kgaredakis's blog

<iframe scrolling=”no” src=”https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/66877/width/160/height/708/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/preferhtml5″ width=”1600px” height=”708px” style=”border:0px;”> </iframe>>

<iframe scrolling=”no” src=”https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/66877/width/1600/height/708/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/preferhtml5″ width=”1600px” height=”708px” style=”border:0px;”> </iframe>

Κοινότητα MOODLE Ελλήνων Εκπαιδευτικών

Κοινότητα Ελλήνων Εκπαιδευτικών για το Σύστημα Διαχείρισης Μάθησης Moodle.
Το Moodle αποτελεί το πιο διαδεδομένο σύστημα για την παραγωγή & διαχείριση μαθημάτων και εικονικών τάξεων στο διαδίκτυο.
Σκοπός της ομάδας είναι η συγκέντρωση υλικού, η συζήτηση και η ανταλλαγή απόψεων σε θέματα που αφορούν το Moodle.

Τα μαγικά τετράγωνα είναι τετραγωνικοί πίνακες n x n που περιέχουν τους αριθμούς 1,2,3,…,n² σαν στοιχεία τους, τοποθετημένους κατά τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα οποιαδήποτε στήλης, γραμμής ή διαγωνίου να είναι σταθερό και ίσο

Με αφορμή λοιπόν τα εντυπωσιακά μαγικά τετράγωνα έφτιαξα μία άσκηση που μπορείτε να δείτε στο παρακάτω φυλλάδιο και έχει ως στόχο την διδασκαλία των δυσδιάστατων πινάκων

Πώς να κάνουμε μαγικά τετράγωνα: 

Στο κέντρο τοποθετούμε έναν αριθμό π.χ. το 9:

_    _   _

_   9    _

_   _   _

Διαγώνια προσθέτουμε και αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό:

Π.χ. το 1, οπότε παίρνουμε τους αριθμούς  10 και 8 αντίστοιχα και τους τοποθετούμε διαγώνια:

10   _   _

_   9   _

_   _   8

Διαπιστώνουμε ότι έχουν άθροισμα 27.

Κατόπιν με τον ίδιο τρόπο προσθέτουμε και αφαιρούμε έναν άλλον αριθμό, π.χ. το 4, οπότε παίρνουμε τους αριθμούς 13 και 5:

10   _   13

_   9   _

5   _   8

Τέλος, συμπληρώνουμε τα κουτάκια που μας έμειναν με τους αριθμούς που συμπληρώνουνε το άθροισμα (27):

Μαγικό τετράγωνο του 57:

Το έφτιαξε η Μαρκέλλα Κύρμου μόνη της στην τάξη μας!

 

* Ενδιαφέρουσες πληροφορίες για τα μαγικά τετράγωνα:

– Ένας κινέζικος μύθος λέει πως ο Κινέζος αυτοκράτορας Yu, καθώς περπατούσε κατά μήκος του Κίτρινου ποταμού, παρατήρησε ένα αριθμητικό μοτίβο στο καβούκι μιας χελώνας!

– Τα μαγικά τεράγωνα στην Κίνα χρησιμοποιήθηκαν από το 2.200 π.Χ. με διάφορες εφαρμογές στην αστρολογία, στη μαγεία, στη μαντική, ακόμη και στην κατανόηση φυσικών φαινομένων και της ανθρώπινης συμπεριφοράς!

– Στην Ινδία τα μαγικά τετράγωνα βρήκαν εφαρμογή στην αρωματοποιΐα!

– Για τους Άραβες η εφαρμογή τους ήταν μαθηματική και όχι μαγική!

– Πρώτη φορά στην Ευρώπη τα μαγικά τετράγωνα εμφανίζονται σε μια γραβούρα του Γερμανού καλλιτέχνη Albrecht Durer (Melencolia I). Δείτε στην εικόνα πάνω δεξιά:

 

 

ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

 

Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό.

 

Μαγικά Τετράγωνα και Σκάκι

Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;

• Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
• Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;

Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;

 

Το πρώτο μαγικό τετράγωνο επινοήθηκε από τον Leonhard Euler. Το παρακάτω μαγικό τετράγωνο δημοσιεύτηκε το 1848 από τον William Beverley.

Κάθε γραμμή και κάθε στήλη έχει άθροισμα 260. Κάθε μισή γραμμή και κάθε μισή στήλη έχει άθροισμα 130. Οι αριθμοί επίσης ακολουθούν τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι. Παρατηρούμε όμως ότι το παραπάνω τετράγωνο δεν είναι “διαγώνια” μαγικό. Έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει διαδρομή του ίππου που να δημιουργεί “διαγώνια” μαγικό τετράγωνο.

  Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;

Το 1917 δημοσιεύτηκε το παρακάτω μαγικό τετράγωνο. Οι αριθμοί ακολουθούν τις κινήσεις ενός βασιλιά. Το άθροισμα των γραμμών, των στηλών και των διαγωνίων ισούται με 260.

Η διαδρομή του βασιλιά για το παραπάνω μαγικό τετράγωνο:

 Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;

Η διαδικασία ακολουθεί τα παρακάτω βήματα:

1. Ξεκινάμε από μία γωνία.
2. Διαλέγουμε το τετραγωνάκι που είναι πιο μακριά από το κέντρο.
3. Όταν η απόσταση από το κέντρο είναι ίδια για δύο κουτάκια κινούμαστε αντίθετα από την φορά του ρολογιού.

Στο παρακάτω μαγικό τετράγωνο εφαρμόστηκε η παραπάνω διαδικασία.
Το έγγραφο είναι από εργασία στο προπτυχιακό μάθημα “Διακριτά Μαθηματικά”.

 εξεσκούμε το μυιαλό μας

Ιστορική παρουσίαση για τα μαγικά τετράγωνα

Το Αίνιγμα της Μελαγχολίας

Ένας από τους μεγαλύτερους καλλιτέχνες της αναγέννησης ήταν και ο Γερμανός Άλμπρεχτ Ντύρερ (1471-1528) γνωστός για την σειρά ξυλογραφιών με θέμα την Αποκάλυψη (1498) αλλά και γενικότερα για τους πλούσιους συμβολισμούς που παρουσίαζε σε κάθε έργο του.
«Υπάρχει ένας σχεδόν βασανιστικός χαρακτήρας στα μεγάλα έργα του Ντύρερ…» θα γράψει η Γ. Μπέκετ «Αισθάνεται κανείς το βάρος μιας ευαισθησίας που διερευνά την εσώτερη αλήθεια του υποκειμένου του. Αυτή η εσωτερικότητα είναι που ενδιαφέρει τον Ντύρερ, μια εσωτερική επίγνωση που περιέχεται πάντοτε με επιτυχία στην εξωτερική μορφή».
Αυτό λοιπόν το στοιχείο της εσωτερικής αναζήτησης θα απεικονιστεί και στο πιο αινιγματικό έργο του Ντύρερ που μέχρι και σήμερα αποτελεί το ενοχλητικό αγκάθι των κριτικών τέχνης όσο και το λάβαρο των απανταχού εσωτεριστών.
Το έργο Melencolia I που ολοκληρώθηκε το 1514, απεικονίζει την μυστηριώδη φιγούρα ενός αγγέλου να κάθεται ανάμεσα σε μια μεγάλη σειρά από σύμβολα (σκάλα, κλεψύδρα, σφαίρα κ.α.). Ο παράξενος τίτλος του έργου, παραπέμπει στην πίστη των αναγεννησιακών καλλιτεχνών-φιλοσόφων ότι η μελαγχολία είναι μια κατάσταση του εαυτού που οδηγεί σε ανώτερα επίπεδα σοφίας και ύπαρξης.
Πιο συγκείμενα, στο έργο του Αγρίππα De Occulta Philosophia (1509) ο συγγραφέας περιγράφει τρεις τύπους μελαγχολίας, τον φανταστικό, τον λογικό και τον πνευματικό. Συνεπώς, ο Ντύρερ, απεικονίζει εδώ τον πρώτο τύπο μελαγχολίας…
Ακόμη στο De Occulta διαβάζουμε πως «με την μελαγχολία… ορισμένοι άνθρωποι είναι πλασμένοι σαν να είναι θεϊκοί, ικανοί να προλέγουν αυτά που θα συμβούν, και ορισμένοι είναι πλασμένοι ποιητές… όλοι οι άνθρωποι οι οποίοι ήταν σπουδαίοι σε οποιαδήποτε επιστήμη, ήταν στο μεγαλύτερο μέρος τους μελαγχολικοί. Ο Δημόκριτος και ο Πλάτωνας πιστοποιούν το ίδιο λέγοντας ότι υπήρξαν ορισμένοι μελαγχολικοί άνδρες οι οποίοι είχαν τέτοια ευφυία ώστε να θεωρούνται και να μοιάζουν περισσότερο θεϊκοί παρά ανθρώπινοι».
Με βάση την προσέγγιση αυτή, η εικόνα συχνά ερμηνεύεται ως την μελαγχολική επίδραση του Κρόνου πάνω στον δημιουργικό χαρακτήρα του ανθρώπου. Έτσι εξηγείται και η παρουσία του μαγικού τετραγώνου του Δία που βρίσκεται πάνω από τον άγγελο, ώστε να αντισταθμίζει τις δυνάμεις του Κρόνου.
Στην αστρολογική ψυχολογία, τα παραδοσιακά χαρακτηριστικά που αποδίδονται στον Κρόνο είναι εγκράτεια, ενδοσκόπηση, απομόνωση, απαισιοδοξία και υπομονή. Όπως όμως δείχνει και ο αρχαιοελληνικός μύθος, ο πλανήτης Δίας εκφράζει την τάση για αύξηση και επέκταση, την διαστολή των ψυχικών δυνάμεων από τα πρωτόγονα ένστικτα στην αναζήτηση και στην απόκτηση γνώσεως και συνειδητότητας.
Όμως η συνηθισμένη αυτή ερμηνεία του έργου του Ντύρερ δεν μπορεί να μας εξηγήσει όλα τα υπόλοιπα σύμβολα. Ποιος λοιπόν είναι ο ρόλος τους;
Πιστεύω πως το μυστικό του αποσυμβολισμού βρίσκεται στην απεικόνιση της σκάλας η οποία φαίνεται να έχει 7 σκαλοπάτια που προφανώς αντιστοιχούν στους 7 πλανήτες, επιβεβαιώνοντας έτσι την παραπάνω ανάλυση. Όμως είναι βέβαιο πως η σκάλα απεικονίζει τα 7 ορατά σκαλοπάτια όταν υπάρχουν ακόμη 3, παραπέμποντας έτσι στον αριθμό 10 ή καλύτερα στα 10 Σεφιρόθ του Καμπαλιστικού Δέντρου της Ζωής που απεικονίζουν την ανάπτυξη του κόσμου.
Όπως λοιπόν δείχνει η διπλανή εικόνα, υπάρχει μια αντιστοιχία ανάμεσα στα σύμβολα στο έργο του Ντύρερ και στις 10 σφαίρες του Δέντρου από τα οποία τα πιο καίρια είναι και τα παρακάτω:
Ψηλά και αριστερά υπάρχει ο πρωταρχικός διαχωρισμός: Ουρανός-Γη-Θάλασσα (Γένεσης) όπου σε ένα και μόνο σημείο κυριαρχεί φως το οποίο με μια μακρά ακτίνα μοιάζει να φωτίζει (δημιουργεί) την ύπαρξη.
Ο I. Rigardie γράφει σχετικά με την Καμπαλιστική δημιουργία πως «για να συνειδητοποιήσει τον εαυτό Του, ή για να αυτοπροσδιοριστεί, το Αιν γίνεται Αιν Σοφ (Άπειρο) και στη συνέχεια Αιν Σοφ Αούρ, το Απόλυτο Απεριόριστο Φως… το οποίο τότε συστέλλεται (Tzimtzum) και συγκεντρώνεται σε ένα κεντρικό χωρίς διαστάσεις Σημείο – το Κέτερ, το Στέμμα, το οποίο αποτελεί την πρώτη Σεφίρα του Δέντρου της Ζωής».
Το Ουράνιο τόξο συνεπώς με τις 3 ζώνες το οποίο συνδέει τα άκρα, δεν είναι άλλο παρά αυτά τα 3 πέπλα της αρνητικής ύπαρξης πριν από κάθε υπόσταση: Αιν (0), Αιν Σοφ (00) και Αιν Σοφ Αούρ (000). Και μέσα από την ενότητα-κενότητα των μορφών, το είδωλο της στον κόσμο γίνεται πράξη (1). Ο διαχωρισμός αυτός όμως σχηματίζει ένα ζευγάρι αντίρροπων δυνάμεων που η ένωση τους οδηγεί στην Σοφία που συμβολίζεται με την ζυγαριά (Χόχμα – 2).
Στα δεξιά της εικόνας και πάνω από τον άγγελο παρουσιάζεται όπως είπαμε ο αριθμολογικός πίνακας του πλανήτη Δία. Οι αριθμοί όμως έχουν ένα κρυφό μήνυμα αφού στην τελευταία σειρά βρίσκουμε τους αριθμούς 4, 15, 14, 1 που μας δίνουν τα αρχικά του καλλιτέχνη (4= D, 1= Α) και την χρονολογία του πίνακα (1514).
Προσθέτοντας τώρα όλους τους αριθμούς του πίνακα παίρνουμε 2368 που αντιστοιχεί στις λέξεις Ιησούς Χρηστός (163+213+510+118+96+712+415+141= 2368).
Ο πίνακας λοιπόν αποκτά μια λυτρωτική δύναμη ενδυναμώνοντας τον άγγελο να δημιουργήσει!
Ο διαβήτης στα χέρια του αγγέλου παραπέμπει φυσικά στον Μέγα Αρχιτέκτονα του Σύμπαντος που στην ενσαρκωμένη φιγούρα που τον παρουσιάζει ο Ντύρερ (ενώ του δίνει και το πρόσωπο του), είναι Ερμαφρόδιτος (ένωση των αντιθέτων) αντιπροσωπεύοντας έτσι την Σεφίρα Χόντ, την σφαίρα της σκέψης και του αγγελιοφόρου Ερμή.
Όσον αφορά τέλος την σφαίρα που υπάρχει στο έδαφος αριστερά, αποτελεί φυσικά σύμβολο της τελευταίας Σεφίρα Μαλκούτ που είναι ο κόσμος των 4 στοιχείων, η ύλη στην ολότητα της.
Επιπλέων συλλογισμοί που μπορούν να γίνουν σχετικά με τον πίνακα αυτό είναι δυνατόν να γεμίσουν ένα ολόκληρο βιβλίο.
Μπορούμε δηλαδή να αναρωτηθούμε για την σχέση της καμπάνας πάνω από τον αριθμολογικό πίνακα και την Πυθαγόρεια αρμονική – την θεωρία περί μουσικής των σφαιρών, να ανατρέξουμε στα Πλατωνικά πολύεδρα για να ερμηνεύσουμε το πολύγωνο δίπλα στην σκάλα κ.ο.κ.
Ανεξάρτητα πάντως από αυτές τις περαιτέρω δυνατές αναλύσεις, το ουσιώδες μήνυμα του έργου βρίσκεται στο σύνολο του που παρουσιάζει την σχέση του ανθρώπου με ένα συμβολικό-γεωμετρικό σύμπαν και την σκάλα για αυτή του την κατανόηση.
Ο θεατής του έργου, αναγνωρίζει στον άγγελο τον στοχαστή εαυτό του αλλά και σε κάθε σύμβολο, κομμάτια αυτού. Θεατής και πίνακας γίνονται ένα όπως ένα είναι ο δημιουργός με το δημιούργημα του. Δεν είναι άλλωστε τυχαίο πως αριθμολογικά το όνομα του Ντύρερ δίνει 136 όσο και η αριθμολογική αξία του έργου αυτού!
Πόσα άραγες έργα ζωγραφικής και γλυπτά παραμένουν ακόμη ανεξερεύνητα με την μυστική τους σημασία να μένει άγνωστη από το ευρύ κοινό;