Το μεγάλο μυστήριο με τους πρώτους αριθμούς είναι ότι δεν έχει βρεθεί (μέχρι σήμερα) καμιά λογική στον τρόπο που διαδέχονται ο ένας τον άλλον, δεν υπάρχει δηλαδή μια αναδρομική σχέση που να μπορεί να τους υπολογίσει. Είναι δυνατόν δυο πρώτοι αριθμοί να εμφανίζονται κατά ζεύγη, όπως για παράδειγμα οι: 5,7 ή 17,19 ή 41,43 ή 2003663613 × 2195000 – 1 και 2003663613 × 2 195000 + 1 και άλλες φορές στους μεγάλους αριθμούς μεταξύ δυο πρώτων να μεσολαβούν χιλιάδες ή εκατομμύρια ακέραιοι.
Οι πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά 2 ονομάζονται δίδυμοι πρώτοι αριθμοί.
Μια πρόταση στα μαθηματικά που φαίνεται να αληθεύει αλλά δεν έχει αποδειχθεί ακόμα (και ίσως να μην αποδειχθεί ποτέ) ονομάζεται εικασία. Σύμφωνα με μια τέτοια εικασία: υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι.
Η πρόταση αυτή ονομάζεται «εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών».
[Ας σημειωθεί ότι υπάρχουν διαστήματα οποιουδήποτε μήκους χωρίς κανέναν πρώτο αριθμό. Οι αριθμοί:
Ν!+2 , Ν! + 3 , … , Ν! + Ν δεν είναι πρώτοι και είναι διαδοχικοί.]
Η εικασία των δίδυμων πρώτων είχε ξεφύγει από όλες τις προσπάθειες επίλυσής της μέχρι στιγμής. Ένα σημαντικό βήμα προς την κατεύθυνση αυτή επιτεύχθηκε το 2005, όταν ο Goldston και δύο συνεργάτες του [Goldston, DA , Pintz, J. & Yıldırım, CY Ann. Math. 170 , 819 – 862 ( 2009 )]
έδειξαν ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πρώτων ζευγών που διαφέρουν μεταξύ τους όχι περισσότερο από 16. Όμως σύμφωνα με τον αριθμοθεωρητικό Dorian Goldfeld του Πανεπιστημίου Columbia της Νέας Υόρκης, η απόδειξή τους βασίστηκε σε μια άλλη αναπόδεικτη εικασία.
O μαθηματικός Yitang Ζhang του Πανεπιστημίου του New Hampsire φαίνεται να έχει κάνει ένα σημαντικό βήμα όσον αφορά την επίλυση της εικασίας των δίδυμων πρώτων.
Απέδειξε ότι ο αριθμός των ζευγών των πρώτων αριθμών με διαφορά 70 εκατομμύρια είναι άπειρος.
O Yitang Ζhang παρουσίασε την έρευνά του [δείτε ΕΔΩ: golem.ph.utexas.edu τα βασικά σημεία της μεθόδου που ακολούθησε] στις 13 Μαΐου στο Πανεπιστήμιο του Harvard στη Μασαχουσέτη και την υπέβαλλε προς δημοσίευση στην επιθεώρηση Annals of Mathematics.
Μπορεί η απόσταση των 70 εκατομμυρίων μεταξύ δυο διαδοχικών πρώτων να φαίνεται πολύ μεγάλη, σε σχέση με την απόσταση των δίδυμων πρώτων, δείχνει όμως ότι οι διαφορές μεταξύ των διαδοχικών πρώτων αριθμών δεν συνεχίζουν να αυξάνονται επ’ άπειρον.
Σύμφωνα με τον Goldfeld, «Το άλμα από το 2 μέχρι τα 70 εκατομμύρια δεν είναι τίποτα, σε σύγκριση με την απόσταση μεταξύ των 70 εκατομμυρίων και το άπειρο».
Μέχρι τώρα πάντως δεν έχει βρεθεί λάθος στην απόδειξη του Yitang Ζhang.