Κάθε ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 1.
π.χ. Ο αριθμός 6.254 διαιρείται με το 1.
Ο αριθμός 1.234.567.890 διαιρείται με το 1.
Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 2:
-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8
ή αλλιώς:
-Αν είναι άρτιος αριθμός.
π.χ. Ο αριθμός 5.358 διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8, είναι, δηλαδή άρτιος.
Ο αριθμός 5.357 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 7, είναι, δηλαδή περιττός.
Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.
π.χ. Ο αριθμός 8.214 διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
8 + 2 + 1 + 4 = 15
και το 15 είναι πολλαπλάσιο του 3.
Αλλά ο αριθμός 3.245 δεν διαιρείται με το 3, γιατί:
3 + 2 + 4 + 5 = 14
και το 14 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3.
Η ιδιότητα αυτή είναι επαναληπτική, δηλαδή:
π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 893.654.676. Το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
8 + 9 + 3 + 6 + 5 + 4 + 6 + 7 + 6 = 54
5 + 4 = 9
και το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 3.
Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 4, αν τα τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.
π.χ. Ο αριθμός 46.932 διαιρείται με το 4,
αφού τα 2 τελευταία ψηφία του είναι το 32, που διαιρείται με το 4.
Αλλά ο αριθμός 9.521 δεν διαιρείται με το 4,
γιατί το 21, που είναι στα 2 τελευταία ψηφία του, δεν διαιρείται με το 4.
Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.
π.χ. Ο αριθμός 3.470 διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.
Ο αριθμός 12.965 επίσης διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 5.
Αλλά ο 85.457 δεν διαιρείται με το 5, γιατί δεν τελειώνει ούτε σε 0, ούτε σε 5.
Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 6:
-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.
ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 3:
-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.
π.χ. Ο αριθμός 5.472 διαιρείται με το 6, γιατί:
-τελειώνει σε 2, δηλαδή είναι άρτιος, άρα διαιρείται με το 2
και
-το άθροισμα των ψηφίων του είναι 5 + 4 + 7 + 2 = 18
και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 3, επομένως διαιρείται και με το 3.
Αλλά ο αριθμός 65.385 δεν διαιρείται με το 6, αφού δεν διαιρείται με το 2.
Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 7:
- Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του.
- Αφαιρούμε από τον αριθμό που μένει το διπλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.
- Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 7 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
- Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε διψήφιο αριθμό, όπου από την προπαίδεια θα ξέρουμε αν είναι ή όχι πολλαπλάσιο του 7.
π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 5.964.
- Διαγράφουμετο τελευταίο ψηφίο του αριθμού, που είναι το 4 και μένει ο αριθμός 596.
- Αφαιρούμε από το 596 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε, δηλαδή το 2 x 4 = 8.
596 – 2*4 = 596 – 8 = 588
Δεν μπορούμε εύκολα να αποφασίσουμε αν το 588 διαιρείται με το 7, οπότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία:
- Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 588 και μένει ο αριθμός 58.
- Αφαιρούμε από το 58 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε.
58 – 2*8 = 58 – 16 =42
- To 42 διαιρείται με το 7. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 5.964 διαιρείται με το 7.
Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 8:
-Αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8
ή
-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι άρτιος αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8
ή
-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία συν 4
σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8.
π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 34.808.
Τα τρία τελευταία ψηφία του δίνουν τον αριθμό 808, που προφανώς διαιρείται με το 8, γιατί 808 = 8*101. Άρα και ο 34.808 διαιρείται με το 8.
Συνήθως, όμως, δεν είναι εύκολο να κρίνουμε αν ένας τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 8. Οπότε χρησιμοποιούμε τα δύο τελευταία κριτήρια:
π.χ. Ο αριθμός 472 διαιρείται με το 8, γιατί το ψηφίο των εκατοντάδων (4) είναι άρτιος αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 72, που διαιρείται με το 8.
Ο αριθμός 720 διαιρείται με το 8, διότι το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 20, ο οποίος αν αυξηθεί κατά 4, έχουμε 20 + 4 = 24 και το 24 διαιρείται με το 8.
Ενώ για τον αριθμό 84.673 έχουμε: Τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 673.
Ελέγχουμε αν ο 673 διαιρείται με το 8.
Το ψηφίο των εκατοντάδων (6) είναι άρτιος αριθμός. Τα δύο τελευταία ψηφία δίνουν τον αριθμό 73, που δεν διαιρείται με το 8.
Άρα ο 84.673 δεν διαιρείται με το 8.
Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.
π.χ. Ο αριθμός 2.907 διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
2 + 9 + 0 + 7 = 18
και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 9.
Ενώ ο αριθμός 5.109 δεν διαιρείται με το 9, διότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
5 + 1 + 0 + 9 = 15, που δεν διαιρείται με το 9.
Η ιδιότητα αυτή, εντελώς όμοια με το κριτήριο διαιρετότητας του 3, είναι επαναληπτική.
Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 10, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.
π.χ. Οι αριθμοί 50, 300, 2.580, 6.000, 3.545.710 κλπ διαιρούνται με το 10.
Οι αριθμοί 506, 4.237, 5.921 κλπ δεν διαιρούνται ακριβώς με το 10.
