Τι είναι η Χρυσή Αναλογία? – αριθμοί Fibonacci

Στο video του συναδέλφου Σταύρου Λουβερδή περιγράφεται η Χρυσή Αναλογία και η σχέση της με την ακολουθία Fibonacci

Happy Fibonacci Day!

Οι ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci και ο χρυσός λόγος φ
Του Αθανάσιου Κοπάδη

H 23 Νοεμβρίου έχει καθιερωθεί ως η ημέρα των αριθμών Fibonacci.

Ποιος ήταν όμως ο Fibonacci

Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στην Πίζα τη δεκαετία του 1170 και πέθανε αυτή του 1240. Το όνομά του έχει δοθεί σε δύο δρόμους, στην Πίζα και στη Φλωρεντία. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (υιός του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του.

Στον μαθηματικό κλάδο είναι γνωστός για τη συμβολή του στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό και για τους αριθμούς του που, όπως θα δούμε, είναι μία ακολουθία αριθμών για τους οποίους η φύση παρουσιάζει ιδιαίτερη προτίμηση, γεγονός που ακόμα και σήμερα δεν είναι πλήρως κατανοητό.

Το πρόβλημα με τα κουνέλια

Το πρόβλημα που μελέτησε και τον οδήγησε μάλλον τυχαία στον ορισμό της ακολουθίας του, αφορούσε την αναπαραγωγή κουνελιών. Το έθεσε στο ιστορικό βιβλίο του Liber Abaci(βιβλίο των υπολογισμών) που δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά το 1202.

Το πρόβλημα έχει ως εξής:

Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες, 4 μήνες, 6 μήνες, μετά από ένα χρόνο;

Απάντηση:

Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια
Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι
Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια
Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση ακόμη, δηλαδή 3 ζευγάρια.
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο. Σύνολο 5 ζευγάρια

Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε.

Άρα οι αριθμοί Fibonacci είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,….. με τον κάθε αριθμό να προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.

1+1=2 , 1+2=3 , 3+5=8 , 5+8=13 ,…..

Οι αριθμοί Fibonacci και ο χρυσός λόγος φ

Η δεύτερη και σημαντικότερη ιδιότητα των αριθμών αυτών είναι η εξής: Αν διαιρέσουμε κάθε αριθμό με τον επόμενό του , τότε οι λόγοι που θα βρούμε τείνουν να προσεγγίσουν τον άρρητο αριθμό 0,618… , το γνωστό χρυσό αριθμό που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ.

Δείτε μερικά παραδείγματα:

8:13=0,615..
13:21=0,619.
21:34=0,6176..
34:55=0,61818.. και όσο συνεχίζουμε τόσο πιο κοντά στον αριθμό φ βρισκόμαστε.

Ο αριθμός φ δεν ήταν άγνωστος στους αρχαίους Έλληνες. Ο Πυθαγόρας ήταν από τους πρώτους που παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία , αλλά με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες.

Τα σχέδια των λουλουδιών , η ανάπτυξη των φύλλων γύρω από το μίσχο , η ανάπτυξη των βελόνων στα έλατα κ.α. ακολουθούν τις προηγούμενες ακολουθίες. Χρησιμοποιήθηκε στην αρχιτεκτονική (Παρθενώνας) , στη ζωγραφική (Μόνα Λίζα) με τα γνωστά τέλεια αποτελέσματα. Τους αριθμούς Fibonacci τους συναντάμε επίσης στο ανθρώπινο χέρι (κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια, κάθε ένα από τα οποία έχει 5 δάχτυλα, κάθε δάκτυλο αποτελείται από 3 τμήματα που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις) , στο ανθρώπινο πρόσωπο , στη δομή του D.N.A. και ίσως σχεδόν παντού στη φύση)

H 23/11 έχει καθιερωθεί ως ημέρα των αριθμών Fibonacci, οπότε Happy Fibonacci Day!

Το Σκασιαρχείο


Γαλλική ταινία, σκηνοθεσία Ζαν – Πολ Λε Σανουά με τους: Μπερνάρ Μπλιέ, Ζιλιέτ Φαμπέρ (1949).
Στην επαρχιακή Γαλλία του μεσοπολέμου, ένας δάσκαλος εφαρμόζει καινούριες, φιλελεύθερες μεθόδους διδασκαλίας, ερχόμενος αντιμέτωπος με τις συντηρητικές αρχές της περιοχής.
Η ταινία αποτελεί σημείο αναφοράς μίας μεγάλης περιόδου στην ιστορία του μεταπολεμικού κινηματογράφου.
Η επιτυχία της ταινίας έγκειται κυρίως στον τρόπο προσέγγισης των παιδαγωγικών απόψεων του Σελεστέν Φρενέ. Αφηγείται την αρχή της διδασκαλίας του γνωστού παιδαγωγού και τη δημιουργία ανάγκης για μάθηση στους μαθητές.
Το 1990, το Συμβούλιο του ΟΗΕ για τον Κινηματογράφο έθεσε υπό την αιγίδα του, «Το Σκασιαρχείο» διότι, όπως αναφέρει, πρόκειται για ένα εξαιρετικό έργο τέχνης το οποίο εικονογραφεί με μοναδικό τρόπο μια από τις πλευρές της Διακήρυξης Ανθρωπίνων Δικαιωμάτων του ΟΗΕ.

Σάμερχιλ ένα διαφορετικό σχολείο.


Το Σάμερχιλ, που ίδρυσε ο Α.Σ. Νηλ και έχει σήμερα διευθύντρια την κόρη του Ζωή Ρέντχεντ, είναι ένα προοδευτικό σχολείο ηλικίας ενενήντα χρόνων, που διοικείται δημοκρατικά με τους μαθητές του να έχουν ισότιμο λόγο στους κανονισμούς λειτουργίας του. Όμως, ο Οργανισμός Πιστοποίησης Σχολικών Ιδρυμάτων (OFSTED), μέσω των επιθεωρητών του, αποφασίζει να κλείσει το σχολείο καθότι θεωρεί ότι δεν παρέχει επαρκή εκπαίδευση στους μαθητές του. Η υπόθεση οδηγείται στο δικαστήριο, όπου το σχολείο συγκρούεται μετωπικά σε μια μάχη επιβίωσης με την Βρεταννική Κυβέρνηση.

Η ταινία είναι του Jon East, έχει γυριστεί στους χώρους του σχολείου, βασίζεται σε πραγματικά γεγονότα και έχει βραβευθεί με δύο βραβεία BAFTA

Η μικρή ιστορία των μαθηματικών

 

Donald in Mathmagic Land – Greek Subs (Μέρος 2 από 2)

Donald in Mathmagic Land – Greek Subs (Μέρος 1 από 2)

 

¨Η σημειολογία της αξιολόγησης: Αναζητώντας το σημαινόμενο¨

Ευγενία Κολέζα καθηγήτρια του Πανεπιστημίου Πατρών με θέμα:

¨Η σημειολογία της αξιολόγησης: Αναζητώντας το σημαινόμενο¨
Η ημερίδα πραγματοποιήθηκε το

Σάββατο 06-04-2013 στις 10.00 π. μ.

στο α μ φ ι θ έ α τ ρ ο Α 23 του Μαθηματικού Τμήματος (Πανεπιστημιούπολη Ζωγράφου), με θέμα:

«Συζητώντας το πείραμα της αξιολόγησης στο χώρο της εκπαίδευσης

 

Μαθηματικά Σταυρόλεξα

Σταυρόλεξο είναι ένα παιχνίδι μυαλού και γνώσης, στο οποίο ο λύτης προσπαθεί να βρει κρυμμένες λέξεις. Η εμφάνισή του είναι συνήθως ένας ασπρόμαυρος πίνακας που αποτελείται από λευκά και μαύρα τετράγωνα, περίπου όπως αυτά στο σκάκι.
Στα λευκά τετράγωνα γράφονται γράμματα που σχηματίζουν λέξεις, οι οποίες διασταυρώνονται μεταξύ τους ενώ τα μαύρα τετράγωνα οριοθετούν το τέλος ή την αρχή των λέξεων του σταυρολέξου.
Στο κάθε σταυρόλεξο περιλαμβάνονται επίσης και κάποιοι ορισμοί που περιγράφουν περιφραστικά κάθε λέξη και οι οποίοι μπορούν είτε να βρίσκονται πάνω στο σταυρόλεξο (όπως στα σκανδιναβικά σταυρόλεξα) είτε, συνηθέστερα, τυπωμένοι κάτω από τον πίνακα και αριθμημένοι.
Ο αριθμός κάθε ορισμού αναφέρεται στη «συντεταγμένη» της αντίστοιχης λέξης πάνω στον πίνακα. Πολλές φορές σαν μέρος ενός ορισμού υπάρχει μια εικόνα ή φωτογραφία…. … περισσότερα

Ψηφιακή άνοια … η μάστιγα των νέων !!!


Η «ψηφιακή άνοια» εξελίσσεται σε νέα μάστιγα για τους ανθρώπους νεαρής ηλικίας που βασίζονται όλο και περισσότερο στην τεχνολογία, αφήνοντας έτσι τον εγκέφαλό τους να «ατροφήσει».

Επιστήμονες από τη Νότια Κορέα έχουν παρατηρήσει αύξηση κρουσμάτων αυτού του είδους της «άνοιας» στους νέους, οι οποίοι εμφανίζουν επιδείνωση των νοητικών ικανοτήτων τους αντίστοιχη με αυτή που εμφανίζουν ασθενείς που έχουν υποστεί τραυματισμό στο κεφάλι ή πάσχουν από κάποια ψυχιατρική νόσο. «Η υπερβολική χρήση “έξυπνων” κινητών και βιντεοπαιχνιδιών διασαλεύει την ισορροπημένη ανάπτυξη του εγκεφάλου» υπογραμμίζει ο Μπιουν Γκι-γον, γιατρός του Κέντρου Ισορροπίας Εγκεφάλου της Σεούλ, σε συνέντευξη που παραχώρησε στην εφημερίδα «JoongAng».

Αξίζει να σημειωθεί ότι η Νότια Κορέα είναι μία από τις χώρες με τη μεγαλύτερη διείσδυση της τεχνολογίας στον γενικό πληθυσμό αλλά και με τα περισσότερα κρούσματα εθισμού στο Διαδίκτυο. «Οι άνθρωποι που κάνουν υπερβολική χρήση τεχνολογίας είναι πιο πιθανό να αναπτύξουν την αριστερή πλευρά του εγκεφάλου τους, αφήνοντας έτσι τη δεξιά υπανάπτυκτη» συμπληρώνει ο δρ Γκι-γον.
Η δεξιά πλευρά του εγκεφάλου συνδέεται με τη συγκέντρωση και, όταν δεν είναι επαρκώς ανεπτυγμένη, επηρεάζει την ικανότητα προσοχής και μνήμης, οδηγώντας μάλιστα στο 15% των περιπτώσεων και σε πρόωρη άνοια.

Οι πάσχοντες από «ψηφιακή άνοια» φέρεται επίσης να είναι και ψυχολογικά υπανάπτυκτοι, με τα παιδιά να διατρέχουν ακόμη πιο σοβαρό κίνδυνο από τους ενήλικες, αφού ο εγκέφαλός τους είναι σε εξελικτική διαδικασία. Η κατάσταση φαίνεται να επιδεινώνεται στη Νότια Κορέα, καθώς το ποσοστό των ανθρώπων ηλικίας 10 έως 19 ετών που χρησιμοποιούν «έξυπνα» κινητά πάνω από επτά ώρες κάθε μέρα ξεπερνά το 18,4%, ποσοστό που έχει αυξηθεί 7% σε σύγκριση με πέρυσι.

Τα ανησυχητικά συμπεράσματα των Κορεατών έρχονται έπειτα από μια έρευνα που πραγματοποίησε το UCLA, η οποία έδειξε ότι οι νεαροί Αμερικανοί εμφανίζουν όλο και πιο συχνά προβλήματα μνήμης. Συγκεκριμένα, διαπιστώθηκε ότι το 14% νεαρών ανδρών και γυναικών, ηλικίας από 18 έως 39 ετών, παραπονούνται ότι η μνήμη τους είναι κακή. Σε αυτήν την περίπτωση ωστόσο, το πρόβλημα αποδίδεται γενικότερα στον σύγχρονο τρόπο ζωής.

Πηγή : http://gr.news.yahoo.com/

Copyright © το διάλειμα          Φιλοξενείται από Blogs.sch.gr
Top