1. α) Τι είναι τα πρόσημα και πώς χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά;(ΣΕΛ.115)

β) Το μηδέν ανήκει στους θετικούς ή στους αρνητικούς αριθμούς;(ΣΕΛ.115)

2. α) Είναι απαραίτητο να γράφουμε το πρόσημο ενός θετικού αριθμού;(ΣΕΛ.115)

β) Πότε δύο ή περισσότεροι αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι;(ΣΕΛ.115)

γ) Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ομόσημοι:  -3. +6, 7, +16, -22/9,  3,45

3. α) Ποιοι είναι οι ακέραιοι και ποιοι οι ρητοί αριθμοί;(ΣΕΛ.115)

β) Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ακέραιοι και ποιοι είναι ρητοί:

-3,  +5/7,   -15,   4,    5,356  ,    -1,87  ,   45/90  ,  100/50

4. α) Πώς μπορούμε να παραστήσουμε όλους τους ρητούς πάνω σε έναν άξονα;(ΣΕΛ.116)

β) Τι λέγεται τετμημένη του σημείου Α του άξονα των ρητών αριθμών;(ΣΕΛ.116)

5.   α) Τι εκφράζει η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α;(ΣΕΛ.118)

β) Πότε δυο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι;(ΣΕΛ.118)

γ) Πώς συμβολίζεται ο αντίθετος του x;(ΣΕΛ.118)

6. α) Με τι ισούται η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού;(ΣΕΛ.118)

β)  Με τι ισούται η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού;(ΣΕΛ.118)

γ) Με τι ισούται η απόλυτη τιμή του μηδενός;(ΣΕΛ.118)

δ) Τι συμπεραίνουμε για δύο ετερόσημους αριθμούς που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή;(ΣΕΛ.118)

7. α) Ποιος είναι μεγαλύτερος από δύο ρητούς που είναι τοποθετημένοι πάνω στον άξονα των ρητών;(ΣΕΛ.119)

β) Ποιος είναι μεγαλύτερος: το μηδέν ή ένας αρνητικός αριθμός;(ΣΕΛ.119)

γ) Ποιος είναι μεγαλύτερος: το μηδέν ή ένας θετικός αριθμός;(ΣΕΛ.119)

δ) Ποιος είναι μεγαλύτερος από δύο θετικούς αριθμούς;(ΣΕΛ.119)

ε) Ποιος είναι μεγαλύτερος από δύο αρνητικούς αριθμούς ;(ΣΕΛ.119)

στ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: -6 και –12 , 6 και –12, -6 και 12.

8. α) Πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς;(ΣΕΛ.1220

β) Πώς προσθέτουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς;(ΣΕΛ.122)

γ)  Να βρείτε τα αθροίσματα: (-6)+(-8) ,   (-9)+(+6),  (+15)+(-12),     (+45)+(-90)

9. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης ρητών αριθμών;(ΣΕΛ.123)

10. α) Τι κάνουμε για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β;(ΣΕΛ.126)

β) Γιατί στους ρητούς αριθμούς η αφαίρεση είναι πάντα δυνατή;(ΣΕΛ.126)

γ) Να υπολογίσετε τις διαφορές: (-25)-(-12),  (+64)-(-8), (+23)-(+19),         (+36)-(+48)

11. Ποιοι είναι οι κανόνες απαλοιφής παρανθέσεων;(ΣΕΛ.126)

12. α) Τι αριθμός είναι το γινόμενο δύο θετικών αριθμών;(ΣΕΛ.129)

β) Τι αριθμός είναι το γινόμενο ενός θετικού και ενός αρνητικού αριθμού;(ΣΕΛ.129)

γ) Τι αριθμός είναι το γινόμενο δύο αρνητικών ρητών;(ΣΕΛ.129)

13. α) Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ομόσημους ρητούς;(ΣΕΛ.130)

β) Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους ρητούς;(ΣΕΛ.130)

γ) Να βρείτε τα γινόμενα: (-5)·(-6),  (+5)·(-6),  (-3)·(+8)

14. α) Να γράψετε την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και ως προς την αφαίρεση.(ΣΕΛ130)

β) Όταν α·β=1, πώς λέγονται οι ρητοί αριθμοί α και β; (ΣΕΛ.130)

γ) Να βρείτε το γινόμενο α·0

δ) Να γράψετε και άλλες ιδιότητες της πράξης του πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών.(ΣΕΛ.130)

15.α) Με τι ισούται ένα γινόμενο πολλών παραγόντων  στο οποίο ένας τουλάχιστον παράγοντας είναι το μηδέν;(ΣΕΛ.131)

β)  Πώς υπολογίζουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων που κανένας δεν είναι μηδέν;(ΣΕΛ.131)

γ)  Να υπολογίσετε τα γινόμενα: (-2)·(-3)·0·(+9) ,    (-4)·(+6)·(-1)·(-10) ,

(+6)·(-5)·(-1)·(+2)

1. Τι ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό και πώς συμβολίζεται;(ΣΕΛ.80)
2. Τι ονομάζεται ποσοστό επί τοις χιλίοις και πώς συμβολίζεται;(ΣΕΛ.80)
3. i) Με τι ισούται το α% του β;(ΣΕΛ.80)

ii) Να βρείτε το 15% του 35.

4. α) Μπορεί κάθε κλάσμα να γραφεί ως ποσοστό;(ΣΕΛ.80)

β) Να γραφούν σαν ποσοστά % τα παρακάτω κλάσματα: ¾  ,  2/5,  7/25 , 32/200 , 17/40, 18/60 .

1. α) Τι ονομάζεται νιοστό ενός μεγέθους ή ενός συνόλου αντικειμένων και πώς συμβολίζεται; (ΣΕΛ.35)

β) Τι είναι τα «κάπα νιοστά» ενός μεγέθους ή ενός συνόλου αντικειμένων και πώς συμβολίζονται; (ΣΕΛ.35)

ΑΠ: α) Αν ένα μέγεθος (ή ένα σύνολο αντικειμένων) χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το καθένα από αυτά ονομάζεται νιοστό  και συμβολίζεται με το κλάσμα 1/ν .

β)  Αν ένα μέγεθος (ή ένα σύνολο αντικειμένων) χωριστεί σε ν ίσα μέρη, τότε κάθε τμήμα αυτού του μεγέθους (ή του συνόλου των αντικειμένων) που αποτελείται από κ τέτοια ίσα μέρη αποτελεί τα «κάπα νιοστά» του μεγέθους και συμβολίζεται κ/ν . Δηλαδή: κ· (1/ν) = κ/ν

2.     α) Ποιοι είναι οι όροι του κλάσματος κ/ν, πώς ονομάζονται και τι παριστάνει ο καθένας;(ΣΕΛ.35)

β) Πότε ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1; (ΣΕΛ.35)

γ) Πώς μπορεί ένας φυσικός αριθμός να πάρει τη μορφή κλάσματος; (ΣΕΛ.35)

ΑΠ: α) Το κ λέγεται αριθμητής και το ν παρονομαστής. Ο παρονομαστής μας λέει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε ένα μέγεθος και ο αριθμητής πόσα από αυτά τα ίσα μέρη πήραμε.

β) Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1.

γ)  Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν κλάσμα με παρονομαστή το 1. Για παράδειγμα: α=α/1

3.  α) Πότε δυο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα;(ΣΕΛ.38)

β) Ποιες είναι οι ιδιότητες των ισοδύναμων κλασμάτων;(ΣΕΛ.38)

γ) Να βρείτε δύο κλάσματα που να είναι ισοδύναμα με το 15/9 και το ένα να έχει μικρότερους όρους ενώ το άλλο να έχει μεγαλύτερους όρους.

Απ: α) Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους.

β) – Αν δυο κλάσματα είναι ισοδύναμα, τότε τα «χιαστί γινόμενα» είναι ίσα. Δηλαδή, αν α/β=γ/δ τότε α·δ=β·γ .

–         Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό ≠0, προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα.

–         Όταν οι όροι ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό ≠0, προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα.

γ) Αν διαιρέσουμε τους όρους του κλάσματος με το 3, προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα 5/3.

Αν πολλαπλασιάσουμε τους όρους του κλάσματος με το 2, προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα 30/18.

4.      α) Τι λέγεται απλοποίηση κλάσματος;(ΣΕΛ.38)

β) Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο; (ΣΕΛ.38)

γ) Να κάνετε απλοποίηση στο κλάσμα 24/36 και να καταλήξετε σε ένα ανάγωγο ισοδύναμο κλάσμα .

ΑΠ: α) Απλοποίηση κλάσματος λέγεται η διαδικασία με την οποία όταν δίνεται ένα κλάσμα, βρίσκουμε ένα ισοδύναμό του που να έχει μικρότερους όρους.

β) Το κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί(δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης αριθμητή και παρονομαστή) λέγεται ανάγωγο.

γ) Αν διαιρέσουμε τους όρους του κλάσματος με το ΜΚΔ(24, 36)=12, προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα 2/3 που είναι και  ανάγωγο.

Αλλιώς: 24/36= 12/18=6/9=2/3 .

5.      Πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα;

ΑΠ: Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχον τον ίδιο παρονομαστή. Αν αυτό δε συμβαίνει, τότε λέγονται ετερώνυμα.                 (ΣΕΛ.38)

6.      α) Από δύο ομώνυμα κλάσματα ποιο είναι μεγαλύτερο;(ΣΕΛ.41)

β) Από δύο ετερώνυμα κλάσματα ποιο είναι μεγαλύτερο;(ΣΕΛ.41)

γ) Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή ποιο είναι μεγαλύτερο;(ΣΕΛ.41)

δ) Να γράψετε τα κλάσματα  3/5, 8/15, 7/5, 8/17 σε φθίνουσα σειρά(από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο.

ΑΠ: α) Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή.

β) Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε όπως στο α).

γ) Από δυο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μικρότερο παρονομαστή.

δ) 7/5>3/5(=9/15)>8/15>8/17

7.       α) Πώς προσθέτουμε και πώς αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα;(ΣΕΛ.44-45)

β) Πώς προσθέτουμε και πώς αφαιρούμε ετερώνυμα κλάσματα;(ΣΕΛ.45)

γ) Τι ονομάζεται μεικτός αριθμός;(ΣΕΛ.45)

δ) Με ποιο κλάσμα είναι ίσος ο μεικτός 8 3/7;

ΑΠ: α) Προσθέτουμε (αντίστοιχα αφαιρούμε) ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας (αντίστοιχα αφαιρώντας ) τους αριθμητές των κλασμάτων, ενώ παρονομαστή βάζουμε τον κοινό τους παρονομαστή.

α/γ +β/γ =(α+β)/γ α/γ –β/γ =(α-β)/γ

β) Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα τρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα.

γ) Μεικτός αριθμός ονομάζεται το άθροισμα ενός ακέραιου με ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας.

δ) 8 3/7=8+ 3/7 =56/7 +3/7 =59/7

8.       α) Πώς βρίσκουμε το γινόμενο κλασμάτων; Να βρείτε το γινόμενο 3/5· 2/7.(ΣΕΛ.48)

β) Πώς βρίσκουμε το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού με ένα κλάσμα; Να βρείτε το γινόμενο 5· ¾ .(ΣΕΛ.48)

γ) Πότε δυο κλάσματα λέγονται αντίστροφα; Ποιο είναι το αντίστροφο κλάσμα του γ/δ ;(ΣΕΛ.48)

ΑΠ: α) Το γινόμενο κλασμάτων είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

3/5 · 2/7= 6/35

β) Το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού με ένα κλάσμα είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο του αριθμητή με το φυσικό αριθμό και παρονομαστή τον ίδιο.

5·3/4 =15/4

γ) Τα κλάσματα που έχουν γινόμενο 1 λέγονται αντίστροφα. Το αντίστροφο του γ/δ είναι το δ/γ.

9.       α) Τι αρκεί να κάνουμε για να διαιρέσουμε δύο φυσικούς αριθμούς;(ΣΕΛ.50)

β) Τι παριστάνει ένα κλάσμα;

γ) Τι κάνουμε για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα;(ΣΕΛ.50)

δ) Τι ονομάζεται σύνθετο κλάσμα και πώς το τρέπουμε σε απλό; (ΣΕΛ.50)

ΑΠ: α) Αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.  α:β=α· 1/β

β) Ένα κλάσμα παριστάνει το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά τον παρονομαστή.

γ) Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

α/β : γ/δ = α/β · δ/γ

δ) Σύνθετο κλάσμα είναι ένα κλάσμα που ένας τουλάχιστον όρος του είναι κλάσμα. Πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους και το γινόμενό τους το βάζουμε αριθμητή, ενώ το γινόμενο των μέσων όρων μπαίνει παρονομαστής.

1. Τι είναι η πρόσθεση των φυσικών αριθμών;

ΑΠ: Είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, τους προσθετέους, βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το άθροισμά τους και γράφουμε: α+β=γ                                     (ΣΕΛ.15)

2. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών;

ΑΠ: α) Το μηδέν, όταν προστεθεί σε ένα φυσικό αριθμό, δεν τον μεταβάλλει.    α+0=0+α=α (Ουδέτερο στοιχείο το μηδέν)

β) Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων ενός αθροίσματος.

(Αντιμεταθετική ιδιότητα) α+β=β+α

γ) Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους ή να αναλύουμε ένα προσθετέο σε άθροισμα. (Προσεταιριστική ιδιότητα)

α+(β+γ)=(α+β)+γ                                       (ΣΕΛ.15)

3. Τι είναι η αφαίρεση; Πότε μπορεί να εκτελεστεί η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς αριθμούς;

ΑΠ: Είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ(μειωτέος) και Α(αφαιρετέος) βρίσκουμε ένα αριθμό Δ(διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στο Α δίνει το Μ. Δηλαδή: Μ-Α=Δ μόνο αν Α+Δ=Μ

Ειδικά στους φυσικούς αριθμούς, ο αφαιρετέος πρέπει να είναι πάντα μικρότερος ή ίσος του μειωτέου. Σε αντίθετη περίπτωση, η πράξη της αφαίρεσης δεν είναι δυνατό να εκτελεστεί.                   (ΣΕΛ.15)

4. α) Τι είναι ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών;

β) Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών;

ΑΠ: α) Είναι η πράξη, με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β που τους λέμε παράγοντες, βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το γινόμενό τους  και γράφουμε: α·β=γ .

β) i) Η μονάδα, όταν πολλαπλασιαστεί με ένα φυσικό αριθμό, δεν τον μεταβάλλει.            (Ουδέτερο στοιχείο το 1)      α·1= 1·α= α

ii) Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου.

(Αντιμεταθετική ιδιότητα)    α·β = β·α

iii) Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμενο.

(Προσεταιριστική ιδιότητα)  α·(β·γ)=(α·β)·γ

iv) Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: α·(β+γ)=α·β+α·γ

v) Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: α·(β-γ)=α·β – α·γ (ΣΕΛ.15)

5.  α) Τι ονομάζεται νιοστή δύναμη ενός φυσικού αριθμού α, πώς συμβολίζεται και πώς ονομάζονται τα μέρη της;

β)  Πώς αλλιώς διαβάζονται η δεύτερη και η τρίτη δύναμη ενός φυσικού αριθμού α;

γ)  Με τι ισούται η πρώτη δύναμη ενός φυσικού αριθμού α; Με τιείναι ίση κάθε δύναμη με βάση το 1;

ΑΠ:α)  Το γινόμενο α·α·α…·α, που έχει ν παράγοντες ίσους με το α, λέγεται δύναμη του α στη ν ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζεται α^ν.

Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και ο ν λέγεται εκθέτης.

β) Η δύναμη α² διαβάζεται και τετράγωνο του α, ενώ η δύναμη α³ λέγεται και κύβος του α.

γ) α¹=α και 1^ν=1.                                                                                                                                                        (ΣΕΛ.20)

6.  α) Τι ονομάζεται αριθμητική παράσταση;

β) Με ποια σειρά γίνονται οι πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση(προτεραιότητα των πράξεων).

ΑΠ: α) Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων.

β) Η σειρά με την οποία πρέπει να κάνουμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση είναι η εξής:

1.  Υπολογισμός δυνάμεων.

2.  Εκτέλεση πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων.

3.  Εκτέλεση προσθέσεων και αφαιρέσεων.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, με την παραπάνω σειρά.                         (ΣΕΛ.21)

7. α) Τι ονομάζεται Ευκλείδεια Διαίρεση;

β) Πότε η ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέλεια;

γ) Ποιες ιδιότητες έχει η ευκλείδια διαίρεση;

ΑΠ: α) Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ=δ·π+υ .

Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός π λέγεται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρεσης.

Το υπόλοιπο είναι πάντα αριθμός μικρότερος του διαιρέτη (υ<δ).

Η διαίρεση της παραπάνω μορφής λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση.

β) Αν το υπόλοιπο σε μια ευκλείδεια διαίρεση είναι μηδέν, τότε λέμε ότι έχουμε μια τέλεια διαίρεση.

γ) Ο διαιρέτης δ μιας διαίρεσης δεν μπορεί να είναι 0. (δ≠0)

Επίσης, α:α=1, α:1=α, 0:α=0 .                                                                                                                                                                                          (ΣΕΛ.25)

8. α) Τι είναι τα πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α;

β) Ποιες ιδιότητες ισχύουν για τα πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού;

γ) Τι λέγεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών που δεν είναι μηδέν; Να βρείτε το ΕΚΠ(2, 3, 9).

ΑΠ: α) Οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του α με όλους τους φυσικούς αριθμούς, είναι τα πολλαπλάσια του α. Δηλαδή: 0, α, 2α, 3α, 4α…

β) Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.

Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.

Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλο, τότε διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.

γ) Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών που δεν είναι μηδέν, ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των αριθμών αυτών.

Πολλαπλάσια του 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…..

Πολλαπλάσια του 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ….

Πολλαπλάσια του 9: 0, 9, 18, 27, 36,……     Άρα ΕΚΠ(2,3,9)=18 (ΣΕΛ.27)

9. α) Ποιοι ονομάζονται διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α;

β) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι;

γ) Τι ονομάζεται μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο φυσικών αριθμών;

δ) Πότε δύο φυσικοί αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους;

ΑΠ: α) Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.

β) Ένας αριθμός που έχει ως μοναδικούς διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του λέγεται πρώτος αριθμός.

Ένας φυσικός αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος.

γ) Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες δύο φυσικών αριθμών α και β λέγεται μέγιστος κοινός διαιρέτης αυτών και συμβολίζεται ΜΚΔ(α,β).

δ)  Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν ΜΚΔ(α,β)=1.

(ΣΕΛ.27)

10.  α) Τι είναι τα κριτήρια διαιρετότητας;

β) Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας με το 2, 3,4, 5, 9, 10, 25.

γ) Δίνεται ο αριθμός 3656_750. Να αντικαταστήσετε την παύλα με ένα ψηφίο, έτσι ώστε ο αριθμός να διαιρείται συγχρόνως με το 2, 3, 5 και 9.

δ)  Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς διαιρούνται με το 4;

258738     125882      369836      9897452

ε)  Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς διαιρούνται συγχρόνως με το 10 και με το 25;        154925        1548650    654800   35653275

ΑΠ: α) Κριτήρια διαιρετότητας λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με κάποιον άλλο φυσικό αριθμό.

β) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4, 6, 8.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 4, αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι αριθμός που διαιρείται με το 4.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι το 0 ή το 5.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10, αν λήγει σε μηδέν.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 25, αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι αριθμός που διαιρείται με το 25.

γ) Αντικαθιστούμε την παύλα με το ψηφίο 4.

δ)  369836 και 9897452 διαιρούνται με το 4.

ε)  1548650  και  654800  διαιρούνται συγχρόνως με το 25 και με το 10                                                        (ΣΕΛ.28)

1. α) Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια;(ΣΕΛ.220)

β) Να γράψετε ένα κριτήριο ομοιότητας τριγώνων.(ΣΕΛ.220)

2. Ποιες είναι οι ομόλογες πλευρές σε δύο όμοια τρίγωνα;(ΣΕΛ.221)

1. Να αποδείξετε ότι: «αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει».(ΣΕΛ.198)
2. Να αποδείξετε ότι: «αν από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς».(ΣΕΛ.199)
3. Πώς μπορούμε να διαιρέσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα μέρη, με χρήση μόνο του κανόνα και του διαβήτη;(ΣΕΛ.199)
4. α) Τι είναι ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ;(ΣΕΛ.200)

β) Με τι είναι ίσος ο λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων;(ΣΕΛ.200)

5. α) Πότε τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ;(ΣΕΛ.201)

β) Πώς ονομάζεται η ισότητα: α/β = γ/δ ; Ποιοι είναι οι άκροι όροι και ποιοι οι μέσοι όροι;(ΣΕΛ.201)

6. Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών;(ΣΕΛ.201)

7. Τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενόςτριγώνου;(ΣΕΛ.202)

8. Τι γνωρίζετε για τη διάμεσο που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου;(ΣΕΛ.203)

1. α)  Ποια είναι τα κύρια(ΣΕΛ.186) και ποια τα δευτερεύοντα στοιχεία(ΣΕΛ.187) ενός τριγώνου;

β)   Τι ονομάζεται διάμεσος τριγώνου;(ΣΕΛ.187)

γ)   Τι ονομάζεται διχοτόμος τριγώνου;(ΣΕΛ.187)

δ)   Τι ονομάζεται ύψος τριγώνου; (ΣΕΛ.187)

2. Τι γνωρίζετε για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου;(ΣΕΛ.186)

3. α) Ποια γωνία λέγεται περιεχόμενη(μεταξύ) δύο πλευρών ενός τριγώνου;(ΣΕΛ.186)

β)  Ποια είναι η περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΒΓ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ;

4. α) Ποιες γωνίες λέγονται προσκείμενες μιας πλευράς τριγώνου;(ΣΕΛ.186)

β) Ποιες είναι οι προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ;

5. α) Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους;(ΣΕΛ.187)

β) Ποια πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου λέγεται υποτείνουσα και πώς ονομάζονται οι άλλες δύο πλευρές του;(ΣΕΛ.187)

6. α) Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές τους;(ΣΕΛ.187)

β) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ πώς ονομάζεται η πλευρά ΒΓ και πώς το σημείο Α;(ΣΕΛ.187)

7. α) Τι συμπεραίνουμε για δύο τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες;(ΣΕΛ.187)

β) Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τις πλευρές και τις γωνίες τους;(ΣΕΛ.188)

8. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων;(ΣΕΛ.188-189)

9. Σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες……..βρίσκονται ίσες……..και απέναντι από ίσες……….βρίσκονται ίσες…………….(ΣΕΛ.188-189)

10. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων;(ΣΕΛ.190)

11. Ποιες ιδιότητες έχει κάθε ισοσκελές τρίγωνο;(ΣΕΛ.191)

12. α) Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα που έχουν τα σημεία της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος;(ΣΕΛ.192)

β) Τι συμπεραίνουμε για ένα σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος;(ΣΕΛ.192)

13. α) Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα που έχον τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας;(ΣΕΛ.192)

β) Τι συμπεραίνουμε για ένα σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας;(ΣΕΛ.192)

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Ερωτήσεις θεωρίας

1. Όταν λύνουμε αλγεβρικά ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων τι επιδιώκουμε;(ΣΕΛ.133)
2. Να αναφέρετε δύο από τις μεθόδους αλγεβρικής επίλυσης γραμμικού συστήματος.(ΣΕΛ.133-134)
3. Να περιγράψετε τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης.(ΣΕΛ.133)
4. Να περιγράψετε τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.(ΣΕΛ.134)

1. Ποια είναι η γενική μορφή μιας εξίσωσης 2^ου βαθμού με άγνωστο x;(ΣΕΛ.90)
2. Πώς λύνουμε την εξίσωση της μορφής: αx²+βx=0 με α≠0;(ΣΕΛ.90)
3. Πώς λύνουμε την εξίσωση της μορφής: αx²+γ=0 με α≠0;(ΣΕΛ.90)
4. Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση: x²=α όταν: i) α θετικός, ii) α αρνητικός,           iii) α=0(ΣΕΛ.91)
5. Ποια παράσταση λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης αx²+βx+γ=0 με α≠0 και πώς συμβολίζεται; (ΣΕΛ.94)
6. Πότε μια εξίσωση 2^ου βαθμού με άγνωστο x έχει δύο άνισες λύσεις; Ποιος είναι ο τύπος που μας δίνει τις λύσεις αυτές;(ΣΕΛ.94)
7. Πότε μια εξίσωση 2^ου βαθμού με άγνωστο x έχει μία διπλή λύση; Ποιος τύπος δίνει τη λύση αυτή;(ΣΕΛ.94)
8. Πότε μια εξίσωση 2^ου βαθμού με άγνωστο x δεν έχει λύση(αδύνατη);(ΣΕΛ.94)
9. Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει τις λύσεις της εξίσωσης αx²+βx+γ=0, α≠0.(ΣΕΛ.94)
10. Πώς παραγοντοποιείται το τριώνυμο αx²+βx+γ όταν η εξίσωση αx²+βx+γ=0 έχει δύο λύσεις ρ₁, ρ₂;(ΣΕΛ.96)
11. Τι ονομάζεται κλασματική εξίσωση; Πότε ορίζονται οι όροι μιας τέτοιας εξίσωσης;(ΣΕΛ.103)
12. Ποια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση;(ΣΕΛ.103-104)
13. α) Από δύο πραγματικούς αριθμούς που είναι τοποθετημένοι πάνω στον άξονα ποιος είναι μεγαλύτερος;(ΣΕΛ.110)

β) Κάθε θετικός αριθμός είναι………….από το μηδέν.

Κάθε αρνητικός αριθμός είναι…………από το μηδέν.

Κάθε θετικός αριθμός είναι…………..από κάθε αρνητικό αριθμό.

14. Πώς συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που δεν έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα;(ΣΕΛ.110)

15. Ποιες είναι οι ιδιότητες της διάταξης;(ΣΕΛ.111-112)

16. Να αποδείξετε ότι: αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.(ΣΕΛ.111)

17.  Να αποδείξετε ότι αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.(ΣΕΛ.111)

18. Να αποδείξετε ότι αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.(ΣΕΛ.112)

19. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α²+β²=0 τότε ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τους α, β;(ΣΕΛ.112)

20. Μπορούμε να αφαιρούμε ή να διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη;(ΣΕΛ.112)

1. α) Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζεται ρητή;(ΣΕΛ.71)

β) Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης;(ΣΕΛ.71)

γ) Πότε μπορεί να απλοποιηθεί μια ρητή παράσταση;(ΣΕΛ.71)

2. α) Με ποιο τρόπο πολλαπλασιάζουμε μια ακέραια με μια ρητή παράσταση ή δύο ρητές παραστάσεις;(ΣΕΛ.75)

β) Με ποιο τρόπο διαιρούμε δύο ρητές παραστάσεις;(ΣΕΛ.75)

3. α) Τι κάνουμε για να προσθέσουμε ή για να αφαιρέσουμε ρητές παραστάσεις που έχουν τον ίδιο παρονομαστή;(ΣΕΛ.78)

β) Τι κάνουμε για να προσθέσουμε ή για να αφαιρέσουμε ρητές παραστάσεις που δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή; (ΣΕΛ.78)