinski.

Είναι ενδιαφέρον να υπολογίσουμε τη περίμετρο και το εμβαδό αυτού του τριγώνου.Για ν επαναλήψεις, όπου ν μεγάλος αριθμός, το εμβαδό του τείνει να γίνει 0 τ.μ, ενώ η περίμετρος του τείνει στο άπειρο. Ας δοκιμάσουμε πατώντας πάνω στην εικόνα που ακολουθεί.

Ας δούμε ένα άλλο τρίγωνο, το τρίγωνο Pascal .

Πιστεύετε ότι έχει κάποια σχέση με το τρίγωνο του Sierpinski ;

Οι αριθμοί Fibonacci 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

προκύπτουν ως εξής: 1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, ….

Πιστεύετε ότι έχουν σχέση με το τρίγωνο του Pascal;

Σύγκριση τμημάτων

Παρατηρήστε προσεκτικά το σχήμα που ακολουθεί και βρείτε το μεγαλύτερο σε μήκος τόξο.

Πατήστε πάνω στο σχήμα και πειραματιστείτε με το αρχείο Geogebra, αξιοποιώντας τα κατάλληλα εργαλεία που διατίθενται ώστε να στηρίξετε την άποψή σας.

Επιμένετε στην αρχική σας επιλογή;

ΟΦΘΑΛΜΑΠΑΤΕΣ !

Οφθαλμαπάτη ή πραγματικότητα;

Οι ευθείες που σχηματίζουν τις σειρές τετραγώνων του σχήματος, μετά από προσεκτική παρατήρηση φαίνονται να μην είναι παράλληλες.

Εσείς τι γνώμη έχετε;

Πατήστε πάνω στην εικόνα και πειραματιστείτε με το αρχείο geogebra που θα ανοίξει, για να βεβαιωθείτε.

Παλιότερα Άρθρα »

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων