ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΡΤΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ
Κατασκευάζουμε το πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ και φέρουμε τη διαγώνιό του ΑΓ.
Από το Β φέρουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΓ, η οποία τέμνει την ΓΔ στο Η. Τότε έχουμε :
(ΑΒΓ)=(ΑΗΓ) (τα τρίγωνα έχουν κοινή βάση την ΑΓ και ίσα ύψη ΒΖ=ΗΘ, ως αποστάσεις παραλλήλων).
Έτσι (ΑΒΓΔΕ)=(ΑΒΓ)+(ΑΓΔΕ)=(ΑΗΓ)+(ΑΓΔΕ)=(ΑΗΔΕ).
Το τετράπλευρο ΑΗΔΕ είναι ισοδύναμο με το πεντάπλευρο ΑΒΓΔΕ.
Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία και προκύπτει τρίγωνο Α′ΛΗ′ ισοδύναμο με το τετράπλευρο.
Είναι τα τρίγωνα Α′′Λ′Η′′= Α′ΛΗ′ και Ο το μέσο του ύψους του Α′′Ξ. Προεκτείνουμε την πλευρά Λ′Η′′ κατά Λ′Π=ΟΞ.
Έστω ημικύκλιο με κέντρο το Ρ και ακτίνα ίση με το μισό Η′′Π, όπου Ρ το μέσο του Η′′Π. Φέρουμε ΣΛ′ Η′′Π .
Τότε από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο Η′′ΠΣ έχουμε:
ΣΛ2=ΠΛ∙ Η′′Λ= Η′′Λ∙ =( Α′′Λ′Η′′)
Επομένως το τετράγωνο ΣΛ′ΦΥ είναι ισοδύναμο με το αρχικό πεντάγωνο.
