Feed
Άρθρα
Σχόλια

Αρχείο για την κατηγορία 'ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄'

Πολλαπλασιασμός ρητών

Θυμόμαστε – μαθαίνουμε τον πολλαπλασιασμό ρητών 

Πόσο καλά τα μάθαμε; ας αυτοαξιολογηθούμε…

Πατάμε πάνω στην εικόνα:

Εχουμε ένα ικανοποιητικό αποτέλεσμα;

Επιλέγουμε  Leaderboard και γράφουμε το όνομα μας.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

 

Αθροισμα ρητών

Ας θυμηθούμε τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης ρητών και μετά ελάτε να … παίξουμε.

Πετύχατε ένα καλό σκορ;

Μπορείτε να δηλώσετε το όνομα σας επιλέγοντας Leaderboard

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

Κλάσματα

Επαναληπτικές ασκήσεις στα κλάσματα 

Ενότητα 1 (Κλασματική μονάδα- Ισοδύναμα – Σύγκριση κλασμάτων)

Θυμάμαι – μαθαίνω ότι:

Πατήστε πάνω στην εικόνα για το τεστ: 

Α΄τάξη Γυμνασίου

(Αυτοαξιολόγηση)                                                           καλή επιτυχία!                    

Ένα πρόβλημα μοιρασιάς

Είναι πολύ σημαντικό να σκέφτεται κάποιος για να βρει λύση στο πρόβλημα του.

Όμως εξ ίσου σημαντικό είναι και να γνωρίζει να εκτελεί σωστά τις αντίστοιχες πράξεις.

Παρακολουθείστε τον τρόπο της διαίρεσης και της επαλήθευσης στην προσπάθεια μοιρασιάς 49 κατσικιών σε 7 κορίτσια!

 

eratoΤο πείραμα στο σχολείο μας:DSC02321

 

Την 23η Σεπτεμβρίου το τμήμα Α3 του σχολείου μας συμμετείχε στο πείραμα του Ερατοσθένη για πρώτη φορά. Την ημέρα εκείνη, ημέρα ισημερίας και γύρω στις 12 το μεσημέρι πολλά σχολεία στον κόσμο επανάλαβαν το πείραμα του Ερατοσθένη.  Οι μαθητές μέτρησαν τη σκιά μιας ράβδου μήκους ενός μέτρου,  η οποία έπρεπε να είναι κάθετη στο επίπεδο της γης (τοπικά). Οι ακτίνες του ήλιου είναι πάντα παράλληλες μεταξύ τους αλλά οι ράβδοι σχημάτιζαν διαφορετικό μήκος σκιάς ανάλογα με το πόσο βορειότερα από τον Ισημερινό βρισκόταν ή όχι το μέρος που έλαβε μέρος το πείραμα.

DSC02329

Από το πρωί στην περιοχή του σχολείου μας ο ουρανός ήταν πολύ συννεφιασμένος και υπήρχε μια σχετική αγωνία για την πραγματοποίηση ή όχι του πειράματος. Ομως κατά τις 12 το μεσημέρι τα σύννεφα υποχώρισαν και ο ήλιος μπήκε μέσα στην τάξη με αποτέλεσμα να αποφασιστεί να γίνει το πείραμα στο χώρο της αίθουσας. Οι μαθητές χωρίστηκαν σε δύο ομάδες και παρατηρούσαν το μήκος της σκιάς της ράβδου να μειώνεται συνεχώς. Ολοι εργάζονταν συντονισμένα. Κάποιοι κρατούσαν τη ράβδο,  μερικοί άλλοι μετρούσαν το μήκος της σκιάς και άλλοι σημείωναν την ώρα του πειράματος και την αντίστοιχη μέτρηση της σκιάς της ράβδου.

DSC02326 DSC02327

Μία ομάδα είχε πρόβλημα με τη κατακόρυφη θέση της ράβδου και κρέμασαν από το πάνω μέρος της ένα βαρίδι.

DSC02349 DSC02332 DSC02343

Στις 12:25:12, ώρα τοπικής μεσουράνησης οι μαθητές σημείωσαν το μικρότερο μήκος της σκιάς της ράβδου και για ένα δεκάλεπτο μετά παρατηρούσαν την συνεχή αύξηση της. 

DSC02356 DSC02340

Στη διάρκεια της σχολικής χρονιάς, με την πορεία των μαθημάτων οι μαθητές του Α3 θα κατανοήσουν και θα εξηγήσουν το πείραμα. Θα υπολογίσουν την περίμετρο της γης σύμφωνα με τα δεδομένα του πειράματος τους και … θα μας ενημερώσουν.

και

λίγα λόγια για τον Ερατοσθένη:

1

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη, στη σημερινή Λιβύη, έζησε, εργάστηκε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια, πρωτεύουσα της Αιγύπτου. Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ισχυριζόταν ότι επίσης σπούδασε για κάποια χρόνια στην Αθήνα. Το 236 π.Χ. ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ΄ τον Ευεργέτη βιβλιοθηκάριος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχόμενος τον Ζηνόδοτο. Δεν παντρεύτηκε ποτέ. Το 194 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε.

Ήταν ο πρώτος που υποστήριξε ότι η Γη είναι μια σφαίρα που βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος, το οποίο περιστρέφεται με συχνότητα εικοσιτεσσάρων ωρών. Επινόησε επίσης το σύστημα των γεωγραφικών παραλλήλων. Διατύπωσε δε την υπόθεση, ότι είναι δυνατόν να ταξιδέψουμε κατά μήκος μιας γεωγραφικής παράλληλου ξεκινώντας από την Ιβηρία και να φτάσουμε έως την Ινδία, διαπλέοντας τον Ατλαντικό ωκεανό. Ο Στράβων που διέσωσε και μας μετέφερε την θεωρία αυτή, προσέθεσε μάλιστα, ότι στο ταξίδι αυτό ίσως να συναντούσαμε νέα άγνωστα μέρη ξηράς.

Ένα από τα πιο σημαντικά πειράματα που πραγματοποιήθηκε στην ιστορία της ανθρωπότητας ήταν η μέτρηση της περιφέρειας της γης από τον Ερατοσθένη τον 3 π.Χ. αιώνα. Ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε ότι στη Συήνη (σημερινό Ασουάν) ο ήλιος κατά το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου ρίχνει τις ακτίνες του κάθετα στον ορίζοντα και φωτίζει τον πυθμένα ενός πηγαδιού. Την ίδια στιγμή στην Αλεξάνδρεια οι ακτίνες του ηλίου σχηματίζουν μια γωνία 7ο με την κατακόρυφο του τόπου. Στη συνέχεια μέτρησε την απόσταση Αλεξάνδρειας – Συήνης και υπολόγισε, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί, με αξιοζήλευτη ακρίβεια την περιφέρεια της γης.

Θέλετε να παίξουμε ένα έξυπνο παιχνίδι; Παίζοντας το θα ανακαλύψετε ότι ο υπολογιστής σας μπορεί να καταλαβαίνει τι σκέφτεστε και ότι υπάρχουν μαγικά κόλπα…

Πατήστε στην εικόνα που ακολουθεί και απαντήστε προσεκτικά στα ερωτήματα:

pr

Ωραία περάσαμε, παίξαμε και ξαφνιαστήκαμε με τα … μαγικά. Μήπως όμως πίσω από όλα αυτά κρύβονται τα μαθηματικά; Μήπως μπορούμε να δώσουμε μια εξήγηση; Πώς λειτουργεί το παιχνίδι;

Πρόσφατα ασχοληθήκαμε στο μάθημα μας με το παρακάτω πρόβλημα του σχολικού βιβλίου.

schΑκούστηκαν ενδιαφέρουσες ιδέες αλλά και νέα ερωτήματα, τα οποία σας μεταφέρουμε.

Το πρώτο ερώτημα με το οποίο ασχολήθηκαν οι μαθητές ήταν η εύρεση της περιμέτρου του 5ου σχήματος. Είχαν παρατηρήσει ότι καθένα σχήμα προκύπτει από το προηγούμενο αν στα δεξιά του προσθέσουμε μία νέα στήλη τετραγώνων με ένα τετράγωνο παραπάνω. Εύκολα και γρήγορα κατασκεύασαν το 5ο σχήμα και βρήκαν τη περίμετρο του,

Π_5 = 20 cm.

Σύμφωνα με το  ερώτημα που ακολουθούσε έπρεπε να βρουν τον τύπο που υπολογίζει τη περίμετρο κάθε σχήματος, οπότε αποφάσισαν ότι έπρεπε να βρουν και τις περιμέτρους των προηγούμενων σχημάτων. Τα αποτελέσματα αυτά γράφτηκαν στον πίνακα:

Π1=4cm, Π2=8cm, Π3=12cm, Π4=16cm, Π5=20cm .

Εξήγησαν ότι βλέπουν ένα γεωμετρικό μοτίβο στο σχεδιασμό τους, αλλά και στις τιμές των περιμέτρων τους ένα άλλο αριθμητικό.

Ο μαθητής Σ.  είπε ότι σύμφωνα με τους παραπάνω υπολογισμούς κάθε περίμετρος σχήματος διαφέρει από την περίμετρο του προηγούμενου κατά 4 και κατέληξε ότι:  

Π_τυχαίου = Π_προηγούμενου + 4

Η μαθήτρια Κ. είπε ότι οι αριθμοί αυτοί είναι πολλαπλάσιοι του 4 άρα

Π_ν= 4 ν, όπου ν είναι ο αριθμός τετραγώνων της κάτω σειράς.

Ο μαθητής Ν. είπε ότι στα προηγούμενα σχήματα παρατηρεί το εξής: Π_1=4, Π2= 2+2+4=4 *2,  Π_3=3+3+6 = 4 *3, Π_4 = 4+4+8 = 4*4  άρα

Π_ν = ν +ν +2ν =4ν (δείχνοντας τον αριθμό τετραγώνων περιμετρικά στα σχήματα)

Ο μαθητής Β. είπε ότι οι περίμετροι των σχημάτων αυτών συμπεριφέρονται όπως οι περίμετροι των τετραγώνων πλευράς ν. Η τεθλασμένη τους γραμμή  μοιάζει σαν να είναι «τσαλακωμένη»  από τις δύο πλευρές.

Ο μαθητής Δ. είπε ότι η «σκαλωτή»  πλευρά τους ισούται με τη βάση επί 2  (νέο μοτίβο!)

Μπορείς να πειραματιστείς με το αρχείο που ακολουθεί για να διαπιστώσεις τα παραπάνω κι εσύ.

ΠΑΤΗΣΕ ΕΔΩ ή στην εικόνα: tetra

Στη συνέχεια ήρθε μια σειρά από νέα ερωτήματα των παιδιών, τα οποία αποτελούν πρόκληση για τον καθένα μας.

1)Αν προσθέσουμε στη κορυφή ενός σχήματος ένα ακόμη τετράγωνο, πόσο θα είναι η περίμετρος του νέου σχήματος;

2)Υπάρχει τύπος για τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων;

Μία υπόδειξη του μαθητή Β. Κ. 

tet1

Από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι το εμβαδόν του σχήματος με βάση 5 τετράγωνα ισούται με Ε= (5^2/2 )+(5 /2) = (5^2+5)/2

άρα το όμοιο σχήμα με αυτό που έχει  ν τετράγωνα στη βάση έχει εμβαδόν

Ε= (ν^2+ν)/2

Μία υπόδειξη του μαθητή Δ. Β. 

tet2

Προσθέτουμε άλλο ένα σχήμα ίδιο με αυτό που έχουμε ( το σχήμα έχει 3 τετράγωνα στη βάση) αλλά αναποδογυρισμένο σε σχέση με το πρώτο και τότε έχουμε ένα ορθογώνιο με μήκος 4 τετράγωνα και ύψος 3

tet3

 

Το εμβαδόν του δεύτερου σχήματος είναι 3χ4  άρα το εμβαδόν του αρχικού σχήματος είναι 3χ4/2

επομένως το εμβαδόν ενός όμοιου σχήματος που έχει ν τετράγωνα στη βάση είναι: 

Ε= ν (ν+1) /2

 

3) Πόσο είναι το άθροισμα των αριθμών 1+2+3+4+5 =; 

1+2+3+4+… +ν=;

Μία υπόδειξη: Παρατήρησε ότι το εμβαδόν του σχήματος της προηγούμενης ερώτησης με 5 τετράγωνα στη βάση ισούται με 1+2+3+4+5.

4)Μετά τη συνεδρίαση και τα 10 μέλη του διοικητικού συμβουλίου μιας εταιρείας ανταλλάσσουν μεταξύ τους χειραψίες. Πόσες χειραψίες γίνονται συνολικά;

Μία υπόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι ένας-ένας χαιρετάει τους υπόλοιπους και φεύγει. Τότε ο πρώτος θα ανταλλάξει συνολικά 9 χειραψίες, ο δεύτερος 8, ο τρίτος 7, ο τέταρτος 6,  ο πέμπτος 5, ο έκτος 4, ο έβδομος 3, ο όγδοος 2, ο ένατος 1 και ο δέκατος καμία. Επομένως ο συνολικός αριθμός χειραψιών θα είναι 9+8+7+6+5+4+3+2+1=;

xeri

Πόσες χειραψίες θα ανταλλάξουν 100 μέλη ενός άλλου διοικητικού συμβουλίου; ν μέλη;

 

Αξιολόγηση στα κριτήρια διαιρετότητας

Ας θυμηθούμε τα κριτήρια διαιρετότητας:


Είμαστε έτοιμοι για την αυτοαξιολόγηση;

Θα πρέπει να τοποθετήσετε τους αριθμούς που εμφανίζονται σε λίστες, ώστε να διαιρούνται συγχρόνως με το 2 και το 3, ή το 2 και το 5, ή το 3 και το 5 ή είναι ΑΛΛΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Εχετε διαθέσιμο χρόνο 4 λεπτά. Κάθε προσπάθεια βαθμολογείται θετικά (σωστό) ή αρνητικά (λάθος).

Πάμε

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Ας «φάμε» λίγη πίτσα ή σοκολάτα και ας συγκρίνουμε κλασματικές μονάδες με τη μονάδα (κόβουμε τη πίτσα ή τη σοκολάτα σε ίσο αριθμό κομματιών και τρώμε ένα από αυτά) .

Αν έχουμε ένα τμήμα 1 cm θα μπορούσαμε να βρούμε το τμήμα που έχει μήκος ο.5 cm; Με πόσους τρόπους;

«Τρώμε» περισσότερο από μια πίτσα και βρίσκουμε το καταχρηστικό κλάσμα που αντιπροσωπεύει αυτόν τον μεικτό αριθμό και αντίστροφα.

σοκολατασιλιακαιτα

Τι σχέση έχει μία κλασματική μονάδα ή ένα καταχρηστικό κλάσμα με τη μονάδα ; (1 πίτσα )

Μήπως θα μπορούσαμε να συγκρίνουμε κλάσματα μεταξύ τους; κλάσματα που έχουν ίδιο αριθμητή (κόβουμε τις πίτσες σε διαφορετικό αριθμό κομματιών αλλά «τρώμε» ίδιο αριθμό κομματιών) ή ίδιο παρανομαστή (κόβουμε τις πίτσες σε ίδιο αριθμό κομματιών και τρώμε κατά βούληση) και αν ναι μήπως μπορούμε να βρούμε ένα κανόνα για κάθε περίπτωση;

Αν τα κλάσματα έχουν διαφορετικό αριθμητή και παρανομαστή μπορούμε να τα συγκρίνουμε; (κόβουμε τις πίτσες σε διαφορετικό αριθμό κομματιών «τρώμε» όσο θέλουμε και μετακινούμε κατάλληλα τις πίτσες ,τα συγκρίνουμε και προσπαθούμε να βρούμε ένα κανόνα σύγκρισης) .

Αν θέλουμε να βρούμε το άθροισμα ή τη διαφορά τους; Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα και προσπαθούμε να βρούμε ένα κλάσμα που αντιπροσωπεύει το άθροισμα ή τη διαφορά τους. Διερευνούμε σε πόσα κομμάτια θα μπορούσαμε να είχαμε κόψει τις πίτσες, ποια νέα κλάσματα αντιπροσωπεύουν τα μέρη που είχαμε «φάει» και φτιάχνουμε ένα κανόνα για την εύρεση του αθροίσματος ή της διαφοράς τους.

Η καλή μου φίλη και εκλεκτή συνάδελφος Ειρήνη Περυσινάκη προτείνει ενδιαφέροντα ερωτήματα στα κλάσματα:

1. Αν θέλω να φάω μισή σοκολάτα (ολόκληρη την θέλω αλλά λέμε τώρα), τότε ποιο κλάσμα θα πρέπει να σχηματίσω;
2. Κάποιος έφαγε 2/3 της σοκολάτας και 1/4. Κατάφερε έτσι να την φάει ολόκληρη, ή του έμεινε κάποιο κομμάτι;
3. Κάποιος έφαγε 2/3 πίτσας και 1/6. Ποιο κλάσμα εκφράζει το κομμάτι που απέμεινε;

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΓΙΑ ΕΝΑ ΜΕΖΕ Η ΓΛΥΚΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Η ΣΕ ΑΛΛΑ ΔΙΚΑ ΣΑΣ.

ΚΑΛΗ ΣΑΣ ΟΡΕΞΗ!

***Στείλτε μου δικά σας ¨πρωτότυπα¨ ερωτήματα να τα αναρτήσω στη δημοσίευση.

Το   κ έ ι κ   των     μ α θ ημ α τ ι κ ώ ν

Κυρία, μπορώ να φτιάξω αυτή τη συνταγή κέικ;

-Είναι πραγματικές οι ποσότητες των υλικών που αναφέρονται;

Ακούστηκαν απανωτά οι ερωτήσεις από ένα μαθητή όταν τελείωνε ένας άλλος την άσκηση στον πίνακα, και μερικοί άλλοι συμπλήρωσαν:

-Ναι ναι! Ωραία ιδέα να το φτιάξουμε!

Σε αυτήν την άσκηση δινόταν μια συνταγή κέικ και οι μαθητές έπρεπε να υπολογίσουν τα υλικά που θα χρειαστούν εάν ήθελαν να φτιάξουν μεγαλύτερη δόση με 7 αυγά. Η καθηγήτρια άλλαξε λίγο τη συνταγή και οι μαθητές αποφάσισαν να φτιάξουν το κέικ σε παρέες.

Χωρίστηκαν σε ομάδες σύμφωνα με το μέρος της κατοικίας τους και πήραν τη βασική συνταγή και τον αριθμό των αυγών που θα έβαζαν. Άλλοι έπρεπε να φτιάξουν κέικ με 4 αυγά, άλλοι με 6 ή με 7 ή 8. Κάθε μέλος υπολόγισε ένα από τα υπόλοιπα υλικά γάλα, αλεύρι, ζάχαρη ή βούτυρο που αναλογούσαν στον αριθμό των αυγών.

Η συνταγή του βιβλίου έλεγε:

Έφτιαξαν λοιπόν έναν πίνακα με τα υλικά της συνταγής του κέικ :

Συμπλήρωσαν τον πίνακα με τον αριθμό των αυγών της εργασίας τους.

και υπολόγισαν τα υπόλοιπα υλικά εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των αναλόγων ποσών. Βρήκαν τον συντελεστή αναλογίας y/x = 7/5 = 1,4 και μετά τη δόση των υλικών π.χ το αλεύρι = 1,4 * 500 = 700 g και κατέληξαν στις παρακάτω ποσότητες υλικών κέικ.

Στο επόμενο εικοσαήμερο οι ομάδες έφτιαχναν το κέικ τους διασκεδάζοντας και έφερναν στο σχολείο ωραιότατα και γευστικότατα κέικ. Ακολούθησαν τη συνταγή αλλά και την φαντασία τους προσθέτοντας σοκολάτα στο περιεχόμενο ή στο γαρνίρισμα, ζάχαρη άχνη στο γαρνίρισμα.

Μοιράστηκαν τα υπέροχα κέικ με τους συμμαθητές τους στα διαλλείματα και ενθουσιασμένοι κέρασαν τους καθηγητές τους, οι οποίοι και τους συνεχάρηκαν και επιβράβευσαν για την ωραία ιδέα τους αλλά και το πεντανόστιμο κέικ τους.

Δημοσιευμένο τον Σεπτέμβριο του 2010, στην σχολική εφημερίδα:

http://to-dialeimma.blogspot.com/2010/09/34.html

Παλιότερα Άρθρα »

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων