i love math!

Άσκηση 1

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με

$f(x) = \sqrt {{x^2} - 6x + 9}$

(i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού $A$ της $f$

(ii) Να εξετάσετε αν η $f$ είναι 1-1

(iii) Να αποδείξετε ότι συνάρτηση

$g(x) = {e^{f(x)}},x < 3$

είναι αντιστρέψιμη και να βτείτε την αντίστροφή της

(iv) Να λύσετε την ανίσωση

$\left( {g \circ {g^{ - 1}}} \right)\left( {5x - 9} \right) < f( - 3)$

Άσκηση 2

Έστω η συνάρτηση

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

για την οποία ισχύουν τα εξής:

$(i)f(x) - f(y) = f(x - y),\forall x,y \in \mathbb{R}$

$(ii)f(1) = 1$

Επιπλέον η εξίσωση

$f(x) = 0$

έχει μοναδική ρίζα στο $R$

(i) Να υπολογίσετε το $f(0)$

(ii) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται

(iii) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι περιττή

(iv) Αν

$f(x) < 0,\forall x < 0$

τότε:

(α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα

(β) Να λύσετε την ανίσωση

$f({x^2} + \ln x) + f(x - 1) < f(lnx) - f(f( - 1))$

Άσκηση 3

Δίνεται η συνάρτηση

$f:\mathbb{R} \to {\mathbb{R}^*}$

έτσι ώστε

$f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) \cdot f\left( y \right),(1)$

Να δείξετε ότι:

(α)

$f(0) = 1$

(β)

$f( - x) = \frac{1}{{f(x)}},{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

(γ)

$f(x) > 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

(δ) Αν η $f$ είναι 1-1 να δείξετε ότι

${f^{ - 1}}\left( {x \cdot y} \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right) + {f^{ - 1}}\left( y \right),{\text{ }}x,y > 0$

Άσκηση 4

Άν για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει:

$12f({x^2}) - 4{f^2}(x) \geqslant 9,{\text{ }}(1)$

να δείξετε ότι η $f$ δεν αντιστρέφεται.

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

i love math!

Κωνσταντίνος Γεωργίου, Μαθηματικός, Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης

Συναρτήσεις

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης