Τα τρία κύρια φιλοσοφικά ρεύματα στα μαθηματικά
Στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα και στις αρχές του εικοστού εμφανίστηκαν στη φιλοσοφία των μαθηματικών τρία μεγάλα φιλοσοφικά ρεύματα που προχώρησαν σε μία συνολική αναθεώρηση των μαθηματικών, προσπαθώντας είτε να προχωρήσουν σε μία κάθαρση των θεμελίων τους, είτε να τα τυποποιήσουν, είτε να τα θέσουν σε μία διαφορετική βάση. Αυτά ήταν ο λογικισμός, ο ιντουισιονισμός και ο φορμαλισμός.
-
Λογικισμός
Η βασική ιδέα που διέπει το φιλοσοφικό ρεύμα του λογικισμού είναι ότι οι έννοιες και τα αντικείμενα των μαθηματικών, όπως παραδείγματος χάριν ο αριθμός, μπορεί να οριστούν από κάποιο λογική ορολογία και έτσι με αυτούς τους ορισμούς τα θεωρήματα των μαθηματικών μπορούν να παραχθούν από λογικές αρχές.
Μία πρώτη εμφάνιση του λογικισμού εμφανίζεται στα γραπτά του Leibniz ο οποίος πίστευε στην πρωτοκαθεδρία της λογικής προέκταση της οποίας θεωρούσε τα μαθηματικά. Ο πρώτος όμως που προχώρησε στην προσπάθεια θεμελίωσης των μαθηματικών μέσα στα πλαίσια του λογικισμού ήταν ο Frege. Ο Frege υποστήριζε την άποψη ότι κάθε πρόταση σχετικά με τους φυσικούς ή τους πραγματικούς αριθμούς είναι γνώσιμη Με το πρόγραμμα του λογικισμού του προσπάθησε να δείξει πώς να παράγει τις, κατ’ αυτόν αναλυτικές, αριθμητικές προτάσεις από τους γενικούς λογικούς κανόνες και τους ορισμούς.
Ο Russell αν και με τη διατύπωση του ομώνυμου παράδοξού του στην ουσία κατέστρεψε το πρόγραμμα του Frege θεωρείται ο συνεχιστής του έργου του με το μνημειώδες, του από κοινού με τον A.Ν. Whitehead, σύγγραμμα του Principia Mathematica. Ο Russell διατύπωσε την άποψη ότι η εμφάνιση των παράδοξων στο έργο του Frege οφείλεται στην καντοριανή σύνολοθεωρητική αντίληψη που επέτρεπε τη χρήση αυτoαναφορών. Έτσι προχώρησε στη δημιουργία μιας θεωρίας τύπων με την οποία ταξινομούνται ιεραρχικά τα σύνολα με πολύ αυστηρό περιοριστικό τρόπο, απαγορεύοντας τις αυτoαναφορές.
Η κριτική που ασκείται στο πρόγραμμα του λογικισμού επικεντρώνεται σε δύο βασικές του αδυναμίες: α) εμφανίζονται πολλά καθαρά εργαλεία των μαθηματικών όπως οι συναρτήσεις να τοποθετούνται στην περιοχή της λογικής. Φαίνεται ότι τα μαθηματικά και η λογική δεν αποτελούν το ένα τμήμα του άλλου αλλά μάλλον αλληλοσυμπληρώνονται. Β) ο εξοστρακισμός τον αυτοαναφορών από το έργο του Russell δεν μπορεί να αναζητηθεί στο επίπεδο της λογικής. Όμως ακόμα και σήμερα το φιλοσοφικό ρεύμα του λογικισμού έχει συνεχιστές όπως εμφανίζεται με το έργο μαθηματικών όπως ο A. Church και W.V. Quine.
- Ιντουισιονισμός
Ο Ιντουισιονισμός είναι ένας γενικός όρος για ένα φιλοσοφικό ρεύμα που αντιτίθεται στον νόμο της απόκλιση του τρίτου. Ως νόμος της του τρίτου αποκλίσεως ονομάζεται η εξής: Έστω Α μία πρόταση. Τότε συμβαίνει το Α ή δεν συμβαίνει το Α. Τα μαθηματικά που αποδέχονται τον νόμο αυτό χαρακτηρίζονται ως κλασικά ενώ τα μαθηματικά που τον απορρίπτουν ιντουισιονιστικά. Οι ιντουισιονιστές απορρίπτουν το νόμο αυτό καθώς μαρτυρά μία πίστη στην ανεξάρτητη ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων και αποτελεί μία συνέπεια του οντολογικού ρεαλισμού. Έτσι τα μαθηματικά που προκύπτουν είναι πολύ διαφορετικά από τα κλασικά μαθηματικά με κύριο χαρακτηριστικό τη χρήση καθαρά κατασκευαστικών αποδείξεων, καθώς απορρίπτονται όλες οι αποδείξεις που χρησιμοποιούν την απαγωγή σε άτοπο.
Η ιντουισιονιστική σχολή δημιουργήθηκε γύρω στο 1908 με τον Ολλανδό μαθηματικό L. E. J. Brouwer ενώ σημαντικότερος διάδοχος του αποτέλεσε ο Α. Heyting που ανέπτυξε μία αυστηρή διατύπωση της ιντουισιονιστικής λογικής που καλείται και κατηγορηματικός λογισμός του Heyting.
- Φορμαλισμός
Ο φορμαλισμός ως φιλοσοφία των μαθηματικών προέρχεται περισσότερο από μαθηματικούς και ισχυρίζεται ότι η ίδια η ουσία των μαθηματικών είναι ο χειρισμός χαρακτήρων. Μία λίστα χαρακτήρων και επιτρεπτών κανόνων αποτελεί οτιδήποτε μπορεί να ειπωθεί για ένα κλάδο των μαθηματικών. Δηλαδή τα μαθηματικά δεν αναφέρονται ή δεν χρειάζεται να αναφέρονται σε τίποτα περισσότερο από τους χαρακτήρες και τους κανόνες χειρισμού αυτών. Έτσι παραδείγματος χάρη στο ερώτημα για το τι ακριβώς είναι οι φανταστικοί αριθμοί ο φορμαλισμός απαντά ότι απλά πρέπει να τους χειριζόμαστε με τους ίδιους σχεδόν κανόνες που χειριζόμαστε και τους πραγματικούς αριθμούς. Βέβαια στα πλαίσια του φορμαλισμού θα μπορούσαμε να διακρίνουμε κάποιες διαφορετικές γενικές θέσεις, όπως ο φορμαλισμός των όρων ή των παιγνίων.
ΠΗΓΕΣ:
- Αναπολιτάνος, Δ. Α. (1985). Εισαγωγή στη φιλοσοφία των μαθηματικών. Εκδόσεις Νεφέλη, Αθήνα.
- Shapiro, S. (2011). Thinking about mathematics. Oxford: Oxford University Press.
