1. α) Να γράψετε και να αποδείξετε την ταυτότητα για το τετράγωνο της διαφοράς.(ΣΕΛ.43)

β) Να γράψετε και να αποδείξετε την ταυτότητα για τον κύβο του αθροίσματος.(ΣΕΛ.44)

2. α) Να γράψετε την ταυτότητα για τον κύβο της διαφοράς.(ΣΕΛ.44)

β) Να γράψετε και να αποδείξετε την ταυτότητα για το γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά.(ΣΕΛ.44)

3. α) Να γράψετε και να αποδείξετε την ταυτότητα για τη διαφορά κύβων.(ΣΕΛ.44)

β) Να γράψετε την ταυτότητα για το άθροισμα κύβων.(ΣΕΛ.44)

4. α) Τι ονομάζεται παραγοντοποίηση;(ΣΕΛ.53)

β) Να αναφέρετε επιγραμματικά τις πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης.

( κοινός παράγοντας, ομαδοποίηση, διαφορά τετραγώνων, διαφορά – άθροισμα κύβων, ανάπτυγμα τετραγώνου, παραγοντοποίηση τριωνύμου).

5. α) Τι ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;(ΣΕΛ.68)

β) Ποιο είναι το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων: 6x²(x+2)² και 3x(x+2)³ ;

6. α) Τι ονομάζεται μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;(ΣΕΛ.68)

β) Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των παραστάσεων: 3x³y²z και 6x²z²;

1. α) Τι ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του;(ΣΕΛ.33)

β) Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό πολυώνυμο και ποιος είναι ο βαθμός τους;(ΣΕΛ.33)

γ) Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου 3x²y+2xy⁴-9x⁵y³ ως προς x, ως προς y και ως προς x και y;

2. α)  Τι σημαίνει «γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x»;(ΣΕΛ.34)

β)  Να γράψετε το πολυώνυμο: -6x+7x²+5-4x⁴ κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x.

3. α) Πότε δύο πολυώνυμα είναι ίσα;(ΣΕΛ.34)

β) Για ποιες τιμές των α και β είναι ίσα τα πολυώνυμα 3x²-5x+6 και  (α-1)x²+βx+6;

4. α) Τι ονομάζεται αναγωγή όμοιων όρων;(ΣΕΛ.34)

β) Να κάνετε αναγωγή ομοίων όρων στην αλγεβρική παράσταση; 3a+4b-6a-7b.

5.α) Πώς πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο;(ΣΕΛ.38)

β) Πώς πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο;(ΣΕΛ.38)

γ) Όταν κάνουμε πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή πολλαπλασιασμό δύο πολυωνύμων, λέμε ότι ………… τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα ονομάζεται ………….του γινομένου.(ΣΕΛ.38)

6. α) Τι ονομάζεται ταυτότητα στα Μαθηματικά;(ΣΕΛ.42)

β) Να γράψετε και να αποδείξετε την ταυτότητα για το τετράγωνο αθροίσματος.(ΣΕΛ.43)

1. α) Πότε μια έκφραση ονομάζεται αριθμητική παράσταση και πότε αλγεβρική παράσταση; (ΣΕΛ.25)

β) Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι αριθμητικές και ποιες είναι αλγεβρικές παραστάσεις:  3x-2y, 2+5-6/5, xy²-3v, 3²+5.

γ) Τι λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης;(ΣΕΛ.25)

δ) Να βρείτε την τιμή της αλγεβρικής παράστασης: 2x²-xy για x=-2 και y=3.

2. α) Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια;(ΣΕΛ.25)

β) Τι ονομάζεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται;(ΣΕΛ.26)

γ) Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι ακέραιες και ποιες είναι μονώνυμα: 3x^-3+y, ¼ ab, -9xy⁴ , 5x+6y²

3. α) Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια;(ΣΕΛ.26)

β) Ποια μονώνυμα ονομάζονται ίσα και ποια αντίθετα;(ΣΕΛ.26)

γ) Να γράψετε τρία μονώνυμα που να είναι όμοια με το 6xyz.

4. α) Τι ονομάζεται βαθμός ενός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή;(ΣΕΛ.26)

β) Τι ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του;(ΣΕΛ.26)

γ) Τι ονομάζεται σταθερό και τι μηδενικό μονώνυμο και ποιος είναι ο βαθμός τους;(ΣΕΛ.26)

δ) Ποιος είναι ο βαθμός του μονωνύμου 4x²y³z ως προς x, ως προς y, ως προς z και ως προς  x, y και z.

5. α) Πώς ορίζεται το άθροισμα όμοιων μονωνύμων;(ΣΕΛ.30)

β) Πώς ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων;(ΣΕΛ.30)

γ) Να βρείτε το γινόμενο (-2xy)*(-3x²y)

6. α) Τι ονομάζεται πολυώνυμο;(ΣΕΛ.33)

β) Τι λέγεται όρος του πολυωνύμου;(ΣΕΛ.33)

γ) Πότε ένα πολυώνυμο λέγεται διώνυμο και πότε τριώνυμο;(ΣΕΛ.33)

ΑΣΚΗΣΗ 10

Δίνονται οι παρακάτω τιμές μιας μεταβλητής Χ:

3, 5, 8, 8, 10, 11, 13, 9, 9, 4

Να υπολογίσετε: α) το εύρος β) τη διακύμανση, γ) την τυπική απόκλιση) το συντελεστή μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός του δείγματος ομοιογενής;

ΑΣΚΗΣΗ 11

Δίνονται οι ακέραιοι αριθμοί α, β, 8, 5, 7 με μέση τιμή το 6 και διακύμανση το 2. Να βρεθούν οι α και β αν ξέρουμε ότι: α<β.

ΑΣΚΗΣΗ 12

Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές σε ευρώ:

8,  10,  13,  13,  15,  16,  18,  14,  14,  9

Α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο του παραπάνω δείγματος.

Β) Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής.

Γ) Αν οι τιμές του προϊόντος υποστούν έκπτωση 10% σε όλα τα καταστήματα , να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας.

ΑΣΚΗΣΗ 13

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο.

Β) Να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβλητότητας. Είναι ομοιογενές το δείγμα;

Δίνεται ότι: 3,16.

ΑΣΚΗΣΗ 14

Αν για τις τιμές x₁<x₂<x₃<x₄<x₅ μιας μεταβλητής Χ ισχύουν οι επόμενες σχέσεις

x₁+x₂=3,  x₃+x₄=9, =4,  δ=3 και ευρος=8, τότε να βρείτε:

Α) τις τιμές της μεταβλητής Χ και

Β) τη διακύμανση.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Ο επόμενος πίνακας παρουσιάζει τους βαθμούς που πήραν 25 μαθητές ενός τμήματος  στο μάθημα των μαθηματικών.

i)                    Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων που να περιέχει τις στήλες:vi, xivi   και Ni .

ii)                   Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή.

ΑΣΚΗΣΗ 8

Ένα δείγμα εργαζομένων μιας εταιρείας εξετάστηκε ως προς το χρόνο (σε ώρες) υπερωριακής απασχόλησης κατά τη διάρκεια ενός μηνός και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας:

Να βρείτε:

Α) Το μέγεθος του δείγματος,

Β) τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες των κλάσεων,

Γ) τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή.

ΑΣΚΗΣΗ 9

Η ομαδοποίηση των τιμών μιας μεταβλητής Χ οδήγησε στη δημιουργία του παρακάτω πίνακα:

Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τη διάρκεια ζωης 400 λαμπτήρων από την παραγωγή ενός εργοστασίου.

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.

γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων % καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.

ΑΣΚΗΣΗ 6

Η βαθμολογία 50 φοιτητών του Παιδαγωγικού Τμήματος στο μάθημα της Στατιστικής ήταν η παρακάτω:

7   1   3   7   4   6   5   8   9   5   2   8   1   7   6   6   0   2   5   3

4   4   3   2   7   1   8   5   2   4   9   3   2   7   2   8   1   6   7   3

6   9   5   2   8   1   9   9   9   0

i)                    Να ομαδοποιήσετε τα παραπάνω δεδομένα σε 5 ισοπλατεις κλάσεις και να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων με στήλες: κέντρο κλάσης, συχνότητα, αθροιστική συχνότητα, σχετική συχνότητα%, σχετική αθροιστική συχνότητα %.

ii)                   Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων, καθώς και το πολύγωνο συχνοτήτων.

iii)                 Με τι ισούται το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και από το πολύγωνο συχνοτήτων;

iv)                 Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων F_i %, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.

ΑΣΚΗΣΗ  1

Οι βαθμοί 50 φοιτητών στο μάθημα της Ιστορίας ήταν οι παρακάτω:

i)                    Να γίνει διαλογή των βαθμών και να κατασκευαστεί ο πίνακας συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: «βαθμός στο μάθημα της Ιστορίας»

ii)                   Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό f_{i % .}

iii)                 Να βρεθούν οι αθροιστικές συχνότητες καθώς και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό.

iv)                 Να συμπληρωθεί ο πίνακας συχνοτήτων με όλες τις παραπάνω πληροφορίες.

v)                  Τι δείχνει η αθροιστική συχνότητα Ν_{4 ;}

vi)          Να βρείτε τον αριθμό και το ποσοστό των φοιτητών που έγραψαν:

α) 8          β) κάτω από 7     γ) Μέχρι 7   δ) Πάνω από 6 .

ΑΣΚΗΣΗ 2

Τα αποτελέσματα των εκλογών σ’ ένα εκλογικό τμήμα δίνονται από τον παρακάτω ελλιπή πίνακα:

i)        Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψηφίσαν στο τμήμα αυτό.

ii)      Να βρείτε πόσους ψήφους πήρε κάθε κόμμα.

iii)     Να σχεδιάσετε το ραβδογραμμα σχετικών συχνοτήτων.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Ρωτηθήκαν 20 μαθητές μιας τάξης για την προτίμηση τους σχετικά με τις ποδοσφαιρικές ομάδες. Τα αποτελέσματα ήταν τα παρακάτω:

ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΠΑΟ, ΠΑΟ, ΠΑΟ, ΑΕΚ, ΠΑΟΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΠΑΟΚ, ΠΑΟΚ, ΑΕΚ, ΑΕΚ, ΠΑΟ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΠΑΟ, ΠΑΟ, ΠΑΟ.

I)                   Να καταγράψετε τα παραπάνω αποτελέσματα σε πίνακα συχνοτήτων με στήλες ν_{i ,}f_i, f_i %.

II)                 Να κατασκευάσετε το κατακόρυφο ραβδογραμμα συχνοτήτων.

III)              Να κατασκευάσετε το οριζόντιο ραβδογραμμα σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό.

IV)              Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Το επόμενο κυκλικό διάγραμμα παριστάνει τις προτιμήσεις των μαθητών ενός ΕΠΑΛ σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Αν γνωρίζουμε ότι 300 από τους μαθητές είναι οπαδοί  του Ολυμπιακού, τότε:

i)                    Να βρείτε το σύνολο των μαθητών,

ii)                   Να βρείτε πόσοι μαθητές είναι οπαδοί του ΠΑΟΚ, πόσοι της ΑΕΚ και πόσοι του ΠΑΟ,

iii)                 Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό,

iv)                 Να μετατρέψετε το παρακάτω κυκλικό διάγραμμα σε ραβδογραμμα σχετικών συχνοτήτων.

Ολυμπιακός: 150°                  ΠΑΟΚ: 45°                ΑΕΚ: 77,5°               ΠΑΟ: 87,5°

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

1) Δίνονται τα διανύσματα: α=(-3,4) και β=(1, 3) .

Α) Να βρεθούν τα μέτρα τους.

Β) Να βρεθεί το εσωτερικό τους γινόμενο.

Γ) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας. Τι είδους γωνία σχηματίζουν(ορθή, οξεία ή αμβλεία);

2) Δίνεται η ευθεία ε: y=2x+4 και το σημείο Κ(1,0). Να βρείτε:

α) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Κ και είναι παράλληλη στην (ε)

β) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Κ και είναι κάθετη στην (ε)

γ) την απόσταση του σημείου Κ από την ευθεία (ε).

3) Δίνεται το τρίγωνο με κορυφές Α(1,5) Β(1,2) και Γ(2,3). Να βρείτε:

α) την εξίσωση της ευθείας ΒΓ

β) την εξίσωση του ύψους ΑΔ

γ) το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ.

4) Δίνονται τα σημεία: Ε(-3, 3)  Ζ(1, 0) Γ(2, -5). Να βρείτε:

α) τις συντεταγμένες του διανύσματος ΕΖ

β) τις συντεταγμένες του αθροίσματος διανυσμάτων: ΕΖ+ΖΓ

γ) τις συντεταγμένες του γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων: 3ΕΖ-3ΕΓ.

5) Δίνονται τα σημεία Α(1,-1) και Β(7, -9) και το διάνυσμα α=(κ, 2-κ) . Να βρείτε:

α) τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ

β) την τιμή του πραγματικού αριθμού κ, ώστε το διάνυσμα α να είναι κάθετο στο ΑΒ .

6) Δίνονται τα σημεία Α(2,-4) Β(-3,3) Γ(6,1) .

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ και να τις φέρετε στη μορφή Αx+Βy+Γ=0, με Α ή  Β.

β) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από το Β και είναι κάθετη στην ΑΓ. Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωσή της.

γ) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από το Β και είναι παράλληλη στην ΑΓ. Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωσή της.

δ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ.

7) Δίνονται τα σημεία: Α(1,-1) Β(-2,8) Γ(3,-7).

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

β)  Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ.

8) Θεωρούμε τα σημεία Β(-3,7) και Γ(3,1) και τις ευθείες ε: 3x-y+2=0 και η: 2x+y-7=0, οι οποίες τέμνονται στο Α. Να βρείτε:

α) το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ και τη γωνία που σχηματίζει αυτή με τον άξονα x’x

β) τις συντεταγμένες του σημείου Α

γ) την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ

δ) την εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ

ε) το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ.

9) Έστω Α, Β, Κ, Λ, Μ τυχαία σημεία του χώρου. Αν ισχύει η σχέση:ΑΚ+3ΜΑ=3ΚΒ-2ΑΒ+ΒΛ, να αποδείξετε ότι:

α) τα διανύσματα ΚΛ, ΚΜ είναι αντίρροπα

β) τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά.

Δυο φίλοι κανονίζουν να συναντηθούν σε μια πλατεία που απέχει την ίδια απόσταση από τα σπίτια τους. Ξεκινούν λοιπόν ταυτόχρονα από τα σπίτια τους (όταν κλείνουν το τηλέφωνο) και αρχίζουν το περπάτημα.

Ο πιο γρήγορος, κινείται με ταχύτητα 5 χλμ/ώρα και φτάνει στο σημείο συνάντησης 7 λεπτά νωρίτερα από την προκαθορισμένη ώρα του ραντεβού, ενώ ο άλλος – που κινήθηκε με ταχύτητα 4 χλμ/ώρα – έφτασε με καθυστέρηση 8 λεπτά σε σχέση με την ώρα του ραντεβού. Πόση απόσταση περπάτησε καθένας από τους δύο φίλους;

Έχουμε στη διάθεσή μας δύο κλεψύδρες: μία των 7 λεπτών και μία των 11 λεπτών. Πώς μπορούμε να χρονομετρήσουμε 15 λεπτά, που χρειάζεται ένα αυγό για να γίνει σφιχτό;