popiardv's blog

1) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ

Δίνονται τρεις αριθμοί α, β, γ. Μπορούμε πάντα να κατασκευάζουμε τρίγωνο με πλευρές τα μήκη α, β, γ;

Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τα α, β, γ ώστε να κατασκευάζεται τρίγωνο;

Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

• Το παραπάνω τρίγωνο που βλέπετε έχει κατασκευαστεί με μήκη πλευρών 9.4εκ, 8.3εκ,  6.6εκ.

Μπορείτε να κατασκευάσετε τρίγωνο με μήκη πλευρών του 4εκ, 6εκ, 15εκ;  Ναι ή όχι και γιατί;

ααα

2) ΥΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ

Πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο; Που τέμνονται; Από τι εξαρτάται η θέση του σημείου τομής τους;

Ασχοληθήτε με τη δραστηριότητα που προτείνεται.

(Πατήστε πάνω στην εικόνα τριγώνων)

Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

3) ΤΥΠΟΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ

Να βρείτε τον τύπο εμβαδού τριγώνου, όταν είναι γνωστός ο τύπος εμβαδού παραλληλογράμμου.

(Πατήστε πάνω στην εικόνα που ακολουθεί)

Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

• Να αποδείξετε ότι ο τύπος του εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ είναι:

(ΑΒΓ) = (α .υα)/2= (β . υβ)/2 =(γ . υγ) /2

οπου α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου και υα, υβ, υγ είναι τα αντίστοιχα ύψη.

ααα

4) ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Να βρείτε τη σχέση των εμβαδών τριγώνων με ίδια/ίση βάση και ίδιο/ίσο, το αντίστοιχο ύψος.
(Πατήστε πάνω στην εικόνα που ακολουθεί)

Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

• Τα τρίγωνα του παρακάτω σχήματος είναι ισοδύναμα; Γιατί;

Οι μαθητές σε δυάδες απαντούν στα παρακάτω ερωτήματα:

1)Να συγκρίνετε την έκταση που καταλαμβάνουν τα δύο σχήματα στο επίπεδο.

Χρησιμοποιήστε το κατάλληλο σύμβολο <,  = ,  >  για να συμπληρώσετε τη σχέση:

(ΑΒΓΔ) ….. (ΕΖΗ)

Εξηγήστε στην ολομέλεια της τάξης τη μέθοδο που ακολουθήσατε.

2)Τα δύο τρίγωνα που ακολουθούν προέκυψαν με αντιγραφή και επικόλληση. Καταλαμβάνουν την ίδια έκταση;

ΔΥΟ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΤΑΥΤΙΖΟΝΤΑΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΜΒΑΝΟΥΝ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΕΚΤΑΣΗ

3)Υπάρχουν σχήματα που ενώ δεν ταυτίζονται καταλαμβάνουν ίδια έκταση;

?

Δύο σχήματα που καταλαμβάνουν την ίδια έκταση στο επίπεδο λέγονται ισοδύναμα και δεν είναι απαραίτητα ίσα.

4)Υπάρχει κοινός τρόπος να συγκρίνουμε την έκταση που καταλαμβάνουν δύο σχήματα στο επίπεδο;

?

5)Να μετρήσετε τα τετραγωνάκια σε κάθε σχήμα και να βρείτε την έκταση που καταλαμβάνουν.

(ΑΒΓΔ) =  …                                                   (ΕΖΗ)= …

Να συμπληρώσετε το κατάλληλο σύμβολο <,  = ,  >  για να συμπληρώσετε τη σχέση:

(ΑΒΓΔ) ….. (ΕΖΗ)

6) Να μετρήσετε τα τετραγωνάκια σε κάθε σχήμα και να βρείτε την έκταση που καταλαμβάνουν.

(ΑΒΓΔ) =  …                                                   (ΕΖΗ)= …

Να συμπληρώσετε το κατάλληλο σύμβολο <,  = ,  >  για να συμπληρώσετε τη σχέση:

(ΑΒΓΔ) ….. (ΕΖΗ)

7)Να κατασκευάσετε ένα δικό σας σχήμα με 12 τετράγωνα.

8)Να κατασκευάσετε ένα δικό σας γεωμετρικό σχήμα με 12 τετράγωνα.

9)Τα παρακάτω σχήματα είναι δεκτά; (Αποτελούνται από 12 τετράγωνα;)

10) Υπάρχει σχέση ανάμεσα στον αριθμό τετραγωνιδίων του σχήματος και των αριθμών που δηλώνουν το μήκος και το ύψος του σχήματος;

?

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΠΛΕΥΡΑΣ / ΥΨΟΥΣ ΜΕ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ

11) Ενα ορθογώνιο έχει πλευρές μήκους 5cm , 3 cm. Διπλασιάζω τη μία του πλευρά. Ποιο είναι το εμβαδό του νέου ορθογωνίου;

12) Ενα πλάγιο παραλληλόγραμμο έχει πλευρά βάσης 5cm και ύψους 3 cm.Διπλασιάζω τη πλευρά ή το ύψος του.
Ποιο είναι το εμβαδό του νέου ορθογωνίου;

13) Ενα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές μήκους 5cm και  3 cm. Διπλασιάζω τη μία του πλευρά. Ποιο είναι το εμβαδό του νέου τριγώνου;

14) Συζητήστε με τους συμμαθητές της ομάδας σας τη σχέση ανάμεσα στον αριθμό των τετραγωνιδίων του σχήματος και των αριθμών που δηλώνουν το μήκος και το ύψος του σχήματος.

15)

ΤΥΠΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

16)

17)

ΕΡΩΤΗΜΑ :

Υπάρχει σχέση μεταξύ του αριθμού των πλευρών ενός πολυγώνου και του αριθμού των διαγωνίων του και ποια είναι αυτή; ήταν το ερώτημα που μας απασχόλησε στο μάθημα.

Μια ομάδα μαθητών κατασκεύασαν αρκετά πολύγωνα και τις διαγώνιες τους επιμένοντας να βρουν σχέσεις μεταξύ τους. Μέτρησαν τον αριθμό διαγωνίων στο τετράπλευρο και βρήκαν 2 στο πεντάγωνο 5, στο εξάγωνο 9, στο επτάγωνο 14 και στο οκτάγωνο 20.

Τοποθέτησαν τα ζευγάρια τιμών τους στο επίπεδο για να δουν μια πιθανή σχέση τους.

Το αποτέλεσμα ήταν το παρακάτω σχήμα :

Α!!! είπαν τα σημεία δεν είναι σκόρπια στο επίπεδο έχουν σχέση! τα ζευγάρια τιμών τους βρίσκονται πάνω σε μια καμπύλη!

Θυμήθηκαν μια καμπύλη που είχαν κάνει στα πρώτα μαθήματα συναρτήσεων τη παραβολή

y =  0.5 * x^2. Μήπως μπορούμε να προσδιορίσουμε καλύτερα τη σχέση που ψάχνουμε;

Στο λογισμικό geogebra κατασκεύασαν τη

y = α* x^2

και αλλάζοντας τις τιμές του συντελεστή α προσπάθησαν να προσεγγίσουν τα σημεία τους. Απογοητεύτηκαν γιατί δεν ταίριαζε ακριβώς όσο και αν προσπαθούσαν. Φαινόταν η γνωστή καμπύλη αλλά σαν να είχε τη κορυγή της κάπου αλλού από το Ο(0, 0). Μήπως να συμπλήρωναν τη σχέση με άλλες παραμέτρους; δοκίμασαν να προσθέσουν μία ακόμη και έφτιαξαν τη συνάρτηση y=a*x^2 +b . Τώρα ήταν καλύτερα τα πράγματα, αλλά  και η νέα καμπύλη δεν ταίριαζε. Κάποιος πρότεινε να βάλλουν άλλη μια παράμετρο και έφτιαξαν τη συνάρτηση y=a*(x-c)^2 + b . ΤΕΛΕΙΑ ! Τώρα κατάφεραν να προσεγγίσουν αρκετά καλά τα σημεία και έτσι ανακάλυψαν τη σχέση που έψαχναν.

Ο αριθμός x των πλευρών πολυγώνου και ο αριθμός y των διαγωνίων του έχουν σχέση:

y=  0.5 (x-1.5)^2  – 1.13

Στη συνέχεια μας απασχόλησε το ερώτημα αν οι σχέσεις που βρήκαν όλες οι ομάδες ήταν ίδιες ή διαφορετικές;

Από το λογισμικό του Geogebra έβλεπαν εναλλακτικά τον τύπο της συνάρτησης y=0.5*x^2 – 1.5*x

Ζήτησαν τη βοήθεια μαθητών της επόμενης τάξης και πήραν απάντηση ότι

x (x-3)/2 =(x^2-3x)/2 = 0.5 (x – 1.5)^2 – 1.125

Ναι η προσέγγιση που είχαν κάνει ήταν αρκετά καλή και επομένως η ακριβής σχέση είναι:

y=  0.5 (x – 1.5)^2  – 1.125 ,

όπου x ακέραιος και x>3

ή y =(x-3)*x / 2

όλες οι ομάδες μαθητών είχαν βρει την ίδια σχέση με διαφορετικούς τρόπους!!!

Αν θέλετε να πειραματιστείτε με το ερώτημα δοκιμάστε ΕΔΩ

ΕΡΓΑΣΙΑ:

Α) Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα παρακάτω πολύγωνα σε δύο κατηγορίες;

Β) Ποιο ήταν το κριτήριο σας στη παραπάνω ομαδοποίηση;

Γ) Ταξινομήστε τα γνωστά σας τετράπλευρα (τραπέζιο, παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο) στις δύο κατηγορίες πολυγώνων, που δημιουργήσατε πριν.

Αυτά τα ερωτήματα μας απασχόλησαν στο μάθημα.

Οι μαθητές πρότειναν τον διαχωρισμό τους σε πολύγωνα

α) με αριθμό πλευρών < 6 και αριθμό πλευρών >5

β) σε πολύγωνα που έχουν ίσες ή όχι πλευρές.

γ)σε πολύγωνα που έχουν ίσες ή όχι πλευρές και γωνίες.

δ) σε κυρτά και μη κυρτά.

Ο τελευταίος διαχωρισμός αποφάσισαν ότι ήταν άστοχος αφού όλα τα πολύγωνα του παραπάνω σχήματος  είναι κυρτά. Στη κουβέντα που ακολούθησε είπαν ότι από όλες τις παραπάνω προτεινόμενες κατηγορίες έχει ενδιαφέρον να εξετάσουμε τα πολύγωνα που έχουν ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Αυτά μπορεί να έχουν και περισσότερες  ιδιότητες, όπως άξονες συμμετρίας κλπ.

ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

Ονομάσαμε κανονικό πολύγωνο, το πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του μεταξύ τους ίσες και όλες τις γωνίες του μεταξύ τους ίσες. Τέτοια πολύγωνα είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνο, το κανονικό εξάγωνο κλπ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ  ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ  ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ

Φτιάξαμε ένα κύκλο στο τετράδιο μας και μας ζητήθηκε να τοποθετήσουμε 5 σημεία σε αυτόν ώστε να κατασκευάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο, ένα πεντάγωνο με όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες του ίσες. Μερικοί μαθητές ξεκινήσαμε βάζοντας 5 σημεία στο κύκλο με το μάτι.

Η καθηγήτρια μας είπε να είναι ακριβής η κατασκευή μας οπότε  ξεκινήσαμε από ένα σημείο Α του κύκλου και συνεχίσαμε με τη βοήθεια του διαβήτη και του χάρακα να σχεδιάζουμε ίσες χορδές. Η ιδέα μας ήταν εξαιρετική αλλά η τελευταία πλευρά δεν ήταν ίση με όλες τις άλλες… Τι έπρεπε να κάνουμε;

-Η καθηγήτρια μας είπε να σκεφτούμε τι ακριβώς θέλουμε να κάνουμε.

–Θέλουμε να είναι όλες οι πλευρές ίσες.

-Μας ρώτησε ποια άλλα στοιχεία στο σχήμα  τότε θα είναι ίσα;

-Σκεφτήκαμε ότι θέλουμε όλες οι πλευρές να είναι ίσες άρα και τα αντίστοιχα τόξα και τότε καταλάβαμε ότι πρέπει να χωρίσουμε τον κύκλο σε 5 ίσα τόξα.Αυτό είναι εύκολο κάθε τόξο θα έχει άνοιγμα 36Ο / 5 = 72  μοίρες!

Οπότε ξαναπροσπαθήσαμε τη κατασκευή κανονικού πενταγώνου και διαπιστώσαμε ότι πέτυχε! Ξεκινήσαμε από ένα σημείο του κύκλου και μετρούσαμε τώρα επίκεντρες γωνίες 72 μοιρών. Ετσι κατασκευάσαμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Πράγματι όλες οι πλευρές του είναι τώρα ίσες αφού αντιστοιχούν σε ίσα τόξα 72 μοιρών, όσο και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία, αλλά και οι γωνίες του είναι ίσες και μάλιστα 108 μοιρών η κάθε μία, ως εγγεγραμμένη σε τόξο 3* 72 = 216 μοιρών. Με παρόμοιο τρόπο θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε ένα οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο!

ΠΕΡΙΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ  ΚΥΚΛΟΣ

Σύμφωνα με τη προηγούμενη διαδικασία κατασκευάζουμε ένα κανονικό πολύγωνο του οποίου οι κορυφές είναι σημεία ενός κύκλου.Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγγεγραμμένος κύκλος του κανονικού πολυγώνου.

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ

Η επίκεντρη γωνία που μας οδήγησε στη κατασκευή του κανονικού πενταγώνου είναι ένα ιδιαίτερο στοιχείο του κανονικού πολυγώνου. Ορίζουμε κεντρική γωνία του κανονικού ν-γωνου την επίκεντρη γωνία ω = 360/ν μοίρες.

ΓΩΝΙΑ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ

Ας προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε τη γωνία ενός κανονικού πολυγώνου. Από τα ισοσκελή τρίγωνα που σχηματίζονται σε οποιοδήποτε κανονικο πολύγωνο έχουμε φ/2 + φ/2 + ω = 180 μοίρες ή φ+ω=180 μοίρες.

φ =180 – ω

Στη συνέχεια κάναμε δύο εφαρμογές των παραπάνω τύπων για να βρούμε α)τη γωνία ενός κανονικού δεκαγώνου και β) το κανονικό πολύγωνο που έχει γωνία 162 μοιρών.

Ενας μαθητής παρατήρησε

–κα όσο αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου μεγαλώνει και η γωνία του; –η καθηγήτρια σχημάτισε με τα δύο της χέρια τη γωνία 60 μοιρών του ισοπλεύρου τριγώνου και τα άνοιγε κάθε φορά περισσότερο για να αναπαραστησει τη γωνία τετραγώνου, κανονικού πενταγώνου κλπ. Πράγματι για μεγάλο αριθμό πλευρών αντιστοιχεί μεγάλη γωνία.

Αρα γε ποια σχέση μπορεί να συνδέει αυτά τα δύο ποσά;

Μήπως υπάρχει σχέση, η οποία να συνδέει τον αριθμό πλευρών με τη κεντρική γωνία του κανονικού πολυγώνου και ποια είναι αυτή;

Θα πρέπει να παραστήσουμε σημεία στο επίπεδο με τη σχέση:  (ν , 180-ω) =(ν , 180 – 360/ν)

και με τη σχέση (ν , ω) =(ν , 360/ν).

Με τη χρήση του λογισμικού Geogebra και τη βοήθεια δρομέα ν δίνοντας τιμές  σε αυτόν από 3 έως 20 και με βήμα 1 μπορούμε να έχουμε όλα αυτά τα σημεία και να παρατηρήσουμε τη σχέση τους.

Αν δυσκολευόμαστε με το λογισμικό ας το δοκιμάσουμε: ΕΔΩ.

ΕΡΩΤΗΜΑ :

Υπάρχει σχέση μεταξύ του αριθμού των πλευρών ενός πολυγώνου και του αριθμού των διαγωνίων του και ποια είναι αυτή; ήταν το ερώτημα που μας απασχόλησε τη προηγούμενη φορά στο μάθημα.

Ξεκινήσαμε ως μικροί εξερευνητές και μελετήσαμε το ερώτημα σχεδιάζοντας πολύγωνα και τις διαγώνιες τους, ψάχνοντας  για σχέσεις.

Παρατηρήσαμε ότι: το τετράπλευρο έχει 2 διαγώνιες, το πεντάγωνο 5 και το εξάγωνο 9. Οι αριθμοί αυτοί δεν φαινόταν να έχουν σχέση …Για το εξάγωνο δε, υπήρχαν διχογνωμίες άλλοι μετρούσαμε 9 διαγώνιες και άλλοι 8. Αν προχωρούσαμε σε σχεδιασμό πολυγώνου με περισσότερες πλευρές δεν ελπίζαμε σε τίποτε αφού οι διαγώνιες θα είναι περισσότερες και τότε θα μπερδευόμασταν σίγουρα όλοι. Να το δούμε κάπως αλλοιώς; πως;

Κάθε φορά που θέλαμε να σχεδιάσουμε όλες τις διαγώνιες ενός πολυγώνου, είχαμε παρατηρήσει ότι για να είμαστε σίγουροι ότι δεν ξεχάσαμε κάποια, έπρεπε να εξαντλήσουμε τη κατασκευή ολων των διαγωνίων που άγονται από μια κορυφή και μετά να συνεχίσουμε σε επόμενη. Μήπως να δούμε πόσες διαγώνιες άγονται από μία κορυφή;

Ωραία αν ενώσουμε μία κορυφή ν-γώνου με όλες τις υπόλοιπες ν-1 κορυφές, τότε δύο τμήματα από αυτά που σχηματίζονται είναι πλευρές του (αφού σχηματίζονται από δύο διαδοχικές κορυφές) και όλα τα υπόλοιπα είναι διαγώνιες. Αρα από κάθε μία κορυφή άγονται ν-3 διαγώνιες. Τέλεια τώρα μπορούμε να πούμε ότι όλες οι διαγώνιες είναι ν(ν-3) αφού αυτό συμβαίνει για κάθε μια κορυφή του. Ομως θυμόμαστε ότι όταν σχεδιάζαμε τις διαγώνιες μερικές ήταν ήδη σχεδιασμένες από προηγούμενη φορά (όταν τις σχεδιάζαμε από την άλλη κορυφή) άρα είναι διπλομετρημένες. Το βρήκαμε!!! Η σχέση που ψάχναμε εμφανίστηκε:

Πλήθος διαγωνίων ν-γώνου = ν(ν-3)/2,

ν φυσικός και ν>3

Πολυγωνική γραμμή:

Τεθλασμένη ή πολυγωνική γραμμή είναι το σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, πεπερασμένα σε αριθμό, τα οποία δεν αποτελούν ευθεία γραμμή.

ααα

Πολύγωνο:

Μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή λέγεται πολύγωνο. Ένα πολύγωνο με ν πλευρές λέγεται ειδικότερα ν-γωνο ή ν-πλευρο. Προφανώς ισχύει ν>2. Ενα πολύγωνο με τέσσερις πλευρές ονομάζεται τετράπλευρο. Ενα πολύγωνο με τρεις πλευρές λέγεται τρίγωνο.

ααα

Πολυγωνικό χωρίο:

Το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σημεία λέγεται πολυγωνικό χωρίο.

ααα

ΚΥΡΤΑ ΚΑΙ ΜΗ ΚΥΡΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ:

Ένα πολύγωνο θα λέγεται κυρτό  αν το πολυγωνικό χωρίο του είναι κυρτό σύνολο και μη κυρτό ή κοίλο στην αντίθετη περίπτωση.

Ένα τρίγωνο είναι πάντα κυρτό.

ααα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ:

Ενα ν-γωνο  έχει ν κορυφές , ν πλευρές και ν  γωνίες.

ααα

Γωνία του πολυγώνου:

Εσωτερική γωνία ενός πολυγώνου λέμε κάθε κυρτή γωνία που ορίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου.

ααα

Εξωτερική γωνία του πολυγώνου:

Εξωτερική γωνία θα λέμε κάθε εφεξής και παραπληρωματική μίας εσωτερικής του γωνίας.

Διαγώνιος πολυγώνου:

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές πολυγώνου ονομάζεται διαγώνιος  του πολυγώνου.

ΕΡΩΤΗΜΑ :

Υπάρχει σχέση μεταξύ του αριθμού των πλευρών ενός πολυγώνου και του αριθμού των διαγωνίων του και ποια είναι αυτή;

ααα

ααα
Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι πολύγωνα;

ααα

ααα

ΕΡΓΑΣΙΑ:

Α) Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα παρακάτω πολύγωνα σε δύο κατηγορίες;

Β) Ποιο ήταν το κριτήριο σας στη παραπάνω ομαδοποίηση ;

Γ) Ταξινομήστε τα γνωστά σας τετράπλευρα (τραπέζιο, παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο) στις δύο κατηγορίες πολυγώνων, που δημιουργήσατε πριν.