Science & Education

Αρχείο για την κατηγορία “Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου”

17 09 2018

Θετικοί κι αρνητικοί αριθμοί

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Μαθηματικά Α' Γυμνασίου, Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί – Η Ευθεία των ρητών – Τετμημένη σημείου

Τα σύμβολα “+” και “–” λέγονται πρόσημα, γράφονται πριν τους αριθμούς και τους χαρακτηρίζουν ως θετικούς ή αρνητικούς, αντίστοιχα.

Αν κάποιος αριθμός δεν έχει μπροστά του πρόσημο, τότε είναι θετικός αριθμός.

π.χ. +2: Θετικός, -4: Αρνητικός, 5,2: Θετικός κ.τ.λ.

Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός

Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο.

π.χ. (+3, +12), (-7, -1), (2, +10)

Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο.

π.χ. (-3, +12), (+7, -1), (-2, 10)

Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς.

δηλαδή: … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με μορφή κλάσματος (φυσικοί, κλάσματα, δεκαδικοί, περιοδικοί δεκαδικοί) μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς.

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Θετικοί κι αρνητικοί αριθμοί

28 10 2013

Τα κλάσματα

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Προσεχώς…

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Τα κλάσματα

14 10 2013

Φυσικοί Αριθμοί

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Οι φυσικοί αριθμοί

Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, …, 98, 99, 100, 101, … ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο κι έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό, εκτός από το μηδέν (0).

Οι φυσικοί χωρίζονται σε δύο (2) κατηγορίες:

Άρτιοι (ή ζυγοί): λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το δύο (2).
Περιττοί (ή μονοί): λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται ακριβώς με το δύο (2).

Στρογγυλοποίηση ενός φυσικού αριθμού, ονομάζουμε την διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε έναν φυσικό αριθμό με κάποιον άλλον λίγο μεγαλύτερο ή λίγο μικρότερό του.

Πρόσθεση

$\begin{tabular}{c c c } \underbrace{\alpha + \beta} & = & \underbrace{\gamma} \\ \pi\rho o \sigma\theta\epsilon\tau \acute{\epsilon} o \iota & & \alpha\theta\rho o \iota\sigma\mu\alpha\\ \end{tabular}$

Ιδιότητες της πρόσθεσης

Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το μηδέν (0) ισούται με τον ίδιο τον αριθμό.
$\alpha+0 = 0+\alpha = \alpha$
Αντιμεταθετική ιδιότητα: Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων ενός αθροίσματος.
$\alpha + \beta = \beta + \alpha$
Προσεταιριστική ιδιότητα: Δεν έχει σημασία με ποια σειρά θα γίνει η πρόσθεση όταν έχουμε παραπάνω από δύο προσθετέους.
$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$

Αφαίρεση

Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος) βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στον Α μας δίνει το Μ.

$M = A + \Delta$

και γράφουμε

$\Delta = M - A$

Στους φυσικούς αριθμούς ο αφαιρετέος Α πρέπει να είναι πάντα μικρότερος ή ίσος του μειωτέου Μ.

Πολλαπλασιασμός

$\begin{tabular}{c c c } \underbrace{\alpha \cdot \beta} & = & \underbrace{\gamma} \\ \pi\alpha\rho\acute{\alpha}\gamma o \nu \tau\epsilon\varsigma & & \gamma\iota\nu\acute{o}\mu\epsilon\nu o\\ \end{tabular}$

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

Το γινόμενου ενός αριθμού με τη μονάδα ισούται με τον ίδιο τον αριθμό.
$\alpha \cdot 1 = 1 \cdot \alpha = \alpha$
Το γινόμενο ενός αριθμού με το μηδέν ισούται με το μηδέν.
$\alpha \cdot 0 = 0 \cdot \alpha = 0$
Αντιμεταθετική ιδιότητα: Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου.
$\alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha$
Προσεταιριστική ιδιότητα: Δεν έχει σημασία με ποια σειρά θα γίνει ο πολλαπλασιασμός όταν έχουμε παραπάνω από δύο παράγοντες.
$(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$
Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση:
$\alpha\cdot(\beta+\gamma) = \alpha\cdot\beta + \alpha\cdot\gamma$

και

$\alpha\cdot(\beta-\gamma) = \alpha\cdot\beta - \alpha\cdot\gamma$

Δυνάμεις φυσικών αριθμών

Νιοστή δύναμη ενός φυσικού αριθμού α, και συμβολίζεται με α^ν, ονομάζεται το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με το α.

$\begin{tabular}{r c l} \alpha^{\nu} & =& \underbrace{\alpha\cdot\alpha\cdot\alpha\cdot\ldots\cdot\alpha} \\ & & \nu \hspace{1mm}\pi\alpha\rho\acute{\alpha}\gamma o \nu\tau\epsilon\varsigma\\ \end{tabular}$

Ο αριθμός α ονομάζεται βάση της δύναμης και ο ν εκθέτης.

Η δύναμη ενός αριθμού α στη δευτέρα ( α² ) λέγεται αλλιώς και τετράγωνο του α.

Η δύναμη ενός αριθμού α στη τρίτη ( α³ ) λέγεται αλλιώς και κύβος του α.

Η πρώτη δύναμη ενός αριθμού α ( α¹ )είναι ο ίδιος ο αριθμός α.

Οι δυνάμεις του 1 ( 1^ν ) είναι όλες ίσες με 1.

Αριθμητική παράσταση – Προτεραιότητα πράξεων

Αριθμητική παράσταση ονομάζουμε κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων.

Ο αριθμός που προκύπτει όταν εκτελέσουμε όλες τις πράξεις της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της αριθμητικής παράστασης.

Προτεραιότητα πράξεων

Υπολογισμός παρενθέσεων.
Υπολογισμός δυνάμεων.
Εκτέλεση πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων .
(με την σειρά που εμφανίζονται από αριστερά προς τα δεξιά)
Εκτέλεση προσθέσεων κι αφαιρέσεων.
(με την σειρά που εμφανίζονται από αριστερά προς τα δεξιά)

Ευκλείδεια διαίρεση

Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζουμε τη διαδικασία κατά την οποία όταν μας δίνουν δύο φυσικούς αριθμούς Δ (Διαιρετέος) και δ (διαιρέτης), βρίσκουμε δύο άλλους φυσικούς αριθμούς π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο), έτσι ώστε να ισχύει:

$\Delta = \delta\cdot\pi + \upsilon$

Ο διαιρέτης δ μιας διαίρεσης δεν μπορεί να είναι μηδέν.
$\delta \neq 0$
Το υπόλοιπο υ της ευκλείδειας διαίρεσης είναι αριθμός πάντα μικρότερος του διαιρέτη δ.
$\upsilon < \delta$

Τέλεια Διαίρεση ονομάζουμε την Ευκλείδεια διαίρεση όπου το υπόλοιπό της είναι μηδέν (0).

$\Delta = \delta\cdot\pi$

Στους φυσικούς αριθμούς η τέλεια διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού, δηλαδή:

$\alpha\nu \hspace{3mm} \Delta = \delta\cdot\pi \hspace{3mm} \tau\acute{o}\tau\epsilon\hspace{3mm} \Delta:\delta = \pi \hspace{3mm}\acute{\eta}\hspace{3mm} \Delta:\pi= \delta$

Όταν ο Διαιρετέος είναι ίσος με το διαιρέτη, τότε το πηλίκο ισούται με ένα.
$\alpha:\alpha = 1$
Όταν ο διαιρέτης είναι ίσος με ένα, τότε το πηλίκο ισούται με τον Διαιρετέο.
$\alpha:1=\alpha$
Όταν ο Διαιρετέος είναι ίσος με μηδέν, τότε το πηλίκο είναι μηδέν.
$0:\alpha = 0$

Χαρακτήρες διαιρετότητας – ΕΚΠ – ΜΚΔ

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν όταν τον πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του
Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.
Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλον τότε θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο η περισσότερων αριθμών διαφορετικών του μηδενός, ονομάζουμε το μικρότερο από τα κοινά τους πολλαπλάσια που είναι διαφορετικό από το μηδέν.

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α ονομάζονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.

Πρώτοι αριθμοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί εκτός του 1, που έχουν διαιρέτες μόνο τον εαυτό τους και τη μονάδα.

Σύνθετοι αριθμοί ονομάζονται όσοι φυσικοί αριθμοί δεν είναι πρώτοι, δηλαδή όσοι έχουν κι άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό τους και τη μονάδα.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών, ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους.

Όταν δύο φυσικοί αριθμοί έχουν Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τη μονάδα, ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους.

Κριτήρια Διαιρετότητας

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι άρτιος αριθμός (0,2,4,6 ή 8).
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 4 ή το 25 αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι αριθμός που διαιρείται με το 4 ή το 25.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0 ή 5.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.

Γινόμενο πρώτων παραγόντων

Αν έχουμε αναλύσει δύο η περισσότερους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τότε:

Το ΕΚΠ αυτών των αριθμών είναι το γινόμενο όλων των διαφορετικών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται, υψωμένοι ο καθένας στην μέγιστη δύναμη που εμφανίζεται με την ίδια βάση.
Ο ΜΔΚ αυτών των αριθμών είναι το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται, υψωμένοι ο καθένας στην ελάχιστη δύναμη που εμφανίζεται με την ίδια βάση.

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Φυσικοί Αριθμοί

Science & Education

Open your mind…

Αρχείο για την κατηγορία “Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου”

Θετικοί κι αρνητικοί αριθμοί

Τα κλάσματα

Φυσικοί Αριθμοί

Σελίδες