Άρθρα σχετικά με Project a3-1

Πέμπτη, 2 Φεβρουάριος 2012

ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ:ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΤΙΚΗ ΖΩΗ

ΤΕΛΙΚΗ  ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ  ΕΡΓΑΣΙΑ

με ΘΕΜΑ :   ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΤΙΚΗ ΖΩΗ

ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ

ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, ΑΝΔΡΙΚΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΘΥΜΙΑ, ΑΣΤΕΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΒΡΥΩΝΗ ΜΑΡΘΑ, ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ, ΓΚΕΛΜΠΕΣΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, ΔΕΛΕΓΚΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ, ΔΕΛΕΓΚΟΥ ΜΑΡΙΑ-ΕΛΕΝΗ, ΔΡΑΚΟΥΛΕΛΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, ΔΡΟΥΓΟΥΤΗ ΜΑΡΙΑΝΝΑ, ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, ΚΑΠΕΡΩΝΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, ΚΑΡΑΜΠΕΛΑ ΔΑΝΑΗ, ΚΡΑΒΑΡΙΩΤΗΣ ΣΑΒΒΑΣ, ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ, ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΜΟΥΡΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΦΑΡΜΑΚΗΣ ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ

ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ :     ΤΕΓΑΣ   ΧΡΗΣΤΟΣ      ΠΑΥΛΑΚΗΣ  ΙΩΑΝΝΗΣ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η  εργασία αυτή  αποσκοπεί  στην μελέτη  του ορισμού  της μοντελοποίησης, της μαθηματικής μοντελοποίησης, του ρόλου της  στην αντιμετώπιση  προβλημάτων της σχολικής ζωής, στην παρουσίαση  ορισμένων εφαρμογών της και τέλος  στην εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την αναγκαιότητά και την αποτελεσματικότητά της.

Η μαθηματική μοντελοποίηση βοηθά την αφύπνιση ικανοτήτων από όλων των μαθητών, την άμεση συμμετοχή τους μέσα στη τάξη καθώς και την απόκτηση  μαθηματικών γνώσεων. Η μαθηματικοποίηση καθημερινών προβλημάτων, οργανώνει το νου και ταυτόχρονα συνδέει τη γνώση με την καθημερινότητα. Τα παραδείγματα της εργασίας αποδεικνύουν τα παραπάνω. Η μαθησιακή διαδικασία  γίνεται πιο ενδιαφέρουσα για τον μαθητή, εφόσον παρουσιάζεται μοντελοποιημένη και επιπλέον κεντρίζει το ενδιαφέρον και των αδιάφορων μαθητών.

Επιπλέον στόχοι της εργασίας αυτής είναι να αποδειχθεί ότι οι γνώσεις είναι άμεσα συνδεδεμένες με την πραγματικότητα όπως και η αφομοίωση νέων γνώσεων είναι αποτελεσματική με μια ρεαλιστική αναπαράσταση της πραγματικής ζωής και των πρακτικών προβλημάτων της.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μοντελοποίηση  είναι η κατασκευή προτύπων (μοντέλων) για επαγγελματικούς  ή ερασιτεχνικούς .σκοπούς Η δημιουργία μοντέλων στηρίζεται στο μυαλό και τη λογική, προσπαθεί να μετατρέψει τις εμπειρίες σε πιο δομημένο τρόπο αναπαράστασης, απεικόνισης. Για παράδειγμα παίρνουμε τα παραγόμενα πρότυπα αυτοκινήτων, αεροπλάνων και πλοίων. Σκοπός του μοντέλου είναι να προσομοιώσει με ακρίβεια τις ουσιαστικές πτυχές ενός συγκεκριμένου χώρου της πραγματικότητας.

Προφανώς τα μοντέλα, όπως και τα νοητικά, αποτελούν ατελείς αναπαραστάσεις της πραγματικότητας. Συνεπώς, η ανάπτυξή τους συνοδεύεται από διαδικασίες ελέγχου της αξιοπιστίας τους, αλλά, συγχρόνως, και βελτιστοποίησης των χρησιμοποιούμενων μεθόδων και τεχνικών (Σ Χατζηλεοντιάδου, Λ Χατζηλεοντιάδης, 1999).

Η μοντελοποίηση στα μαθηματικά και τις επιστήμες

·         Είναι εργαλείο για προσομοίωση το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο απ’ το δάσκαλο όσο και απ’ το μαθητή

·         Θα πρέπει να είναι σαφής στην διδασκαλία

·         Διευκολύνει την κατανόηση της φυσικής και των μαθηματικών     και

·         Θα μπορούσε να παρακινήσει τους μαθητές

Η μοντελοποίηση πραγματοποιείται σε  ένα ερώτημα που αφορά την καθημερινή ζωή ή κάποιον γνωστικό τομέα. Προσπάθεια μοντελοποίησης  αυτού του θέματος  σημαίνει να το εξετάσουμε συστηματικά, να το χωρίσουμε σε βήματα, καθώς και να αναλύσουμε την αλληλεξάρτησή τους.  Κατόπιν προσπαθούμε να συνθέσουμε ένα  μοντέλο, αρκετά πολύπλοκο, ώστε να περιέχει και να περιγράφει το πραγματικό πρόβλημα, αλλά και αρκετά απλό, ώστε να μπορούμε να φτάσουμε σ’ ένα συμπέρασμα γι’ αυτό.

Ο άνθρωπος είναι δυνατόν να μοντελοποιεί μια κατάσταση, διαδικασία, όμως επηρεάζεται από τη μερική γνώση που έχει. Δεν μπορεί να κάνει ικανοποιητική και ποιοτική ανάλυση σε καταστάσεις μεγάλης πολυπλοκότητας.

Με τον όρο Μαθηματική Μοντελοποίηση εννοούμε τη μετάφραση ενός φυσικού συστήματος που προέρχεται από έναν άλλο επιστημονικό χώρο στη γλώσσα των Μαθηματικών και την επιλυσή του πλέον ως Μαθηματικό πρόβλημα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ & ΜΑΘΗΤΙΚΗ ΖΩΗ

Η σημερινή Τεχνολογική έκρηξη και η αλματώδης ανάπτυξη πολλών Επιστημών οφείλεται σε κάτι που δεν βλέπουμε και αυτό είναι τα Μαθηματικά.

Η μαθηματική μοντελοποίηση σαν μεθοδολογική επιλογή για τη διδασκαλία και την εκμάθηση του περιεχομένου των μαθηματικών, επιτρέπει την εγκαθίδρυση σχέσης με την πραγματικότητα των μαθητών. Η τάξη των μαθηματικών μεταμορφώνεται σε ένα μαθηματικό εργαστήριο, κινητήρια δύναμη του οποίου είναι μια νέα εκπαιδευτική προσέγγιση που εστιάζει στη επίλυση προβλημάτων. Ως φυσικό επακόλουθο αυτού του ενδιαφέροντος είναι οι μαθητές να βγαίνουν από την τάξη με μια καλύτερη κατανόηση των μαθηματικών και στέρεα θεμέλια στη μαθηματική ανάλυση. Έχει διαπιστωθεί ότι το ποσοστό επίδοσης των αδύνατων κυρίως μαθητών αυξάνεται σημαντικά με τη χρήση του γραφικού υπολογιστή, σε σχέση με τη συμβατική διδασκαλία (L. Ferreira, O. Jacobini, 2006).

Τα μαθηματικά έχουν χρησιμοποιηθεί ως μέσο για τη μοντελοποίηση του πραγματικού κόσμουexperienced world, and it is often taken as axiomatic that one can learn mathematics, και θεωρείται δεδομένο το γεγονός ότι μέσω της εμπειρίας είναι σαφώς πιο αποτελεσματική η αφομοίωση μαθηματικών εννοιών. Μπορεί να  γίνει εμβάθυνση και  σύνδεση με την καθημερινή εμπειρία by using mathematical functions to generate phenomena as well as model them. με τη χρήση μαθηματικών συναρτήσεων μέσω της μοντελοποίησης. We Η μοντελοποίησηfirst provide a framework for examining relations among simulations, notations and παρέχει ένα πλαίσιο για την εξέταση των σχέσεων μεταξύ των συμβολισμών, προσομοιώσεων και των προβλημάτων στη πραγματική ζωή.physical phenomena.

Στη σημερινή εποχή τα Μαθηματικά εκτός ένα θαυμάσιο προϊόν του ανθρώπινου πνεύματος αποτελούν τη κατάλληλη γλώσσα για την κατανόηση και μελέτη άλλων επιστημονικών περιοχών                             (Γρ Καλογερόπουλος).

Η μαθηματική μοντελοποίηση υπηρετεί ένα ευρύ φάσμα εκπαιδευτικών στόχων:

α) Απαιτεί πλήρη κατανόηση του πραγματικού προβλήματος το οποίο πρόκειται να μοντελοποιηθεί.

β) Καλλιεργεί την αφαιρετική σκέψη και την ικανότητα τυποποίησης του προβλήματος, ώστε να μπορεί να αντιμετωπισθεί με μαθηματικό τρόπο.

γ) Επιστρατεύει γνώσεις και διαδικασίες από οποιαδήποτε περιοχή των μαθηματικών και διδάσκει την διαδικασία της ανατροφοδότησης              (Ν. Καντεράκης, 1995).

Είναι γνωστό ότι τα φαινόμενα με τα οποία ασχολείται η φυσική, η οικονομία, η βιολογία και άλλες επιστήμες εκφράζονται μέσω συναρτήσεων. Μελετώντας τις συναρτήσεις αυτές και τις γραφικές τους παραστάσεις συλλέγουμε χρήσιμες πληροφορίες για την εξέλιξη των φαινομένων μέσα σε κατάλληλα επιλεγμένα διαστήματα τιμών και μεταβλητών.

Πώς ακριβώς όμως γίνεται μια εφαρμογή των μαθηματικών στις περιπτώσεις αυτές και ποιο είναι το κέρδος για τους μαθητές.

Παίρνουμε από ένα θέμα, ένα ερώτημα που αφορά την καθημερινή ζωή ή κάποιον γνωστικό τομέα. Θα προσπαθήσουμε να το «μαθηματικοποιήσουμε» που σημαίνει να το εξετάσουμε συστηματικά, να το χωρίσουμε σε βήματα, καθώς και να αναλύσουμε την αλληλοεξάρτησή τους.

Κατόπιν προσπαθούμε να συνθέσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο, αρκετά πολύπλοκο, ώστε να περιέχει και να περιγράφει το πραγματικό πρόβλημα, αλλά και αρκετά απλό, ώστε να μπορούμε να φτάσουμε σ’ ένα συμπέρασμα γι’ αυτό, χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά μας.

Με ένα καλοσχηματισμένο μοντέλο τώρα εργαζόμαστε χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μαθηματική γνώση είναι κατάλληλη.

Τέλος, επιστρέφουμε στο αρχικό πρόβλημα και ερμηνεύουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε. Συνήθως ορισμένα αποτελέσματα είναι ρεαλιστικά, ενώ άλλα απέχουν πολύ από την πραγματικότητα. Αυτό οδηγεί στην τροποποίηση του μαθηματικού μοντέλου, στην προσθήκη παραμέτρων και στην επανάληψη της όλης διαδικασίας μέχρι που τα αποτελέσματα να ανταποκρίνονται στη λύση του αρχικού προβλήματος.

Η μοντελοποίηση στα μαθηματικά και τις επιστήμες είναι

·         Ένα εργαλείο για προσομοίωση το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο απ’ το δάσκαλο όσο και απ’ το μαθητή

·         Θα πρέπει να είναι σαφής στην διδασκαλία

·         Διευκολύνει την κατανόηση της φυσικής και των μαθηματικών

·         Θα μπορούσε να παρακινήσει τους μαθητές

Άρα μοντελοποίηση στις θετικές επιστήμες είναι η αναπαράσταση ενός φυσικού συστήματος η φαινομένου με σκοπό τη μελέτη του αντικειμένου.

Για την μαθηματική μοντελοποίηση διακρίνουμε τα ακόλουθα τέσσερα στάδια: α) Μελέτη του πρωτοτύπου και εν συνεχεία καθορισμός των χαρακτηριστικών, των σχέσεων και των παραμέτρων, τα οποία το προσδιορίζουν. β) Δημιουργία του μαθηματικού μοντέλου. Στο βήμα αυτό «μεταφράζεται» η άσκηση στη μαθηματική γλώσσα. γ) Λύση της δημιουργημένης μαθηματικής άσκησης. δ) Εκτίμηση της λαμβανόμενης λύσης. Το στάδιο αυτό διαιρείται σε δυο μέρη: δ.1) Έλεγχος της σχέσης μεταξύ του λαμβανόμενου αποτελέσματος και του μαθηματικού μοντέλου. δ.2) Έλεγχος της σχέσης μεταξύ της λαμβανόμενης μαθηματικής λύσης και του πρωτοτύπου. Τα τέσσερα αυτά στάδια δίνουν τη δυνατότητα να εισαχθούν ορισμένες μεταβολές και διευκρινίσεις του μαθηματικού μοντέλου και έτσι να εξηγηθούν και να εμπεδωθούν καλύτερα.

Διακρίνονται δυο είδη μαθηματικής μοντελοποίησης:

i) Εσωτερική μαθηματική μοντελοποίηση, η οποία αναφέρεται στο συσχετισμό μεταξύ των διαφόρων μαθηματικών γνώσεων (γεωμετρία και άλγεβρα, τριγωνομετρία και άλγεβρα κ.τ.λ.). Το κάθε μαθηματικό αντικείμενο από μέρος του βοηθάει στην κατανόηση του άλλου.

ii) Εξωτερική μαθηματική μοντελοποίηση: Πολλές μαθηματικές ασκήσεις τις συναντάμε σε διαφορετικές φόρμες και σε άλλες επιστήμες

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ

Μια κυβική δεξαμενή έχει χωρητικότητα 1 κυβικό μέτρο. Είναι συνδεδεμένη με δύο παροχές (βρύσες) Α και Β. Όταν η βρύση Α στο πάνω μέρος είναι ανοικτή τότε η δεξαμενή τροφοδοτείται με 10 λίτρα νερό το λεπτό. Όταν η βρύση Β, στο κάτω μέρος της δεξαμενής είναι ανοικτή τότε η δεξαμενή χάνει νερό με ρυθμό 4 λίτρα το λεπτό.

  1. 1. Να κατασκευάσετε ένα σχήμα όπως το φαντάζεστε.�Κάποια στιγμή που γνωρίζουμε ότι η δεξαμενή περιέχει 200 λίτρα ανοίγουμε την βρύση Α και μετά από 35 λεπτά ανοίγουμε και την βρύση Β. Μετά από άλλα 15 λεπτά κλείνουμε την βρύση Α και μετά από 8 λεπτά κλείνουμε και την βρύση Β.

    2. Να υπολογίσετε την ποσότητα του υγρού στην δεξαμενή σε κάθε άνοιγμα ή κλείσιμο βρύσης
    Αν v(t) η ποσότητα του νερού σε λίτρα την χρονική στιγμή t (σε λεπτά), ζητείται το v(0), v(35), v(35+15)=v(50) και v(50+8)=v(58).

    Η ποσότητα v σαν συνάρτηση του t δίνεται από τη σχέση:

    v(t)= , όταν

    Έτσι: v(0)=200 και v(35)= 200+10.35=200+350=550

    Η ποσότητα v σαν συνάρτηση του t δίνεται από τη σχέση:

    v(t)= , όταν

    Έτσι: v(50)=550+6.15=640

    Η ποσότητα v σαν συνάρτηση του t δίνεται από τη σχέση:

    v(t)= , όταν

    Έτσι: v(58)=640-4.8=608

    Η ποσότητα v σαν συνάρτηση του t δίνεται από τη σχέση

    Η ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ

    Ο άνθρωπος, στην προσπάθειά του να αναπαραστήσει τις εννοιολογικές

    δομές του γνωσιακού του συστήματος, μπορεί, μεταξύ άλλων, να χρησιμοποιεί υψηλού επιπέδου νοητικά κατασκευάσματα, τα νοητικά μοντέλα (mental models) (Βοσνιάδου, 1998). Η χρήση υπολογιστικών συστημάτων, και η ανάπτυξη κατάλληλων μεθόδων και τεχνικών, επεκτείνουν τη δυνατότητα του ανθρώπου να αναπαραστήσει πιο πολύπλοκα συστήματα κατασκευάζοντας υπολογιστικά μοντέλα (computational models). Βάσει αυτών, μπορεί να αντιληφθεί νέες παραμέτρους της λειτουργίας τους, και να επιχειρήσει προβλέψεις της συμπεριφοράς τους, και ενδεχομένως να οδηγηθεί σε αναδιάρθρωση των εννοιολογικών του δομών αναφορικά με τα συστήματα που μελετά          (Στ. Βοσνιάδου, 1998).

    Η αναγκαιότητα σε όλους τους τομείς της επιστημονικής δραστηριότητας αλλά και της καθημερινότητας η εφαρμογή των πρακτικών της μοντελοποίησης έχει επιφέρει σημαντικά αποτελέσματα τόσο στη κατανόηση των προβλημάτων όσο και στην επίλυσή τους.

    Η μοντελοποίηση συνιστά εγγενές χαρακτηριστικό της επιστημονικής έρευνας αλλά και της εκπαιδευτικής πράξης. Ο μαθητής, στα πλαίσια της γενικής του παιδείας, θα πρέπει να αναπτύξει δεξιότητες μοντελοποίησης. Έρευνες στα πλαίσια της διδακτικής των επιστημών και της γνωστικής ψυχολογίας έχουν δείξει ότι, η εφαρμογή της διαδικασίας μοντελοποίησης συνιστά ουσιαστικά μια διαδικασία μάθησης για τον ίδιο το μαθητή που την εφαρμόζει, και αυτό για μια σειρά λόγους:

    ♦ μέσα από την προσπάθεια επινόησης μοντέλων, οι μαθητές εκφράζουν τις ιδέες τους και τα νοητικά τους μοντέλα. Η έκφραση αυτή είναι ένα πρώτο βήμα στην πορεία της επίγνωσης των συλλογισμών τους,

    ♦ οι γραφικές και συμβολικές αναπαραστάσεις που μπορούν να λάβουν τα μοντέλα παίζουν ρόλο υποστήριξης του συλλογισμού, ένα ρόλο συνοδευτικό της σκέψης,

    ♦ η δημιουργία και η διερεύνηση μοντέλων, παίζει ενισχυτικό ρόλο στο να γίνουν οι ιδέες αντικείμενο επικοινωνίας μεταξύ μαθητών με συμμαθητές τους ή με τους καθηγητές τους.

    Η μοντελοποίηση των προβλημάτων και η παρουσίασή τους με γραφικό υπολογιστή στην τάξη βοηθά τους μαθητές στην ευκολότερη παρατήρηση και έρευνα, απλών και σύνθετων εννοιών στα μαθηματικά, κεντρίζοντας με τον τρόπο αυτό την διαίσθησή τους και την όρεξη για γνώση                      (B. Kissane, 1997).

    Τα πλεονεκτήματα της χρήσης του γραφικού υπολογιστή στην τάξη είναι εμφανή σε πολλές περιπτώσεις, καθώς ελαττώνουν σημαντικά τον χρόνο σχεδιασμού και μελέτης απλών και σύνθετων συναρτήσεων (που είναι αδύνατον να παρασταθούν με το χέρι) και ομαδοποιούν τη μελέτη συναρτήσεων σε κατηγορίες (Smith-Charles, 1998).

    Η μέθοδος διδασκαλίας με τον τρόπο αυτό στηρίζεται πολύ στην εξερεύνηση από τους μαθητές, οι οποίοι ό,τι ανακαλύπτουν μόνοι τους το θυμούνται και το κατανοούν καλύτερα (F. Demana ,1994).

    Η εποχή της αποστήθισης τελείωσε, τώρα μετράει η κρίση. (Rock-Brumbaugh, 1997).

    Οι διδακτικές προσεγγίσεις να εστιάζονται σε βιωματικές δραστηριότητες των μαθητών, στη συνεργατική διδασκαλία και στην εισαγωγή νέων τεχνολογιών. Με τον τρόπο αυτό ο μαθητής μαθαίνει «πώς να μαθαίνει» μέσα σε μια τάξη-εργαστήριο, χρησιμοποιώντας τα πιο σύγχρονα μέσα της προσφερόμενης τεχνολογίας σε ένα «ανοιχτό περιβάλλον μάθησης».

    Οι εκπαιδευτικοί είναι εξοικειωμένοι με τα συνήθη αναπαραστασιακά εργαλεία μοντελοποίησης: λεκτικά, μαθηματικά, γραφικά και άλλα. Αντιθέτως, είναι πολύ λιγότερο εξοικειωμένοι με τα πιο σύγχρονα εργαλεία μοντελοποίησης που προσφέρουν οι υπολογιστές..

    Το εκπαιδευτικό λογισμικό επιτρέπει στους μαθητές να χρησιμοποιήσουν συγκεκριμένα αντικείμενα που εμπεριέχουν ως ιδιότητες τις υπό μελέτη αφηρημένες έννοιες, συγκεκριμενοποιώντας τις. Ο μαθητής κατασκευάζει το μοντέλο του μεταφέροντας στο χώρο εργασίας τα αντικείμενα. Το πλαίσιο αυτό δημιουργεί ένα μοντέλο της προς μελέτη κατάστασης πολύ πιο κοντά στις βιωματικές του γνώσεις και τις πρότερες εμπειρίες του.

    ΕΡΕΥΝΕΣ  ΓΙΑ ΤΗ  ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ

    Οι έρευνες στη διδακτική των επιστημών και στη γνωστική ψυχολογία έχουν δείξει ότι οι δραστηριότητες μοντελοποίησης συνιστούν μια διαδικασία μάθησης για το μαθητή που τις εφαρμόζει, ιδιαίτερα στις μικρές ηλικίες όπου οι μαθητές αδυνατούν να αντιλαμβάνονται αφηρημένες και δυσνόητες έννοιες με συνέπεια την πληθώρα παρανοήσεων ιδιαίτερα για αφηρημένες έννοιες και για φαινόμενα τα οποία δεν μπορούν άμεσα να παρατηρηθούν. Τα μοντέλα διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο ιδιαίτερα στις μικρές ηλικίες επιτρέποντας έτσι την καλύτερη κατανόηση από πλευράς μαθητών.

    Η μοντελοποίηση είναι βασικό μεθοδολογικό εργαλείο πολλών επιστημών και της επιστημονικής έρευνας. Συνεπώς οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίσουν και να οικειοποιηθούν τα εργαλεία αυτά. Το μοντέλο μπορεί να πάρει τη μορφή γραφικών και συμβολικών παραστάσεων και να κάνει το αφηρημένο συγκεκριμένο για τους μαθητές. Στη διαδικασία της μοντελοποίησης οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να εκφράσουν τις ιδέες τους και τα νοητικά τους μοντέλα. Διευκολύνεται η επικοινωνία ιδεών στη σχολική τάξη.

    Η εργασία των μαθητών με τη μοντελοποίηση μπορεί να τους ασκήσει σε θέματα περιγραφής, ερμηνείας και πρόβλεψης και να καλλιεργήσει νοητικές δεξιότητες στην αντιμετώπιση προβλημάτων (D. Jonassen, 2000).

    Η υποστήριξη της διαδικασίας μοντελοποίησης από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή με χρήση κατάλληλου λογισμικού καθιστά σήμερα απόλυτα εφικτή την εισαγωγή της μοντελοποίησης στην εκπαίδευση.

    ( D. Alimisis, 2003)

    Οι Ορφανίδης Σ, Δημητρόπουλος Αγγ, αποδεικνύουν την αναγκαιότητα και τη χρησιμότητα της μοντελοποίησης των φύλλων δραστηριοτήτων για την εμπέδωση και κατανόηση των φυσικών επιστημών.

    Οι   Πανσεληνάς  Γ., Κόμης Β., Πολίτης Π σε έρευνα τους αναφέρουν ότι οι δραστηριότητες μοντελοποίησης και δοκιμής μπορούν να λειτουργήσουν ανιχνευτικά ως προς τις εναλλακτικές αντιλήψεις των παιδιών σχετικά με το πώς δομείται, οργανώνεται και λειτουργεί ένας προσωπικός υπολογιστής ως ενιαίο σύνολο υλικού-λογισμικού. Η διαδικασία αυτή της εννοιολογικής αλλαγής, που μπορεί να περιλαμβάνει επέκταση, διαφοροποίηση ή και ριζική αναδόμηση των ιδεών των παιδιών, συνδέεται άμεσα με την

    ουσιαστική μάθηση και απαιτεί την ενεργή συμμετοχή των μαθητών.

    ΣΧΟΛΙΚΗ ΖΩΗ – ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ                              ΚΑΙ             ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ

    ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ

    Παράδειγμα  1

    Πόσο θα μου κοστίσουν οι σπουδές στην Ελλάδα;

    Ο προϋπολογισμός είναι ένα σημαντικό ζήτημα για κάθε μαθητή. Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι για τους μαθητές να δημιουργήσουν έναν ρεαλιστικό προϋπολογισμό για τον εαυτό τους μετά την αποφοίτηση από το σχολείο..

    Πιθανός τρόπος επίλυσης

    Για να δημιουργήσουν έναν προϋπολογισμό, είναι σημαντικό για τους μαθητές να συνοψίσουν τα έξοδά τους και να τα συγκρίνουν με το εισόδημά τους. Αυτές οι δραστηριότητες θα βοηθήσουν τους μαθητές να το κάνουν σε μηνιαία βάση.

    Μπορούμε να χρησιμοποιήσουν τον παρακάτω πίνακα για να δημιουργήσουμε τον  προϋπολογισμό.(παράδειγμα):

    Μηνιαίο εισόδημα
    Μισθός 800 €
    Σύνολο 800€
    Μηνιαία έξοδα
    Νοίκι 300€
    Ταξίδια 50€
    Τροφή 200€
    Καύσιμα και ηλεκτρισμός 50€
    Τηλέφωνο 20€
    Διασκέδαση 150€
    Σύνολο 770€
    Διαθέσιμο εισόδημα 30€

    Παράδειγμα  2

    Πόσο κοστίζει η διασκέδαση;

    Πιθανός τρόπος επίλυσης.

    1. Οι μαθητές σκέφτονται συνηθισμένους τρόπους διασκέδασης καθώς και τα χρήματα που απαιτούν.

    2.Οι μαθητές δίνουν εξατομικευμένα μία εκτίμηση για τα έξοδα διασκέδασής τους. Χρησιμοποιούν τον παρακάτω πίνακα ώστε να δικαιολογήσουν την εκτίμησή τους:

    Δραστηριότητα Κόστος της δραστηριότητας τη φορά Αριθμός των δραστηριοτήτων το μήνα Συνολικό κόστος της δραστηριότητας
    Κινηματογράφος 11.00 € 2 22.00€
    Καφές έξω 3.00 € 3 9.00 €
    Φαγητό έξω 10.00 € 3 30.00 €
    Συνολικό κόστος Διασκέδασης 61.00 €

    Παράδειγμα  3

    Πώς μετακινούμαι;

    Οι μαθητές θα χρειαστεί να κυκλοφορούν στην πόλη. Αν τα μέσα μαζικής μεταφοράς είναι διαθέσιμα σε αυτούς, τότε το να πληρώσουν για ένα εισιτήριο λεωφορείου ή τραίνου είναι μία επιλογή.

    Πιθανός τρόπος επίλυσης..

    1.Οι μαθητές μένουν σε περιοχές που εξυπηρετούνται από τα Μ.Μ.Μ., υπολογίζουν τα μηνιαία έξοδα για τη μετακίνηση. Το κόστος εξαρτάται από την απόσταση οπότε τα αποτελέσματα διαφέρουν .Χρησιμοποιούν αυτόν τον πίνακα για να κάνουν εκτιμήσεις.

    Κόστος της μετακίνησης με Μ.Μ.Μ. περίπου Κόστος να πας και να γυρίσεις (2 x 1-διαδρομή) Κόστος μετακίνησης για μια εβδομάδα δουλειάς (5 x το κόστος να πας και να γυρίσεις) Κόστος μετακίνησης για 1 μήνα (4 x 1-κόστος εβδομάδας)
    Π.χ. 1 € 2 € 10 € 40 €

    Εφαρμογές  στη Σχολική ζωή

    Περίπτωση 1

    Στο κυλικείο του σχολείου υπάρχει ένας εξυπηρετητής  που εξυπηρετεί  1 άτομο σε 6 δευτερόλεπτα ενώ οι αφίξεις  των μαθητών είναι ένας κάθε 5 δευτερόλεπτα . Θέλουμε να δούμε μέσα στα 5 λεπτά που προσφέρει το διάλειμμα  πόσο τοις  εκατό των μαθητών  μένει χωρίς εξυπηρέτηση .

    Πρώτα θα βρούμε ότι  ο πωλητής σε 5 λεπτά μπορεί να εξυπηρετήσει  50 μαθητές  , δεύτερον  ξέρουμε ότι οι μαθητές που έρχονται είναι  60 . Άρα το 16-17% των μαθητών  δεν εξυπηρετείται .

    Περίπτωση 2

    Η πόρτα του σχολείου επιτρέπει την έξοδο  ενός μόνο μαθητή  το δευτερόλεπτο . Από την άλλη οι αφίξεις  των μαθητών είναι 5 το δευτερόλεπτο  κατά το τέλος της σχολικής μέρας . Θέλουμε να υπολογίσουμε  πόσο χρόνο  καθυστερεί – περιμένει ο μαθητής που έρχεται  τελευταίος αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των μαθητών  είναι  180 .

    Πρώτον ξέρουμε ότι  ο τελευταίος μαθητής  θα έρθει  σε  36 δευτερόλεπτα  μετά την  έναρξη των  εξόδων .Όμως θα εξέρθει  στα 180 δευτερόλεπτα . Άρα  θα περιμένει  144 δευτερόλεπτα .

    Περίπτωση 3

    Σε μια μαθητική εκδρομή  το λεωφορείο  ζητάει  180 ευρώ  . Αν οι μαθητές είναι  60 , θέλουμε να μάθουνε πόσοι το πολύ μπορούν να λείψουν  ώστε οι υπόλοιποι  να μην πληρώσουν πάνω από τα 4/3 της κανονικής τιμής .

    Τα 4/3 της αρχικής τιμής είναι 4 ευρώ και την πληρώνουν 45 άτομα .Άρα δεν πρέπει να λείψουν πάνω από 15 μαθητές.

    Εφαρμογές στη Καθημερινότητα

    Περίπτωση 1

    Ένα μηνιαίο μαθητικό εισιτήριο λεωφορείου για το κέντρο της πόλης κοστίζει 26 €. Εάν αγοράσεις ετήσιο εισιτήριο, πληρώνεις μόνο για τους δέκα μήνες. Για την ενίσχυση της χρήσης των μέσων μαζικής μεταφοράς, η εταιρεία εισήγαγε το αδελφό-εισιτήριο. Αδελφοί και αδελφές ενός μαθητή που έχει ήδη ένα μηνιαίο ή ετήσιο εισιτήριο έχουν έκπτωση 10 ευρώ το μήνα. Στη πόλη υπάρχουν 27 800 μαθητές.

    Πιθανή Άσκηση

    Πόσα χρήματα θα «χάσει» η μεταφορική εταιρεία  με αυτήν την ειδική προσφορά;

    Περίπτωση 2

    Το κάπνισμα είναι μία πολύ ανθυγιεινή συνήθεια. Πολλές μελέτες έχουν αποδείξει ότι οι καπνιστές έχουν περισσότερες πιθανότητες να εμφανίσουν καρκίνο και άλλες σοβαρές αρρώστιες από ότι οι μη-καπνίζοντες. Αυτός είναι ο κυριότερος λόγος για τον οποίο οι άνθρωποι δεν θα έπρεπε να καπνίζουν.

    Το κάπνισμα είναι, επίσης, μία ακριβή συνήθεια. Και αυτός είναι ένας καλός λόγος για να μην καπνίσετε.

    Πιθανή Άσκηση

    Πόσα χρήματα θ εξοικονομήσει ένας καπνιστής εάν αυτός αποφασίσει να σταματήσει την άσχημη αυτή συνήθεια; Μπορείς να δώσεις ένα πειστικό επιχείρημα;

    Περίπτωση 3

    Σε πολλές χώρες, οι αρχές κάνουν μεγάλη προσπάθεια για να εξασφαλίσουν την πρόσβαση σε δημόσια κτήρια για άτομα με ειδικές ανάγκες. Για το σχεδιασμό ραμπών για ανάπηρους υπάρχουν κάποιες προδιαγραφές:

    • Για άτομα που κινούνται μόνα τους η μέγιστη κλίση είναι 1:7.

    • Για άτομα που κινούνται με βοήθεια και για ηλεκτρικές αναπηρικές καρέκλες η μέγιστη κλίση είναι 1:5.

    • Όπου είναι δυνατόν, η επιθυμητή κλίση είναι 1:12.

    Πιθανή Άσκηση

    Το σχολείο σου είναι κατάλληλο για πρόσβαση ατόμων με τροχοκάθισμα;

    • Εάν η απάντηση είναι θετική, οι ράμπες στο σχολείο σου τηρούν τις κατάλληλες προδιαγραφές;

    • Εάν η απάντηση είναι αρνητική, θα μπορούσες να ετοιμάσεις μία επιστολή στο διευθυντή για να λύσει το πρόβλημα, εάν αυτό είναι εφικτό;

    Γνωρίζεις κάποιο δημόσιο κτήριο στην πόλη σου να προβλήματα πρόσβασης; Ετοίμασε μία σύντομη έκθεση με προτάσεις (με σχέδια) για να βοηθήσεις τις αρχές να λύσουν το πρόβλημα.

    Περίπτωση 4

    Στο τέλος του χρόνου η τάξη μας παρουσιάζει παράσταση σε ένα θέατρο.

    Πιθανή Άσκηση

    • Πόσα άτομα μπορεί να καλέσει το κάθε παιδί στην τάξη σου;

    • Μπορούν όλα τα παιδιά του σχολείου να παρακολουθήσουν την παράσταση;

    • Σήμερα πρέπει να φτιάξουμε τις προσκλήσεις. Είναι δυνατόν τό κάθε παιδί στην τάξη σου να προσκαλέσει την οικογένειά του;

    Περίπτωση  5

    Οι γονείς όλων των παιδιών της τάξης θα οργανώσουν ένα φιλανθρωπικό γεγονός το Σάββατο. Συμφώνησαν να φτιάξουν μερικά γλυκά. Κάθε κομμάτι θα πωλείται 50 σεντς.

    Πιθανή άσκηση

    Πόσα χρήματα μπορούν να μαζέψουν για το φιλανθρωπικό σκοπό;

    Περίπτωση 6

    Η μητέρα του Γιάννη αποφάσισε να ξεκινήσει συστηματικά γυμναστική προκειμένου να βελτιώσει τη φυσική της κατάσταση. Στο Γυμναστήριο της περιοχής της, την ενημέρωσαν σχετικά με τα προγράμματα γυμναστικής που διαθέτουν και τους τρόπους πληρωμής

    Προγράμματα: Ενόργανη γυμναστική-Κολύμβησης
    1ος τρόπος πληρωμής

    Πληρώνοντας την κάθε επίσκεψη χωριστά, το κόστος  είναι:

    • Ενόργανη γυμναστική 5 € τη φορά
    • Κολυμβητήριο 6,5 € τη φορά
    2ος τρόπος πληρωμής: Πληρώνοντας το ποσό των 130€ το δίμηνο μπορείτε να επισκέπτεστε το Γυμναστήριο όσες φορές θέλετε και να συμμετάσχετε σε οποιοδήποτε πρόγραμμα

    Πιθανή άσκηση

    Η μητέρα του Γιάννη ενδιαφέρεται και για τα δύο προγράμματα, κάνοντας όμως κάθε μήνα ενόργανη γυμναστική διπλάσιες φορές απ’ ότι κολύμβηση. Μπορείτε να της υποδείξετε πως θα αποφασίσει για τον καλύτερο τρόπο πληρωμής στη περίπτωσή της;

    ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

    Γενικότερα μοντελοποίηση είναι ένα πρώιμο πειραματικό στάδιο με σκοπό την μελέτη ενός οποιουδήποτε αντικειμένου ή ιδέας πριν την δημιουργία του.          (μοντέλο + ποιέω –ω =φτιάχνω σχέδιο ).

    Όπως γίνεται φανερό η μαθηματική μοντελοποίηση είναι μια  διαδικασία  που μας  βοηθάει να λύνουμε απλά ή σύνθετα καθημερινά προβλήματα . Αυτή  η εργασία νιώθουμε ότι προώθησε  τη  συνεργασία των μαθητών σε ομάδες αλλά και δίδαξε τη χρησιμότητα της μοντελοποίησης στην αντιμετώπιση πραγματικών  καταστάσεων αφού αυτή μας επιτρέπει να ελέγχουμε οποιοδήποτε χαρακτηριστικό ενός συστήματος κάθε χρονική στιγμή . Μέσα από την μοντελοποίηση οι μαθητές μπορούν να οργανώνουν, να επεξεργάζονται, να κατανοούν αλλά και να επιλύουν τα διάφορα ζητήματα της μαθητικής ζωής που τους απασχολούν. Μπορούν να βγάλουν συμπεράσματα και να αλλάξουν ίσως κάποιες από τις συνήθειες τους ώστε να βελτιώσουν τον τρόπο ζωής τους..

    Είναι κοινή διαπίστωση τι σήμερα διατίθεται ένας μικρός αριθμός εκπαιδευτικών λογισμικών που υποστηρίζουν τη μάθηση. Σύμφωνα με τις σύγχρονες θεωρίες μάθησης. είναι σημαντικό να διερευνήσουμε τη δημιουργία πλούσιων μαθησιακών περιβαλλόντων που αξιοποιούν κατάλληλα τα εκπαιδευτικά μέσα, και δεν εστιάζουν αποκλειστικά στο τεχνολογικό περιβάλλον.

    Η μοντελοποίηση, κύριο συστατικό της ανθρώπινης δραστηριότητας, συνιστά βασικό μεθοδολογικό εργαλείο στην επιστημονική έρευνα και αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της μαθησιακής δραστηριότητας. Τα μοντέλα παρέχουν τη δυνατότητα χειρισμού τους, στοιχείο χρήσιμο ιδιαίτερα όταν η ενασχόληση με τα πραγματικά αντικείμενα είναι αδύνατη. Η ανάπτυξη διαφόρων μοντέλων ακόμη επιτρέπει τη δυνατότητα υπολογισμών, την ανακάλυψη νέων σχέσεων, την οικοδόμηση νέων γνωστικών σχημάτων, την κατάκτηση νέων βεβαιοτήτων και την ανατροπή κάποιων άλλων. Τα τελευταία χρόνια όλο και περισσότερα εκπαιδευτικά συστήματα εντάσσουν δραστηριότητες μοντελοποίησης και την ολοκληρωμένη προσέγγιση διαφορετικών γνωστικών αντικειμένων που αυτές προσφέρουν, στη θεματολογία και μεθοδολογία τους.

    Η μοντελοποίηση ως διδακτική προσέγγιση και διαδικασία έχει ως στόχο να  βοηθήσει  να συνειδητοποιήσουν οι  μαθητές ένα προσβάσιμο, επεξεργάσιμο κόσμο. Έχει σημαντική επίδραση στις επιστήμες και στη διδακτική των επιστημών τόσο να κατανοήσουν με ουσιαστικό τρόπο τη φύση των επιστημών και τις επιμέρους έννοιες, νόμους, θεωρίες, όσο και για να χρησιμοποιούν την τεχνική της για να προσεγγίζουν καταστάσεις – προβλήματα της καθημερινής τους ζωής.

    ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

    Προβλήματα   μαθητικής ζωής
    Αρχική διατύπωση

    καταγραφή προβλήματος

    Μαθηματική   Μοντελοποίηση

    Επεξεργασία

    Αποτέλεσμα
    Αξιολόγηση


    ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

    1. Μάνος  Ρουμελιώτης (2001) Γραμμικός προγραμματισμός και μοντελοποίηση, Εκδόσεις Ελληνικό Ανοιχτό Πανεπιστήμιο,Πάτρα :.
    2. Βοσκόγλου Μιχάλης (2007) Θέματα επιχειρησιακής έρευνας, Εκδόσεις: Μιχάλης Βοσκόγλου, Πάτρα.
    3. Καντεράκης Ν  (1995) Στρατηγικές Διδασκαλίας Μαθηματικών με Γραφικό Υπολογιστή,  Εκδόσεις Σοκόλη ,Αθήνα)
    4. Μαθηματική Μοντελοποίηση: Διερεύνηση μαθηματικών εννοιών μέσα από την επίλυση καθημερινών προβλημάτων. Διαθέσιμο στο διαδικτυακό τόπο:

    http://alisavakis.gr/anevasmena/project/PROJ_PETRESCOU_ERG_ELL.doc (30/09/2011).

    1. Μαθηματική Μοντελοποίηση στη λύση προβλημάτων. Διαθέσιμο στο διαδικτυακό τόπο: http://www.math.uoa.gr/me/conf2/papers/kanterak.pdf (10/10/2011).
    2. Η συνεισφορά της διδασκαλίας μέσω επίλυσης προβλήματος στην κατανόηση των ανισώσεων και στην ανάπτυξη της ικανότητας μοντελοποίησης από μαθητές της β΄ γυμνασίου. Διαθέσιμο στο διαδυκτιακό τόπο: http://nemertes.lis.upatras.gr/dspace/handle/123456789/3828 (07/10/2011).
    3. Emilie Rappoport (2002).My Mathsmatical life  Sunburst Technology Corporation ,.
    4. Jacobini Otavio (2006). Mathematical Modelling, Oxford Journal, publishing on line.
    5. Ferreira Lombardo (2006). Mathematical Modelling by a Artificial Intelligence, Publisher: Springer.

    Διαδικτυακές  Πηγές

    1. www.math.uoa.gr/me/conf2/papers/kanterak.pd
    1. http://tsg.icme11.org/document/get/451
    1. blogs.sch.gr/mathsmagnesia/files/2010/05/modellingmodellus.pdf el.wikipedia.org/wiki/Μοντελοποίηση_δεδομένων

    SUMMARY

    This  task aims to approach of the definition  of modulation , of mathematical modulation , of its role in the confrontation of problems , to the presentation of some applications  and finally  to  the  inference of  conclusions  in relation to  its necessity and effectiveness .

    The mathematical  modulation  aids  to  the  awaken  of  capabilities  of all students , their  direct  participation in the  class  in  parallel  with the  acquirement of mathematical  knowledge .The mathematicalisation of daily problems , organizes  the mind and in the same time  connects  knowledge  with   daily life .The examples of the  task show the above .The learning  process  becomes more interesting  for the student , since it is presented modulated  and rouses  the interest of the most indifferent students .

    Moreover this research aims to the confirmation that knowledge is directly  connected  with reality  and that the assimilation of knowledge  is effective  through  a realistic  representation  of real life and of its  practical problems.

Τρίτη, 15 Νοέμβριος 2011

Project3 :Συμμετοχή στο 28ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας

Στο 28ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας που διοργάνωσε η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία με Θέμα¨Μαθηματική Μοντελοποίηση : Εφαρμογές στις Επιστήμες την Τεχνολογία και την Εκπαίδευση¨ στις 11,12 και 13 Νοεμβρίου 2011.

Το σχολείο μας στα πλαίσια της ερευνητικής εργασίας των Projects έκανε εισήγησημε θέμα :

¨ Μαθηματική Μοντελοποίηση Εφαρμογές της στη Σχολική Ζωή ¨

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η  εργασία αυτή  αποσκοπεί  στην μελέτη  του ορισμού  της μοντελοποίησης, της μαθηματικής μοντελοποίησης, του ρόλου της  στην αντιμετώπιση  προβλημάτων της σχολικής ζωής, στην παρουσίαση  ορισμένων εφαρμογών της και τέλος  στην εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την αναγκαιότητά και την αποτελεσματικότητά της.

Η μαθηματική μοντελοποίηση βοηθά την αφύπνιση ικανοτήτων από όλων των μαθητών, την άμεση συμμετοχή τους μέσα στη τάξη καθώς και την απόκτηση  μαθηματικών γνώσεων. Η μαθηματικοποίηση καθημερινών προβλημάτων, οργανώνει το νου και ταυτόχρονα συνδέει τη γνώση με την καθημερινότητα. Τα παραδείγματα της εργασίας αποδεικνύουν τα παραπάνω. Η μαθησιακή διαδικασία  γίνεται πιο ενδιαφέρουσα για τον μαθητή, εφόσον παρουσιάζεται μοντελοποιημένη και επιπλέον κεντρίζει το ενδιαφέρον και των αδιάφορων μαθητών.

Επιπλέον στόχοι της εργασίας αυτής είναι να αποδειχθεί ότι οι γνώσεις είναι άμεσα συνδεδεμένες με την πραγματικότητα όπως και η αφομοίωση νέων γνώσεων είναι αποτελεσματική με μια ρεαλιστική αναπαράσταση της πραγματικής ζωής και των πρακτικών προβλημάτων της.

SUMMARY

This  task aims to approach of the definition  of modulation , of mathematical modulation , of its role in the confrontation of problems , to the presentation of some applications  and finally  to  the  inference of  conclusions  in relation to  its necessity and effectiveness .

The mathematical  modulation  aids  to  the  awaken  of  capabilities  of all students , their  direct  participation in the  class  in  parallel  with the  acquirement of mathematical  knowledge .The mathematicalisation of daily problems , organizes  the mind and in the same time  connects  knowledge  with   daily life .The examples of the  task show the above .The learning  process  becomes more interesting  for the student , since it is presented modulated  and rouses  the interest of the most indifferent students .

Moreover this research aims to the confirmation that knowledge is directly  connected  with reality  and that the assimilation of knowledge  is effective  through  a realistic  representation  of real life and of its  practical problems.

Πέμπτη, 20 Οκτώβριος 2011

ΕΡΕΥΝHΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (project ) με ΘΕΜΑ ¨ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ της στη ΜΑΘΗΤΙΚΗ ΖΩΗ¨.

  • 17/10/2011  Διδακτική Επίσκεψη στη Βιβλιοβήκη του Ε.Α.Π στο πλαίσιο  Ερευνητικής Εργασίας
  • 14/10/2011  Αποστολη εργασίας στο Συνέδριο της Ε.Μ.Ε. με Θέμα ¨Μαθηματική Μοντελοποίηση εφαρμογές της στη Σχολική ζωή¨.

Υπ/νος Καθηγητής

ΤΕΓΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων