Feed
Άρθρα
Σχόλια

Αρχείο για την κατηγορία 'ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄'

eratoΤο πείραμα στο σχολείο μας:DSC02321

 

Την 23η Σεπτεμβρίου το τμήμα Α3 του σχολείου μας συμμετείχε στο πείραμα του Ερατοσθένη για πρώτη φορά. Την ημέρα εκείνη, ημέρα ισημερίας και γύρω στις 12 το μεσημέρι πολλά σχολεία στον κόσμο επανάλαβαν το πείραμα του Ερατοσθένη.  Οι μαθητές μέτρησαν τη σκιά μιας ράβδου μήκους ενός μέτρου,  η οποία έπρεπε να είναι κάθετη στο επίπεδο της γης (τοπικά). Οι ακτίνες του ήλιου είναι πάντα παράλληλες μεταξύ τους αλλά οι ράβδοι σχημάτιζαν διαφορετικό μήκος σκιάς ανάλογα με το πόσο βορειότερα από τον Ισημερινό βρισκόταν ή όχι το μέρος που έλαβε μέρος το πείραμα.

DSC02329

Από το πρωί στην περιοχή του σχολείου μας ο ουρανός ήταν πολύ συννεφιασμένος και υπήρχε μια σχετική αγωνία για την πραγματοποίηση ή όχι του πειράματος. Ομως κατά τις 12 το μεσημέρι τα σύννεφα υποχώρισαν και ο ήλιος μπήκε μέσα στην τάξη με αποτέλεσμα να αποφασιστεί να γίνει το πείραμα στο χώρο της αίθουσας. Οι μαθητές χωρίστηκαν σε δύο ομάδες και παρατηρούσαν το μήκος της σκιάς της ράβδου να μειώνεται συνεχώς. Ολοι εργάζονταν συντονισμένα. Κάποιοι κρατούσαν τη ράβδο,  μερικοί άλλοι μετρούσαν το μήκος της σκιάς και άλλοι σημείωναν την ώρα του πειράματος και την αντίστοιχη μέτρηση της σκιάς της ράβδου.

DSC02326 DSC02327

Μία ομάδα είχε πρόβλημα με τη κατακόρυφη θέση της ράβδου και κρέμασαν από το πάνω μέρος της ένα βαρίδι.

DSC02349 DSC02332 DSC02343

Στις 12:25:12, ώρα τοπικής μεσουράνησης οι μαθητές σημείωσαν το μικρότερο μήκος της σκιάς της ράβδου και για ένα δεκάλεπτο μετά παρατηρούσαν την συνεχή αύξηση της. 

DSC02356 DSC02340

Στη διάρκεια της σχολικής χρονιάς, με την πορεία των μαθημάτων οι μαθητές του Α3 θα κατανοήσουν και θα εξηγήσουν το πείραμα. Θα υπολογίσουν την περίμετρο της γης σύμφωνα με τα δεδομένα του πειράματος τους και … θα μας ενημερώσουν.

και

λίγα λόγια για τον Ερατοσθένη:

1

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη, στη σημερινή Λιβύη, έζησε, εργάστηκε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια, πρωτεύουσα της Αιγύπτου. Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ισχυριζόταν ότι επίσης σπούδασε για κάποια χρόνια στην Αθήνα. Το 236 π.Χ. ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ΄ τον Ευεργέτη βιβλιοθηκάριος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχόμενος τον Ζηνόδοτο. Δεν παντρεύτηκε ποτέ. Το 194 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε.

Ήταν ο πρώτος που υποστήριξε ότι η Γη είναι μια σφαίρα που βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος, το οποίο περιστρέφεται με συχνότητα εικοσιτεσσάρων ωρών. Επινόησε επίσης το σύστημα των γεωγραφικών παραλλήλων. Διατύπωσε δε την υπόθεση, ότι είναι δυνατόν να ταξιδέψουμε κατά μήκος μιας γεωγραφικής παράλληλου ξεκινώντας από την Ιβηρία και να φτάσουμε έως την Ινδία, διαπλέοντας τον Ατλαντικό ωκεανό. Ο Στράβων που διέσωσε και μας μετέφερε την θεωρία αυτή, προσέθεσε μάλιστα, ότι στο ταξίδι αυτό ίσως να συναντούσαμε νέα άγνωστα μέρη ξηράς.

Ένα από τα πιο σημαντικά πειράματα που πραγματοποιήθηκε στην ιστορία της ανθρωπότητας ήταν η μέτρηση της περιφέρειας της γης από τον Ερατοσθένη τον 3 π.Χ. αιώνα. Ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε ότι στη Συήνη (σημερινό Ασουάν) ο ήλιος κατά το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου ρίχνει τις ακτίνες του κάθετα στον ορίζοντα και φωτίζει τον πυθμένα ενός πηγαδιού. Την ίδια στιγμή στην Αλεξάνδρεια οι ακτίνες του ηλίου σχηματίζουν μια γωνία 7ο με την κατακόρυφο του τόπου. Στη συνέχεια μέτρησε την απόσταση Αλεξάνδρειας – Συήνης και υπολόγισε, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί, με αξιοζήλευτη ακρίβεια την περιφέρεια της γης.

Μοτίβα Moire

moire3

Παρατήρησε τα απλά μοτίβα που δίνονται. Διερεύνησε τα σημεία μετακίνησης ή περιστροφής τους. Προσπάθησε να φτιάξεις μία νέα σύνθεση με αυτά. Παρατήρησε την παρακάτω εικόνα και δοκίμασε να τη δημιουργήσεις. Για να πειραματιστείς πάτα στην εικόνα που ακολουθεί ή ΕΔΩ

Καλή επιτυχία!

moire1

 

 

1

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη, στη σημερινή Λιβύη, έζησε, εργάστηκε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια, πρωτεύουσα της Αιγύπτου. Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ισχυριζόταν ότι επίσης σπούδασε για κάποια χρόνια στην Αθήνα. Το 236 π.Χ. ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ΄ τον Ευεργέτη βιβλιοθηκάριος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχόμενος τον Ζηνόδοτο. Δεν παντρεύτηκε ποτέ. Το 194 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε.

Ήταν ο πρώτος που υποστήριξε ότι η Γη είναι μια σφαίρα που βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος, το οποίο περιστρέφεται με συχνότητα εικοσιτεσσάρων ωρών. Επινόησε επίσης το σύστημα των γεωγραφικών παραλλήλων. Διατύπωσε δε την υπόθεση, ότι είναι δυνατόν να ταξιδέψουμε κατά μήκος μιας γεωγραφικής παράλληλου ξεκινώντας από την Ιβηρία και να φτάσουμε έως την Ινδία, διαπλέοντας τον Ατλαντικό ωκεανό. Ο Στράβων που διέσωσε και μας μετέφερε την θεωρία αυτή, προσέθεσε μάλιστα, ότι στο ταξίδι αυτό ίσως να συναντούσαμε νέα άγνωστα μέρη ξηράς.

Ένα από τα πιο σημαντικά πειράματα που πραγματοποιήθηκε στην ιστορία της ανθρωπότητας ήταν η μέτρηση της περιφέρειας της γης από τον Ερατοσθένη τον 3 π.Χ. αιώνα. Ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε ότι στη Συήνη (σημερινό Ασουάν) ο ήλιος κατά το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου ρίχνει τις ακτίνες του κάθετα στον ορίζοντα και φωτίζει τον πυθμένα ενός πηγαδιού. Την ίδια στιγμή στην Αλεξάνδρεια οι ακτίνες του ηλίου σχηματίζουν μια γωνία 7ο με την κατακόρυφο του τόπου. Στη συνέχεια μέτρησε την απόσταση Αλεξάνδρειας – Συήνης και υπολόγισε, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί, με αξιοζήλευτη ακρίβεια την περιφέρεια της γης.

 

Στις 21 Μαρτίου 2014 γύρω στις 12 το μεσημέρι πολλά σχολεία στον κόσμο θα επαναλάβουν το πείραμα του Ερατοσθένη.  Οι μαθητές θα μετρήσουν τη σκιά μιας ράβδου μήκους ενός μέτρου,  η οποία θα είναι κάθετη στο επίπεδο της γης (τοπικά). Οι ακτίνες του ήλιου είναι πάντα παράλληλες μεταξύ τους αλλά οι ράβδοι θα σχηματίζουν διαφορετικό μήκος σκιάς ανάλογα με το πόσο βορειότερα από τον Ισημερινό βρίσκεται ή όχι το μέρος που θα λάβει μέρος το πείραμα.

Οι μαθητές μας της Α΄ και της Γ΄ τάξης θα βρίσκονται στον τόπο του πειράματος 10 λεπτά νωρίτερα για να παίρνουν συνεχώς μετρήσεις και να τις σημειώνουν στο σημειωματάριο τους. Μόλις η σκιά της ράβδου πάρει την μικρότερη τιμή θα σημειώσουν το μήκος της σκιάς της ράβδου και οι μαθητές της Α΄ τάξης θα μετρήσουν τη γωνία που σχηματίζουν οι ακτίνες του ήλιου με τη ράβδο ενώ της Γ΄ τάξης θα την υπολογίσουν με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών αριθμών.

Τα υλικά που θα διατίθενται για τις παραπάνω μετρήσεις είναι ράβδος του ενός μέτρου , άσπρη κόλλα χαρτί,  μετροταινία, γνώμονας, μοιρογνωμόνιο, χάρακας.

Στη συνέχεια, μια επόμενη μέρα το σχολείο μας θα βρει άλλο σχολείο στον ίδιο μεσημβρινό για να βρούμε την απόσταση των δύο σχολείων (μήκος τόξου) και από τις δικές τους μετρήσεις να υπολογίσουμε το μέτρο του τόξου (επίκεντρη γωνία) και με αυτές τις δύο πληροφορίες μέτρο και μήκος τόξου να υπολογίσουμε την περιφέρεια της γης.

Δείτε το σχετικό αρχείο Geogebra της συναδέλφου Ειρήνης Περυσινάκη ΕΔΩ

Το γεωγραφικό μήκος και πλάτος του σχολείου μας και η ώρα που μεσουρανεί ο ήλιος στις 21 Μαρτίου από το  http://www.esrl.noaa.gov/gmd/grad/solcalc/ φαίνεται στη παρακάτω εικόνα: 

2

Δοκιμαστικές μετρήσεις στην αυλή μας

2014-03-20 12.25.48 2014-03-20 12.26.02 2014-03-20 12.26.24

Σήμερα 20 Μαρτίου  κάναμε δοκιμαστικές μετρήσεις από τις 12.15 με το τμήμα Α1 και τις ολοκληρώσαμε με το Γ2 μέχρι τις 12.45.  Στρώσαμε μία κόλλα χαρτί σε οριζόντιο έδαφος και πάνω τοποθετήσαμε μία ράβδο ώστε να είναι κάθετη με το έδαφος. Προσπαθήσαμε να στηρίξουμε όσο καλύτερα γινόταν τη ράβδο γιατί φυσούσε κάθε τόσο και είτε φούσκωνε το χαρτί, είτε κινείτο η ράβδος οι μετρήσεις μας άλλαζαν μέχρι και 2 εκατοστά.   Αύριο θα φροντίσουμε να στηρίξουμε καλύτερα τις ράβδους για την τελική μέτρηση. 

1 2 3

Παράλληλα από το πρωί βάλαμε σημάδια στην αυλή μας, που αφορούσαν τη σκιά ενός πασσάλου του βόλεϊ. Οι μαθητές παρατηρούσαν έκπληκτοι όλη την ημέρα την μείωση της σκιάς του αλλά και τη στροφή της συνεχώς. Κάποια στιγμή δοκίμασαν να βρουν πόσο έστριψε ο ήλιος σε σχέση με την πρώτη πρωινή μας μέτρηση. Ξεπέρασαν γρήγορα τη δυσκολία μέτρησης της γωνίας με κορυφή τη βάση του πάσσαλου μεταφέροντας τη γωνία σε μία άλλη θέση ώστε να είναι εντός εκτός και επί τα αυτά δύο παραλλήλων ευθειών.

2014-03-20 10.29.492014-03-20 10.30.112014-03-20 10.30.442014-03-20 10.35.14

Πολλοί αναρωτήθηκαν αν τα σημάδια θα είναι σε ευθεία ή όχι. Κατά τη πορεία του ήλιου μέχρι τις 2 που σχολάσαμε διαπίστωσαν ότι η σκιά του πασσάλου μίκραινε μέχρι τις 12.30 και μετά αυξανόταν σχηματίζοντας μια γραμμή που  έμοιαζε κάπως με ευθεία. Στην εφαρμογή που ακολουθεί ρυθμίστε την ημερομηνία, pen down και δείτε τη γραμμή αυτή. Δοκιμάστε και για άλλες ημερομηνίες του χρόνου. Πατήστε ΕΔΩ 40

ααα

ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΣ

Παρασκευή 21 Μαρτίου

15

3016

Οι μαθητές της Α τάξης ξεκίνησαν από το πρωί και σημείωναν τη σκιά μιας ράβδου μήκους 1 μέτρου κάθε ένα τέταρτο της ώρας σε μία μεγάλη κόλλα χαρτί, που έστρωσαν στο προαύλιο. Σήμερα στήριξαν τη ράβδο σε ειδική βάση και έβαλαν μερικά τούβλα πάνω για να τη σταθεροποιήσουν από το φύσημα του αέρα.

610 118 12 13 14

 Όλοι  οι μαθητές των τμημάτων Α1, Α2, Γ1, Γ2 κατέβηκαν 12.15 ετοίμασαν το δικό τους πείραμα και από τις 12.20 για 20 λεπτά κατέγραφαν τις μετρήσεις τους. Σημείωσαν στα χαρτιά τους όλες τις μετρήσεις που χρειάζονταν και αναμένουν μετρήσεις ενός άλλου σχολείου για να προχωρήσουν την εργασία. 

9

ΟΜΩΣ μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο της γης και μόνο από τις δικές μας μετρήσεις ας δούμε πώς;

ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΟΜΑΔΕΣ:

as

Την ημέρα της ισημερίας και την ώρα της μεσουράνησης του ήλιου οι ακτίνες του πέφτουν κάθετα στα μέρη που βρίσκονται στον Ισημερινό. Η σκιά της ράβδου εκείνη τη στιγμή είναι 0 εκατοστά. Σύμφωνα με το σχέδιο που βλέπουμε στην παραπάνω εικόνα η γωνία του ορθογώνιου τριγώνου που σχηματίζεται  από την ράβδο και την ακτίνα του φωτός ισούται με την επίκεντρη γωνία φ της γης. Από την εφαρμογή http://www.daftlogic.com/projects-google-maps-distance-calculator.htm βρίσκουμε την απόσταση μας s από την τοποθεσία που βρίσκεται στο ίδιο γεωγραφικό μήκος με το σχολείο μας αλλά με γεωγραφικό πλάτος 0 (βλέπε εικόνα που ακολουθεί).

03 100

Γνωρίζουμε ότι η γωνία μας φ αντιστοιχεί σε ένα τόξο που έχει μήκος s και ότι ένας κύκλος (η γη έχει σφαιρικό σχήμα) αντιστοιχεί σε 360 μοίρες.

Τι λέτε τώρα μπορούμε να βρούμε το μήκος της περιφέρειας της γης; 

Το φύλλο εργασίας συμπιεσμένο ΕΔΩ:  Το_πείραμα_του_Eρατοσθένη_Ardavani

 

Ευρήματα και ερωτήσεις μαθητών:

20 21

1)Το πρωί η σκιά της ράβδου ήταν τόσο μεγάλη; Μπορεί να γίνει πιο μικρή από το μήκος της ράβδου; Να μηδενιστεί;Πότε και πού;

2)Πόσο στρίβει η σκιά του ήλιου όταν μετράμε κάθε τέταρτο της ώρας; Οι γωνίες που ορίζονται είναι ίσες;

3)Το μήκος της σκιάς μικραίνει όσο πλησιάζουμε προς την μεσουράνηση του ήλιου, μετά ξαναμεγαλώνει;

4) Βλέπω ότι η σκιά στις 8.30 ήταν εδώ (δείχνοντας το σημάδι) μέχρι τη δύση του ήλιου πόση γωνία θα γράψει; Πού θα φτάσει;

4)Τα σημάδια της σκιάς της ράβδου βρίσκονται σε ευθεία ή σε καμπύλη;

3)Γιατί ενώ μετράμε κάθε τέταρτο της ώρας τα αντίστοιχα τμήματα που συνδέουν τα άκρα της σκιάς δεν είναι ίσα;

ΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΖΕΤΑΙ ΜΑΖΙ ΜΑΣ:

Napoca

Από την λίστα των σχολείων που ενεργοποιήθηκαν στο πρόγραμμα βρήκαμε το Transylvania College, Cluj-Napoca , στην Ρουμανία που είχε σχεδόν ίδιο γεωγραφικό μήκος με εμάς. Επικοινωνήσαμε μαζί του και μας εδωσε τις δικές του μετρήσεις για να προχωρήσουμε στον υπολογισμό της περιφέρειας της γης. Μας είπε ότι η δική τους γωνία θ= 46,6 μοίρες. Υπολογίσαμε την απόσταση των δύο σχολείων (γνωρίζουμε τις δικές τους συντεταγμένες) και βρήκαμε 987, 081 Km.

aaa

Οι υπολογισμοί των μαθητών μας σύμφωνα με τις μετρήσεις τους

Οι μαθητές του τμήματος Α1 βρήκαν από το τρίγωνο που σχεδιάσαν με κλίμακα 1:10 τη γωνία θ=36 μοίρες και του Α2 θ=38 μοίρες. Η περίμετρος της γης αντίχτοιχα βρέθηκε 33523 km, 41319 km.

Οι μαθητές των τμημάτων Γ1, Γ2 σχεδίασαν το τρίγωνο με κλίμακα 1:10 και υπολόγισαν τη γωνία θ με χρήση τριγωνομετρικών αριθμών. Βρήκαν ότι η γωνία θ είναι 33 μοίρες και ότι η περιφέρεια της γης είναι26128 km

 

Ευχαριστούμε τον καθηγητή της τεχνολογίας Κο Μακρογκίκα για την κατασκευή βάσεων των ράβδων, τους γυμναστές του 3ου Λύκειου Γλυφάδας και του 3ου Γυμνάσιου Γλυφάδας για την κατανόηση τους. Ιδιαίτερα ευχαριστούμε τους μαθητές των σχολείων που διακριτικά πλησίαζαν για να πληροφορηθούν το πείραμα και δεν είχαμε μετακίνηση της ράβδου παρά μόνο ελάχιστες φορές από το δυνατό φύσημα του αέρα.

erat

Όποιο σχολείο ενδιαφέρεται, μπορεί να εγγραφεί για τη συμμετοχή του στο πείραμα από εδώ http://eratosthenes.ea.gr/

Πηγήhttp://el.wikipedia.org,

http://mathlab.mysch.gr/sundial/ergastiria/eratosthenes,

http://commonmaths.weebly.com/tauomicron-piepsilon943rhoalphamualpha-tauomicronupsilon-epsilonrhoalphatauomicronsigmatheta941nueta.html

Περισσότερα εδώhttp://makolas.blogspot.gr/2013/06/projects.html?view=flipcard

 

 

 

ΜΟΥΣΕΙΟ   ΗΡΑΚΛΕΙΔΩΝ

14

Ήταν μία πολύ ενδιαφέρουσα και πρωτότυπη έκθεση που μας προβλημάτισε και μας εντυπωσίασε ταυτόχρονα.  Γνωρίσαμε τους ξεχωριστούς και περίεργους πίνακες του Escher και του Vasarely μέσα από μία ενδιαφέρουσα παρουσίαση. Αποκομίσαμε πολλές γνώσεις για την τέχνη αλλά και τη Γεωμετρία. Χάρη στην επιτυχημένη παρουσίαση μεγάλωσε το ενδιαφέρον μας για την τέχνη και τη Γεωμετρία (Ελένη Μ.)

3z

 

Οι πίνακες ήταν πανέμορφοι και σχεδόν όλοι  έκρυβαν  ένα «μυστικό». Ο αγαπημένος μου πίνακας είναι η «σχετικότητα» του Escher , που έδειχνε ανθρώπους πάνω σε μία σκάλα,  στο ταβάνι,  στο πάτωμα. Αναρωτήθηκα αν και πού θα συναντηθούν άραγε αυτοί οι άνθρωποι; (Νίκος Λ.)

sx1

Στην Σχετικότητα, ο Escher όχι μόνο εξέφρασε την ιδέα ότι δεν μπορούν να διορθωθούν οι απόψεις, αλλά επίσης εισήγαγε μια ακόμη ιδέα την οποία θα εξερευνούσε ακατάπαυστα: αυτό που αποτελεί οροφή για τη μια ομάδα, είναι ο τοίχος για την άλλη. Αυτό που αποτελεί πόρτα για τη μια ομάδα, είναι καταπακτή για την άλλη. Όλο το περιβάλλον συνδέεται με ατέρμονες σκάλες, μοτίφο που συνδέεται με τη δουλειά του Escher. Ωθούμαστε από την ανάγκη να ακολουθήσουμε τα μονοπάτια και αν και το μυαλό μας λέει ότι είναι ατέρμονα, τα δεχόμαστε ως αληθοφανή.

Μου δόθηκε η ευκαιρία να παρατηρώ εξωπραγματικούς πίνακες, οι οποίοι συνδυάζουν τα μαθηματικά και την τέχνη. Μπόρεσα να κατανοήσω την ερμηνεία του τριγώνου Penrose καθώς και άλλων αδύνατων κατασκευών. Οι εμπειρίες και οι γνώσεις που απέκτησα είναι μοναδικές.(Δημήτρης Β.)

pen pen1

Το τρίγωνο Penrose είναι ένα τρίγωνο με τρεις ορθές γωνίες. Έτσι τουλάχιστον φαίνεται όταν παρατηρήσει κανείς μία-μία τις τρεις γωνίες του. Είναι όμως δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο; Το βίντεο, που ακολουθεί δίνει την απάντηση.

Μεταξύ των πινάκων μου προκάλεσε μεγάλο ενδιαφέρον ο πίνακας Belvedere. Στον πίνακα αυτό απεικονίζεται ένα τριώροφο κτίριο, το οποίο αν παρατηρηθεί προσεκτικά θα ανακαλυφθούν κάποια παράδοξα. Τα παράδοξα αυτά δίνουν την αίσθηση πως το κτίριο αυτό δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε τρεις διαστάσεις, παρά μόνον να σχεδιαστεί στο χαρτί.  Υπάρχει όμως περίπτωση το κτίριο αυτό να κατασκευαστεί στην πραγματικότητα. Αυτό είναι και το πιο ενδιαφέρον σημείο. Η απεικόνιση του στο χώρο είναι απλώς …απίστευτη. (Βασίλης Κ.)

belv

Μέσα από τον πίνακα εξερευνάται η ιδέα, πώς το δισδιάστατο επίπεδο επιτρέπει την δημιουργία κτιρίων, τα οποία δεν θα μπορούσαν να υπάρξουν σε έναν τρισδιάστατο κόσμο. Το κτίριο δείχνει να είναι ένα παλάτι, με ένα μπουντρούμι και έναν φυλακισμένο, που κάνει μια γκριμάτσα. Αλλά, παρατηρείστε το μικρό αγόρι στο πρώτο πλάνο – κρατά το κλειδί του γρίφου, έναν κύβο με ανέφικτη κατασκευή. Το κτίριο, που σχεδίασε ο Escher, έχει δύο παράλληλα δάπεδα, ορθογώνια το ένα με το άλλο και κάποιος μπορεί να αναρριχηθεί με ανεμόσκαλα από μέσα προς τα έξω του κτιρίου!

21

Έγινε μία προσπάθεια να κατανοήσουν οι μαθητές μας ότι όταν ένα αντικείμενο απεικονίζεται στο επίπεδο από μία συγκεκριμένη οπτική γωνία μπορεί να ξεγελάσει το μάτι. Παρατήρησαν το σχήμα του κύβου Necker και τη σκιά του στο επίπεδο, η οποία κάποια στιγμή φαινόταν να ομοιάζει με τον γνωστό μας κύβο.

32

 

Παρατηρείστε προσεκτικά και την παρακάτω εφαρμογή:

cube

 Ανάβαση και Κατάβαση 

connect

 

 

Μου άρεσε η επίσκεψη που κάναμε στο μουσείο. Με εντυπωσίασε πάρα πολύ το πείραμα που κάναμε.(Γεωργία Μ.)

10

Με λίγα και απλά σύνεργα γίναμε μικροί ζωγράφοι. Προσπαθήσαμε να αποτυπώσουμε όσο πιο πιστά γινόταν στον πίνακα μας ( πλεξιγκλάς) ένα απλό γεωμετρικό σχέδιο, το σχέδιο δύο παράλληλων ευθειών. 9 8 117

ααα

Το αποτέλεσμα, μας εξέπληξε οι παράλληλες ευθείες που είχαμε σχεδιάσει στο χαρτί απεικονίστηκαν στο πλεξιγκλάς ως  τεμνόμενες!

50ααα

Τι έγινε εδώ; Τι βλέπει το μάτι μας; Πώς έκαναν οι ζωγράφοι στην αναγέννηση τα σχέδια τους δίνοντας την αίσθηση του βάθους σε αυτά;

Είδαμε έναν πίνακα του Pissaro, στον υπολογιστή και εξηγήσαμε το «κόλπο»  του ζωγράφου. Δύο ευθείες του δρόμου, παράλληλες από όσο γνωρίζουμε στη πραγματικότητα, τέμνονταν και έδιναν την αίσθηση του βάθους στο σχέδιο!

pissaro

12

Δοκιμάσαμε και το αντίστροφο πείραμα. Φωτίσαμε τις τεμνόμενες ευθείες του πίνακα μας και είδαμε τη σκιά τους στο επίπεδο. Ήταν πάλι παράλληλες!

6

13ααα

Και ενώ ξεκαθαρίσαμε τα πράγματα και νοιώσαμε ικανοποίηση και χαρά, χαλαρώσαμε και ξαφνικά βρεθήκαμε μπροστά σε ένα νέο γρίφο:

16 15Ποια πρόταση λέει την αλήθεια; Είχαμε δύο προτάσεις στο μπρος και το πίσω μέρος μιας σελίδας,  που η μία όμως αναιρεί την άλλη. Είδαμε και έναν πίνακα που έκανε το ίδιο πράγμα αυτοαναφορά, όπως μας είπαν ή αυτοομοιότητα.

pin

Στο έργο αυτό, ο Escher παρουσιάζει μια οπτική απάτη! Στη λιθογραφία αυτή, βλέπουμε μια έκθεση χαρακτικών. Στην κάτω αριστερή γωνία, ένας νέος άνδρας κοιτάζει ένα από τα έργα, την απεικόνιση μιας παραλιακής πόλης. Εάν κανείς κοιτάξει κάτω από τα κτίρια στο δεξί μέρος του έργου, θα παρατηρήσει την είσοδο στην πινακοθήκη, πέρα από την οποία βρίσκεται ένας νέος άνδρας ο οποίος κοιτάζει τα χαρακτικά. Έτσι, ο νεαρός είναι ίδιος μέσα στο έργο το οποίο κοιτάζει! Ο Escher δημιούργησε αυτή την αυταπάτη αναπτύσσοντας τη σύνθεση συνολικά 256 φορές κυκλικά, κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ξεκινώντας από την κάτω αριστερή γωνία.  Ο καλλιτέχνης δεν μπόρεσε να συμπληρώσει την εικόνα στο κέντρο (έβαλε εκεί την υπογραφή του) αλλά τελευταίως ολοκληρώθηκε. Το βίντεο που βλέπετε παρακάτω δείχνει τη λύση του προβλήματος.

Λάτρεψα όλους τους καταπληκτικούς και πρωτότυπους πίνακες που είδαμε και νομίζω πως οι καλλιτέχνες χρειάστηκαν πολύ φαντασία και χρόνο να τους σχεδιάσουν. Κατάλαβα ότι πίσω από έναν πίνακα κρύβονται πολλά πράγματα, που στο παρελθόν δεν τα είχα προσέξει. Θα προσπαθήσω να ξαναπάω. (Γεωργία Μ.)

Είδαμε και φτιάξαμε τη λωρίδα του Mobius. Μία ταινία χαρτί κολλημένη με μία στροφή 180 μοιρών έδινε τη δυνατότητα στο μυρμήγκι να περιηγείται και στις δύο πλευρές της ταινίας προχωρώντας μόνο μπροστά!!!

23 22

Η δική μας ταινία τώρα δεν είχε πίσω πλευρά!!! 24 31

Η ξενάγηση ήταν καλή και ο τρόπος που τα εξηγούσε η κυρία με έκανε να καταλάβω τα πάντα. Δεν είχα σκεφτεί ποτέ ότι η τέχνη μπορεί να συνδέεται με τα μαθηματικά. Πέρασα υπέροχα, θέλω να ξαναπάω. ( Μαρία Σ.)

 

Έχω θετικές εντυπώσεις από την επίσκεψη μου στο μουσείο και θα πρότεινα στον καθένα να το επισκεφθεί.(Ναταλία Μ.)

cube2Οι εκπλήξεις συνεχίστηκαν στον άλλο όροφο του μουσείου. Είδαμε ωραιότατα γεωμετρικά σχέδια με φωτεινά χρώματα, ενός άλλου καλλιτέχνη του Vasarelly. Κοιτάζοντας ένα από αυτά προσπαθούσαμε να καταλάβουμε ποιο σχήμα μας θυμίζει. Ακούστηκαν 3 διαφορετικές απόψεις. Άλλος έβλεπε ένα κανονικό εξάγωνο, άλλος μία γωνία- κόγχη δωματίου και άλλος ένα δωμάτιο.  Τι από όλα ήταν; Παρατηρήσαμε ότι ο καλλιτέχνης σε όλα του τα σχέδια χρησιμοποιούσε 3 ημιάξονες με κοινή αρχή για να δώσει στο μάτι την αίσθηση του τρισδιάστατου αντικειμένου. Τα κατάφερνε εξαιρετικά όμως δεν μας έδινε και την πληροφορία του βάθους ή ήθελε να μας προβληματίσει σε αυτό. Είναι μέσα ή έξω; Πάνω ή κάτω; έχει ύψος ή βάθος; Η απεικόνιση ενός αντικειμένου στο επίπεδο  έχει μία διάσταση λιγότερη, μία πληροφορία λιγότερη και από κει αρχίζουν οι παρεξηγήσεις…

33Η υπεύθυνη του μουσείου μας είπε ότι και τα χρώματα που χρησιμοποιούσε μπορεί να λένε κάτι σε μας ή να εκφράζουν ένα συναίσθημα. Oι 4 πίνακες μπροστά μας μπορεί να εκπροσωπούν τις 4 εποχές.

Θα θυμάμαι πάντα την επίσκεψη μου στο μουσείο και εύχομαι στο μέλλον να βλέπω τους πίνακες και να μπορώ να τους εξηγήσω σε μένα αλλά και στους άλλους. (Χρήστος Φ.)

1a

Μου άρεσε που βρέθηκα εκτός σχολείου με τους καθηγητές μου και τις φίλες μου. (Χρύσα Σ.)

41

ααα

ααα

Μουσείο Ηρακλειδών: http://www.herakleidon-art.gr/el/index.cfm?get=home

Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

Μαθαίνουμε από τη Α΄γυμνασίου τη κατασκευή μεσοκαθέτου τμήματος και τη διχοτόμου γωνίας.  Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις κατασκευές αυτές για τη κατασκευή των τριών μεσοκαθέτων, διαμέσων, υψών και διχοτόμων τριγώνου.

Ας μελετήσουμε όμως τις ιδιότητες τους λιγο περισσότερο πατώντας πάνω στην εικόνα που ακολουθεί:

Συμμετρία ως προς σημείο

Δείτε το μάθημα στο:

http://users.sch.gr/popiardv/blog/?p=421


Ο Sam Loyd μας έστειλε μερικούς γρίφους του, για να λύσουμε στο μάθημα μας.

Σήμερα ασχοληθήκαμε με το εξής πρόβλημα  – γρίφο:

Μας δόθηκε μια κάρτα να τη κόψουμε σε τρία μέρη (τα δυο κομμάτια είχαν από ένα μουλάρι και το τρίτο δύο καβαλάρηδες). Στη συνέχεια έπρεπε  να τοποθετήσουμε τους δύο καβαλάρηδες πάνω στα μουλάρια τους.

Ξεκινήσαμε. Κόψαμε τη κάρτα σε 3 μέρη.


Στα δύο μέρη  είχαμε από ένα μουλάρι και στο τρίτο τους δύο καβαλάρηδες.

Ο γρίφος ζητούσε να τοποθετήσουμε τους καβαλάρηδες πάνω στα μουλάρια.

Το προσπαθήσαμε και τότε διαπιστώσαμε ότι δεν ήταν και τόσο εύκολο…

Μμμ!  καθόλου εύκολο, αν και κάναμε όλους τους συνδιασμούς.

Αρα γε γίνεται και πώς;

Ενας μαθητής είπε:- κυρία το κατάφερα κοιτάξτε εδώ:

Μμμ καλή ιδέα! Κάπως στο χώρο…μήπως να το προσπαθήσουμε και στο επιπεδο; πώς όμως ;

Συνεχίσαμε τις προσπάθειες μας δοκιμάζοντας και άλλα σχήματα – συνδιασμούς

Μια ομάδα δίπλωσε τα μουλάρια στη μέση και ….δείτε το αποτέλεσμα …Εφτασε πολύ κοντά στη λύση!

Μια μαθήτρια από μια άλλη ομάδα φωνάζει:- κυρία το πετύχαμε ελάτε να δείτε!

Ναι τα παιδιά το βρήκαν!

«Ο συμμαθητής μου κινούσε περίεργα τα μουλάρια και τότε μου ήρθε η ιδέα!»,  είπε η μαθήτρια.

Η νικήτρια ομάδα καμαρώνει την ανακάλυψη της που οφείλεται στη καλή συνεργασία των μαθητών!


Καταπληκτικό πανέξυπνο είπαν όλοι με ένα στόμα!

Μήπως να φτιάξουμε κι εμείς ένα δικό μας ;

Αυτό θα είναι μια ευχάριστη έκπληξη…

Στο τελευταίο μάθημα της συμμετρίας ως προς άξονα έγινε η κατασκευή ενός γεωμετρικού σχήματος και η επανάληψη του μέσω του κατάλληλου εργαλείου του λογισμικού των μαθηματικών Geogebra,  «συμμετρία αντικειμένου ως προς ευθεία».

Δείτε το παράδειγμα:

Οι εργασίες μαθητών:



ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΕ ΛΕΥΚΟ ΧΑΡΤΙ

Οι μαθητές στο τρίτο μάθημα της συμμετρίας ως προς άξονα σχεδιάζουν ένα γεωμετρικό σχήμα και βρίσκουν το συμμετρικό του ως προς μια ευθεία ε με γνώμονα και διαβήτη. Εφαρμόζουν τα τρία βήματα για την εύρεση συμμετρικού σημείου σε κάθε κορυφή του σχήματος.


Ενώνουν τα συμμετρικά σημεία και βρίσκουν το συμμετρικό σχήμα του αρχικού.

Αρα γε όταν θέλουμε να φτιάξουμε ένα σχέδιο με άξονα συμμετρίας θα πρέπει να το σχεδιάσουμε ολόκληρο ή κάτι άλλο;

Ενας μαθητής από το πρώτο μάθημα είχε σχεδιάσει μισό προσωπάκι σκύλου. Με το ριζόχαρτο συμπληρώθηκε το άλλο μισό και το αποτέλεσμα ήταν ένα ωραιότατο σχέδιο!!!


ΣΧΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΞΟΝΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

Στο τέταρτο μάθημα παρατηρούν ότι πολλά γεωμετρικά σχήματα ή αντικείμενα έχουν έναν άξονα συμμετρίας. Αν δηλαδή φανταστούμε ότι διπλώνουμε το σχήμα / αντικείμενο ως προς αυτόν τον άξονα το ένα μέρος του σχήματος συμπίπτει με το άλλο του μέρος. Το συμμετρικό του σχήματος ως προς αυτον τον άξονα είναι το ίδιο το σχήμα.

Βρίσκουν παραδείγματα από τις εμπειρίες τους. Λένε ότι ο άνθρωπος, το αυτοκίνητο, μια γάτα, ένας σκύλος, μία πεταλούδα,ένα μήλο έχουν έναν άξονα συμμετρίας.

Θυμούνται τα γνωστά τους γεωμετρικά σχήματα και παρατηρούν ότι αυτά έχουν έναν, δύο ή περισσότερους άξονες συμμετρίας.

Στη συνέχεια διπλώνουν ένα χαρτί στα δύο και το επαναλαμβάνουν αρκετές φορές. Με ένα ψαλιδάκι κόβουν τις άκρες σε διάφορα σχήματα. Το ξεδιπλώνουν και ανακαλύπτουν κάθε φορά ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας.  Εκπλήσσονται δε όταν καταλαβαίνουν το πόσο εύκολο είναι να φτιάξουν ένα αποκριάτικο στολίδι!

Θέλετε να φτιάξετε ένα στολίδι με χαρτοκοπτική ψηφιακη; ΔΟΚΙΜΑΣΤΕ:

Οι μαθητές στέλνουν τις κατασκευές τους:


Δεύτερο μάθημα της Γεωμετρίας στο κεφάλαιο: Συμμετρία.

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

Οι μαθητές εξετάζουν τα σχήματα που έφτιαξαν στο προηγούμενο μάθημα με ριζόχαρτο. Ερευνούν σχέσεις και ιδιότητες των συμμετρικών σχημάτων. Αποφασίζουν να μελετήσουν αρχικά σχέσεις και ιδιότητες σε ένα απλό γεωμετρικό σχήμα και το συμμετρικό του. Επιλέγουν το πιο απλό όλων ένα ΣΗΜΕΙΟ. Αριστερά από την ευθεία τοποθετούν σημείο Α και με τη γνωστή μέθοδο τσάκισης και αποτύπωσης βρίσκουν το συμμετρικό του Α΄. Φέρνουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑ΄και ονομάζουν Κ τη τομή του με τον άξονα συμμετρίας, την ευθεία ε.


Με τα χαρακάκια τους, το μοιρογνωμόνιο και τον διαβήτη διαπιστώνουν ότι το τμήμα ΑΑ΄είναι κάθετο στην ευθεία ε. Το τμήμα ΑΚ ισούται με το ΚΑ΄(προφανώς αφού ταυτίζονται με τη δίπλωση). Συνεχίζουν εξετάζοντας τις ιδιότητες και σε άλλα σημεία του σχήματος τους. Διαπιστώνουν ότι τα συμμετρικά σημεία ισαπέχουν απο την ευθεία ε.


Δοκιμάζουν στη κατασκευή σχήματος και του συμμετρικού του σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί (μιλιμετρέ). Δημιουργούν ένα σχήμα που έχει τις κορυφές του σε  σημεία τομής γραμμών του μιλιμετρέ και το χρωματίζουν. Σχεδιάζουν μια ευθεία ε κατακόρυφη ή οριζόντια και την ορίζουν ως άξονα συμμετρίας. Εφαρμόζουν τις ιδιότητες που ανακάλυψαν προηγούμενα για να κατασκευάσουν το συμμετρικό των κορυφών του σχήματος. Αποφασίζουν ότι μπορούν να «δουν» τη κάθετη γραμμή ΑΚ στην ευθεία ε, με τη βοήθεια των γραμμών του μιλιμετρέ. Επίσης μπορούν να βρουν εύκολα τη θέση του Α΄. Μετρούν πάνω στη κάθετη γραμμή ΑΚ τον αριθμό των τετραγώνων από το Α μέχρι το Κ και συνεχίζουν μετρώντας  άλλα τόσα στην προέκταση της ΑΚ από την άλλη πλευρά της ευθείας.

ααα

Μάλλον δεν είναι και τόσο εύκολο μερικά σημεία ξεφεύγουν και τα μετρούν λάθος προς άλλη κατεύθυνση. Τα διορθώνουν και έχουν το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Τώρα είναι έτοιμοι να περιγράψουν τον τρόπο κατασκευής συμμετρικού σχήματος ως προς ευθεία ε.

ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Α ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ ε.

1) Κατασκευάζω ευθύγραμμο τμήμα ΑΚ κάθετο στην ευθεία ε

2)Προεκτείνω το ΑΚ προς το μέρος του Κ

3)Παίρνω ίσα τμήματα ΑΚ = ΚΑ΄

Τα παραπάνω σημεία Α, Α΄ είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία ε


Παλιότερα Άρθρα »

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων