blog του Κώστα Ιωάννου

1)                  ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

2)                  Θεωρίες μάθησης των Μαθηματικών

3)                  Γενικά στοιχεία για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

4)                  Μέθοδοι διδασκαλίας των Μαθηματικών

5)                  Μορφές διδασκαλίας των Μαθηματικών

6)                  Δυσκολίες στη μάθηση των Μαθηματικών

7)                  Ατομικές διαφορές στη διδασκαλία των Μαθηματικών

8)                  Ο ρόλος των συναισθημάτων στη διδασκαλία των Μαθηματικών

1. ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Από τα πιο συνηθισμένα ερωτήματα που θέτουν οι μαθητές στους καθηγητές τους είναι «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα μας χρησιμεύσουν;» Οι απαντήσεις που δίνονται συνήθως είναι «Επειδή είναι χρήσιμα» και « Σε όλους τους τομείς της ζωής», αντίστοιχα. Αν ρωτήσουμε, όμως, τους μαθητές, θα διαπιστώσουμε πως κανένας δεν έχει μείνει ικανοποιημένος με τις παραπάνω απαντήσεις. Πράγματι, θα μπορούσε να πει κάποιος πως τα Μαθηματικά δεν είναι και τόσο χρήσιμα, αφού οι περισσότεροι άνθρωποι χρειάζονται μόνο τις τέσσερις πράξεις για τους καθημερινούς λογαριασμούς και τους υπολογισμούς τους. Τότε, όμως, γιατί μαθαίνουμε όλα αυτά τα Μαθηματικά, τα οποία ελάχιστοι άνθρωποι χρησιμοποιούν στο επάγγελμά τους; Ποιοι είναι, άραγε, οι σκοποί και οι στόχοι της διδασκαλίας των Μαθηματικών;

Προτού απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, είναι σκόπιμο να διευκρινίσουμε τη διαφορά μεταξύ των εννοιών «σκοπός» και «στόχος». Οι στόχοι είναι επιδιώξεις περισσότερο συγκεκριμένες από αυτές που περιγράφονται ως σκοποί. Αυτό σημαίνει πως η πραγματοποίηση ενός σκοπού επιτυγχάνεται με την υλοποίηση μιας σειράς στόχων.

Μπορούμε να ορίσουμε τρεις άξονες διατύπωσης των σκοπών της μαθηματικής παιδείας. Σε κάθε άξονα- σκοπό θα περιγράφουμε και τους ανάλογους στόχους. Οι σκοποί, λοιπόν, της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι οι εξής:

1.α Πρακτικοί σκοποί.

Στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται οι σκοποί που αναφέρονται στην άμεση ή έμμεση χρησιμότητα που μπορούν να έχουν οι μέθοδοι, οι διαδικασίες και οι τεχνικές των Μαθηματικών για το ίδιο το άτομο και κατ’ επέκταση για την κοινωνία. Οι πρακτικοί σκοποί της μαθηματικής εκπαίδευσης πραγματοποιούνται μέσω της υλοποίησης των ακόλουθων στόχων:

•Οι μαθητές θα πρέπει να κατανοήσουν τις βασικές αλγεβρικές πράξεις και να εξασκηθούν σε υπολογισμούς.

•Θα πρέπει να μάθουν να σχεδιάζουν γεωμετρικά σχήματα, ώστε να μπορούν να αναπαραστήσουν γραφικά το χώρο που μας περιβάλλει.

•Είναι απαραίτητο να αποκτήσουν την ικανότητα ερμηνείας των γραφικών παραστάσεων.

•Οι μαθητές θα πρέπει, επίσης, να αποκτήσουν έναν επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων, αναπτύσσοντας την κρίση τους, τη φαντασία, αλλά και την ικανότητα αξιολόγησης. Ο στόχος αυτός είναι δυνατόν να επιτευχθεί μέσω των διαδικασιών επίλυσης προβλημάτων, στις οποίες, όπως είδαμε, δίνει μεγάλη έμφαση η νέα μεταρρύθμιση της μαθηματικής εκπαίδευσης. Πράγματι, επιλύοντας προβλήματα, οι μαθητές εργάζονται πάνω σε μοντέλα, τα οποία αντικατοπτρίζουν πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Προσδιορίζουν το πρόβλημα, επιστρατεύουν πολλές διανοητικές λειτουργίες τους, όπως αυτές της μνήμης, της κρίσης, της φαντασίας, κ.ά., συνθέτουν ένα συλλογισμό επίλυσης, τον εφαρμόζουν, ελέγχουν τα αποτελέσματα και αξιολογούν την ορθότητά τους. Μέσω της επίλυσης προβλημάτων, λοιπόν, οι μαθητές μαθαίνουν έμμεσα να αντιμετωπίζουν πολλές από τις καθημερινές δυσκολίες, που θα συναντήσουν στο μέλλον.

1.β Μορφωτικοί σκοποί.

Με τον όρο μορφωτικοί σκοποί, εννοούμε τους σκοπούς εκείνους της μαθηματικής εκπαίδευσης, οι οποίοι συμβάλλουν στο σχηματισμό ορισμένων στάσεων και δεξιοτήτων και στην ανάπτυξη κάποιων διανοητικών γνωρισμάτων. Οι μορφωτικοί σκοποί, μπορούν να επιτευχθούν με την πραγματοποίηση των εξής στόχων:

•Με την εκμάθηση και σωστή χρήση της αυστηρά δομημένης γλώσσας των Μαθηματικών, προκειμένου να αποκτήσουν οι μαθητές θετικές διανοητικές στάσεις ζωής, όπως ακρίβεια, σαφήνεια, πειθαρχεία, κ.ά..

•Η μέθοδος διδασκαλίας του μαθηματικού αντικειμένου δεν θα πρέπει να προσφέρει έτοιμη γνώση, αλλά να βοηθάει τους μαθητές να την ανακαλύψουν μόνοι τους. Έτσι, τα παιδιά, μέσω της παρατήρησης, της εξερεύνησης, της ανίχνευσης των νόμων και κανόνων που διέπουν τα Μαθηματικά και της αναγνώρισης κοινών σχέσεων σε διαφορετικά πεδία τους θα αναπτύξουν ικανότητες καθαρής λογικής σκέψης, θα διαμορφώσουν σωστή κρίση και θα μάθουν να αναγνωρίζουν λογικές σχέσεις μεταξύ ανεξάρτητων γεγονότων.

1.γ Πολιτισμικοί σκοποί.

Στην κατηγορία αυτή συμπεριλαμβάνονται οι σκοποί εκείνοι που συμβάλλουν στην αναγνώριση της αξίας των Μαθηματικών ως διανοητικού, ηθικού, αισθητικού, πνευματικού και γενικά πολιτισμικού αγαθού. Οι στόχοι, μέσω των οποίων πραγματοποιούνται οι πολιτισμικοί σκοποί είναι οι ακόλουθοι:

•Οι μαθητές πρέπει να αποκτήσουν γνώση της ιστορικής εξέλιξης των Μαθηματικών, ώστε να συνειδητοποιήσουν την ευρύτητα και τη δυναμική τους, καθώς και το ρόλο που αυτά έχουν παίξει στη διαμόρφωση της κοινωνίας.

•Είναι, τέλος, απαραίτητο, να δοθεί έμφαση στα μαθήματα της Γεωμετρίας, της Τριγωνομετρίας και της Στερεομετρίας, προκειμένου να αναγνωρίσουν τα παιδιά της ομορφιά, την αρμονία και τη συμμετρία των σχημάτων της φύσης.

Στο σημείο αυτό, πρέπει να επισημάνουμε πως οι παραπάνω σκοποί της μαθηματικής εκπαίδευσης διαφέρουν από χώρα σε χώρα. Εξαρτώνται κάθε φορά από το κοινωνικό, οικονομικό, πολιτικό και πολιτισμικό υπόβαθρο που υπάρχει. Επίσης, η ανάλυση των παραπάνω σκοπών σε στόχους δεν είναι μονοσήμαντη. Αντίθετα, επηρεάζονται από το κάθε εκπαιδευτικό σύστημα, από τις κοινωνικο- οικονομικές συνθήκες που επικρατούν, από κάποια ειδικά χαρακτηριστικά των ομάδων των μαθητών, από την ηλικία τους κ.λ.π..

Ανεξάρτητα από όλα αυτά, όμως, οι σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών δεν αποτελούν επαρκή και ικανοποιητικά επιχειρήματα. Κι αυτό, γιατί οι διαφορές διανοητικές ικανότητες και οι στάσεις που αναπτύσσονται σαν αποτελέσματα των μορφωτικών, κυρίως, σκοπών δεν είναι εξακριβωμένο ότι προέρχονται από τη μελέτη μόνο των Μαθηματικών. Βέβαια, υπάρχουν κάποιες ικανότητες, οι οποίες, όπως έχουν δείξει ψυχολογικές έρευνες, αναπτύσσονται μόνο μέσω των Μαθηματικών. Το σίγουρο, πάντως, είναι πως η μαθηματική εκπαίδευση είναι απαραίτητη για την ολοκλήρωση και την εξέλιξη του ατόμου. Η αξία της, δηλαδή, τόσο για τον ίδιο τον άνθρωπο, όσο και για την κοινωνία είναι πολύ μεγάλη. Για το λόγο αυτό τα Μαθηματικά αποτελούν και θα συνεχίσουν να αποτελούν ένα από τα βασικότερα μελετήματα της παιδείας που παρέχει κάθε χώρα.

2. Θεωρίες μάθησης των Μαθηματικών

Από τα πιο πολυσυζητημένα θέματα και από τα κύρια ενδιαφέροντα της επιστήμης της ψυχολογίας είναι η έννοια της μάθησης. Η έννοια αυτή δεν είναι απλή, ούτε μονοσήμαντη. Έτσι, για κάποιους η μάθηση είναι ένα άθροισμα γνώσεων, οι οποίες είναι αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης ερεθίσματος – αντίδρασης, ενώ για κάποιους άλλους η μάθηση είναι μια διαδικασία ανάπτυξης νέων διαισθήσεων και ικανοτήτων, οι οποίες επέρχονται από την αναδιαμόρφωση μιας προηγούμενης κατάστασης. Για σκοπούς συνεννόησης, στη συνέχεια θα χρησιμοποιούμε τον όρο «μάθηση» με τη σημασία μιας μόνιμης αλλαγής στη συμπεριφορά του ατόμου, η οποία είναι αποτέλεσμα εμπειρίας και πράξης. Ο ορισμός αυτός συμβιβάζει τις δύο παραπάνω απόψεις για την έννοια της μάθησης, αφού υπάρχει αντίδραση (συμπεριφορά) που προκαλείται από απόκτηση γνώσεων είτε μέσω ερεθισμάτων, είτε μέσω μετασχηματισμού μιας υπάρχουσας δομής.

Μετά από την παραπάνω προσπάθεια προσέγγισης του όρου «μάθηση», γεννιούνται τα ερωτήματα: Με ποιο τρόπο μαθαίνει κάποιος; Κάτω από ποιες συνθήκες προκαλείται η μάθηση; Τις απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα δίνουν οι διάφορες θεωρίες μάθησης. Μια θεωρία για τη μάθηση είναι μια γενική διατύπωση, η οποία έχει εφαρμογές σε όλα τα θέματα της μάθησης και σε όλες τις καταστάσεις, κάτω από τις οποίες επιτυγχάνεται η μάθηση. Μια τέτοια θεωρία λαμβάνει υπόψη τις συνθήκες που προκαλούν τη μάθηση, τα αίτια και τα αποτελέσματά της. Τέλος, ερμηνεύει, προβλέπει και ελέγχει τον τρόπο, με τον οποίο οι συνθήκες του περιβάλλοντος επηρεάζουν τη μάθηση. Μια θεωρία μάθησης, δηλαδή, είναι μια ολοκληρωμένη συστηματική άποψη για τη φύση της διαδικασίας αλλαγής της συμπεριφοράς του ατόμου σαν αποτέλεσμα εμπειρίας και πράξης.

Οι θεωρίες μάθησης εξυπηρετούν ένα πλήθος σκοπών. Πρώτα από όλα προβλέπουν καταστάσεις. Περιγράφοντας, δηλαδή, οτιδήποτε συμβαίνει στη διαδικασία της μάθησης και λαμβάνοντας υπόψη όλες τις παραμέτρους και τις συνθήκες που επικρατούν, οι θεωρίες μάθησης έχουν τη δυνατότητα να προβλέπουν κάποια γεγονότα που έχουν σχέση με τη μάθηση και τη διδασκαλία. Επίσης, προκαλούν ερωτήματα σχετικά με τη διαδικασία μάθησης. Οι απαντήσεις αυτών των ερωτημάτων καθορίζουν την αξιοπιστία της κάθε θεωρίας και συμβάλλουν στην ανακατασκευή της, προκειμένου να προσεγγίζει περισσότερο την πραγματικότητα. Τέλος, οι θεωρίες μάθησης καθοδηγούν τις διάφορες έρευνες που γίνονται, δίνοντας στους ερευνητές το κίνητρο και τα μεθοδολογικά εργαλεία για την εκτέλεση ενός πειράματος.

Θεωρίες μάθησης έχουν διατυπωθεί από τον καιρό του Πλάτωνα και από τότε συνεχίζονται οι ερμηνείες του φαινομένου της μάθησης από θρησκευτική, φιλοσοφική, κοινωνική, βιολογική και ψυχολογική θεώρηση. Παρακάτω, θα αναφέρουμε τα βασικότερα χαρακτηριστικά από εκείνες τις θεωρίες μάθησης, οι οποίες άσκησαν τη σημαντικότερη επίδραση στην Παιδαγωγική των Μαθηματικών.

2.1. Μπιχεβιοριστική Θεωρία

Η μπιχεβιοριστική θεωρία μάθησης ή μπιχεβιορισμός, όπως αλλιώς ονομάζεται, στηρίζεται στην άποψη ότι η μάθηση και η απόκτηση γνώσης είναι αποτελέσματα της αλληλεξάρτησης ανάμεσα στα ερεθίσματα, που δέχεται το άτομο από το περιβάλλον του και τις αντιδράσεις του στα ερεθίσματα αυτά. Κλασικό παράδειγμα της διαδικασίας μάθησης, σύμφωνα με τη μπιχεβιοριστική θεωρία είναι το γνωστό πείραμα του Pavlov. Ο Ρώσος φυσιολόγος Pavlov έδινε τροφή σε ένα σκύλο καθημερινά, αφού χτυπούσε ένα καμπανάκι. Η προσφορά, δηλαδή, τροφής συνοδευόταν από ένα συγκεκριμένο ήχο. Μετά από πολλές επαναλήψεις της ίδιας διαδικασίας, ο Pavlov παρατήρησε πως ο σκύλος, μόλις άκουγε το γνωστό -πλέον- ήχο, είχε έκκριση σάλιου. Το πείραμα αυτό έγινε και σε άλλα ζώα, όπως γάτες, ποντίκια, χιμπατζήδες κ.λ.π., με διαφορετικά, όμως, ερεθίσματα. Τα αποτελέσματα ήταν τα ίδια με την περίπτωση του σκύλου.

Παραλληλίζοντας, λοιπόν, οι μπιχεβιοριστές την ανθρώπινη μάθηση με εκείνη των ζώων, πιστεύουν πως τα πάντα είναι συνδέσεις της μορφής ερέθισμα- αντίδραση. Ο άνθρωπος λειτουργεί ως παθητικός δέκτης ερεθισμάτων από το γύρω περιβάλλον του, στα οποία αντιδρά με κάποιο τρόπο. Αν η αντίδραση αυτή συσχετιστεί με μια -κατά κάποιο τρόπο- αμοιβή και αν η όλη διαδικασία επαναληφθεί αρκετές φορές, τότε ο άνθρωπος έχει μάθει. Για παράδειγμα, στην ερώτηση του δασκάλου (ερέθισμα) «πόσο κάνει 5+6» ο μαθητής δίνει μια απάντηση (αντίδραση). Αν η απάντηση αυτή είναι «11», τότε ο δάσκαλος θα τον επιβραβεύσει (αμοιβή). Με την επανάληψη της ίδιας ερώτησης και της ίδιας απάντησης, η αμοιβή δεν είναι πια απαραίτητη και ο μαθητής έχει μάθει ότι «5+6=11».

Ο μπιχεβιορισμός έχει χρησιμοποιηθεί στη διδασκαλία των Μαθηματικών για πολλά χρόνια και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται ακόμη, λόγω των εντυπωσιακών αποτελεσμάτων του στην εκμάθηση των μηχανικών πράξεων. Το βασικό μειονέκτημα, όμως, αυτής της θεωρίας είναι το ότι δεν ερμηνεύει ικανοποιητικά τη μάθηση σύνθετων μορφών. Υποστηρίζει πως κάθε τέτοια μορφή αποτελείται από ένα σύνολο απλών καταστάσεων, των οποίων η κατανόηση ερμηνεύει και την πιο σύνθετη συμπεριφορά. Δεν μπορεί, όμως, κανείς να αναλύσει την ανακάλυψη ενός νέου θεωρήματος ή την επίλυση ενός πρωτότυπου προβλήματος σε απλά βήματα. Γι’ αυτό το λόγο είναι από όλους παραδεκτό πως η μπιχεβιοριστική προσέγγιση παρεμποδίζει την ανάπτυξη ανώτερης μαθηματικής σκέψης και πως η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν θα πρέπει να στηρίζεται μόνο σε αυτή τη θεωρία μάθησης.

2.2. Θεωρία του Ολομορφικού Πεδίου

Η δεύτερη μεγάλη οικογένεια θεωριών μάθησης έκανε την εμφάνισή της στις αρχές του 20ου αιώνα. Πρωτοπόροι ήταν τέσσερις Γερμανοί ψυχολόγοι: οι Κ. Lewin, W. Kohler, K. Koffka και M. Wertheimer. Η θεωρία τους για τη μάθηση επικεντρώνεται στη μελέτη του συνόλου και όχι στα μέρη, τα οποία τα αποτελούν. Για παράδειγμα, η κατανόηση της έννοιας του τριγώνου και των στοιχείων του (γωνίες, πλευρές, κ.ά.) δεν γίνεται με την απομόνωση και μελέτη κάθε πλευράς χωριστά. Τα ύψη, οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι δε διατηρούν τη σημασία τους, όταν αντικατασταθεί το τρίγωνο από τα τρία ευθύγραμμα τμήματα που το αποτελούν. Κατά συνέπεια, η μελέτη των μερών δεν είναι ο πιο αποδοτικός τρόπος για την κατανόηση του συνόλου, όπως υποστήριξε η μπιχεβιοριστική θεωρία.

Βασική παραδοχή της θεωρίας του ολομορφικού πεδίου είναι ότι η ολότητα της συμπεριφοράς του ατόμου περιλαμβάνει, από τη μία πλευρά στοιχεία του περιβάλλοντος, όπως τα βλέπει το πρόσωπο και από την άλλη στοιχεία του δρώντος προσώπου μέσα στο περιβάλλον. Ο άνθρωπος, δηλαδή, βρίσκεται σε αμοιβαία αλληλεπίδραση με το περιβάλλον του. Όσον αφορά στη μάθηση, η παραπάνω θεωρία υποστηρίζει ότι πρόκειται για διαδικασία απόκτησης ή μεταβολής διαισθήσεων, απόψεων ή πρότυπων σκέψεων. Για να επιτευχθεί η μάθηση πρέπει να αναπτυχθούν μέσα στο ζωτικό χώρο του ατόμου, δηλαδή στην ολότητα της συμπεριφοράς του σε δεδομένη στιγμή, πολλές δυνάμεις, οι οποίες αποτελούν έναν τελικό σκοπό. Έτσι, στη θεωρία του ολομορφικού πεδίου σημαντικό ρόλο για τη μάθηση παίζουν οι δυνάμεις, τα κίνητρα και ο τελικός σκοπός.

2.3. Θεωρία Επεξεργασίας Πληροφοριών

Η θεωρία επεξεργασίας πληροφοριών στηρίζεται στην αντίληψη ότι το ανθρώπινο μυαλό συνεχώς προσλαμβάνει πληροφορίες από το εξωτερικό ή το εσωτερικό περιβάλλον, τις επεξεργάζεται και τις αποθηκεύει αναλόγως σε μνήμες διαφορετικής χωρητικότητας. Ο εγκέφαλος, δηλαδή, λειτουργεί όπως ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής, στον οποίο εισάγονται στοιχεία πληροφοριών, γίνεται η επεξεργασία τους και προκύπτουν τα αποτελέσματα που δείχνουν ότι η μάθηση πραγματοποιήθηκε.

Η θεωρία επεξεργασίας πληροφοριών δίνει μεγάλη έμφαση στη μνήμη. Η μνήμη, όπως είναι γνωστό, διακρίνεται σε βραχυπρόθεσμη και μακροπρόθεσμη. Η βραχυπρόθεσμη αποτελεί το χώρο επεξεργασίας των πληροφοριών. Τα δεδομένα κωδικοποιούνται, εναποθηκεύονται προσωρινά εκεί και διατηρούνται για μερικά μόνο δευτερόλεπτα. Μέσω, όμως, της επανάληψης οι πληροφορίες διατηρούνται περισσότερο χρόνο, συστηματοποιούνται, δομούνται με κατάλληλο τρόπο και εναποθηκεύονται μόνιμα στη μακροπρόθεσμη μνήμη. Στην περίπτωση ανάκλησης των πληροφοριών από τη μακροπρόθεσμη μνήμη γίνεται πρώτα το πέρασμά τους στη βραχυπρόθεσμη και ύστερα η εξωτερίκευσή τους στο περιβάλλον.

Η βραχυπρόθεσμη μνήμη έχει τη δυνατότητα να συγκρατεί περιορισμένο μόνο αριθμό πληροφοριών σε μια δεδομένη στιγμή. Εάν είναι πλήρης, η νέα πληροφορία που έρχεται είτε από το εξωτερικό περιβάλλον, είτε από τη μακροπρόθεσμη μνήμη, γίνεται αποδεκτή στη θέση της παλιάς, η οποία χάνεται. Μέσω της επανάληψης, όμως, είναι δυνατό να διατηρηθεί η παλιά πληροφορία στη βραχυπρόθεσμη μνήμη για περισσότερο καιρό. Δυστυχώς, η επανάληψη δεν μπορεί να αυξήσει τη χωρητικότητα της βραχυπρόθεσμης μνήμης.

Στο σημείο αυτό παρεμβαίνει αποτελεσματικά η έννοια του αυτοματισμού. Με τον όρο «αυτοματισμός» εννοούμε την εκτέλεση μιας διαδικασίας, χωρίς να χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή. Έτσι, δεν απαιτείται μνήμη για την εκτέλεση, με αποτέλεσμα να δημιουργείται περισσότερος χώρος για νέες πληροφορίες.

Οι έννοιες της επανάληψης και του αυτοματισμού έχουν πολύ μεγάλη σημασία για τη μάθηση των Μαθηματικών. Δεν θα πρέπει να ξεχνάμε, όμως, και τις αρνητικές τους πλευρές, τον κίνδυνο, δηλαδή, της καθαρά μηχανικής μάθησης.

Η υιοθέτηση της θεωρίας επεξεργασίας πληροφοριών στη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι πραγματικά αποτελεσματική, αν πληροί ορισμένες προϋποθέσεις. Οι μαθητές, λοιπόν, θα πρέπει να κατανοούν και τις διάφορες μαθηματικές έννοιες και να τις συνδέουν με λογική σειρά, ώστε να μπορούν εύκολα να τις αποθηκεύουν στη μνήμη τους. Ο σωστός, εξάλλου, τρόπος ταξινόμησης των πληροφοριών στη μνήμη συμβάλλει άμεσα στην επιτυχία των μαθητών στα Μαθηματικά.

2.4. Θεωρία των Ιεραρχιών Μάθησης

Στα Μαθηματικά, όπως και σε άλλες επιστήμες, η διάρθρωση των περιεχομένων των βιβλίων, αλλά και η διδασκαλία του μαθηματικού αντικειμένου ακολουθούν μια πορεία από το απλό στο σύνθετο. Η καινούργια γνώση, δηλαδή, χτίζεται πάνω στην παλιότερη. Από τις θεωρίες μάθησης που είδαμε μέχρι στιγμής, καμία δεν μπόρεσε να εξηγήσει, γιατί η διάταξη της διδασκαλίας από το απλό στο σύνθετο και από το εύκολο στο δύσκολο είναι καλύτερη από άλλες. Όλες οι προηγούμενες θεωρίες υποστήριζαν και ακολουθούσαν την παραπάνω τακτική, αλλά καθαρά διαισθητικά. Δεν υπήρχε, δηλαδή, καμία εξήγηση για ποιο λόγο η μάθηση απλών εννοιών αρχικά, διευκολύνει την κατανόηση των δύσκολων.

Ο πρώτος, που προσπάθησε να δώσει εξήγηση με αυστηρό τρόπο, ήταν ο Robert Gagne΄ (1970). Ο Gagne΄ ανέπτυξε μια νέα θεωρία μάθησης, η οποία βασίζεται στην ιδέα ότι οι απλούστερες μαθηματικές δραστηριότητες αποτελούν τα δομικά υλικά για τις πιο πολύπλοκες, οι οποίες -με τη σειρά τους- μπορούν να αναλυθούν στα πιο απλά τους συστατικά. Ο Gagne΄ αναγνώρισε το γεγονός ότι η εκμάθηση μιας έννοιας, ενός κανόνα ή η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτουν την ύπαρξη κάποιων νοητικών δεξιοτήτων και κάποιων βασικών γνώσεων. Αυτό δείχνει πως ο μηχανισμός της μάθησης είναι επισωρευτικός, δηλαδή η εκμάθηση μιας νέας γνώσης βασίζεται στην προηγούμενη. Η μέθοδος που επινόησε ο Gagne΄ στηρίζεται στην ερώτηση: «Τι πρέπει να γνωρίζει κάθε φορά ο μαθητής, για να φθάσει στο στόχο του;» Αυτή η τεχνική μάθησης άμα εφαρμόζεται σωστά, είναι πραγματικά αποτελεσματική, αφού παρεμποδίζει τη δημιουργία κενών στο μαθητή.

Γνωρίζουμε, όμως, πως ο τρόπος και η ταχύτητα εκμάθησης γνώσεων διαφέρει από άνθρωπο σε άνθρωπο. Είναι δυνατό, λοιπόν, κάποια άτομα να προσπερνούν τις απλές έννοιες και να μαθαίνουν τις πιο σύνθετες, χωρίς να έχουν τις προαπαιτούμενες γνώσεις. Αυτό συμβαίνει, κυρίως, όταν η παρακίνηση του παιδιού για μάθηση είναι μεγάλη ή όταν το γνωστικό αντικείμενο έχει πολλές εφαρμογές και τονίζεται η σημασία του. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το άτομο μπορεί να φθάσει απευθείας στον τελικό του στόχο, χωρίς να ακολουθήσει τα ενδιάμεσα βήματα. Καμιά φορά, μάλιστα, αυτό έχει καλύτερο αποτέλεσμα. Πράγματι, ο Dienes απέδειξε ότι οι μαθητές που έμαθαν πρώτοι ένα πολύπλοκο παιχνίδι κι έμαθαν ύστερα μια πιο απλή παραλλαγή του χρειάστηκαν λιγότερο χρόνο από τους μαθητές, οι οποίοι ξεκίνησαν από το απλό και κατέληξαν στο πιο δύσκολο παιχνίδι. Το φαινόμενο αυτό μπορεί να εξηγηθεί λογικά ως εξής?Κατά την προσπάθειά του να κατακτήσει τον τελικό του στόχο, ο μαθητής, ανακαλύπτει και αποκτά έμμεσα όλες τις προαπαιτούμενες δεξιότητες.

Οι παραπάνω διαπιστώσεις επαληθεύουν, για μία ακόμη φορά, την πολυπλοκότητα του φαινομένου της μάθησης, καθώς και τον πολύ σημαντικό ρόλο, που διαδραματίζουν τα στοιχεία του χαρακτήρα και οι διαφορές του κάθε ατόμου. Παρόλα αυτά, η θεωρία μάθησης του Gagne? μπορεί να βοηθήσει τους καθηγητές να εντοπίσουν τα πιθανά σημεία δυσκολίας των Μαθηματικών, να οργανώσουν τη διδασκαλία τους και, προσαρμόζοντάς την στις ιδιαιτερότητες του κάθε μαθητή, να τον οδηγήσουν στην κατανόηση ακόμα και των πιο δύσκολων μαθηματικών εννοιών.

2.5. Αναπτυξιακή Θεωρία

Μέχρι τις αρχές του 20ού αιώνα επικρατούσε η άποψη ότι τα παιδιά, ανεξαρτήτως ηλικίας, μπορούν να σκέφτονται όπως οι μεγάλοι. Έτσι, η διδασκαλία των Μαθηματικών στα σχολεία, τόσο στους μικρότερους, όσο και στους μεγαλύτερους μαθητές, ήταν παρόμοια. Περιλάμβανε, δηλαδή, παρουσίαση του μαθήματος με τη μέθοδο της διάλεξης, σημειώσεις από τους μαθητές και στο τέλος επίλυση ασκήσεων.

Όλα αυτά, όμως, άλλαξαν, όταν έκανε την εμφάνισή του ο Ελβετός γενετικός επιστημολόγος Jean Piaget (1896 – 1980) με το έργο του για τα στάδια της νοητικής ανάπτυξης. Ο Piaget, μελετώντας τα αποτελέσματα ενός τεστ ευφυΐας, που έκανε στο πειραματικό σχολείο του Παρισιού, παρατήρησε ότι τα παιδιά μιας ορισμένης ηλικίας έκαναν παρόμοια λάθη, τα οποία ήταν ποιοτικά διαφορετικά από τα λάθη των παιδιών μεγαλύτερης ή μικρότερης ηλικίας. Έτσι, κατέληξε στο συμπέρασμα πως η νοητική ανάπτυξη του ανθρώπου εξελίσσεται σε τέσσερα στάδια, των οποίων η σειρά διαδοχής παραμένει αμετάβλητη.

Τα στάδια αυτά είναι τα εξής:

2.5.α Αισθησιοκινητικό στάδιο (0-2 χρόνια).

Στο στάδιο αυτό, το παιδί αντιλαμβάνεται το περιβάλλον του μέσω των αισθήσεων του (κυρίως όραση, ακοή και αφή). Δεν μπορεί, όμως, να εκφράσει με λέξεις οτιδήποτε βρίσκεται γύρω του και για αυτό αρκείται μόνο στην παρατήρηση. Τέλος, σκέφτεται εγωκεντρικά και δεν μπορεί να αντιληφθεί τις διάφορες καταστάσεις από άλλη οπτική γωνία, εκτός από τη δικιά του.

2.5.β Προσυλλογιστικό στάδιο (2-7 χρόνια).

Στο στάδιο αυτό, το παιδί αρχίζει να διαμορφώνει τη γλώσσα επικοινωνίας και να μαθαίνει κάποιες στοιχειώδεις έννοιες. Ταξινομεί τα διάφορα αντικείμενα με βάση τις ομοιότητες τους, όμως δεν μπορεί ακόμα να συγκεντρώσει την προσοχή του σε περισσότερες από μία καταστάσεις. Επίσης, ενώ γνωρίζει τη σημασία των εννοιών μακρύ, κοντό, βαρύ, ελαφρύ, ψηλό, χαμηλό, πλατύ, στενό, δεν έχει την αίσθηση της ποσότητας. Έτσι, αν βάλουμε την ίδια ποσότητα νερού σε ένα ψηλό ποτήρι, το παιδί θα νομίσει πως το νερό είναι περισσότερο. Οι μαθηματικές γνώσεις του παιδιού στο προσυλλογιστικό στάδιο περιορίζονται σε αυτές που προέρχονται μέσα από πρακτικές δραστηριότητες. Έτσι, το παιδί αναγνωρίζει τον κύκλο, το τρίγωνο, το τετράγωνο, αλλά δεν μπορεί να διατυπώσει τις ιδιότητές τους.

2.5.γ Στάδιο των συγκεκριμένων συλλογισμών (7-12 χρόνια).

Στην ηλικία αυτή, το παιδί διαμορφώνει πιο συστηματική και πιο λογική σκέψη. Έτσι, αρχίζει να αντιλαμβάνεται σχέσεις μεταξύ πραγμάτων ή προσώπων, εκτελεί αντιστρέψιμες πράξεις, αποδέχεται την αντιστροφή κάποιων ενεργειών και συνεργάζεται με άλλα άτομα. Αντιλαμβάνεται, επίσης, τη διατήρηση της ποσότητας, συγκρίνει και συσχετίζει αντικείμενα και καταστάσεις, διατάσσει πράγματα σε σειρά με βάση κάποια χαρακτηριστικά τους και αναπτύσσει την ικανότητα της νοητικής αναπαράστασης. Στο στάδιο των συγκεκριμένων νοητικών ενεργημάτων, το παιδί αρχίζει να επεξεργάζεται κάποιες απλές μαθηματικές έννοιες, όπως αυτές του συνόλου, της διάταξης, του μήκους, του βάρους, του εμβαδού, κ.ά.. Δεν έχει, όμως, ακόμη την ικανότητα να κατανοήσει πιο πολύπλοκες έννοιες, οι οποίες συνδέονται με την αφαιρετική σκέψη.

2.5.δ Στάδιο των αφηρημένων συλλογισμών (12 χρόνων και πέρα).

Το κυρίαρχο χαρακτηριστικό αυτής της περιόδου είναι η ανάπτυξη της αφαιρετικής σκέψης, της σκέψης, δηλαδή, που δε στηρίζεται σε άμεσες εποπτείες. Ο έφηβος δε χρειάζεται πια συγκεκριμένα παραδείγματα, για να κατανοήσει μια έννοια, αλλά μπορεί να βασίζεται σε υποθέσεις, τόσο πραγματικές, όσο και φανταστικές. Η χρήση των αφηρημένων συλλογισμών επιτρέπει στον έφηβο να κάνει κριτική και να επινοεί θεωρίες. Αυτός είναι κι ένας από τους βασικούς λόγους που οι έφηβοι οραματίζονται και ζουν στο μέλλον κι όχι μόνο στο παρόν.

Στην ηλικία των 15-16 χρόνων, η νοημοσύνη αρχίζει να παίρνει την τελική της ισορροπία. Έτσι, δημιουργείται ένα νέο είδος κρίσης, η οποία δε στηρίζεται πλέον σε αντικείμενα, αλλά σε καταστάσεις και υποθέσεις. Οι συλλογισμοί του εφήβου κατά την περίοδο αυτή παρουσιάζουν δύο βασικά χαρακτηριστικά? τη συνδυαστικότητα και τη δυνατότητα αντιστροφής και αμοιβαιότητας. Η συνδυαστικότητα κάνει τους συλλογισμούς να αποκτήσουν ευελιξία και να μπορούν πια να απομακρυνθούν από τις πρώτες συνδέσεις τους. Η αντιστροφή και η αμοιβαιότητα έχουν σαν αποτέλεσμα να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας συλλογισμός, είτε ως αντίστροφος, είτε ως αμοιβαίος.

Ο έφηβος στο στάδιο των αφηρημένων συλλογισμών μπορεί, επίσης, να επεξεργαστεί συστήματα τριών ή περισσότερων μεταβλητών, καθώς και να εργαστεί με τύπους, όπως E=a*b, στους οποίους κάθε γράμμα αντιπροσωπεύει ένα μοναδικό αριθμό. Τέλος, μετά την ηλικία των 16-17 χρόνων, είναι σε θέση να δουλέψει με τύπους, χωρίς, όμως, να αντιστοιχεί κάθε γράμμα σε έναν αριθμό, και μπορεί να εργαστεί σε νέα μαθηματικά συστήματα, όπως είναι το σύνολο των πινάκων, οι διανυσματικοί χώροι, κ.ά..

Τα παραπάνω τέσσερα στάδια νοητικής ανάπτυξης χαρακτηρίζονται από την ιεραρχία τους. Σύμφωνα με τον Piaget, η σειρά διαδοχής παραμένει αναλλοίωτη. Είναι, όμως, δυνατό το πέρασμα από το ένα στάδιο στο άλλο να επιταχυνθεί, ανάλογα με το περιβάλλον του παιδιού, το κοινωνικό του στρώμα, κ.λ.π.. Αυτό που θα πρέπει να συγκρατήσουμε καλά στο μυαλό μας είναι ότι, για να φθάσουμε σε ένα ορισμένο στάδιο, πρέπει να έχουμε περάσει πρώτα από τα προηγούμενα, ώστε να έχουμε την προκαταρκτική υποδομή, η οποία θα επιτρέψει την περαιτέρω πρόοδο.

Ο Piaget έβλεπε τη γνώση σαν μια διαδικασία προσαρμογής του ατόμου προς το περιβάλλον του. Ο άνθρωπος και το περιβάλλον του αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Η νόηση είναι η ισορροπία αυτής της αλληλεπίδρασης. Για να φτάσει, όμως, κάποιος στη νόηση, είναι απαραίτητο να υπάρχει αφομοίωση. Το άτομο θα πρέπει, δηλαδή, να μεταβάλλει μια καινούργια εμπειρία με κατάλληλο τρόπο, ώστε να μπορέσει να την απορροφήσει. Η μεταβολή αυτή της εμπειρίας γίνεται από μία ανθρώπινη λειτουργία, τη συμμόρφωση. Χωρίς τη συμμόρφωση και την αφομοίωση δεν υπάρχει προσαρμογή. Και βέβαια, όλα αυτά δεν τελούνται χωρίς κάποια ώθηση. Η κινητήρια δύναμη, λοιπόν, για τη νοητική ανάπτυξη είναι η τάση που έχει κάθε οργανισμός να δημιουργεί αρμονική σχέση με το περιβάλλον του. Η θεωρία του Piaget για τη μάθηση αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά έργα, που μελετάνε αυτό το αντικείμενο, και έχει επηρεάσει άμεσα τη διαδικασία διδασκαλίας – μάθησης σε πολλές χώρες.

2.6. Θεωρία της Ανακάλυψης

Μετά την αναπτυξιακή θεωρία του Piaget, πολλοί ψυχολόγοι και παιδαγωγοί προσπάθησαν να μελετήσουν παραπέρα το φαινόμενο της μάθησης. Ένας από αυτούς ήταν και ο Jerome Bruner, ο οποίος έδωσε έμφαση στη σημασία της ανακάλυψης και της διαίσθησης.

Ο Bruner πίστευε πως ο βασικός ρόλος του καθηγητή είναι να βοηθάει τους μαθητές του να ανακαλύπτουν μόνοι τους τη γνώση. Φυσικά, υπάρχουν ποικίλοι τρόποι ανακάλυψης, όπως η μαιευτική μέθοδος του Σωκράτη, η εξερεύνηση κάποιων προβληματικών καταστάσεων, που σχετίζονται άμεσα με το μαθητή, η κατασκευή ειδικών προβλημάτων, μέσα από τα οποία μπορεί το παιδί να κατανοήσει κάποιες έννοιες και να βγάλει κανόνες, κ.ά.. Η σημασία της ανακάλυψης δεν εντοπίζεται τόσο στο αποτέλεσμά της, όσο στην ίδια τη διαδικασία εξερεύνησης. Ο Bruner, όπως και ο Piaget, επέμενε πολύ στο ρόλο της ενεργητικότητας του ατόμου. Πίστευε πως η μάθηση δε μεταδίδεται, αλλά κατασκευάζεται και κατακτάται από το μαθητή. Η μάθηση απαιτεί εξερεύνηση, πειραματισμό, ανακατασκευή της γνώσης, ανακάλυψη. Η παθητική στάση του μαθητή παρεμποδίζει τις παραπάνω διαδικασίες και αποτελεί ανασταλτικό παράγοντα της απόκτησης γνώσης. Βέβαια, η μέθοδος της ανακάλυψης παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες. Για παράδειγμα, απαιτεί πολύ χρόνο και κάποιες ιδιαίτερες ικανότητες από τους μαθητές. Αυτά, όμως, δεν είναι τίποτα άλλο, παρά τεχνικά προβλήματα, τα οποία, σε σχέση με την προσφορά της ανακαλυπτικής μεθόδου στη μάθηση, φαίνονται ασήμαντα και μπορούν να αντιμετωπιστούν.

Ο Bruner τόνιζε στη θεωρία του, εκτός των άλλων, και τη σημασία της διαίσθησης για την κατανόηση των Μαθηματικών. Η διαισθητική σκέψη, σε αντίθεση με την αναλυτική, δεν προχωρά με προσεκτικά, σαφή βήματα. Η διαισθητική σκέψη είναι συμπληρωματικής φύσεως. Επιτρέπει ελευθερία, μεγάλα άλματα, χρήση της σύντομης οδού και κατασκευάζει κατά κάποιο τρόπο ένα δρόμο, πάνω στον οποίο θα κινηθεί με καθορισμένα, βαθμιαία βήματα η αναλυτική σκέψη. Η διαίσθηση, επομένως, είναι πολύ σημαντική για τη μάθηση και η καλλιέργειά της θα πρέπει να είναι ένας από τους βασικούς σκοπούς της διδασκαλίας των Μαθηματικών.

Η άποψη, τώρα, του Bruner σχετικά με τη μάθηση και τη διδασκαλία ήταν πολύ προοδευτική για την εποχή εκείνη (δεκαετία 1950-1960) και αποτέλεσε βασικό κίνητρο για τη μεταρρύθμιση της μαθηματικής εκπαίδευσης, που έγινε λίγο αργότερα. Ο Bruner πίστευε πως οποιοδήποτε θέμα μπορεί να γίνει κατανοητό από τους μαθητές, εάν ο καθηγητής λάβει υπόψη του το στάδιο νοητικής ανάπτυξης του παιδιού και προσαρμόσει κατάλληλα το θέμα στο επίπεδο του μαθητή. Τίποτα δεν είναι από τη φύση του δυσνόητο. Η δυσκολία βρίσκεται στο να βρεθεί η σωστή προσέγγιση και ο ανάλογος τρόπος για την παρουσίασή του. ʼμεση συνέπεια των παραπάνω απόψεων του Bruner ήταν η εφαρμογή του σπειροειδούς προγράμματος ανάπτυξης του μαθηματικού περιεχομένου. Το πρόγραμμα αυτό, που εφαρμόζεται ακόμη και σήμερα, έχει ως κεντρική ιδέα τη διδασκαλία των βασικών εννοιών, προσαρμοσμένων, όμως, στο ανάλογο στάδιο νοητικής ανάπτυξης, από πολύ νωρίς και την επανάληψή τους στις μεγαλύτερες τάξεις με συνεχή εμπλουτισμό, κάθε φορά, με νέα στοιχεία.

2.7. Κονστρουκτιβισμός

Οι απόψεις του Piaget για τη μάθηση είχαν μεγάλη απήχηση και επέδρασαν άμεσα στη διαμόρφωση των αντιλήψεων και των διδακτικών προσεγγίσεων των παιδαγωγών. Η αναπτυξιακή θεωρία, στην οποία αναφερθήκαμε σε προηγούμενη παράγραφο, αποτέλεσε την αφετηρία μιας νέας κατεύθυνσης στην ψυχοπαιδαγωγική, της θεωρίας του κονστρουκτιβισμού. Οι Piaget, Dienes, Singlair, κύριοι εκφραστές της κατασκευαστικής θεωρίας, όπως αλλιώς ονομάζεται ο κονστρουκτιβισμός, έδωσαν με τις εργασίες τους μια νέα διάσταση στην έννοια της μάθησης.

Η βασική παραδοχή του κονστρουκτιβισμού είναι ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει τη γνώση και δεν τη δέχεται παθητικά. Η κινητήρια δύναμη για την κατασκευή της νέας γνώσης είναι πάντα μια προβληματική κατάσταση, την οποία οι υπάρχουσες γνώσεις του ατόμου δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν. Αυτή η ασυμφωνία και αστάθεια οδηγεί τον άνθρωπο σε ενεργοποίηση των ήδη υπάρχουσων γνωστικών δομών, σε τροποποίησή τους και σε κατασκευή νέων γνώσεων, προκειμένου να ερμηνευτεί και να επιλυθεί το πρόβλημα.

Η θεωρία του κονστρουκτιβισμού περιλαμβάνει, εκτός των παραπάνω, τρεις βασικές ιδέες:

α) Οι μαθητές επινοούν προσωπικές μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων,

β) Η μάθηση των Μαθηματικών συντελείται μέσα από την επίλυση προβλημάτων,

γ) Ο ρόλος της κοινωνικής ομάδας για τη μάθηση είναι καθοριστικός.

Όσον αφορά στην πρώτη ιδέα της κατασκευαστικής θεωρίας, έχει παρατηρηθεί ότι τα παιδιά προτιμούν να επινοούν και να κατασκευάζουν δικούς τους τρόπους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων, παρά να ακολουθούν τις υποδείξεις των καθηγητών. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούν οι μαθητές βασίζονται στις προηγούμενες μαθηματικές τους γνώσεις. Έτσι, η διαφορά αυτών των μεθόδων είναι ουσιαστικά η διαφορά των προϋπάρχουσων γνώσεων.

Σχετικά με τη δεύτερη ιδέα του κονστρουκτιβισμού, είναι γεγονός πως οι καταστάσεις, τις οποίες οι μαθητές βρίσκουν προβληματικές, προσελκύουν κατά πολύ το ενδιαφέρον τους. Τα παιδιά, ανάλογα με τη μαθηματική τους ωριμότητα και με το στάδιο νοητικής τους ανάπτυξης, προσπαθούν να επιλύσουν εκείνα τα προβλήματα που τους κάνουν αίσθηση. Με αυτό τον τρόπο ενεργοποιείται η μάθηση και οι μαθητές αποκτούν τις διάφορες γνώσεις.

Η θεωρία του κονστρουκτιβισμού δίνει, τέλος, μεγάλη έμφαση στο ρόλο και τη συμβολή της κοινωνικής ομάδας στην κατασκευή της γνώσης. Η διαφορά των ιδεών και των απόψεων των μελών της ομάδας προκαλεί αστάθεια, με αποτέλεσμα να γίνεται αναδιοργάνωση της προηγούμενης γνώσης και κατάκτηση της νέας μέσα σε κλίμα επικοινωνίας και συνεργασίας.

Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, ο κονστρουκτιβισμός αποτελεί την πιο αποδεκτή θεωρία για τη μάθηση και τη διδασκαλία. Παρόλο που δεν έχει αναπτύξει διδακτικές τεχνικές και μεθόδους, προσεγγίζει τη διδασκαλία, περιγράφοντας τους σκοπούς και τις επιδιώξεις της. Βασική, λοιπόν, επιδίωξη της διδασκαλίας, σύμφωνα με την κατασκευαστική θεωρία, είναι η παροχή ευκαιριών και η ενθάρρυνση του μαθητή να κατασκευάζει μόνος του τις μαθηματικές γνώσεις, μέσα από την εξερεύνηση τον πειραματισμό, το σχηματισμό υποθέσεων, τη γενίκευση, την αιτιολόγηση, κ.λ.π.. Μόνο έτσι μπορεί να εδραιωθεί η κατανόηση και να επέλθει η ουσιαστική μάθηση.

2.8. Συμπεράσματα

Ρίχνοντας μια σύντομη ματιά στις σημαντικές θεωρίες μάθησης, οι οποίες επηρέασαν τη μαθηματική εκπαίδευση, καταλήξαμε σε ένα πολύ βασικό συμπέρασμα: Η ουσιαστική μάθηση του μαθηματικού αντικειμένου είναι μια πιο τις πιο πολύπλοκες διαδικασίες και για να επιτευχθεί πρέπει να πληρούνται κάποιες προϋποθέσεις. Οι βασικότερες, λοιπόν αρχές, οι οποίες πρέπει να διέπουν τη διδασκαλία των Μαθηματικών, ώστε το αποτέλεσμά της να είναι η ουσιαστική μάθηση είναι οι ακόλουθες :

•Το παιδί, για να μπορέσει να μάθει, πρέπει πρώτα από όλα να έχει θέληση και να δείχνει ενδιαφέρον προς το αντικείμενο μάθησης. Πρωταρχικός, λοιπόν, ρόλος του καθηγητή είναι να προσαρμόσει το αντικείμενο αυτό στις ανάγκες, τα ενδιαφέρονται, τις κλίσεις και τις ικανότητες του παιδιού, ώστε να το παρακινήσει να δώσει προσοχή.

•Το προσφερόμενο, προς μάθηση, αντικείμενο πρέπει να είναι ανάλογο προς τις πνευματικές και νοητικές ικανότητες του μαθητή. Το παιδί μαθαίνει ουσιαστικά, όταν η γνώση που καλείται να αποκτήσει βρίσκεται σε ισορροπία με το στάδιο της νοητικής του ανάπτυξης.

•Η μάθηση, όπως είδαμε, είναι μια διαδικασία αναδιοργάνωσης της προηγούμενης γνώσης και κατασκευής της καινούργιας. Για να μάθει, λοιπόν, το παιδί είναι πολύ σημαντικό η διαδικασία αυτή τροποποίησης της παλιάς γνώσης να γίνεται μέσα από εμπειρίες σχετικές με το αντικείμενο μάθησης.

•Απαραίτητο συστατικό στοιχείο της ουσιαστικής μάθησης είναι επίσης η ενεργητική συμμετοχή του μαθητή. Για αυτό το λόγο πρέπει να υπάρχει ελευθερία σκέψης και έκφρασης, καλή σχέση ανάμεσα στο παιδί και τον καθηγητή, κ.λ.π..

•Η κατάλληλη ατμόσφαιρα μέσα στην τάξη είναι ένα ακόμη στοιχείο που συμβάλλει στη μάθηση. Έτσι η ηρεμία, η ησυχία, η ελευθερία λόγου, η άνεση, το ευχάριστο κλίμα, κ.ά. πρέπει να εξασφαλίζονται από το σχολείο, προκειμένου να οδηγηθούν οι μαθητές στην απόκτηση γνώσεων.

•Είναι πολύ σημαντικό, η προσφερόμενη προς μάθηση γνώση, να είναι ξεκάθαρη και να παρουσιάζεται από τον καθηγητή χωρίς την ανάμειξη άσχετων, με αυτή, πληροφοριών. Ο μαθητής πρέπει να έχει συγκεντρωμένη την προσοχή του σε ένα μόνο θέμα, ώστε να μπορέσει να μάθει.

•Μια αρχή, που συμβάλλει στην ουσιαστική μάθηση και την οποία πρέπει κάθε καθηγητής να έχει κατά νου, είναι ο προσωπικός τρόπος μάθησης που έχει κάθε παιδί. Ο καθηγητής δεν πρέπει να επιβάλλει κάποιο πρότυπο στυλ μάθησης, αλλά να ενθαρρύνει και να ενισχύει αυτό του κάθε μαθητή του.

•Επίσης, ο ατομικός ρυθμός μάθησης, που έχει κάθε μαθητής πρέπει να λαμβάνεται υπόψη από τον καθηγητή, ο οποίος με τη σειρά του, πρέπει να τροποποιεί και να προσαρμόζει το μάθημά του στις ταχύτητες μάθησης των παιδιών.

•Τέλος, ένα από τα βασικότατα στοιχεία που ευνοούν την ουσιαστική μάθηση είναι η έννοια της επανάληψης. Μέσω της επανάληψης οι γνώσεις διατηρούνται για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα μέσα στο μυαλό και γίνονται πιο μόνιμες και πιο σταθερές.

3. Γενικά στοιχεία για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

Η μαθησιακή διαδικασία, όπως είδαμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι αποτελεσματική στο βαθμό που συνοδεύεται από μια καλά οργανωμένη και συστηματική διδασκαλία. Η διδασκαλία αυτή στηρίζεται πάντα στις αρχές κάποιας θεωρίας και δεδομένου πως δεν υπάρχει μια μοναδική θεωρία μάθησης, υπάρχουν και διαφορές στις μεθόδους διδασκαλίας.

Εκτός, όμως, από τις μεθόδους διδασκαλίας που επιλέγονται κάθε φορά, διαφορές εντοπίζονται και στις μορφές διδασκαλίας. Η έννοια της διδασκαλίας, λοιπόν, περιλαμβάνει τις μεθόδους, οι οποίες αναφέρονται στο σύνολο των οργανωμένων δραστηριοτήτων της μαθησιακής διαδικασίας και τις μορφές, οι οποίες αναφέρονται σε μια συγκεκριμένη φάση της. Στην ενότητα αυτή θα ρίξουμε μια σύντομη ματιά στις μεθόδους και τις μορφές διδασκαλίας του μαθηματικού αντικειμένου.

4. Μέθοδοι διδασκαλίας των Μαθηματικών

Από την εποχή, όπου οι πρώτες κοινωνίες άρχισαν να μεταδίδουν τις γνώσεις και τις εμπειρίες τους στις νεότερες γενιές, δημιουργήθηκε η έντονη ανάγκη να οργανωθεί και να συστηματοποιηθεί αυτός ο τρόπος διδασκαλίας. Με την πάροδο των χρόνων έγινε σαφές ότι τη διδασκαλία την πλαισιώνουν κάθε φορά κάποιοι παράγοντες, όπως ο ρόλος του καθηγητή, ο ρόλος του μαθητή, οι σκοποί του αντικειμένου που διδάσκεται, οι ικανότητες που επιδιώκεται να αποκτήσει ο μαθητής, κ.ά.. Ανάλογα με τις αρχές της κάθε κοινωνίας, οι παραπάνω παράγοντες διαφοροποιούνται, διαμορφώνοντας έτσι κάποιες μεθόδους διδασκαλίας.

Από τις πιο σημαντικές μεθόδους που επηρέασαν τη διδασκαλία μέχρι τις πρώτες δεκαετίες του 20ου αιώνα, ήταν αυτή του Γερμανού παιδαγωγού Herbart, γνωστή ως και ερβαρτιανή μέθοδος. Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην εκτέλεση πέντε βημάτων- διαδικασιών, που είναι τα ακόλουθα:

(α) Προετοιμασία των μαθητών με ανάκληση προηγούμενων σχετικών γνώσεων, ώστε να μπορέσουν να δεχθούν καινούργιες.

(β) Παρουσίαση του νέου αντικειμένου διδασκαλίας.

(γ) Σύνδεση με τα προηγούμενα, ύστερα από εξήγηση και ανάλυση της νέας ενότητας.

(δ) Γενίκευση και συνόψιση της ύλης.

(ε) Εφαρμογή της καινούργιας γνώσης σε πραγματικές προβληματικές καταστάσεις.

Τα πέντε αυτά βήματα της ερβαρτιανής μεθόδου μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε μάθημα, βοηθώντας έτσι στο σχεδιασμό και τον προγραμματισμό του. Μπορούν, όμως, πολύ εύκολα να τυποποιήσουν τη διδασκαλία και να την καταστήσουν μη αποτελεσματική.

Ο J. Dewey (1859-1952), επικριτής της ερβαρτιανής μεθόδου, την οποία θεωρούσε δασκαλοκεντρική, ήταν ο εισηγητής μιας νέας μεθόδου διδασκαλίας, της βιωματικής. Η βιωματική μέθοδος βασιζόταν στην αρχή της ενεργητικής συμμετοχής του μαθητή και ακολουθούσε τα εξής βήματα:

(α) Εμπειρία: Ο καθηγητής εξετάζει και ελέγχει τις εμπειρίες του κάθε μαθητή, ώστε να μπορέσει να αποφανθεί αν ο τελευταίος είναι έτοιμος να δεχθεί τις καινούργιες γνώσεις.

(β) Σύνδεση: Ο καθηγητής προσπαθεί να καλύψει τυχόν κενά των μαθητών του, ώστε να μπορέσουν αυτοί να συνδέσουν το νέο αντικείμενο μάθησης με τα προηγούμενα.

(γ) Ταξινόμηση των στοιχείων της νέας ενότητας με ιεραρχία.

(δ) Σχεδιασμός και εκτέλεση της διδασκαλίας σύμφωνα με τα προηγούμενα βήματα.

(ε) Επαλήθευση της καινούργιας γνώσης με βάση τις προηγούμενες.

(στ) Αξιολόγηση της διαδικασίας της μάθησης.

Η βιωματική μέθοδος διδασκαλίας του Dewey δίνει μεγάλη έμφαση στην ενεργό συμμετοχή του μαθητή και στη μάθηση μέσα από πραγματικές προβληματικές καταστάσεις.

Οι σύγχρονες μέθοδοι διδασκαλίας, σε αντίθεση με τις παλαιότερες έχουν ως σκοπό την ανάπτυξη της ικανότητας σκέψης στο παιδί, τη σφαιρική ολοκλήρωση της προσωπικότητάς του και όχι την απλή αποθήκευση γνώσεων και την παθητικότητα. Εκτός των άλλων, λαμβάνουν υπόψη τους την αλληλεπίδραση των μαθητών μεταξύ τους και με τον καθηγητή και διαθέτουν ευελιξία, ώστε να βρίσκουν εφαρμογή σε πολλά μαθήματα.

5.  Μορφές διδασκαλίας των Μαθηματικών.

Εκτός από τις μεθόδους που αναφέραμε παραπάνω, η διδασκαλία μπορεί να ακολουθήσει και κάποιες διαφορετικές μορφές προσέγγισης για τη διεκπεραίωσή της. Αυτές οι μορφές διδασκαλίας, οι τρόποι, δηλαδή, με τους οποίους λαμβάνει χώρα η μαθησιακή διαδικασία σε μικρά ή μεγάλα χρονικά διαστήματα σε σχέση με τις δραστηριότητες και τη συμπεριφορά του δασκάλου και των μαθητών χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες: τη δασκαλοκεντρική και τη μαθητοκεντρική. Τα δασκαλοκεντρικά μοντέλα έχουν ως επίκεντρο το δάσκαλο, ο οποίος φέρει την όλη ευθύνη της μάθησης. Τα μαθητοκεντρικά μοντέλα, αντίθετα, έχουν ως επίκεντρο τον ίδιο το μαθητή, ο οποίος με τη βοήθεια του καθηγητή του κατασκευάζει μόνος του τη γνώση και συμμετέχει ενεργά στη μαθησιακή διαδικασία. Παρακάτω θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στις πιο βασικές μορφές διδασκαλίας.

5.1. Αφηγηματική προσέγγιση

Στην αφηγηματική προσέγγιση ή διάλεξη, όπως αλλιώς ονομάζεται, το βασικότερο χαρακτηριστικό είναι η διήγηση και η παρουσίαση ενός θέματος από τον ομιλητή με τη μορφή του μονολόγου. Πρόκειται για ένα κατ’ εξοχήν δασκαλοκεντρικό μοντέλο, στο οποίο ο καθηγητής έχει τον πρωταγωνιστικό ρόλο, ενώ οι μαθητές είναι απλά παθητικοί θεατές, που ακούνε και κρατάνε κάποιες φορές σημειώσεις. Το σχηματικό μοντέλο, δηλαδή, που χρησιμοποιείται στην αφηγηματική προσέγγιση είναι αυτό του πομπού και του δέκτη.

Η διάλεξη είχε πολύ μεγάλη απήχηση στα παλιότερα χρόνια. Οι καινούργιες, όμως, εκπαιδευτικές μεταρρυθμίσεις και οι νέες θεωρίες μάθησης, οι οποίες τόνιζαν τη σημασία της ενεργούς συμμετοχής του παιδιού στη διαδικασία απόκτησης γνώσης προκάλεσαν την αμφισβήτηση της αφηγηματικής μορφής διδασκαλίας. Εκτός αυτών, ο μονόλογος από την πλευρά του καθηγητή και η παθητικότητα από το μέρος των μαθητών αποδείχθηκαν μη αποτελεσματικά. Πράγματι, τα παιδιά συναντούσαν πολλές δυσκολίες για ποικίλους λόγους. Πρώτα από όλα, ο καθηγητής υποθέτοντας ότι οι μαθητές του κατείχαν κάποιες βασικές γνώσεις και είχαν το ίδιο γνωσιακό υπόβαθρο, δίδασκε την κάθε ενότητα με τον ίδιο ρυθμό για όλους, με αποτέλεσμα οι πιο αδύνατοι μαθητές να μην μπορούν να παρακολουθήσουν. Η προσπάθεια, επίσης, του καθηγητή να καλύψει όσο το δυνατόν περισσότερη ύλη, χωρίς να ενδιαφέρεται για τη διαδικασία της μάθησης, έκανε τα παιδιά να αποκτούν γνώσεις, τις οποίες δεν ήξεραν πού και πώς να τις εφαρμόσουν.

Παρά το γεγονός ότι η αφηγηματική μορφή διδασκαλίας των Μαθηματικών αντιτίθεται στις σύγχρονες θεωρίες μάθησης, αφού περιορίζει την αυτενέργεια του μαθητή, σε ορισμένες περιπτώσεις η χρησιμοποίησή της είναι αναπόφευκτη. Έτσι, η εισαγωγή στο μάθημα, η ανακεφαλαίωσή του, στοιχεία σχετικά με την ιστορία των Μαθηματικών, πληροφορίες γύρω από τις εφαρμογές τους, κ.ά. είναι μερικές από τις περιπτώσεις, στις οποίες η αφήγηση είναι πολύ αποτελεσματική.

5.2. Ανακαλυπτική προσέγγιση

Σε αντίθεση με την αφηγηματική μορφή διδασκαλίας, η καθαρά ανακαλυπτική είναι μαθητοκεντρική. Ο μαθητής, δηλαδή, αυτενεργεί, ενώ ο ρόλος του καθηγητή περιορίζεται στο να δίνει συμβουλές. Το παιδί φθάνει στη γνώση μέσα από την εξερεύνηση και τον πειραματισμό. Βέβαια, υπάρχει και η καθοδηγούμενη ανακαλυπτική προσέγγιση, στην οποία ο μαθητής συμμετέχει ενεργά στη μαθησιακή διαδικασία, την οποία, όμως, ελέγχει και καθοδηγεί ο καθηγητής. Ανάλογα με την πρωτοβουλία που θα δοθεί στα παιδιά, η καθοδηγούμενη ανακάλυψη μπορεί να γίνει δασκαλοκεντρική μορφή διδασκαλίας.

Η ανακαλυπτική προσέγγιση, είτε είναι ελεύθερη, είτε καθοδηγούμενη, ακολουθεί πάντα τα ακόλουθα πέντε βήματα:

(α) Καθορισμός προβλήματος

(β) Συγκέντρωση δεδομένων στοιχείων και ανάλυσή τους

(γ) Σχηματισμός υπόθεσης

(δ) Έλεγχος ισχύος της υπόθεσης

(ε) Τελικό συμπέρασμα

Οι δύο παραπάνω προσεγγίσεις που αναφέραμε, η αφηγηματική και η ανακαλυπτική αποτελούν τα δύο άκρα των διαφόρων προσεγγίσεων. Ενδιάμεσα υπάρχουν κι άλλες μορφές διδασκαλίας, οι οποίες καθορίζονται από το ρόλο του καθηγητή και των μαθητών. Τα δύο άκρα, πάντως, δεν έχουν να προσφέρουν πολλά στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ούτε η διάλεξη, αλλά ούτε και η ελεύθερη ανακάλυψη οδηγούν το μαθητή στην απόκτηση γνώσης. Κάποια ενδιάμεση μορφή καθοδηγούμενης ανακάλυψης θα ήταν ίσως η καλύτερη διδακτική προσέγγιση.

Η καθοδηγούμενη ανακαλυπτική προσέγγιση έχει πολλά πλεονεκτήματα. Αρχικά δημιουργεί ένα ενεργητικό περιβάλλον. Οι μαθητές συμμετέχουν δραστήρια στη μαθησιακή διαδικασία, αναπτύσσοντας, έτσι, πρωτοβουλία και γενικά θετικές για αυτούς στάσεις. Εκτός από τις στάσεις, αναπτύσσουν και κάποιες δεξιότητες, τεχνικές και στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων, οι οποίες του βοηθούν να αντιμετωπίζουν πραγματικές καταστάσεις. Επίσης, μαθαίνουν να επικοινωνούν, τόσο με τον καθηγητή τους, όσο και μεταξύ τους και να ανταλλάζουν διαφορετικές απόψεις. Η προσπάθεια που καταβάλλει το ίδιο το παιδί, για να κατασκευάσει τη νέα γνώση έχει σαν αποτέλεσμα να διατηρηθεί αυτή η γνώση για πολύ περισσότερο καιρό στο μυαλό του και να μπορεί να χρησιμοποιηθεί πιο αποτελεσματικά σε διάφορες προβληματικές καταστάσεις. Η έρευνα, τέλος, που γίνεται από το μαθητή, προκειμένου να μάθει το νέο αντικείμενο, τονώνει την αυτοπεποίθησή του και τον βοηθάει να γνωρίσει τις ικανότητές του.

Η διδασκαλία με τη μορφή της καθοδηγούμενης ανακάλυψης έχει, όπως είδαμε, ένα πλήθος πλεονεκτημάτων για τους μαθητές. Ο σχεδιασμός της, όμως, και η πραγματοποίησή της, παρουσιάζουν αρκετές δυσκολίες για τον καθηγητή. Πράγματι, ο τελευταίος πρέπει να αποφασίζει αρχικά σχετικά με το βαθμό επέμβασής του και καθοδήγησης των παιδιών. Πρέπει να βρίσκει τρόπους να ελέγχει τις υποθέσεις που κάνουν οι μαθητές του, να ανακεφαλαιώνει κάθε φορά όσα έχουν ειπωθεί μέχρι κάποια ορισμένη στιγμή να μην επιμένει στη φραστική διατύπωση των διαφόρων ανακαλύψεων, ειδικά στις μικρότερες τάξεις, κ.ά.

Κάνοντας, λοιπόν, το σχεδιασμό της διδασκαλίας μιας ενότητας Μαθηματικών και λαμβάνοντας υπόψη του τα παραπάνω στοιχεία ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα να ακολουθήσει κάποια από τις ακόλουθες μορφές καθοδηγούμενης ανακάλυψης:

(α) Δειγματική μορφή: Σε αυτή τη μορφή διδασκαλίας, ο καθηγητής επιδεικνύει μια διαδικασία, η οποία αποτελεί υπόδειγμα κάποιας δεξιότητας ή πρότυπο ενός φαινομένου. Ο μαθητής παρατηρεί και προσπαθεί να αναπτύξει την ανάλογη ικανότητα πραγματοποίησης αυτής της διαδικασίας. Η δειγματική διδασκαλία περιλαμβάνει εποπτικά μέσα, εργαστηριακό εξοπλισμό, χρήση γεωμετρικών οργάνων, κ.ά..

(β) Διδασκαλία με φύλλα εργασίας. Τα φύλλα εργασίας δεν είναι τίποτα άλλο παρά γραπτές οδηγίες, οι οποίες δίνονται από τον καθηγητή στους μαθητές και έχουν ως στόχο να κατευθύνουν τις ενέργειες και γενικά τις εργασίες τους. Η συμμετοχή των παιδιών είναι, φυσικά, ενεργητική και γίνεται με γραπτό τρόπο. Έτσι, επιτυγχάνεται οικονομία χρόνου και οργάνωση των μαθημάτων.

(γ)Εργαστηριακές προσεγγίσεις. Η διδασκαλία μέσω εργαστηριακών προσεγγίσεων συμβάλλει στην ανάπτυξη της αυτενέργειας και της δημιουργικότητας του μαθητή. Η ενασχόληση του παιδιού με τα κατάλληλα εκπαιδευτικά μέσα και ο πειραματισμός του με αυτά, του προσφέρουν την ευκαιρία να αναδιοργανώσει και να τροποποιήσει τις προηγούμενες γνώσεις και να κατασκευάσει με πολύ ενδιαφέρον την καινούργια. Η εργαστηριακή μορφή διδασκαλίας συνιστάται και εφαρμόζεται κυρίως στις μικρότερες τάξεις, όπου τα παιδιά βρίσκονται στο στάδιο των συγκεκριμένων συλλογισμών και χρειάζονται συγκεκριμένες πράξεις και δραστηριότητες για να μάθουν. Για την επιτυχία της μορφής αυτής, είναι απαραίτητο να γίνεται σωστή οργάνωση του μαθήματος από τον καθηγητή, η οποία συνίσταται στην εξασφάλιση αρκετών υλικών για όλους, στην ενθάρρυνση της συνεργασίας μεταξύ των μαθητών, στη συνεχή παρακολούθηση της εργασίας τους, στην επιβράβευση της πρωτοβουλίας, της φαντασίας, της πρωτοτυπίας τους, κ.ά..

(δ) Συνεργατική μάθηση. Σύμφωνα με αυτή τη μορφή καθοδηγούμενης ανακάλυψης, ο καθηγητής χωρίζει την τάξη σε ομάδες των 4-5 παιδιών, οι οποίες αναλαμβάνουν να διερευνήσουν κάποιο θέμα ή να επιλύσουν κάποιο πρόβλημα σε ορισμένο χρονικό διάστημα. Η προσέγγιση αυτή αναπτύσσει στα παιδιά την κριτική σκέψη, τους μαθαίνει να συνεργάζονται, να αλληλοβοηθιούνται και να επικοινωνούν. Φυσικά, είναι δυνατό να δημιουργηθούν ανταγωνιστικές σχέσεις μεταξύ των διάφορων ομάδων και να προκληθούν προβλήματα. Τα πλεονεκτήματα, όμως, της συνεργατικής μάθησης είναι πολύ περισσότερα και αξίζει να προσπαθήσει ο καθηγητής να οργανώσει μια τέτοιου είδους διδασκαλία.

(ε) Διδασκαλία με ερωτήσεις. Οι ερωτήσεις αποτελούν ένα από τα πιο διαδεδομένα μέσα διδασκαλίας των Μαθηματικών. Έχουν ποικίλες εφαρμογές, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούνται για να προκαλέσουν το ενδιαφέρον των μαθητών, να τους ενθαρρύνουν να εξερευνήσουν, να εισάγουν ένα νέο θέμα διδασκαλίας, να βοηθήσουν στη συνειδητοποίηση και εμπέδωση των διαφόρων μαθηματικών εννοιών και τεχνικών, να διαγνώσουν, να αξιολογήσουν, κ.λ.π.. Οι ερωτήσεις, δηλαδή, μπορεί να έχουν ως σκοπό την απλή εξάσκηση της μνήμης, την εξήγηση κάποιων καταστάσεων, την ανάλυση της γνώσης, την έρευνα, κ.ά.. Ανάλογα με το προς μάθηση αντικείμενο, ο καθηγητής θα πρέπει να υποβάλλει και σχετικές με αυτό ερωτήσεις. Οι κατάλληλες ερωτήσεις μπορούν να προωθήσουν αποτελεσματικά τη μάθηση και να βοηθήσουν τα παιδιά να αποκτήσουν πολύ ευκολότερα τις νέες γνώσεις.

Η καθοδηγούμενη ανακάλυψη δεν περιορίζεται στις παραπάνω μορφές. Η διδασκαλία των Μαθηματικών μπορεί να γίνει και με άλλους τρόπους, ανάλογα με τη θέληση και τη φαντασία που διαθέτει ο καθηγητής. Θα πρέπει, όμως, κάθε φορά να διέπεται από κάποιες συγκεκριμένες αρχές, ώστε να εξασφαλίζεται ένα κατάλληλο περιβάλλον για την αποτελεσματική εκμάθηση του μαθηματικού αντικειμένου. Το κυρίαρχο στοιχείο που πρέπει να κατευθύνει τη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι η έμφαση στην πρωτοβουλία, τη συμμετοχή και την αυτενέργεια του μαθητή. Ο ρόλος του καθηγητή περιορίζεται μόνο σε κάποια σημεία, τα οποία το παιδί μόνο του δεν έχει τη δυνατότητα να ανακαλύψει.

Συγκεκριμένα, η διδασκαλία των Μαθηματικών, για να είναι επιτυχής, θα πρέπει να περιλαμβάνει τα ακόλουθα στοιχεία:

1. Παρουσίαση από τον καθηγητή. Η παρουσίαση της κάθε ενότητας και του κάθε θέματος από τον καθηγητή είναι απαραίτητο συστατικό της διδασκαλίας. Κι αυτό, γιατί τα βιβλία και γενικότερα τα συγγράμματα, που δίνονται στους μαθητές, περιέχουν μεν τις απαραίτητες γι αυτούς γνώσεις, αλλά δε λειτουργούν ως πρότυπο ζωντανής σκέψης, όπως γίνεται με την περίπτωση των καθηγητών. Η ζωντανή παρουσίαση οποιουδήποτε αντικειμένου, εξάλλου, είναι γνωστό πως εντυπώνει τις νέες γνώσεις αποτελεσματικότερα στο μυαλό του παιδιού.

1. Συζήτηση μεταξύ καθηγητή και μαθητών και μεταξύ μαθητών. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, οι νέες θεωρίες μάθησης δίνουν έμφαση στην ενεργητική συμμετοχή του παιδιού στη μαθησιακή διαδικασία. Το παλαιότερο σχήμα του πομπού-καθηγητή και δέκτη-μαθητή έχει αποδειχθεί μη αποτελεσματικό. Έτσι, ο διάλογος, η συνεργασία, η αντιπαράθεση και γενικότερα η ελευθερία έκφρασης των μαθητών είναι απαραίτητα στοιχεία της επιτυχούς διδασκαλίας.

1. Πρακτική άσκηση. Είναι γενικά αποδεκτό, πως η θεωρία από μόνη της δεν αρκεί για να μάθει κάποιος Μαθηματικά. Χρειάζεται πρακτική άσκηση, εφαρμογή, δηλαδή, της θεωρίας στην επίλυση προβληματικών καταστάσεων. Το παιδί πρέπει να «κάνει» Μαθηματικά, προκειμένου να κατανοήσει το νέο αντικείμενο και να το διατηρήσει στη μνήμη του για πολύ περισσότερο χρόνο.

1. Επίλυση προβλημάτων που προσομοιάζουν σε πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Η δημιουργία των Μαθηματικών έγινε, όπως είδαμε και σε προηγούμενη ενότητα, για την αντιμετώπιση προβλημάτων της καθημερινής ζωής, τα οποία είχαν να κάνουν με την κατανόηση της φύσης, την προσαρμογή του ανθρώπου στο γύρω περιβάλλον του, κ.ά.. Η διδασκαλία των Μαθηματικών, επομένως, θα πρέπει να παρουσιάζει προβλήματα μέσα από τη ζωή, ώστε να δίνει κίνητρο στους μαθητές να ασχοληθούν με αυτά και να μπορέσουν αργότερα να ανταπεξέλθουν σε αρκετές δυσκολίες.

1. Εξερευνητική εργασία. Σύμφωνα με τις σύγχρονες θεωρίες μάθησης, η γνώση δε μεταδίδεται από έναν πομπό σε ένα δέκτη, αλλά κατασκευάζεται. Τα Μαθηματικά, εξάλλου, δεν αποτελούν έμπνευση κάποιου προσώπου, αλλά έχουν κατασκευαστεί. Αυτό σημαίνει πως το βασικό χαρακτηριστικό τους είναι η εξερεύνηση. Είναι εύλογο, λοιπόν, η εξερεύνηση να αποτελεί και το βασικό χαρακτηριστικό της διδασκαλίας. Η ερευνητική εργασία δίνει την ευκαιρία στο μαθητή να πάρει πρωτοβουλία και να αυτενεργήσει. Μόνο έτσι θα κατακτήσει για πάντα το μαθηματικό αντικείμενο.

1. Παρακίνηση των μαθητών. Είναι γενικά αποδεκτό, πως για να μάθει κάποιος Μαθηματικά, πρέπει πρώτα από όλα να το θέλει ο ίδιος και όχι να του επιβάλλεται. Αρχική, λοιπόν, αποστολή του καθηγητή είναι να κινητοποιήσει το ενδιαφέρον των μαθητών του. Για να γίνει κάτι τέτοιο, πρέπει ο ίδιος να αγαπάει τη δουλειά του και να έχει ενθουσιασμό για αυτό που διδάσκει. Μόνο έτσι θα μπορέσει τους μεταδώσει θετικές στάσεις για τα Μαθηματικά. Εκτός, όμως, από αυτά, ο καθηγητής μπορεί να κινητοποιήσει το ενδιαφέρον των παιδιών μέσα από την παρουσίαση προβληματικών καταστάσεων, οι οποίες έχουν άμεση σχέση με τις εμπειρίες και γενικά το περιβάλλον τους. Έτσι, είναι δυνατό οι μαθητές να συμμετέχουν με δική τους πρωτοβουλία στη μαθησιακή διαδικασία.

6. Δυσκολίες στη μάθηση των Μαθηματικών

Μια από τις επικρατέστερες απόψεις γύρω από το μάθημα των Μαθηματικών είναι αυτή που αφορά στη δυσκολία και το αίσθημα δυσφορίας που αυτό προκαλεί. Ακόμη και οι πιο μορφωμένοι άνθρωποι ομολογούν πως δυσκολεύονται να κατανοήσουν το μαθηματικό αντικείμενο και νιώθουν αποστροφή, απέχθεια ή αδιαφορία γι αυτό. Ποιοι, όμως, είναι οι λόγοι που συμβάλλουν στη δημιουργία της παραπάνω άποψης; Γιατί, άραγε, το μάθημα των Μαθηματικών να συνοδεύεται από τέτοιου είδους αντιλήψεις; Απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα δεν είναι εύκολο να δοθούν. Κι αυτό, γιατί υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί λόγοι που προκαλούν αυτή τη δυσφορία για τα Μαθηματικά. Παρακάτω θα αναφέρουμε τους πιο σημαντικούς. Αυτοί είναι οι ακόλουθοι:

1. i. Η μοναδικότητα της προσωπικότητας του κάθε ανθρώπου. Υπάρχουν άνθρωποι, οι οποίοι από τη φύση τους μπορούν και πειθαρχούν σε κανόνες, γεγονός που τους βοηθάει πολύ στην κατανόηση και τη μάθηση των Μαθηματικών. Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν άτομα, τα οποία αντιδρούν έντονα στην επιβολή κανόνων, με αποτέλεσμα να νιώθουν μια αποστροφή για τα Μαθηματικά.

1. ii. Η αυστηρή σειρά του μαθήματος. Τα Μαθηματικά από τη φύση τους διακρίνονται από τη συνοχή και τη συνεκτικότητά τους. Όλες οι μαθηματικές έννοιες βασίζονται στις προηγούμενές τους. Δεν υπάρχουν ανεξάρτητες ενότητες στα Μαθηματικά. Αντίθετα, όλα συνδέονται μεταξύ τους με έναν αυστηρά ιεραρχικό τρόπο. Είναι, επομένως, δυνατό, αφήνοντας κάποιος ένα σημείο αδιευκρίνιστο να μην μπορέσει να κατανοήσει τα επόμενα. Το γεγονός αυτό δημιουργεί πολλά κενά και κατατάσσει το μάθημα των Μαθηματικών στα δύσκολα.

1. iii. Η μαθηματική γλώσσα. Η ειδική ορολογία των Μαθηματικών, η γλώσσα των συμβόλων και των παραστάσεων δυσχεραίνουν τους μαθητές να κατανοήσουν τις διάφορες έννοιες. Η μαθηματική γλώσσα, λοιπό, η οποία έχει πολλές διαφορές με τη φυσική καθημερινή γλώσσα, είναι άλλος ένας παράγοντας που προκαλεί στα παιδιά αποστροφή για τα Μαθηματικά.

1. iv. Η τυποποίηση του περιεχομένου. Από παλαιότερα έχει επικρατήσει η αντίληψη της αυστηρότητας και της τυποποίησης που πρέπει να συνοδεύουν την ανάπτυξη του μαθηματικού περιεχομένου. Έτσι, τα Μαθηματικά φαίνεται να είναι ένα σύνολο αυστηρά διατυπωμένων κανόνων που επιβάλλονται στους μαθητές. Αυτό, όμως, έχει σαν αποτέλεσμα να νιώθουν οι τελευταίοι δυσφορία για το μάθημα.

1. v. Νοητικές δυσλειτουργίες. Κάποια άτομα, είναι γεγονός, πως έχουν μνήμη μικρής χωρητικότητας, δυσκολία στη λεκτική τους ικανότητα και δυσλειτουργία του εγκεφάλου. Έτσι, είναι εύλογο, ότι δεν έχουν καλές επιδόσεις στα Μαθηματικά.

7. Ατομικές διαφορές στη διδασκαλία των Μαθηματικών

Είναι γεγονός, πως οι μαθητές παρουσιάζουν μεταξύ τους αρκετές διαφορές στον τρόπο και το στυλ μάθησης των Μαθηματικών. Η προσωπικότητα του κάθε παιδιού και τα στοιχεία του χαρακτήρα του καθορίζουν τη συμπεριφορά του και τελικά την απόδοσή του στο μάθημα των Μαθηματικών. Οι ατομικές διαφορές των μαθητών δυσχεραίνουν τη διαδικασία διδασκαλίας – μάθησης. Πράγματι, αν ο τρόπος και η ταχύτητα της διδασκαλίας των Μαθηματικών ταιριάζουν με τον τρόπο και την ταχύτητα σκέψης των παιδιών, το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό. Συνήθως, όμως, δε συμβαίνει κάτι τέτοιο, με άμεση συνέπεια την αποτυχία των μαθητών στα Μαθηματικά.

Οι βασικότερες ατομικές διαφορές που επηρεάζουν τη διδασκαλία, αλλά και τη μάθηση του μαθηματικού αντικειμένου είναι οι ακόλουθες:

1. i. Διαφορές στην ταχύτητα εκμάθησης. Έχει παρατηρηθεί ότι οι μαθητές δε μαθαίνουν με τους ίδιους ρυθμούς. Κάποιοι μαθαίνουν πολύ αργά και κάποιοι πολύ γρήγορα. Η τακτική, που ακολουθούν οι περισσότεροι καθηγητές, να προσαρμόζουν τη διδασκαλία τους στο μέσο μαθητή, ουσιαστικά δεν έχει για όλους το ίδιο αποτέλεσμα. Η ιδανικότερη περίπτωση θα ήταν να χωρίζονταν οι μαθητές σε μικρές ομοιογενείς ομάδες, ώστε η ταχύτητα διδασκαλίας τους καθηγητή, η οποία θα διαφέρει από ομάδα σε ομάδα, να είναι αποτελεσματική για όλα τα παιδιά.

1. ii. Διαφορές στη νοητική ανάπτυξη. Είναι πολύ συνηθισμένο το φαινόμενο, παιδιά της ίδιας τάξης να βρίσκονται σε διαφορετικό στάδιο νοητικής ανάπτυξης. Έτσι, ενώ κάποια κατανοούν τη συμβολική αναπαράσταση των διαφόρων εννοιών, κάποια άλλα χρειάζονται να εργαστούν με συγκεκριμένα παραδείγματα.

1. iii. Διαφορές στο στυλ μάθησης. Είναι γεγονός, πως ο τρόπος, που μαθαίνει το κάθε παιδί, είναι διαφορετικός. Πράγματι, κάποιοι μαθητές μαθαίνουν ευκολότερα ακούγοντας τον καθηγητή τους (ακουστικοί τύποι), ενώ κάποιοι άλλοι βλέποντας το βιβλίο (οπτικοί τύποι). Επίσης, ορισμένα παιδιά διακρίνονται από αυθορμητισμό απαντώντας, έτσι, γρήγορα και χωρίς να προηγηθεί ο απαραίτητος στοχασμός. Αντίθετα, οι σκεπτικοί μαθητές στοχάζονται αρκετή ώρα, προτού δώσουν την απάντησή τους, μειώνοντας την πιθανότητα να κάνουν λάθος. Οι δύο αυτές περιπτώσεις αποτελούν δύο αντιδιαμετρικά άκρα. Υπάρχει και η μέση κατάσταση, όπου το παιδί κάποιες φορές είναι αυθόρμητο και κάποιες άλλες σκεπτικό. Η κατάσταση αυτή, δεν προκαλεί μεγάλα προβλήματα στη διαδικασία διδασκαλίας- μάθησης. Όταν, όμως, ο μαθητής είναι είτε μόνο αυθόρμητος, είτε μόνο σκεπτικός, είναι φυσικό να προκαλούνται κάποιες προβληματικές καταστάσεις. Ο αυθόρμητος μαθητής θα έχει, λόγω της επιπολαιότητάς του, φτωχές επιδόσεις στα Μαθηματικά. Ο σκεπτικός μαθητής, πάλι, αμφισβητώντας συνεχώς, οτιδήποτε, δεν θα είναι αποτελεσματικός στην εργασία του. Ο καθηγητής θα μπορούσε, για να βελτιώσει αυτές τις καταστάσεις, να προτρέπει το αυθόρμητο παιδί να σκέφτεται κάποιο χρόνο, προτού απαντήσει και να ενθαρρύνει το σκεπτικό μαθητή να εκφράζει ελεύθερα την άποψη του.

8. Ο ρόλος των συναισθημάτων στη διδασκαλία των Μαθηματικών

Τα τελευταία χρόνια έχουν γίνει πολλές έρευνες και εργασίες με σκοπό τη μελέτη της επίδρασης του συναισθηματικού παράγοντα στη μάθηση των Μαθηματικών. Οι στάσεις και τα συναισθήματα που έχουν οι μαθητές για τα Μαθηματικά, διαφέρουν. Κάποιοι νιώθουν ευχαρίστηση και ικανοποίηση, όταν καταφέρουν να επιλύσουν μια άσκηση. Ορισμένοι αισθάνονται δυσφορία και απέχθεια. ʼλλοι, πάλι, αδιαφορούν, ενώ είναι πολλοί οι μαθητές που διακατέχονται από άγχος και από φόβο για το μαθηματικό αντικείμενο. Οποιαδήποτε, όμως, και αν είναι τα συναισθήματα των παιδιών για τα Μαθηματικά, είτε θετικά είτε αρνητικά επηρεάζουν την όλη διαδικασία διδασκαλίας- μάθησης.

Μια από τις πιο συνηθισμένες στάσεις των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά, η οποία επιδρά αρνητικά στις επιδόσεις τους, είναι η λεγόμενη μαθηματικοφοβία. Με τον όρο αυτό εννοείται ο φόβος και η ανασφάλεια που νιώθουν τα παιδιά όταν ασχολούνται με το μαθηματικό αντικείμενο. Η μαθηματικοφοβία προκαλείται από τις οποιεσδήποτε αρνητικές εμπειρίες των μαθητών με τα Μαθηματικά και έχει ως αποτέλεσμα την μείωση των επιδόσεών τους. Δεν αποτελεί πρόβλημα που οφείλεται σε παθολογικούς παράγοντες, αλλά έχει εξωτερικά αίτια, τα οποία είναι τα ακόλουθα:

1. i. Η χρησιμότητα, που έχουν τα Μαθηματικά σε πάρα πολλούς τομείς της ζωής μας και η συνειδητοποίηση της αναγκαιότητάς τους προκαλούν πολύ άγχος στους μαθητές.

1. ii. Η ιδιαίτερη φύση του μαθήματος με την αλυσιδωτή σειρά των εννοιών προξενεί ένταση στα παιδιά και δυσχεραίνει τη μαθησιακή διαδικασία, σε περίπτωση δημιουργίας κενών.

1. iii. Η κακή διδασκαλία των Μαθηματικών, η ασκησιομανία, η βαθμοθηρία, τα διαγωνίσματα, κ.ά. είναι μερικά από τα κύρια αίτια της μαθηματικοφοβίας.

1. iv. Οι διάφορες προκαταλήψεις ότι τα κορίτσια δεν έχουν κατάλληλο μυαλό για τα Μαθηματικά, ότι κάποιοι γεννιούνται με ειδικές μαθηματικές ικανότητες, ενώ οι άλλοι δεν μπορούν να τις αποκτήσουν, κ.λ.π. κάνουν τους μαθητές να αποκτούν αρνητική στάση και φόβο για τα Μαθηματικά.

1. Η διδασκαλία, τέλος, των Μαθηματικών, η οποία στηρίζεται στην απομνημόνευση και όχι στην κατανόηση μέσω της ανακάλυψης προξενεί αποστροφή για το μαθηματικό αντικείμενο.

Ανάλογα με τις δραστηριότητες, που λαμβάνουν χώρα μέσα στην τάξη, η μαθηματικοφοβία είναι δυνατό, είτε να μειωθεί, είτε να ενισχυθεί. Οι δραστηριότητες, που ενισχύουν τη μαθηματικοφοβία είναι καταρχάς η σημασία που δίνεται από πολύ νωρίς στη μνήμη. Από τις πρώτες κιόλας τάξεις του Δημοτικού Σχολείου, οι μαθητές αποστηθίζουν οτιδήποτε πρέπει να θυμούνται. Κάτι τέτοιο, όμως, προκαλεί υπερφόρτωση της μνήμης τους και δεν τους οδηγεί στη μάθηση των Μαθηματικών. Η επιβολή, επίσης, της άποψης του καθηγητή για το τι είναι χρήσιμο, τι πρέπει να κάνουν οι μαθητές και με ποιο τρόπο, προκαλεί στα παιδιά περισσότερο φόβο για τα Μαθηματικά. Αυτά, όμως, που ενισχύουν περισσότερο από οτιδήποτε άλλο τη μαθηματικοφοβία είναι τα διαγωνίσματα και τα τεστ. Η βαθμοθηρία, το κυνήγι, δηλαδή, των βαθμών, προκαλεί τεράστιο άγχος και ένταση στους μαθητές. Η πραγματική μάθηση των Μαθηματικών δεν έχει να κάνει με βαθμούς και μηχανική αποστήθιση για τα τεστ. Είναι και πρέπει να είναι πολύ πιο ουσιαστική.

Η μαθηματικοφοβία έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση, αρχικά, της αυτοπεποίθησης των μαθητών και στη συνέχεια των επιδόσεών τους στα Μαθηματικά. Οι φτωχές επιδόσεις, με τη σειρά τους, αυξάνουν το δέος και το φόβο των παιδιών για το μαθηματικό αντικείμενο. Δημιουργείται, έτσι, ένας φαύλος κύκλος, ο οποίος αν δεν αντιμετωπιστεί εγκαίρως δεν θα σταματήσει ποτέ να υπάρχει. Πώς, όμως, πρέπει να γίνεται η διδασκαλία των Μαθηματικών, ώστε να νιώθουν οι μαθητές αυτοπεποίθηση και σιγουριά; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δεν απλή. Πρέπει να ληφθούν υπόψη πολλοί παράγοντες για να είναι μια τέτοια διδασκαλία αποτελεσματική. Οι βασικότεροι από αυτούς είναι οι εξής:

i. Είναι απαραίτητο να συμμετέχει ο μαθητής ενεργά στη μαθησιακή διδασκαλία, να παρατηρεί, να εξερευνεί και να πειραματίζεται.

ii. Δεν πρέπει να απομνημονεύουν τα παιδιά γνώσεις, που μπορούν να τις ανακαλύψουν μόνα τους καθώς και να υπερφορτώνουν τη μνήμη τους με πράξεις, ενώ μπορούν κάλλιστα να χρησιμοποιήσουν υπολογιστές τσέπης.

iii. Πρέπει να τονίζεται η σχέση των Μαθηματικών με πραγματικές προβληματικές καταστάσεις και η διδασκαλίας του μαθηματικού αντικειμένου να μη βασίζεται μόνο στο βιβλίο.

iv. Το μοντέλο διδασκαλίας των Μαθηματικών « Διάλεξη- Απομνημόνευση» είναι απαραίτητο να καταργηθεί, αφού ανακόπτει τη δημιουργικότητα του μαθητή, μειώνοντας, έτσι, την αυτοπεποίθησή του.

Είναι, γενικά, πολύ βασικό η διδασκαλία των Μαθηματικών να βοηθάει τους μαθητές να αποκτήσουν θετικές στάσεις απέναντι σε αυτά. Και αυτό, γιατί η ύπαρξη θετικών στάσεων αποτελεί ένα πολύ ουσιαστικό κίνητρο για την καταβολή προσπάθειας για καλύτερη απόδοση. Τα αρνητικά, αντίθετα, συναισθήματα παρεμποδίζουν ακόμη και την απόπειρα ενασχόλησης με μαθηματικές δραστηριότητες. Όπως και στην περίπτωση της μαθηματικοφοβίας, η απόκτηση θετικών στάσεων για τα Μαθηματικά επιτυγχάνεται πρώτα από όλα με την ενεργητική συμμετοχή του μαθητή στη μαθησιακή διαδικασία, ώστε να πειστεί από μόνος του για τη χρησιμότητα του μαθηματικού αντικειμένου. Ο καθηγητής, με τη σειρά του, είναι απαραίτητο να νιώθει και να δείχνει ενθουσιασμό για τη δουλειά του, ώστε να μπορεί να τον μεταδώσει στα παιδιά, να λαμβάνει υπόψη του τα ενδιαφέροντά τους, προκειμένου να τους διδάσκει τα Μαθηματικά μέσα από τις δικές τους εμπειρίες και να τους παρέχει τη δυνατότητα επικοινωνίας, συζήτησης και ανταλλαγής απόψεων γύρω από το μάθημα.

Ο συναισθηματικός τομέας, είναι γεγονός, πως επηρεάζει άμεσα τη μαθησιακή διαδικασία. Τα συναισθήματα και οι στάσεις των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά διαμορφώνουν τις αντιλήψεις τους γι αυτά, ενισχύουν ή μειώνουν την αυτοπεποίθησή τους και καθορίζουν τις επιδόσεις τους. Είναι, λοιπόν, αναγκαίο να δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στο συναισθηματικό παράγοντα, προκειμένου να είναι η διδασκαλία των Μαθηματικών αποτελεσματική.

Διαθέσιμο :  http://www.alfavita.gr/old/3425 , ανακτήθηκε 20.11.2012

~ από ΚΩΝ/ΝΟΣ ΙΩΑΝΝΟΥ στις 20 Νοεμβρίου, 2012 .