Μια κουβέντα για το θέμα 13-15 χρόνια πριν. Ο δρομέας στη Geogebra είναι ένα εργαλείο ΥΠΔΓ με διακριτή δράση που εξομοιώνει ένα μοντέλο συνεχούς δράσης. Μια παρένθεση λοιπόν για το επιστημονικό ερώτημα που τίθεται (για μένα…τουλάχιστον)
Ο τελεστής επακανονικοποίησης (renormalization operator) χρησιμοποιεί το φορμαλισμό της θερμοδυναμικής και βοηθά τη μαθηματική μελέτη στη θεωρητική φυσική ενός (δυναμικού) συστήματος κάτω από αλλαγές κλίμακας. Αντιγράφω επι λέξη από τη Wikipedia:
A change in scale is called a “scale transformation“. The renormalization group is intimately related to “scale invariance” and “conformal invariance”, symmetries in which a system appears the same at all scales (so-called self-similarity). https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization_group
http://www.av8n.com/physics/scaling.htm
Ο τελεστής επακανονικοποίησης ειδικά για τα δυναμικά συστήματα μιας διάστασης (1D) πχ στα διακριτά δυναμικά μέσω διακριτοποίησης όπως υποβιβάζεται η «κατάσταση» από το συνεχές στο διακριτό έχει συμπεριφορά ανάλογη με αυτή της λογιστικής συνάρτησης (logistic map) διάσημη για τις bifurcations της (διακλαδώσεις) και συναντάται πχ στις συναρτήσεις Marcov με το όνομα «έκρηξη ομαλότητας» (explosion of smoothness). Η βασική αιτία αυτής της συμπεριφοράς του γκρουπ είναι η πιθανή ύπαρξη «σταθερού σημείου» των μετασχηματισμών αυτών άρα και την πιθανή ύπαρξη ενός Cantor-set και τη διάσημη υπερβολικότητα των φρακταλ διαστάσεων, δες και τα βιβλία του Barnsley για τα φράκταλς όπου ακολουθίες συστολικών μετασχηματισμών όπως αυτοί του σταθερού σημείου δίνουν με επαναλήψεις τα συστήματα IFS τα οποία όμως έχουν μελετηθεί ως προς την αντιστρέψιμοτητα τους.
Η επακανονικοποίηση θεωρείται όμως κλειδί για την κατανόηση συμπεριφοράς μονοδιάστατων δυναμικών συστημάτων (παράδειγμα οι υπερβολικές «cookie cutters» και οι “tent” συναρτήσεις που δεν είναι πουθενά συνεχείς, πουθενά διαφορίσιμες). Εξάλλου το πρόβλημα της μετάβασης από την τάξη στο χάος αφορά πχ τις μη γραμμικές συναρτήσεις (πχ φ(x)= -kx2 + k-1 όπου το kÎ [0,2]).
Βέβαια στην κλασσική γεωμετρία το σύνολο των γραμμικών μετασχηματισμών της δεν ανήκει αναγκαστικά στην “υπερβολική’ περίπτωση που ανέφερα. Και για να είμαι ειλικρινής δε θα φτανα εκεί αν δε με πήγαινε η ίδια η εκπληκτική δουλειά της κας Ξεναρίου με τους πίνακες του Escher, (εμένα απλά έτυχε το μεταπτυχιακό μου να είναι πάνω στην αριθμητική επίλυση 1D συστημάτων όπου η διακριτοποίηση αναδεικνύει το πρόβλημα της ύπαρξης διακλάδωσης, το οποίο δείχνεται είπαμε και θεωρητικά). http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/09/Demelo.MAN.ps.gz.
Εδώ το πρόβλημα είναι κάπως διαφορετικό μιας και ΑΠΛΑ μιλάμε για κάτι που ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΑΠΛΟ (ρωτάμε εξάλλου για την φαινομενολογία της ομοιότητας στο μικροπείραμα μας) γιατί θα πρεπε ίσως τότε να εξηγήσει τη φύση του πραγματικού συνεχούς στα παιδιά της Γ’ Γυμνασίου (κάτι καθόλου εύκολο για να μπει στην πραγματική ανάλυση που δεν μπαίνει ούτε στο λύκειο). Ωστόσο σαν μοντέλο προσομοίωσης κρίνεται επαρκές αφού τα παιδιά σκέφτονται ακόμα ευκολότερα με τα γνωστά διακριτά μεγέθη… και μάλιστα σε συνεχή χρόνο κάτι που φανερώνει και η λειτουργία του dragging (δύσκολα θα σκεφτείς παιδί που θα σηκώσει το χέρι από το ποντίκι, αν δε μιλά παράλληλα…). εν πάσει περιπτώσει φαντάζομαι ότι στα μοντέρνα λογισμικά ο προγραμματιστής κλείνει τέτοια λειτουργικά κενά όπως αποκλείει καταστάσεις τύπου “stack overflow” , “divided by zero” κλπ. Αρκεί όμως?