Το Τρίγωνο του Πασκάλ ( Pascal 1623-1662)

1

1      1

1     2     1

1     3     3     1

1     4      6      4     1

1    5     10     10     5    1

1    6     15     20     15     6    1

1    7     21    35     35    21     7    1

1    8    28    56     70     56    28    8    1

1    9   36    84    126    126    84    36   9    1

1   10   45   120   210    252    210  120   45  10  1

1  11   55   165   330   462   462   330   165   55   11  1

1   12   66   220   495   792   924   792   495   220   66  12   1

. . .

Παρατηρήστε τα αναπτύγματα των δυνάμεων του αθροίσματος

α+ β.

1. Οι αντίστοιχοι συντελεστές σε κάθε ανάπτυγμα σχηματίζουν μια γραμμή σ’ ένα αριθμητικό τρίγωνο, που είναι γνωστό ως τρίγωνο του Πασκάλ.Το τρίγωνο αυτό πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Blaise Pascal (1623 – 1662) και οι αριθμοί του κρύβουν πολλές ιδιότητες. Ο πρώτος και ο τελευταίος αριθμός κάθε σειράς είναι 1. Μπορείτε να ανακαλύψετε με ποιον τρόπο προκύπτουν οι υπόλοιποι αριθμοί κάθε σειράς;
2. Συνεχίστε την κατασκευή του τριγώνου και βρείτε τα αναπτύγματα (α + β)⁵    και            (α + β)⁶, αφού πρώτα ανακαλύψετε με ποιον τρόπο γράφονται οι δυνάμεις του α και του β σε κάθε ανάπτυγμα.
3. Να βρείτε και το ανάπτυγμα του (α – β)⁶, αν γνωρίζετε ότι και τα αναπτύγματα των δυνάμεων της διαφοράς α – β προκύπτουν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μόνο που θέτουμε τα πρόσημα εναλλάξ, αρχίζοντας από +. π.χ. (α – β)² = α² – 2αβ + β²,                 (α – β)³ = α³ – 3 α² β + 3αβ² – β³
4. Μπορείτε να βρείτε ποιες άλλες ιδιότητες κρύβουν οι αριθμοί του τριγώνου Πασκάλ;