ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Προσπαθώντας να διδάξουμε μαθηματικά σε παιδιά, αυτά τα ερωτήματα μας προκαλούν να τα απαντήσουμε εμπεριστατωμένα. Παραθέτω εκτενές απόσπασμα από το βιβλίο “Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα” του V.M. Tikhomirov, εκδόσεις Κάτοπτρο, μέσα στο οποίο ο συγγραφέας καταθέτει την προσωπική του άποψη, με την οποία αναφανδόν συμφωνώ:

“Είμαστε ακόμη πολύ νέοι. Η ανθρωπότητα μόλις που άρχισε να κυριαρχεί στον πλανήτη. Για να ακριβολογούμε, οι επιστήμες με τη σύγχρονη έννοια της λέξης έχουν ιστορία μόλις τριών ή τεσσάρων αιώνων. Γνωρίζουμε ήδη τόσα πολλά, κι όμως τόσο λίγα. Οι παππούδες σας πιθανόν να γνώρισαν ανθρώπους που είχαν γεννηθεί στην εποχή της άμαξας. Σχεδόν μπροστά στα μάτια μας, μέσα σε λίγο περισσότερα από 100 χρόνια, ο άνθρωπος δημιούργησε και έθεσε στην υπηρεσία του όλα εκείνα που τώρα γεμίζουν  τη ζωή μας – το ατμόπλοιο, το σιδηρόδρομο, τον τηλέγραφο, το τηλέφωνο, το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο, την τηλεόραση, τους τεχνητούς δορυφόρους. Η ανθρωπότητα δεν βρήκε ακόμη το χρόνο για να στοχαστεί διεξοδικά πάνω σε μερικά από τα πλέον ουσιώδη ερωτήματα της ζωής και να καταλήξει σε εμπεριστατωμένες απαντήσεις. Εν προκειμένω, δεν υπάρχει σαφής απάντηση στο ερώτημα του τι πρέπει να διδάσκεται. Ωστόσο, ανεξάρτητα από το πώς θα απαντηθεί στο μέλλον το σχετικό με το περιεχόμενο της εκπαίδευσης ερώτημα (μήπως οι μαθητές θα επρεπέ να διδάσκονται από πολύ νωρίς, πέραν των συνήθων θεμάτων, χειρισμό ηλεκτρονικών υπολογιστών και επεξεργαστών κειμένου, οδήγηση, στενογραφία και δακτυλογράφηση, κ.ο.κ. – ή θα απέβαινε βλαπτική μια τέτοια εκπαιδευτική πρακτική;), δεν έχω αμφιβολία ότι θα πρέπει να διδάσκουμε τα μαθηματικά. Και τούτο, για δύο τουλάχιστον λόγους: για να ασκήσουμε το πνεύμα και για να καταστήσουμε εφικτή την κατανόηση της δομής του κόσμου μας.

Η διαμάχη σχετικά με το πώς πρέπει να διδάσκονται τα μαθηματικά συνεχίστηκε με αμείωτη ένταση σε όλη τη διάρκεια του αιώνα που φεύγει (σ.σ 20^ου αιώνα). Σ’αυτήν ενεπλάκησαν, στις αρχές του αιώνα οι σπουδαιότεροι μαθηματικοί – όπως οι Klein, Borel και Hadamard. Για να σκιαγραφήσω ένα  από τα ζητήματα που τροφοδότησαν την ακατάπαυστη τούτη διαμάχη, θα παραθέσω κάπως μακροσκελή αποσπάσματα από τον Dieudonné, έναν από τους διαπρεπέστερους γάλλους μαθηματικούς της εποχής μας:

“Σας παρακαλώ να κοιτάξετε αντικειμενικά την ακόλουθη θεματολογία στην οποία αναλώνεται ο περισσότερος χρόνος των σχολικών μαθηματικών.

I. Κατασκευές με «κανόνα και διαβήτη».

II. Ιδιότητες «παραδοσιακών» σχημάτων, όπως τα τρίγωνα, τα τετράπλευρα, οι κύκλοι και τα συστήματα κύκλων – με όλες τις «εκλεπτύνσεις» τις οποίες επισώρευσαν ολόκληρες γενιές    «γεωμετρών» στην αναζήτησή τους για κατάλληλα θέματα εξετάσεων.

III.Ένα ολόκληρο ψαλτήριο με «τριγωνομετρικούς τύπους» και τους καλειδο- σκοπικούς μετασχηματισμούς τους, οι οποίοι καθιστούν δυνατή την εύρεση θαυμάσιων «λύσεων σε προβλήματα» και μάλιστα – κρατήστε το στο νου σας, παρακαλώ -, « σε μια μορφή πρόσφορη για λογαρίθμιση […].’’

Ο  Dieudonné συνεχίζει διατεινόμενος ότι ουδείς συναντά τέτοια προβλήματα στη ζωή του. Με την ίδια σφοδρότητα και αδιαλλαξία καταφέρεται εναντίον των «παλαιών σχολικών μαθηματικών»:

‘’Ανακύπτει το ερώτημα: κατά πόσον είναι σημαντικότερο για τον οικοδόμο να γνωρίζει ότι τα ύψη ενός τριγώνου συντρέχουν σε ένα σημείο ή να γνωρίζει τις αρχές της θεωρίας αντοχής υλικών;’’

Κατά τον Dieudonné, πρέπει να διδάσκονται οι αρχές και μόνον αυτές. (Διαβάστε την εισαγωγή στο βιβλίο του “Linear algebra and elementary geometry”.Εκεί θα ανακαλύψετε και πολλά άλλα ενδιαφέροντα στοιχεία.)

Εγώ έμαθα «δια της παλαιάς οδού» και μπορώ να προσθέσω πολλά ακόμη στον κατάλογο του Dieudonné, όπως, για παράδειγμα, τα αριθμητικά προβλήματα του τύπου «γεμίσματος δεξαμενών», τα ατελείωτα αριθμητικά παραδείγματα με προσθέσεις κοινών και δεκαδικών κλασμάτων, κ.ο.κ.

Θα μπορούσατε και πάλι να σκεφθείτε πως κάθε περαιτέρω συζήτηση παρέλκει, πως ο Dieudonné έχει προφανώς δίκιο. Αληθεύει πέραν πάσης αμφιβολίας ότι:

Οι τριγωνομετρικοί τύποι είναι εκ των ων ουκ άνευ για όσους εξασκούν τρία απολύτως αξιοσέβαστα επαγγέλματα: α) για τους αστρονόμους^. β) για τους τοπογράφους^. γ) για τους συγγραφείς εγχειριδίων τριγωνομετρίας,

και για κανέναν άλλο. Γιατί να ταλανίζουμε λοιπόν τον δύσμοιρο μαθητή;

Και όμως, υπάρχει κάτι που δεν με αφήνει να παραδεχθώ την ορθότητα τούτων των λόγων. Η «εκπαίδευση» συνιστά μια λίαν περίπλοκη διαδικασία. Δεν περιορίζεται στην απόκτηση γνώσεων, αλλά έχει στόχο να ασκήσει τον εκπαιδευόμενο στο πως πρέπει να σκέφτεται. Φαίνεται ότι επί δύο αιώνες (ή και περισσότερο) τα προβλήματα γεμίσματος δεξαμενών, τα προβλήματα κατασκευών, τα προβλήματα με τρίγωνα και οι μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών τύπων υπηρέτησαν έναν ζωτικό σκοπό – προσέφεραν τροφή για το νου, συνέτειναν στην εμπέδωση της μεθοδικότητας και της ακρίβειας, δίδαξαν την τέχνη του συλλογίζεσθαι, την έρευνα για την αλήθεια, την υπερνίκηση των δυσχερειών, την αναζήτηση νέων δρόμων για την προσέγγιση κάποιου αντικειμενικού σκοπού και την επίτευξη αυτού του στόχου. Προσέφεραν τη χαρά που δοκιμάζει κανείς όταν επιτελέσει έναν άθλο, καθώς και μια αίσθηση ωραιότητας. Εν συντομία, διέπλασαν τη δημιουργικότητα. Με τι θα μπορούσαμε να τα αντικαταστήσουμε όλα τούτα; Και έχει νόημα να το πράξουμε;

Είναι απολύτως αναγκαίο να διατηρηθούν όλα αυτά τα στοιχεία δημιουργικότητας. Ο υλικός πολιτισμός μπορεί να αλλάξει, αλλά τούτα τα στοιχεία πρέπει να διατηρηθούν. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος για να διδαχθεί το ορθώς συλλογίζεσθαι παρά με συγκεκριμένα «ειδικά» προβλήματα^. οι αρχές δεν αρκούν αφ’εαυτών.’’

Για το επιστημονικό βεληνεκές του V.M. Tikhomirov αξίζει να διαβάσει κανείς  αυτό (στα αγγλικά).

~ από ΜΙΧΑΗΛ-ΑΝΑΡΓΥΡΟΣ ΓΑΜΒΡΕΛΛΗΣ στις 9 Αυγούστου, 2010 .