kkokkini's blog

https://ggbm.at/wAB6T9w4

Λήψη αρχείου

ΤΠΕ

Τίτλος: Εφαπτόμενη παραβολής

Συγγραφέας: Κ. Κοκκίνη

Γνωστική Περιοχή: Άλγεβρα

Θέμα: Εφαπτόμενη ευθεία σε σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x², Παράγωγος συνάρτηση της f(x)=x² , Γενίκευση και διερεύνηση για οποιαδήποτε συνάρτηση.

Πηγή: www.geogebra.org/en/upload

Διεύθυνση: www.geogebra.org/en/upload/files/greek/konstantina%20kokkini/paragogos.html

Περιγραφή: Οι μαθητές θα χειριστούν δυναμικά την εφαπτόμενη ευθεία σε ένα σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x² και θα συνδέσουν τον συντελεστή διεύθυνσης της με την τεταγμένη του σημείου Μ, το οποίο διαγράφει τον γεωμετρικό τόπο  της παραγώγου συνάρτησης της.

Εφαπτόμενη παραβολής (html)

Οδηγίες: Υπάρχουν ενσωματωμένες στο αρχείο.

Τίτλος: Σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων

Συγγραφέας: Κ. Κοκκίνη

Γνωστική Περιοχή: Άλγεβρα

Θέμα: Διερεύνηση γραμμικής εξίσωσης, σ.τ. με άξονες, Διερεύνηση συστήματος γραμμικών εξισώσεων, Γραφική επίλυση.

Πηγή: www.geogebra.org/en/upload

Διεύθυνση: http://www.geogebra.org/en/upload/files/greek/konstantina%20kokkini/grammikiexisosi.ggb

Περιγραφή: Οι μαθητές θα χειριστούν δυναμικά την γεωμετρική αναπαράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης που είναι μια ευθεία. Θα μελετήσουν την γραμμική εξίσωση για διάφορες τιμές των συντελεστών της. Θα συνδέσουν τις συντεταγμένες ενός σημείου της ευθείας με μια λύση της γραμμικής εξίσωσης της και θα αναγνωρίσουν τα σ.τ. της με τους άξονες. Στη συνέχεια θα χειριστούν δυναμικά δύο γραμμικές εξισώσεις και θα επιλύσουν γραφικά το σύστημα.

Οδηγίες: Υπάρχουν ενσωματωμένες στο αρχείο.

Σε προηγούμενο άρθρο αναφέρθηκαν τα πέντε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης που θεωρεί ο Van Hiele ότι πρέπει να κατακτήσουν ιεραρχικά οι μαθητές στο μάθημα της γεωμετρίας. Ο Α. Hoffer συμπλήρωσε τη θεωρία των επιπέδων γεωμετρικής σκάψης, του Van Hiele,  προτείνοντας πέντε βασικές δεξιότητες τις οποίες πρέπει να αναπτύξουν οι μαθητές σε κάθε επίπεδο γεωμετρικής σκέψης και οι οποίες είναι:α) Οπτική, β) Λεκτική, γ) Σχεδιαστική δ) Λογική και ε) Εφαρμογής. Συγκεκριμένα οι δεξιότητες αυτές περιγράφονται όπως παρακάτω (Hoffer, 1981, σ.11):

α) Οπτική: Η δεξιότητα να εξετάζει κάποιος οπτικά τα γεωμετρικά αντικείμενα και να τα αναγνωρίζει.

β)Λεκτική: Η δεξιότητα εκμάθησης ορισμών, ιδιοτήτων, αξιωμάτων, και θεωρημάτων.

γ) Σχεδιαστική: Η δεξιότητα του σωστού σχεδιασμού των γεωμετρικών αντικειμένων.

δ)Λογική: Η δεξιότητα της σύγκρισης των γεωμετρικών αντικειμένων και της ταξινόμησής τους με διάφορα κριτήρια, της αντίληψης των ορισμών και των λογικών κανόνων καθώς και η δεξιότητα της κατασκευής αποδείξεων.

ε)Εφαρμογής: Η ικανότητα να εφαρμόζει κανείς τις γεωμετρικές γνώσεις του σε διάφορες καταστάσεις χρησιμοποιώντας κατάλληλα γεωμετρικά μοντέλα.

Εικόνα 1: οι πέντε βασικές δεξιότητες ανά επίπεδο

Ο Hoffer θεωρεί ότι αυτές οι δεξιότητες είναι εξίσου σημαντικές για τους μαθητές και υποστηρίζει μάλιστα ότι είναι εξίσου σημαντικό να σχεδιάσει ο μαθητής ένα γεωμετρικό αντικείμενο, όσο και να αποδείξει ένα θεώρημα. Αναλυτικότερα σε κάθε επίπεδο οι βασικές δεξιότητες περιγράφονται με τους παρακάτω πίνακες:

Πίνακας 1: Δεξιότητες του Hoffer για το επίπεδο 1

Πίνακας 2: Δεξιότητες του Hoffer για το επίπεδο 2

Πίνακας 3: Δεξιότητες του Hoffer για το επίπεδο 3

Πίνακας 4: Δεξιότητες του Hoffer για το επίπεδο 4

Πίνακας 5: Δεξιότητες του Hoffer για το επίπεδο 5

Ένα τεστ δεξιοτήτων της Γεωμετρίας θα πρέπει σύμφωνα με τα παραπάνω να περιέχει ικανό αριθμό ερωτήσεων για κάθε δεξιότητα σε κάθε επίπεδο ξεχωριστά. Για παράδειγμα για τα 4 πρώτα επίπεδα Van Ηiele που αναφέρονται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση ένα τεστ μπορεί να περιέχει 3 ερωτήσεις για κάθε δεξιότητα σε κάθε επίπεδο δηλαδή συνολικά 3x5x4=60 ερωτήσεις. Παρόμοια τεστ χρησιμοποιήθηκαν ως προ τεστ και μετα τεστ  σε έρευνες για την αποτελεσματικότητα μιας εκπαιδευτικής μεθόδου. Ένα παράδειγμα ερώτησης για την οπτική δεξιότητα του 2^ου επιπέδου είναι:

2.Ο.1 Πόσες οξείες γωνίες υπάρχουν στο σχήμα;

1. καμμία
2. δύο
3. τρεις
4. τέσσερις
5. οκτώ

 Βιβλιογραφία

Hoffer, A. (1981), Geometry is More Than Proof, Mathematics Teacher. 74(1), 11-18.

Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών είναι απαραίτητη για την κατανόηση της γεωμετρίας και δεν πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι οι μαθητές της ίδιας τάξης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο γεωμετρικής σκέψης. Εργαζόμενοι πάνω σε αυτό, οι Ολλανδοί ερευνητές Dina και ο Pierre van Hiele (1986), θεώρησαν ότι η γεωμετρική σκέψη των μαθητών με τη βοήθεια κατάλληλης διδασκαλίας υπόκειται σε μια εξελικτική διαδικασία, εκκινώντας από ένα αρχικό επίπεδο και εξελίσσεται διαδοχικά, δηλ. χωρίς να παραλείψει κάποιο, σε ανώτερα επίπεδα. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με το van Hiele (1986) υπάρχουν πέντε διαδοχικά επίπεδα γεωμετρικής σκέψης, που ονομάτισε ο Hoffer (1981), και έχουν την ακόλουθη ιεραρχική διάταξη: α) αναγνώριση, β) ανάλυση, γ) διάταξη, ε) επαγωγή και ε) αυστηρότητα. 

1^ο επίπεδο: Επίπεδο Αναγνώρισης (Recognition level) ή Οπτικοποίησης (Visualisation level). Στο πρώτο αυτό επίπεδο, της αναγνώρισης, τα γεωμετρικά αντικείμενα τα αντιλαμβάνεται κάποιος ως ολότητες. Για παράδειγμα, η κατανόηση της έννοιας του τριγώνου και των στοιχείων του (γωνίες, πλευρές, κ.ά.) δεν γίνεται με την απομόνωση και μελέτη κάθε πλευράς χωριστά. 

2^ο επίπεδο: Επίπεδο Ανάλυσης (Analysis) ή Περιγραφικό επίπεδο (Descriptive level). Κυρίαρχο χαρακτηριστικό του 2^ου επιπέδου είναι η διάκριση των μερών του αντικειμένου καθώς και εμφάνιση μερικών σχέσεων που μπορεί να υπάρχουν ανάμεσα στα αντικείμενα. 

3^ο επίπεδο: Επίπεδο Διάταξης (Order) ή Θεωρητικό επίπεδο (Theoretical level) το οποίο καλείται αλλιώς και επίπεδο Άτυπης Παραγωγής (Informal deduction). Οι μαθητές πειραματιζόμενοι με τα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν τώρα, να προσδιορίσουν σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων τους αλλά και σχέσεις μεταξύ των ίδιων των αντικειμένων. Αυτές οι σχέσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογισθούν γωνίες και μήκη πλευρών ενός σχήματος όπως η σχέση, ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180⁰, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογισθεί μια γωνία ενός τριγώνου εάν είναι γνωστές οι άλλες δύο γωνίες του. Σε αυτό το επίπεδο ο ρόλος της επαγωγικής σκέψης είναι σπουδαίος. Οι μαθητές δηλαδή μπορούν εύκολα μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα να γενικεύσουν τη σκέψη τους, να διατυπώσουν υποθέσεις και να καταλήξουν σε συμπεράσματα. Εδώ πρέπει να τονισθεί ότι η επαγωγή δεν μας αποδεικνύει, αλλά μας υποδεικνύει μια γενική αρχή, που χωρίς αμφισβήτηση είναι το κυριότερο βήμα της ανακάλυψής της (Κολέζα, Μακρής  & Σούρλας, 1993,σ. 23). Οι μαθητές όμως έχουν ακόμα αδυναμία να χειριστούν πλήρως την παραγωγική μέθοδο σκέψης. Παραγωγική διαδικασία είναι εκείνη που από το γενικό μεταβαίνουμε στο μερικό. Διατυπώνεται δηλαδή το γενικό θεώρημα αποδεικνύεται και εφαρμόζεται στη συνέχεια σε ειδικές περιπτώσεις. Ο ρόλος των αξιωμάτων είναι ακόμα συγκεχυμένος για αυτό και η παραγωγική σκέψη είναι έντονα συνδυασμένη μα τον πειραματισμό και επιτρέπει την συνύπαρξη προτάσεων που έχουν αναπτυχθεί με παραγωγικό συλλογισμό και προτάσεων που έχουν αναπτυχθεί βάσει μιας πειραματικής- επαγωγικής σκέψης. 

4^ο επίπεδο: Επίπεδο Τυπικής Λογικής (Formal logic) ή Αφαίρεσης (Abstraction) το οποίο καλείται και αλλιώς επίπεδο Τυπικής Παραγωγής (Formally deduction level). Στο αυτό το επίπεδο, οι μαθητές χειρίζονται άνετα την παραγωγική μέθοδο και μπορούν να κατασκευάσουν με αυτό τον τρόπο όλη τη θεωρία της γεωμετρίας. Έχουν κατανοήσει πλήρως τη διαδικασία παραγωγής προτάσεων, οι οποίες βασίζονται στα αξιώματα, τους ορισμούς και τα θεωρήματα ή σε προηγούμενες αποδειγμένες προτάσεις. Όμως οι μαθητές σε αυτό το επίπεδο δεν έχουν καταφέρει όμως ακόμα να απαλλαγούν από την εποπτεία των γεωμετρικών σχημάτων. Δηλαδή κάνουν ασυναίσθητα χρήση γνώσεων που τις αποχτούν από το γεωμετρικό νόημα των λέξεων που εμφανίζονται στα αξιώματα. Έτσι μπορεί να χρειαστεί να πάρουν σημεία ευθύγραμμου τμήματος που είναι ανάμεσα στα άκρα του, βασιζόμενοι μόνο στην εποπτεία τους χωρίς να νιώσουν την ανάγκη να ορίσουν την έννοια του «ανάμεσα». 

5^ο επίπεδο: Επίπεδο Αυστηρότητας (Rigor level). Είναι το ανώτερο επίπεδο γεωμετρικής σκέψης στο οποίο γίνονται αντιληπτά βελτιωμένα γεωμετρικά συστήματα κατασκευασμένα καθαρά συμπερασματικά. Η πρώτη καθαρά συμπερασματική κατασκευή της γεωμετρίας έγινε από τον Γερμανό μαθηματικό David Hilbert (1862-1944) ο οποίος έθεσε δύο βασικές απαιτήσεις. Αυστηρότητα στα αρχικά αξιώματα του γεωμετρικού συστήματος και αποφυγή κάθε χάσματος στις αποδείξεις (Hilbert, 1902). Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι σωστή η χρήση ιδιοτήτων που η ορθότητα τους απορρέει μονάχα από το σχήμα.  

Το μοντέλο του van Hiele δηλώνει ότι δύο άτομα που σκέπτονται σε διαφορετικά επίπεδα van Hiele μπορεί να μην μπορούν να επικοινωνήσουν μη καταλαβαίνοντας ο ένας τον άλλον. Συγκεκριμένα, ένα άτομο που έχει φτάσει μόνο σε ένα επίπεδο α δεν θα καταλάβει τη σκέψη ενός άλλου ατόμου που βρίσκεται στο επίπεδο α+1 ή σε ακόμη ανώτερο επίπεδο. Έτσι έχει δυσκολία να κατανοήσει τον δάσκαλό του ή ακόμη και τους συμμαθητές του όταν αυτοί δεν λειτουργούν στο ίδιο επίπεδο γεωμετρικής σκέψης με αυτόν. Ο Van Hiele στο βιβλίο του Structure and insight, εξηγεί ότι για να διευκολυνθούν οι μαθητές να κατακτήσουν τα ανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης, πρέπει η διδασκαλία να οργανωθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να λάβει υπόψη της τα επίπεδα στα οποία ήδη λειτουργούν οι μαθητές (Van Hiele, 1986). 

Στο πρόγραμμα σπουδών πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (1999), αναφέρεται ότι οι μαθητές πρέπει ήδη τελειώνοντας το δημοτικό, να έχουν κατακτήσει τα δύο πρώτα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης, έτσι ώστε να είναι έτοιμοι στο γυμνάσιο να αναπτύξουν παραγωγικούς συλλογισμούς.Ποια είναι όμως τα αποτελέσματα ερευνών στον ελλαδικό χώρο; 

Ενδεικτικές  έρευνες σε ελληνικά σχολεία έδειξαν ότι: 

• Σε δείγμα 458 μαθητών Β΄Λυκείου ένα ποσοστό 75% ήταν κάτω από το επίπεδο 4 (Ζάχος, 2000)
• Σε δείγμα 1838 μαθητών Γ΄Γυμνασίου, Α΄και Β΄Λυκείου, το 48,6% κατατάσσεται στα επίπεδα 1 και 2 van Hiele ενώ δεν διαπιστώθηκαν διαφορές λόγω φύλου (Τζίφας, 2005)
• Σε δείγμα 250 μαθητών Α΄Λυκείου, το 79,5%  βρίσκεται στα επίπεδα 1 και 2 κατά Van Hiele (Νικολουδάκης , 2009)
• Σε δείγμα 45 μαθητών Γ΄Γυμνασίου ένα ποσοστό 13,64% δεν κατέκτησε καν το επίπεδο 1 ενώ το 79,55% κατέκτησαν τα επίπεδα 1 και 2 κατά Van Hiele (Κοκκίνη, 2010)

Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι αρκετά μεγάλο ποσοστό μαθητών που τελειώνουν το Γυμνάσιο και μεταβαίνουν στο Λύκειο   βρίσκονται στα επίπεδα 1 και 2 κατά Van Hiele με συνέπεια η διδασκαλία σε επίπεδο 3 και 4 να παρουσιάζει επικοινωνιακές δυσκολίες.

Βιβλιογραφία:

• Van Hiele, P. M. (1986), Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education, New York: Academic Press.
• Ζάχος, Ι. (2000), Αξιολόγηση του επιπέδου Γεωμετρικής σκέψης van Hiele των μαθητών της Β΄ τάξης του Λυκείου, Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών IV, Αθήνα: Εκδόσεις Gutenberg.
• Κοκκίνη, Κ. (2010), Αξιοποίηση του Podcasting στην τεχνολογικά υποστηριζόμενη διδακτική των μαθηματικών, Μεταπτυχιακή εργασία, Αθήνα, ΠΑΠΙ
• Νικολουδάκης Ε. (2009), Διδακτικά μοντέλα και οι τρόποι αλληλεπίδρασης καθηγητή και μαθητών στη Διδασκαλία των Μαθηματικών, Διδακτορική Διατριβή, Αθήνα, ΕΚΠΑ
• Τζίφας Ν. (2005), Η αξιολόγηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης: Επίπεδα Van Hiele και διδακτικές προσεγγίσεις με χρήση λογισμικού, διπλωματική εργασία στο Μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών.

Στο ιστολόγιο αυτό θα βρείτε άρθρα για την μαθηματική εκπαίδευση τα οποία μπορείτε να σχολιάσετε δίνοντας τις δικές σας ιδέες.