Τα μαγικά τετράγωνα είναι τετραγωνικοί πίνακες n x n που περιέχουν τους αριθμούς 1,2,3,…,n2 σαν στοιχεία τους, τοποθετημένους κατά τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα οποιαδήποτε στήλης, γραμμής ή διαγωνίου να είναι σταθερό και ίσο
Με αφορμή λοιπόν τα εντυπωσιακά μαγικά τετράγωνα έφτιαξα μία άσκηση που μπορείτε να δείτε στο παρακάτω φυλλάδιο και έχει ως στόχο την διδασκαλία των δυσδιάστατων πινάκων
Πώς να κάνουμε μαγικά τετράγωνα:
Στο κέντρο τοποθετούμε έναν αριθμό π.χ. το 9:
_ _ _
_ 9 _
_ _ _
Διαγώνια προσθέτουμε και αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό:
Π.χ. το 1, οπότε παίρνουμε τους αριθμούς 10 και 8 αντίστοιχα και τους τοποθετούμε διαγώνια:
10 _ _
_ 9 _
_ _ 8
Διαπιστώνουμε ότι έχουν άθροισμα 27.
Κατόπιν με τον ίδιο τρόπο προσθέτουμε και αφαιρούμε έναν άλλον αριθμό, π.χ. το 4, οπότε παίρνουμε τους αριθμούς 13 και 5:
10 _ 13
_ 9 _
5 _ 8
Τέλος, συμπληρώνουμε τα κουτάκια που μας έμειναν με τους αριθμούς που συμπληρώνουνε το άθροισμα (27):
Μαγικό τετράγωνο του 57:
Το έφτιαξε η Μαρκέλλα Κύρμου μόνη της στην τάξη μας!
* Ενδιαφέρουσες πληροφορίες για τα μαγικά τετράγωνα:
– Ένας κινέζικος μύθος λέει πως ο Κινέζος αυτοκράτορας Yu, καθώς περπατούσε κατά μήκος του Κίτρινου ποταμού, παρατήρησε ένα αριθμητικό μοτίβο στο καβούκι μιας χελώνας!
– Τα μαγικά τεράγωνα στην Κίνα χρησιμοποιήθηκαν από το 2.200 π.Χ. με διάφορες εφαρμογές στην αστρολογία, στη μαγεία, στη μαντική, ακόμη και στην κατανόηση φυσικών φαινομένων και της ανθρώπινης συμπεριφοράς!
– Στην Ινδία τα μαγικά τετράγωνα βρήκαν εφαρμογή στην αρωματοποιΐα!
– Για τους Άραβες η εφαρμογή τους ήταν μαθηματική και όχι μαγική!
– Πρώτη φορά στην Ευρώπη τα μαγικά τετράγωνα εμφανίζονται σε μια γραβούρα του Γερμανού καλλιτέχνη Albrecht Durer (Melencolia I). Δείτε στην εικόνα πάνω δεξιά:
ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό.
Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
- Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
- Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;
Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
Το πρώτο μαγικό τετράγωνο επινοήθηκε από τον Leonhard Euler. Το παρακάτω μαγικό τετράγωνο δημοσιεύτηκε το 1848 από τον William Beverley.
Κάθε γραμμή και κάθε στήλη έχει άθροισμα 260. Κάθε μισή γραμμή και κάθε μισή στήλη έχει άθροισμα 130. Οι αριθμοί επίσης ακολουθούν τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι. Παρατηρούμε όμως ότι το παραπάνω τετράγωνο δεν είναι “διαγώνια” μαγικό. Έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει διαδρομή του ίππου που να δημιουργεί “διαγώνια” μαγικό τετράγωνο.
Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
Το 1917 δημοσιεύτηκε το παρακάτω μαγικό τετράγωνο. Οι αριθμοί ακολουθούν τις κινήσεις ενός βασιλιά. Το άθροισμα των γραμμών, των στηλών και των διαγωνίων ισούται με 260.
Η διαδρομή του βασιλιά για το παραπάνω μαγικό τετράγωνο:
Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;
Η διαδικασία ακολουθεί τα παρακάτω βήματα:
- Ξεκινάμε από μία γωνία.
- Διαλέγουμε το τετραγωνάκι που είναι πιο μακριά από το κέντρο.
- Όταν η απόσταση από το κέντρο είναι ίδια για δύο κουτάκια κινούμαστε αντίθετα από την φορά του ρολογιού.
Στο παρακάτω μαγικό τετράγωνο εφαρμόστηκε η παραπάνω διαδικασία.
Το έγγραφο είναι από εργασία στο προπτυχιακό μάθημα “Διακριτά Μαθηματικά”.
