ΚΟΥΖΟΥΜΗ ΦΩΤΕΙΝΗ

Τι σχέση έχουν τα βαμπίρ με τα μαθηματικά;

Το 1994, ο C. A. Pickover της IBM όρισε τους βαμπιρικούς αριθμούς ως εξής:
Έστω n ένας φυσικός αριθμός με 2κ ψηφία (δηλαδή με άρτιο πλήθος ψηφίων). Ο n λέγεται “βαμπιρικός αριθμός” αν και μόνο αν υπάρχουν δύο φυσικοί αριθμοί a και b, ο καθένας με κ ψηφία, τέτοιοι ώστε:
n = a x b,
τα τελευταία ψηφία του a και του b να μην είναι και τα δύο 0
και τα ψηφία του n να είναι ακριβώς τα ψηφία των a και b μαζί, με μια οποιαδήποτε μετάθεση (δηλαδή αναδιάταξη).
Οι δύο αριθμοί a και b λέγονται “κυνόδοντες” (!) του n.

Για παράδειγμα:
1260    =    21 x 60
↑                      ↑      ↑
βαμπιρικός    κυνόδοντες

 αριθμός

Βλέπουμε ότι τα ψηφία των αριθμών 21 και 60, με μια αναδιάταξη δίνουν τα ψηφία του 1260.

Υπάρχουν άπειρα τέτοια παραδείγματα βαμπιρικών αριθμών, όπως:
1395 = 15 x 93
1435 = 35 x 41
1530 = 30 x 51
1827 = 21 x 87
6880 = 80 x 86

Οι βαμπιρικοί αριθμοί είναι:

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, …

Κάντε κλικ εδώ για να δείτε τη λίστα των 10.000 πρώτων βαμπιρικών αριθμών

Επιπλέον, υπάρχουν βαμπιρικοί αριθμοί με διπλά (ή και πολλαπλά) ζεύγη “κυνόδοντων”:
125460 = 204 x 615
= 246 x 510

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βαμπιρικοί αριθμοί που είναι πρώτοι αριθμοί, με τους “κυνόδοντες” να είναι επίσης πρώτοι αριθμοί:
117067 = 167 x 701

Οι πρώτοι βαμπιρικοί αριθμοί ορίστηκαν από τον C. Rivera το 2002.

Είναι γνωστό ότι οι πρώτοι αριθμοί που γράφονται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών εφαρμόζονται κατά κόρον στην Κρυπτογραφία. Αν επιπλέον αυτοί είναι και βαμπιρικοί αριθμοί, τότε ανοίγει ένας νέος τομέας για έρευνα στη Θεωρία Αριθμών!

 

 

Πηγές και αναφορές:

A. Pickover,  “Vampire Numbers.” Ch. 30 in Keys to Infinity.New York: Wiley, pp. 227-231, 1995.

Πανεπιστημιακές σημειώσεις “Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία” καθηγητή Α. Φυραρίδη, 2009.
The On-Line encyclopedia of Integer Sequences

Wikipedia.org/Vampire_number
Wolfram Mathworld: Vampire Number

YouTube: Numberphile – Vampire Numbers

Κάθε γράμμα στον παρακάτω πολλαπλασιασμό αντιπροσωπεύει ένα ψηφίο. Διαφορετικά γράμματα συμβολίζουν διαφορετικά ψηφία, ενώ οι τελείες συμβολίζουν τυχαία ψηφία. Ποιος αριθμός είναι το ΔΥΟ;

 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 2:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8

ή αλλιώς:

-Αν είναι άρτιος αριθμός.

π.χ. Ο αριθμός 5.358 διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8, είναι, δηλαδή άρτιος.

Ο αριθμός 5.357 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 7, είναι, δηλαδή περιττός.

 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 8.214 διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 2 + 1 + 4 = 15

και το 15 είναι πολλαπλάσιο του 3.

Αλλά ο αριθμός 3.245 δεν διαιρείται με το 3, γιατί:

3 + 2 + 4 + 5 = 14

και το 14 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3.

Η ιδιότητα αυτή είναι επαναληπτική, δηλαδή:

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 893.654.676. Το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 9 + 3 + 6 + 5 + 4 + 6 + 7 + 6 = 54

5 + 4 = 9

και το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 3.

 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 4, αν τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός 46.932 διαιρείται με το 4,

αφού τα 2 τελευταία ψηφία του είναι το 32, που διαιρείται με το 4.

Αλλά ο αριθμός 9.521 δεν διαιρείται με το 4,

γιατί το 21, που είναι στα 2 τελευταία ψηφία του, δεν διαιρείται με το 4.

 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.

π.χ. Ο αριθμός 3.470 διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.

Ο αριθμός 12.965 επίσης διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 5.

Αλλά ο 85.457 δεν διαιρείται με το 5, γιατί δεν τελειώνει ούτε σε 0, ούτε σε 5.

 

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 6:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 3:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 5.472 διαιρείται με το 6, γιατί:

-τελειώνει σε 2, δηλαδή είναι άρτιος, άρα διαιρείται με το 2

και

-το άθροισμα των ψηφίων του είναι 5 + 4 + 7 + 2 = 18

και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 3, επομένως διαιρείται και με το 3.

Αλλά ο αριθμός 65.385 δεν διαιρείται με το 6, αφού δεν διαιρείται με το 2.

 

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 7:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του.
2. Αφαιρούμε από τον αριθμό που μένει το διπλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.
3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 7 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε διψήφιο αριθμό, όπου από την προπαίδεια θα ξέρουμε αν είναι ή όχι πολλαπλάσιο του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 5.964.

1. Διαγράφουμετο τελευταίο ψηφίο του αριθμού, που είναι το 4 και μένει ο αριθμός 596.
2. Αφαιρούμε από το 596 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε, δηλαδή το 2 x 4 = 8.

596 – 2*4 = 596 – 8 = 588

Δεν μπορούμε εύκολα να αποφασίσουμε αν το 588 διαιρείται με το 7, οπότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 588 και μένει ο αριθμός 58.
2. Αφαιρούμε από το 58 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε.

58 – 2*8 = 58 – 16 =42

3. To 42 διαιρείται με το 7. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 5.964 διαιρείται με το 7.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Ο αριθμός 2.907 διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

2 + 9 + 0 + 7 = 18

και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 9.

Ενώ ο αριθμός 5.109 δεν διαιρείται με το 9, διότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

5 + 1 + 0 + 9 = 15, που δεν διαιρείται με το 9.

Η ιδιότητα αυτή, εντελώς όμοια με το κριτήριο διαιρετότητας του 3, είναι επαναληπτική.

 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 10, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.

π.χ. Οι αριθμοί 50, 300, 2.580, 6.000, 3.545.710 κλπ διαιρούνται με το 10.

Οι αριθμοί 506, 4.237, 5.921 κλπ δεν διαιρούνται ακριβώς με το 10.

 

Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε στο YouTube από το κανάλι 3Blue1Brown, εξηγείται με πολύ κατανοητό τρόπο η εξάπλωση του νέου κορονοϊού COVID-19 μέσω της εκθετικής συνάρτησης, της γραμμικής παλινδρόμησης και της λογιστικής (σιγμοειδούς) καμπύλης και αναλύεται πώς οι παράγοντες που επηρεάζουν την εξάπλωσή του τελικά μειώνονται.

 

 

Κλείνοντας, ο αφηγητής, έπειτα από τους μαθηματικούς υπολογισμούς συμπεραίνει: “Εάν οι άνθρωποι είναι ανήσυχοι όσο χρειάζεται, τότε θα είναι και λιγότεροι οι λόγοι ανησυχίας”.

Με αφορμή τις νέες συνθήκες που επέβαλε η πανδημία των τελευταίων ημερών, αρχίζουμε μαζί την τηλεκπαίδευση. Εννοείται πως δεν πτοούμαστε! Η όρεξη για μάθηση και διδασκαλία των Μαθηματικών φυσικά συνεχίζεται. Για περισσότερα άρθρα γύρω από τα Μαθηματικά, επισκεφτείτε την ιστοσελίδα eistoapeiron.

“Τα μαθηματικά είναι το πιο όμορφο και ισχυρό δημιούργημα του ανθρώπινου πνεύματος”.

Stefan Banach (1892-1945)

 

Φωτεινή Κουζούμη – μαθηματικός MSc, MEd