Δυο σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ και m₂ έχουν συνδεθεί με τη βοήθεια ιδανικού ελατηρίου όπως δείχνει το σχήμα. Το σώμα Σ₂ στηρίζεται σε οριζόντιο δάπεδο. Διεγείρουμε το Σ₁ σε κατακόρυφη ταλάντωση. Για ποιες τιμές του πλάτους της ταλάντωσης, δεν ανυψώνεται το Σ₂;

Δίνονται η σταθερή k του ελατηρίου και η g.

Για τη λύση μεταβείτε εδώ

Δρομέας των 200m ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση a₁=3m/s² μέχρις ότου αποκτήσει ταχύτητα u₁=12m/s την οποία και διατηρεί μέχρι τη θέση που βρίσκεται 56m πριν τον τερματισμό. Στη συνέχεια λόγω κόπωσης επιβραδύνεται ομαλά και τερματίζει σε συνολικό χρόνο 20s.

Να βρεθεί η επιβράδυνση και η ταχύτητα τερματισμού.

Για τη λύση μεταβείτε εδώ

Διδάσκουν Μαθηματικά στην Α΄ Λυκείου οι καθηγητές:

κ. Σιψάς Άρης, κ. Στεροδήμα Έφη και κ. Στρατόγλου Σταύρος

Θέματα
1. Ποια από τις επόμενες σχέσεις ανάμεσα στη συνολική δύναμη F που ασκείται σε ένα σώμα και στη θέση x του σώματος αναφέρεται σε μία απλή αρμονική ταλάντωση;
α) F=10x        β) F=-100x²         γ)F=-5x         δ)F=50x²
(Μονάδες 2)

2. Διαθέτουμε δύο κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Τα κυκλώματα Α και Β, με C_Β=2C_Α και L_Β=L_{Α/2 .} Τα κυκλώματα διεγείρονται σε ηλεκτρική ταλάντωση από πηγή τάσης V. Να συγκρίνετε: (Με δικαιολόγηση)
α) Το μέγιστο φορτίο στους πυκνωτές.
β) Τις ενέργειες στα δύο κυκλώματα.
γ) Τις περιόδους της ηλεκτρικής ταλάντωσης που εκτελούν.
δ)  Το μέγιστο ρεύμα στα δύο κυκλώματα.
(Μονάδες 8)

3. Σώμα μάζας m₁=2kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=400N/m, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Δεύτερο σώμα, μάζας m₂=m₁, κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω, συγκρούεται πλαστικά με το  τη χρονική στιγμή , έχοντας, τη στιγμή πριν τη σύγκρουση, ταχύτητα u=√3 m/s. Θεωρώντας θετική τη φορά προς τα πάνω, τη διάρκεια της κρούσης αμελητέα και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s², να υπολογίσετε:

α. Την αρχική παραμόρφωση  του ελατηρίου.
β. Την κοινή ταχύτητα  του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.
γ. Την εξίσωση της απομάκρυνσης της απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα, ως συνάρτηση του χρόνου.
δ. Την χρονική στιγμή κατά την οποία η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης γίνεται για πρώτη φορά ίση με την κινητική.
(Μονάδες 2+2+3+3)

Για την λύση μεταβείτε εδώ

Θέματα

1) Στο σύστημα των δύο σωμάτων Σ₁ και Σ₂ , που έχουν ίδια μάζα m, ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F και το κινούμε στο λείο οριζόντιο επίπεδο.

Ποια ή ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιές λανθασμένες και γιατί;

Α. Το σύστημα Σ₁ – Σ₂ δεν είναι μονωμένο. (μονάδες 1+1)

Β. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ₁ είναι μικρότερος από

τον αντίστοιχο ρυθμό μεταβολής του σώματος Σ₂ . (μονάδες 1+2)

Γ. Για τις δυνάμεις που δέχονται τα δύο σώματα ισχύει: F – T = T. (μονάδες 1+2)

2) Μια μοτοσυκλέτα κινείται σε κυκλική πίστα με ταχύτητα σταθερής τιμής. Όταν διπλασιαστεί η τιμή της ταχύτητας η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι:

Α. Ίδια.

Β. Διπλασιάζεται.

Γ. Υποδιπλασιάζεται.

Δ. Τετραπλασιάζεται.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (μονάδες 1+2)

3) Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ=1,25m (θέση Α), το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε ύψους Η=2,5m από το έδαφος.

Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Β, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο κόβεται, οπότε τελικά η σφαίρα φτάνει στο έδαφος στο σημείο Δ.

i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας (θέση Β).

ii) Σε μια στιγμή το νήμα σχηματίζει γωνία φ=30° με την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η τάση του νήματος στην θέση αυτή;

iii) Να βρεθεί η οριζόντια απόσταση που θα διανύσει η σφαίρα από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα, μέχρι τη στιγμή που έφτασε στο έδαφος στο σημείο Δ.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. (μονάδες 2+3+4=9)

Για την λύση μεταβείτε εδώ

Για την λύση μεταβείτε εδώ

Υπάρχουν άνθρωποι κάπου που δεν

αντέχουν άλλο τη σιωπή.

Αφήνουν οτιδήποτε σημάδια για να φανερωθεί

ότι πέρασαν από δω.

Άλλοι βάζουν τα όνομά τους σ’ ένα τοίχο ή στον ώμο

ενός αγάλματος.

Υπάρχουν άνθρωποι που αφήνουν από τον εαυτό τους

μόνο την ημερομηνία ή τ’ αρχικά μιας αγάπης.

Υπάρχουν τρελοί που χαράζουν πάνω σ’ ένα

νυχτερινό παγκάκι την ομολογία ενός φόνου.

Υπάρχουν περιπλανώμενοι που αφήνουν πάνω σ’ ένα δέντρο

το ανίερο χνάρι του πάθους τους.

Οι διαβάτες με το αδειανό βλέμμα και αυτοί

που αναρωτιόνται

για ένα μήνυμα αφημένο σε μια πόρτα

Για μια λέξη που δεν έχει πια νόημα αφότου

κατεδαφίστηκε η φυλακή.

Οι διαβάτες κοιτάζουν να καίγονται μάταια τα σημάδια.

Οι διαβάτες δεν καταλαβαίνουν τίποτε

γι’ αυτή τη βιασύνη

να έχεις να γράψεις αυτό που ποτέ δε θα μπει

μέσα στα βιβλία (Aragon)

Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος η ηλεκτρική πηγή έχει ΗΕΔ  E=20V και εσωτερική αντίσταση r=1Ω, ο αντιστάτης έχει αντίσταση R=9Ω, ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=10μF και το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=16mH. O μεταγωγός διακόπτης είναι αρχικά στη θέση (1) και το πηνίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα σταθερής έντασης. Τη χρονική στιγμή t=0, μεταφέρουμε απότομα το διακόπτη στη θέση (2) χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας, οπότε στο ιδανικό κύκλωμα διεγείρεται σε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση.

α) Να βρείτε τη σταθερή ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο καθώς και την αποθηκευμένη ενέργεια μαγνητικού πεδίου όταν ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση (1).
β) Ποιος οπλισμός του πυκνωτή θα φορτιστεί πρώτος θετικά και γιατί; Ποιά χρονική στιγμή ο οπλισμός Δ του πυκνωτή θα αποκτήσει για πρώτη φορά μέγιστο φορτίο με αρνητική πολικότητα; Ποιά χρονική στιγμή το πηνίο για πρώτη φορά θα διαρρέεται από ρεύμα μέγιστης τιμής και φοράς από το Β προς το Α;
γ) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν πως μεταβάλλονται σε σχέση με το χρόνο στο S.I. το φορτίο του οπλισμού Δ του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος.
δ) Να βρείτε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος τη στιγμή που η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι μηδέν.

Για την λύση μεταβείτε εδώ

Η εξίσωση κίνησης ενός κινητού (x-t) είναι η ακόλουθη:

x=-3+4t (S.I.)

α) τι είδους κίνηση κάνει το κινητό;

β) Ποια είναι η αρχική του θέση x₀ και ποια η ταχύτητα του;

γ) Σε ποια θέση θα βρεθεί το κινητό τη χρονική στιγμή t₁=2s;

δ) Σε ποια χρονική στιγμή το κινητό θα βρεθεί στη θέση x₂=+17m;

ε) Να κάνετε το διάγραμμα θέσης χρόνου x-t.

Για την λύση μεταβείτε εδώ

 15. Ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς  έχει το άνω άκρο του στερεωμένο σε οροφή. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ1 μάζας που ισορροπεί στη θέση ΘΙ(1). Τη χρονική στιγμή , ένα βλήμα Σ2 μάζας που κινείται στον άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα μέτρου και φορά προς τα πάνω, προσκρούει στο σώμα Σ1 και σφηνώνεται σ” αυτό.

Το συσσωμάτωμα ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική ταχύτητα μέτρου .

Θεωρώντας θετική την κατακόρυφη προς τα κάτω φορά, να βρείτε:
α) την επιμήκυνση  του ελατηρίου ως προς το φυσικό του μήκος, στη θέση ισορροπίας ΘΙ(1) του σώματος Σ1.
β) το μέτρο της ταχύτητας  του βλήματος.

γ) το πλάτος  της ταλάντωσης του συσσωματώματος.
δ) την εξίσωση  της ταχύτητας με την οποία ταλαντώνεται το συσσωμάτωμα.
Δίνεται: .

[0,3m, 2×3^1/2m/s, 0,2m, συν(5t+7π/6)]

Για την λύση μεταβείτε εδώ