Feed
Άρθρα
Σχόλια

Αρχείο για την κατηγορία 'ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄'

Ένα πρόβλημα μοιρασιάς

Είναι πολύ σημαντικό να σκέφτεται κάποιος για να βρει λύση στο πρόβλημα του.

Όμως εξ ίσου σημαντικό είναι και να γνωρίζει να εκτελεί σωστά τις αντίστοιχες πράξεις.

Παρακολουθείστε τον τρόπο της διαίρεσης και της επαλήθευσης στην προσπάθεια μοιρασιάς 49 κατσικιών σε 7 κορίτσια!

eratoΤο πείραμα στο σχολείο μας:DSC02321

 

Την 23η Σεπτεμβρίου το τμήμα Α3 του σχολείου μας συμμετείχε στο πείραμα του Ερατοσθένη για πρώτη φορά. Την ημέρα εκείνη, ημέρα ισημερίας και γύρω στις 12 το μεσημέρι πολλά σχολεία στον κόσμο επανάλαβαν το πείραμα του Ερατοσθένη.  Οι μαθητές μέτρησαν τη σκιά μιας ράβδου μήκους ενός μέτρου,  η οποία έπρεπε να είναι κάθετη στο επίπεδο της γης (τοπικά). Οι ακτίνες του ήλιου είναι πάντα παράλληλες μεταξύ τους αλλά οι ράβδοι σχημάτιζαν διαφορετικό μήκος σκιάς ανάλογα με το πόσο βορειότερα από τον Ισημερινό βρισκόταν ή όχι το μέρος που έλαβε μέρος το πείραμα.

DSC02329

Από το πρωί στην περιοχή του σχολείου μας ο ουρανός ήταν πολύ συννεφιασμένος και υπήρχε μια σχετική αγωνία για την πραγματοποίηση ή όχι του πειράματος. Ομως κατά τις 12 το μεσημέρι τα σύννεφα υποχώρισαν και ο ήλιος μπήκε μέσα στην τάξη με αποτέλεσμα να αποφασιστεί να γίνει το πείραμα στο χώρο της αίθουσας. Οι μαθητές χωρίστηκαν σε δύο ομάδες και παρατηρούσαν το μήκος της σκιάς της ράβδου να μειώνεται συνεχώς. Ολοι εργάζονταν συντονισμένα. Κάποιοι κρατούσαν τη ράβδο,  μερικοί άλλοι μετρούσαν το μήκος της σκιάς και άλλοι σημείωναν την ώρα του πειράματος και την αντίστοιχη μέτρηση της σκιάς της ράβδου.

DSC02326 DSC02327

Μία ομάδα είχε πρόβλημα με τη κατακόρυφη θέση της ράβδου και κρέμασαν από το πάνω μέρος της ένα βαρίδι.

DSC02349 DSC02332 DSC02343

Στις 12:25:12, ώρα τοπικής μεσουράνησης οι μαθητές σημείωσαν το μικρότερο μήκος της σκιάς της ράβδου και για ένα δεκάλεπτο μετά παρατηρούσαν την συνεχή αύξηση της. 

DSC02356 DSC02340

Στη διάρκεια της σχολικής χρονιάς, με την πορεία των μαθημάτων οι μαθητές του Α3 θα κατανοήσουν και θα εξηγήσουν το πείραμα. Θα υπολογίσουν την περίμετρο της γης σύμφωνα με τα δεδομένα του πειράματος τους και … θα μας ενημερώσουν.

και

λίγα λόγια για τον Ερατοσθένη:

1

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη, στη σημερινή Λιβύη, έζησε, εργάστηκε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια, πρωτεύουσα της Αιγύπτου. Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ισχυριζόταν ότι επίσης σπούδασε για κάποια χρόνια στην Αθήνα. Το 236 π.Χ. ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ΄ τον Ευεργέτη βιβλιοθηκάριος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχόμενος τον Ζηνόδοτο. Δεν παντρεύτηκε ποτέ. Το 194 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε.

Ήταν ο πρώτος που υποστήριξε ότι η Γη είναι μια σφαίρα που βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος, το οποίο περιστρέφεται με συχνότητα εικοσιτεσσάρων ωρών. Επινόησε επίσης το σύστημα των γεωγραφικών παραλλήλων. Διατύπωσε δε την υπόθεση, ότι είναι δυνατόν να ταξιδέψουμε κατά μήκος μιας γεωγραφικής παράλληλου ξεκινώντας από την Ιβηρία και να φτάσουμε έως την Ινδία, διαπλέοντας τον Ατλαντικό ωκεανό. Ο Στράβων που διέσωσε και μας μετέφερε την θεωρία αυτή, προσέθεσε μάλιστα, ότι στο ταξίδι αυτό ίσως να συναντούσαμε νέα άγνωστα μέρη ξηράς.

Ένα από τα πιο σημαντικά πειράματα που πραγματοποιήθηκε στην ιστορία της ανθρωπότητας ήταν η μέτρηση της περιφέρειας της γης από τον Ερατοσθένη τον 3 π.Χ. αιώνα. Ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε ότι στη Συήνη (σημερινό Ασουάν) ο ήλιος κατά το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου ρίχνει τις ακτίνες του κάθετα στον ορίζοντα και φωτίζει τον πυθμένα ενός πηγαδιού. Την ίδια στιγμή στην Αλεξάνδρεια οι ακτίνες του ηλίου σχηματίζουν μια γωνία 7ο με την κατακόρυφο του τόπου. Στη συνέχεια μέτρησε την απόσταση Αλεξάνδρειας – Συήνης και υπολόγισε, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί, με αξιοζήλευτη ακρίβεια την περιφέρεια της γης.

Θέλετε να παίξουμε ένα έξυπνο παιχνίδι; Παίζοντας το θα ανακαλύψετε ότι ο υπολογιστής σας μπορεί να καταλαβαίνει τι σκέφτεστε και ότι υπάρχουν μαγικά κόλπα…

Πατήστε στην εικόνα που ακολουθεί και απαντήστε προσεκτικά στα ερωτήματα:

pr

Ωραία περάσαμε, παίξαμε και ξαφνιαστήκαμε με τα … μαγικά. Μήπως όμως πίσω από όλα αυτά κρύβονται τα μαθηματικά; Μήπως μπορούμε να δώσουμε μια εξήγηση; Πώς λειτουργεί το παιχνίδι;

Πρόσφατα ασχοληθήκαμε στο μάθημα μας με το παρακάτω πρόβλημα του σχολικού βιβλίου.

schΑκούστηκαν ενδιαφέρουσες ιδέες αλλά και νέα ερωτήματα, τα οποία σας μεταφέρουμε.

Το πρώτο ερώτημα με το οποίο ασχολήθηκαν οι μαθητές ήταν η εύρεση της περιμέτρου του 5ου σχήματος. Είχαν παρατηρήσει ότι καθένα σχήμα προκύπτει από το προηγούμενο αν στα δεξιά του προσθέσουμε μία νέα στήλη τετραγώνων με ένα τετράγωνο παραπάνω. Εύκολα και γρήγορα κατασκεύασαν το 5ο σχήμα και βρήκαν τη περίμετρο του,

Π_5 = 20 cm.

Σύμφωνα με το  ερώτημα που ακολουθούσε έπρεπε να βρουν τον τύπο που υπολογίζει τη περίμετρο κάθε σχήματος, οπότε αποφάσισαν ότι έπρεπε να βρουν και τις περιμέτρους των προηγούμενων σχημάτων. Τα αποτελέσματα αυτά γράφτηκαν στον πίνακα:

Π1=4cm, Π2=8cm, Π3=12cm, Π4=16cm, Π5=20cm .

Εξήγησαν ότι βλέπουν ένα γεωμετρικό μοτίβο στο σχεδιασμό τους, αλλά και στις τιμές των περιμέτρων τους ένα άλλο αριθμητικό.

Ο μαθητής Σ.  είπε ότι σύμφωνα με τους παραπάνω υπολογισμούς κάθε περίμετρος σχήματος διαφέρει από την περίμετρο του προηγούμενου κατά 4 και κατέληξε ότι:  

Π_τυχαίου = Π_προηγούμενου + 4

Η μαθήτρια Κ. είπε ότι οι αριθμοί αυτοί είναι πολλαπλάσιοι του 4 άρα

Π_ν= 4 ν, όπου ν είναι ο αριθμός τετραγώνων της κάτω σειράς.

Ο μαθητής Ν. είπε ότι στα προηγούμενα σχήματα παρατηρεί το εξής: Π_1=4, Π2= 2+2+4=4 *2,  Π_3=3+3+6 = 4 *3, Π_4 = 4+4+8 = 4*4  άρα

Π_ν = ν +ν +2ν =4ν (δείχνοντας τον αριθμό τετραγώνων περιμετρικά στα σχήματα)

Ο μαθητής Β. είπε ότι οι περίμετροι των σχημάτων αυτών συμπεριφέρονται όπως οι περίμετροι των τετραγώνων πλευράς ν. Η τεθλασμένη τους γραμμή  μοιάζει σαν να είναι «τσαλακωμένη»  από τις δύο πλευρές.

Ο μαθητής Δ. είπε ότι η «σκαλωτή»  πλευρά τους ισούται με τη βάση επί 2  (νέο μοτίβο!)

Μπορείς να πειραματιστείς με το αρχείο που ακολουθεί για να διαπιστώσεις τα παραπάνω κι εσύ.

ΠΑΤΗΣΕ ΕΔΩ ή στην εικόνα: tetra

Στη συνέχεια ήρθε μια σειρά από νέα ερωτήματα των παιδιών, τα οποία αποτελούν πρόκληση για τον καθένα μας.

1)Αν προσθέσουμε στη κορυφή ενός σχήματος ένα ακόμη τετράγωνο, πόσο θα είναι η περίμετρος του νέου σχήματος;

2)Υπάρχει τύπος για τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων;

Μία υπόδειξη του μαθητή Β. Κ. 

tet1

Από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι το εμβαδόν του σχήματος με βάση 5 τετράγωνα ισούται με Ε= (5^2/2 )+(5 /2) = (5^2+5)/2

άρα το όμοιο σχήμα με αυτό που έχει  ν τετράγωνα στη βάση έχει εμβαδόν

Ε= (ν^2+ν)/2

Μία υπόδειξη του μαθητή Δ. Β. 

tet2

Προσθέτουμε άλλο ένα σχήμα ίδιο με αυτό που έχουμε ( το σχήμα έχει 3 τετράγωνα στη βάση) αλλά αναποδογυρισμένο σε σχέση με το πρώτο και τότε έχουμε ένα ορθογώνιο με μήκος 4 τετράγωνα και ύψος 3

tet3

 

Το εμβαδόν του δεύτερου σχήματος είναι 3χ4  άρα το εμβαδόν του αρχικού σχήματος είναι 3χ4/2

επομένως το εμβαδόν ενός όμοιου σχήματος που έχει ν τετράγωνα στη βάση είναι: 

Ε= ν (ν+1) /2

 

3) Πόσο είναι το άθροισμα των αριθμών 1+2+3+4+5 =; 

1+2+3+4+… +ν=;

Μία υπόδειξη: Παρατήρησε ότι το εμβαδόν του σχήματος της προηγούμενης ερώτησης με 5 τετράγωνα στη βάση ισούται με 1+2+3+4+5.

4)Μετά τη συνεδρίαση και τα 10 μέλη του διοικητικού συμβουλίου μιας εταιρείας ανταλλάσσουν μεταξύ τους χειραψίες. Πόσες χειραψίες γίνονται συνολικά;

Μία υπόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι ένας-ένας χαιρετάει τους υπόλοιπους και φεύγει. Τότε ο πρώτος θα ανταλλάξει συνολικά 9 χειραψίες, ο δεύτερος 8, ο τρίτος 7, ο τέταρτος 6,  ο πέμπτος 5, ο έκτος 4, ο έβδομος 3, ο όγδοος 2, ο ένατος 1 και ο δέκατος καμία. Επομένως ο συνολικός αριθμός χειραψιών θα είναι 9+8+7+6+5+4+3+2+1=;

xeri

Πόσες χειραψίες θα ανταλλάξουν 100 μέλη ενός άλλου διοικητικού συμβουλίου; ν μέλη;

 

Αξιολόγηση στα κριτήρια διαιρετότητας

Ας θυμηθούμε τα κριτήρια διαιρετότητας:


Είμαστε έτοιμοι για την αυτοαξιολόγηση;

Θα πρέπει να τοποθετήσετε τους αριθμούς που εμφανίζονται σε λίστες, ώστε να διαιρούνται συγχρόνως με το 2 και το 3, ή το 2 και το 5, ή το 3 και το 5 ή είναι ΑΛΛΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Εχετε διαθέσιμο χρόνο 4 λεπτά. Κάθε προσπάθεια βαθμολογείται θετικά (σωστό) ή αρνητικά (λάθος).

Πάμε

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Ας «φάμε» λίγη πίτσα ή σοκολάτα και ας συγκρίνουμε κλασματικές μονάδες με τη μονάδα (κόβουμε τη πίτσα ή τη σοκολάτα σε ίσο αριθμό κομματιών και τρώμε ένα από αυτά) .

Αν έχουμε ένα τμήμα 1 cm θα μπορούσαμε να βρούμε το τμήμα που έχει μήκος ο.5 cm; Με πόσους τρόπους;

«Τρώμε» περισσότερο από μια πίτσα και βρίσκουμε το καταχρηστικό κλάσμα που αντιπροσωπεύει αυτόν τον μεικτό αριθμό και αντίστροφα.

σοκολατασιλιακαιτα

Τι σχέση έχει μία κλασματική μονάδα ή ένα καταχρηστικό κλάσμα με τη μονάδα ; (1 πίτσα )

Μήπως θα μπορούσαμε να συγκρίνουμε κλάσματα μεταξύ τους; κλάσματα που έχουν ίδιο αριθμητή (κόβουμε τις πίτσες σε διαφορετικό αριθμό κομματιών αλλά «τρώμε» ίδιο αριθμό κομματιών) ή ίδιο παρανομαστή (κόβουμε τις πίτσες σε ίδιο αριθμό κομματιών και τρώμε κατά βούληση) και αν ναι μήπως μπορούμε να βρούμε ένα κανόνα για κάθε περίπτωση;

Αν τα κλάσματα έχουν διαφορετικό αριθμητή και παρανομαστή μπορούμε να τα συγκρίνουμε; (κόβουμε τις πίτσες σε διαφορετικό αριθμό κομματιών «τρώμε» όσο θέλουμε και μετακινούμε κατάλληλα τις πίτσες ,τα συγκρίνουμε και προσπαθούμε να βρούμε ένα κανόνα σύγκρισης) .

Αν θέλουμε να βρούμε το άθροισμα ή τη διαφορά τους; Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα και προσπαθούμε να βρούμε ένα κλάσμα που αντιπροσωπεύει το άθροισμα ή τη διαφορά τους. Διερευνούμε σε πόσα κομμάτια θα μπορούσαμε να είχαμε κόψει τις πίτσες, ποια νέα κλάσματα αντιπροσωπεύουν τα μέρη που είχαμε «φάει» και φτιάχνουμε ένα κανόνα για την εύρεση του αθροίσματος ή της διαφοράς τους.

Η καλή μου φίλη και εκλεκτή συνάδελφος Ειρήνη Περυσινάκη προτείνει ενδιαφέροντα ερωτήματα στα κλάσματα:

1. Αν θέλω να φάω μισή σοκολάτα (ολόκληρη την θέλω αλλά λέμε τώρα), τότε ποιο κλάσμα θα πρέπει να σχηματίσω;
2. Κάποιος έφαγε 2/3 της σοκολάτας και 1/4. Κατάφερε έτσι να την φάει ολόκληρη, ή του έμεινε κάποιο κομμάτι;
3. Κάποιος έφαγε 2/3 πίτσας και 1/6. Ποιο κλάσμα εκφράζει το κομμάτι που απέμεινε;

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΓΙΑ ΕΝΑ ΜΕΖΕ Η ΓΛΥΚΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Η ΣΕ ΑΛΛΑ ΔΙΚΑ ΣΑΣ.

ΚΑΛΗ ΣΑΣ ΟΡΕΞΗ!

***Στείλτε μου δικά σας ¨πρωτότυπα¨ ερωτήματα να τα αναρτήσω στη δημοσίευση.

Το   κ έ ι κ   των     μ α θ ημ α τ ι κ ώ ν

Κυρία, μπορώ να φτιάξω αυτή τη συνταγή κέικ;

-Είναι πραγματικές οι ποσότητες των υλικών που αναφέρονται;

Ακούστηκαν απανωτά οι ερωτήσεις από ένα μαθητή όταν τελείωνε ένας άλλος την άσκηση στον πίνακα, και μερικοί άλλοι συμπλήρωσαν:

-Ναι ναι! Ωραία ιδέα να το φτιάξουμε!

Σε αυτήν την άσκηση δινόταν μια συνταγή κέικ και οι μαθητές έπρεπε να υπολογίσουν τα υλικά που θα χρειαστούν εάν ήθελαν να φτιάξουν μεγαλύτερη δόση με 7 αυγά. Η καθηγήτρια άλλαξε λίγο τη συνταγή και οι μαθητές αποφάσισαν να φτιάξουν το κέικ σε παρέες.

Χωρίστηκαν σε ομάδες σύμφωνα με το μέρος της κατοικίας τους και πήραν τη βασική συνταγή και τον αριθμό των αυγών που θα έβαζαν. Άλλοι έπρεπε να φτιάξουν κέικ με 4 αυγά, άλλοι με 6 ή με 7 ή 8. Κάθε μέλος υπολόγισε ένα από τα υπόλοιπα υλικά γάλα, αλεύρι, ζάχαρη ή βούτυρο που αναλογούσαν στον αριθμό των αυγών.

Η συνταγή του βιβλίου έλεγε:

Έφτιαξαν λοιπόν έναν πίνακα με τα υλικά της συνταγής του κέικ :

Συμπλήρωσαν τον πίνακα με τον αριθμό των αυγών της εργασίας τους.

και υπολόγισαν τα υπόλοιπα υλικά εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των αναλόγων ποσών. Βρήκαν τον συντελεστή αναλογίας y/x = 7/5 = 1,4 και μετά τη δόση των υλικών π.χ το αλεύρι = 1,4 * 500 = 700 g και κατέληξαν στις παρακάτω ποσότητες υλικών κέικ.

Στο επόμενο εικοσαήμερο οι ομάδες έφτιαχναν το κέικ τους διασκεδάζοντας και έφερναν στο σχολείο ωραιότατα και γευστικότατα κέικ. Ακολούθησαν τη συνταγή αλλά και την φαντασία τους προσθέτοντας σοκολάτα στο περιεχόμενο ή στο γαρνίρισμα, ζάχαρη άχνη στο γαρνίρισμα.

Μοιράστηκαν τα υπέροχα κέικ με τους συμμαθητές τους στα διαλλείματα και ενθουσιασμένοι κέρασαν τους καθηγητές τους, οι οποίοι και τους συνεχάρηκαν και επιβράβευσαν για την ωραία ιδέα τους αλλά και το πεντανόστιμο κέικ τους.

Δημοσιευμένο τον Σεπτέμβριο του 2010, στην σχολική εφημερίδα:

http://to-dialeimma.blogspot.com/2010/09/34.html

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Παιχνίδια του 2, του 3 και άλλων αριθμών.

1)Υπολογίστε τον αριθμό των τετραγώνων  καθενός σχήματος

2)Τι παρατηρείτε;

3)Ποιο νομίζετε ότι είναι το επόμενο σχήμα (ε);  σχεδιάστε το.

(ε) …

Στα μαθηματικά γράφουμε με σύντομο τρόπο τη φράση

2 διάδες = =  2 * 2 =  22 ΔΥΝΑΜΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

4)Γράφτε κάθε έναν αριθμό από τα παραπάνω σχήματα σε σύντομη γραφή (δύναμη αριθμού)

(α) =……………………………………………………………………………

(β) =……………………………………………………………………………

(γ) =……………………………………………………………………………

(δ) =……………………………………………………………………………

5)Ποιός νομίζετε ότι είναι ο αριθμός  τετραγώνων που χρειάζονται για να σχεδιάσουμε το σχήμα (ζ) , το επόμενο του (ε) με σύντομη γραφή και γιατί;

6)Πόσους παράγοντες έχει το γινόμενο 2*2*2*2*2*2 ;

7)Γράφτε τον αριθμό 2 * 2* 2 * 2* 2 *2 σε μορφή δύναμης αριθμού.

8)Ποιος αριθμός είναι ο 210 ;

9)Πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο αριθμός τετραγώνων του (δ) σχήματος από τον αριθμό του σχήματος (γ);

10)Πόσα περισσότερα τετράγωνα έχει ο αριθμός (δ)  από τον αριθμό  (γ);

11)Να κάνετε τις πράξεις:

24 – 23 =;

2 * 24 = ;

23 + 23= ;

2 * 24 – 23 = ;

2 * (24 – 23 ) = ;

12)Ποιά είναι η προτεραιότητα των πράξεων ;

13)Γράφτε με σύντομο τρόπο:

τον αριθμό που αποτελείται απο 3 τριάδες = …

τον αριθμο 3 * 3 * 3 * 3 = …

τον αριθμό τετραγώνων του σχήματος

14)Γράφτε μερικούς δικούς σας  «νέους» αριθμούς:…

Ας κάνουμε ένα μικρό διάλλειμμα …


15)Ποιοι είναι ο αριθμοί

α) 102= ….         β) 103= …             γ)  104= …                 δ) 105=…

Τι   παρατηρείτε;

Κάνουμε ένα ταξίδι με άλματα επί 10;


16) Μπορείτε να γράψετε τον αριθμό 3507  με άλλη μορφή χρησιμοποιώντας τις δυνάμεις του 10;

Θυμόμαστε ότι :

3507 = 3000 + 500 +7 = 3* 1000 + 5 * 100 + 0 * 10 + 7 * 1= …

17)Ας δούμε μερικούς αριθμούς σχηματικά

22  = 

32=

42=

52 =

Τι κοινό έχουν οι αριθμοί  22 , 32, 42, 52 , … α2;

18)Ποιά άλλη ονομασία μπορεί να έχουν οι αριθμοί που είναι υψωμένοι στη δευτέρα;

19)Μια άλλη ονομασία του αριθμού α3, είναι άλφα στον κύβο γιατί;


20)

Στον αρχαίο αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind (1650 π.χ.) βρέθηκε το παρακάτω πρόβλημα, μπορείτε να το λύσετε;

Αν υπήρχαν επτά σπίτια, που το καθένα είχε επτά γάτες, που η κάθε μια έτρωγε επτά ποντίκια, που το καθένα θα έτρωγε επτά στάχυα, που το καθένα στάχυ θα έβγαζε επτά εκάτ κόκκους πόσοι κόκκοι έτσι θα διασώζονταν;

(εκάτ = μονάδα μέτρησης)

21)Μια φορά κι ένα καιρό, στη μακρινή Κίνα ήταν ένας αυτοκράτορας που είχε πάθος με τα παιχνίδια – κυρίως τα επιτραπέζια. Έφτασε όμως μια μέρα που είχε παίξει και είχε βαρεθεί όσα παιχνίδια υπήρχαν. Διέταξε λοιπόν να του φτιάξουν ένα παιχνίδι με απλούς κανόνες, το οποίο όμως κάθε φορά που θα το έπαιζε να είναι διαφορετικό ώστε να μην βαρεθεί ποτέ. Όποιος κατάφερνε να του φτιάξει ένα τέτοιο παιχνίδι θα μπορούσε να ζητήσει οποιαδήποτε αμοιβή. Ένας λοιπόν από τους συμβούλους του σκέφτηκε να δημιουργήσει το σκάκι.

Ο αυτοκράτορας ενθουσιάστηκε και του είπε «Ποια θες να είναι τώρα η αμοιβή σου; Μήπως θες να παντρευτείς την κόρη μου και να γίνεις ο διάδοχός μου στο θρόνο;», «Όχι» απάντησε ο σύμβουλος «κάτι πιο απλό. Θέλω στο πρώτο από τα 64 τετράγωνα που έχει το σκάκι να βάλεις ένα κόκκο ρύζι, στο δεύτερο 2, στο τρίτο 4, στο τέταρτο 8 κ.ο.κ διπλασιάζοντας κάθε φορά τον αριθμό των κόκκων από ρύζι. Η αμοιβή μου θα είναι όλο το ρύζι που θα υπάρχει πάνω στη σκακιέρα». «Μόνο αυτό;» Είπε ο αυτοκράτορας και διέταξε να πληρώσουν αμέσως το σύμβουλο. Τελικά όμως το ρύζι που έπρεπε να δώσουν στο σύμβουλο ήταν τόσο πολύ που ο αυτοκράτορας έδωσε όλη την περιουσία του για να τον ξεχρεώσει.

Μπορείτε να υπολογίσετε τον αριθμό κόκκων που πήρε ως αμοιβή;

Αν κάθε κόκκος ρυζιού ζυγίζει κατά μέσο όρο 0,1 g υπολογίστε σε τόνους το βάρος του ρυζιού.

Ας υπολογίσουμε τη τιμή των αριθμητικών παραστάσεων



Η ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

Στο Γυμνάσιο διδασκόμαστε την επιμεριστική ιδιότητα από τα πρώτα μαθήματα της Αλγεβρας .

α * (β + γ)= α * β + α * γ

Ο καθηγητής – καθηγήτρια μας, επιμένει να τη μάθουμε καλά γιατί όπως λέει είναι βασική ιδιότητα. Στην ερώτηση αν τη χρησιμοποιούμε στη ζωή μας, στη καθημερινότητα μας ξαφνιαζόμαστε, κοιταζόμαστε και απαντάμε πως μαλλον όχι, όχι  δεν τη χρησιμοποιούμε. Και τότε γιατί να τη μαθαίνουμε; Που άραγε θα μας χρειαστεί; Ισως κάποιος επιστήμονας τη χρησιμοποιεί; …. Ε! σίγουρα θα τη χρειαστούμε κάπου στα …..μαθηματικά μας, για να το λέει ο καθηγητής – καθηγήτρια μας κάτι θα ξέρει …..

Η καθηγήτρια μας, μας ρώτησε να της εξηγήσουμε τι εννοούμε με τη φράση «νόστιμα και κατακόκκινα μήλα» , απαντήσαμε «νόστιμα μήλα και κατακόκκινα μήλα» και μετά μας ρώτησε πως αλλοιώς λέμε τη φράση «νόστιμα μήλα και νόστιμα αχλάδια» δώσαμε απάντηση «νόστιμα μήλα και αχλάδια». Γράψαμε τις ισοδύναμες προτάσεις στον πίνακα κάτω από την επιμεριστική ιδιότητα και ξαφνικά παρατηρήσαμε μια ευθεία αντιστοιχία της επιμεριστικής ιδιότητας με το γλωσσικό πρότυπο!!!

Στη συνέχεια ζήτησε να της πούμε απλές ερωτήσεις / προβλήματα που απαντούσαμε / λύναμε στο Δημοτικό και πολλά από αυτά μας βοήθησε να τα συνδέσουμε με την επιμεριστική ιδιότητα. Θέλετε να σας τα πούμε κι εσάς;

  • Στο δημοτικό από την πρώτη τάξη ο δάσκαλος /η δασκάλα, μας έμαθε ότι μπορούμε να προσθέτουμε μόνον όμοια πράγματα πχ:

+ =

Δηλαδή 3 μήλα + 2 μήλα = 5 μήλα

και με άλλο τρόπο λέγαμε:
3φορές+2φορές = (3+2)φορές =5 

3 μήλα + 2 μήλα = ( 3 + 2 ) μήλα = 5 μήλα

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!

  • Στην επόμενη τάξη μάθαμε να προσθέτουμε διψήφιους αριθμούς π.χ το 14 με το 53. Γράφαμε 14+53=67 και το βρίσκαμε με το μυαλό αφού αναλύαμε κάθε αριθμό στις δεκάδες Δ και τις μονάδες Μ που έχει και στη συνέχεια προσθέταμε μονάδες με μονάδες και δεκάδες με δεκάδες. Στο παράδειγμα μας ο 14=1Δ +4Μ και ο 53=5Δ +3Μ, οπότε
    14+53=(1Δ+5Δ)+( 4Μ+3Μ)=(1+5) Δ+(4+3) Μ=6Δ+ 7Μ=67
    ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!
  • Σε άλλη τάξη μάθαμε διάφορα γεωμετρικά σχήματα και υπολογίζαμε την περίμετρο τους πχ την ημιπερίμετρο ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με διαστάσεις 3,6 μ και 4 μ . Απαντούσαμε ότι η ημιπερίμετρος:
    Η=3,6μ+ 4μ=7,6μ  ή 3,6 μ + 4 μ =(3,6 + 4) μ  = 7,6 μ
    ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!
  • Αργότερα μάθαμε να βρίσκουμε το εμβαδό ενός γεωμετρικού σχήματος π.χ το εμβαδό του παραπάνω ορθογωνίου είναι το γινόμενο των δύο διαστάσεων του 3,6 μ  *  4 μ. Τον πολλαπλασιασμό αυτό τον κάναμε με δύο τρόπους α) κάναμε τη πράξη κατακόρυφα στο χαρτί μας 3,6 μ  * 4 μ  =14,4 τ.μ ή  β) με το μυαλό μας. Θυμάμαι κάναμε ένα τέχνασμα για να το βρούμε με το μυαλό μας: γράφαμε τον αριθμό 3,6 =3 + 0.6 και μετά όλα ήταν εύκολα αφού 3* 4 =12 και 0,6 * 4 =2,4 Απαντούσαμε ότι το εμβαδό Ε, ισούται με το άθροισμα 12 + 2,4  = 14,4 τ.μ Δηλαδή λέγαμε
    Ε=3,6μ *4μ =(3+0.6) *4 τ.μ =(3*4+ 0,6 *4 )τ.μ =(12 +2,4)τ.μ =14,4τ.μ ΠΑΛΙ ΚΑΙ ΠΑΛΙ Η ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!

  • Ηθελα να ντύσω με αυτοκόλητο ντύμα ένα βιβλίο μου σε μέγεθος Α4 και ενα τετράδιο μου πιο κοντό σε μέγεθος. Με ρώτησε η μαμά πόσο αυτοκόλητο χρειαζόμουν για να αγοράσει. Για το βιβλίο μου μαζί με τα περιθώρια χρειαζόμουν αυτοκόλητο  μήκους 32 εκ και για το τετράδιο 29 εκ. Η μαμά έκανε τη πράξη με το μυαλό της και μου είπε ότι θα αγοράσει αυτοκόλητο μήκους 61 εκ. Η μαμά είχε υπολογίσει :
    32 εκ + 29 εκ = (32+29) εκ = 61 εκ,
    ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !
  • Αυτό το τέχνασμα μου άρεσε και το χρησιμοποιούσα αργότερα για να βρω το γινόμενο μεγάλων αριθμών ως εξής:
    103*8 =(100+3)*8 =100*8+3*8 =800 +24=824
    ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !
  • Για τον υπολογισμό του μήκους υφάσματος που πρέπει να αγοράσω, για να μου ράψει η μοδίστρα δύο φούστες μια κοντή και μια μακρια ποια ιδιότητα των μαθηματικών χρησιμοποιώ;
    ΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !
  • Οταν λέω 3 χ+ 5 χ = ( 3 + 5 )  χ = 8 χ ποια ιδιότητα των μαθηματικών χρησιμοποιώ;
    ΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !
  • Ας δοκιμάσουμε να βρούμε με δύο τρόπους πόσα χρήματα θα μου κοστίσει το βάψιμο δύο τοίχων του δωματίου μου, αν το βάψιμο κάθε τετραγωνικού κοστίζει 2 ευρώ;ΕΔΩ–>
  • Επιβεβαιώνουμε την ιδιότητα της επιμεριστικής ως προς την αφαίρεση και βρίσκουμε δικά μας παραδείγματα για τη χρησιμότητα της, στην καθημερινότητα μας.
    α * (β – γ)  =  α * β – α * γ

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ

Αφαιρώ ακέραιους αριθμούς παίζοντας.

Μια μέρα έπαιζαν το γνωστό παιχνίδι ερωτήσεων  (βλέπε πρόσθεση ακεραίων) δυο φίλοι ο Γιώργος και ο Γιάννης. Στο τέλος του πρώτης φάσης δέκα παιχνιδιών ο Γιώργος είχε απαντήσει σωστά σε 6 ερωτήσεις και λάθος σε 4. Ο Γιάννης είχε απαντήσει σωστά σε 7 και λάθος σε 3. Στο χρόνο που μεσολάβησε μέχρι να αρχίσει η δεύτερη φάση του παιχνιδιού οι δυο φίλοι βρήκαν την ευκαιρία να τσιμπολογήσουν στην βεράντα τους και να κουβεντιάσουν. Οι δύο αδελφούλες τους όμως αποφάσισαν να δοκιμάσουν κρυφά αυτό το φοβερό παιχνίδι που τόσο καιρό μόνο άκουγαν. Η Λίνα, αδελφή του Γιώργου ενεργοποίησε την δεύτερη φάση, έχασε τις τρεις επόμενες ερωτήσεις του παιχνιδιού και το διέκοψε. Η Ελένη, αδελφή του Γιάννη δεν μπόρεσε να  ενεργοποιήσει τη δεύτερη φάση και το διέκοψε αφού όμως κατάφερε να ….. αφαιρέσει τρεις από τις ήδη κερδισμένες κάρτες του αδελφού της! (Αυτό έγινε γιατί αναίρεσε τα τρία τελευταία κερδισμένα παιχνίδια του αδελφού της)

Μπορείτε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα;

1) Ποιο ήταν το σκορ του καθενός στη λήξη της πρώτης φάσης;

2)Ποιος ήταν ο νικητής του πρώτου μέρους και πόσο υπερείχε από τον άλλον;

2)Μετά τη μεσολάβηση των δύο αδελφών τους τι σκορ παρουσίαζαν;

Τους ευνόησε η επέμβαση των δύο αδελφών τους ή όχι;

3) Ποιος υπερείχε τελικά και κατά πόσο περισσότερο από τον άλλον;

4)Τι παρατηρείτε;

5)Μπορείτε να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ισότητας ή ανισότητας ανάμεσα στους αριθούς :

– ( + 3 ) …… + ( – 3 )

6)Μπορείτε να φτιάξετε έναν κανόνα για τους αριθμούς :

– ( + α ) …… + ( – α )

7)Τι θα συνέβαινε αν η Λίνα αδελφή του Γιώργου στη δεύτερη φάση κέρδιζε τις τρεις επόμενες ερωτήσεις του παιχνιδιού ενώ  η Ελένη κατάφερνε να αφαιρέσει τρεις από τις χαμένες κάρτες του αδελφού της!

8)Μπορείτε να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ισότητας ή ανισότητας ανάμεσα στους αριθούς :

– ( – 3 ) …… + ( + 3 )

9)Μπορείτε να φτιάξετε έναν κανόνα για τους αριθμούς :

– ( – α ) …… + ( + α )

10)Να συζητήσετε με τους συμμαθητές της ομάδας σας και να προτείνετε ένα κανόνα για την αφαίρεση δύο αριθμών:

α – β =  α – (……)  = α … (……)

11)Δοκιμάστε να αφαιρέσετε τρεις αρνητικούς βαθμούς από 7 κερδισμένους.

Μήπως έχετε όφελος;

Παλιότερα Άρθρα »

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων