header image

Άρθρα σχετικά με Μαθηματικά…

Μαθηματικά και Μουσική!

Συγγραφέας: | Φεβρουάριος 3, 2018
17 Σχόλια |

Η ακολουθία Fibonacci μας ταξιδεύει στο χώρο της μουσικής…

κάτω από: Μαθηματικά..., Μουσική, Ταξίδια
Ετικέτες:,

 Αποτέλεσμα εικόνας για σπείρα fibonacci

 

Η λογαριθμική σπείρα, μια εξαιρετικά καλαίσθητη καμπύλη, δεν είναι απλά ένα αξιοπερίεργο μαθηματικό φαινόμενο. Τη συναντάμε παντού τριγύρω μας από το όστρακο του ναυτίλου (Nautilus Pompilius), το σχήμα των βραχιόνων των γαλαξιών μέχρι και την διάταξη των πετάλων σε ένα λουλούδι.

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι εφάρμοσε την επιστημονική γνώση για τις ανθρώπινες αναλογίες ακολουθώντας τις μελέτες του Λούκα Πατσιόλι και του Βιτρούβιου. Το σχέδιο που βρέθηκε σε ένα από τα ημερολόγιά του «Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου» παρουσιάζει τις ιδανικές διαστάσεις του ανθρώπινου σώματος. Συνδέοντάς το με τη γεωμετρία το τοποθετεί σε ένα τετράγωνο και ένα κύκλο. Ο λόγος ανάμεσα στο τετράγωνο και την ακτίνα του κύκλου είναι χρυσός.
Στη συνέχεια ο Λε Κορμπυζιέ χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο Modulor σύστημα του για την κλίμακα της αρχιτεκτονικής αναλογίας. Είδε το σύστημα αυτό, ως συνέχεια της μακράς παράδοσης του Βιτρούβιου, του «Άνθρωπος του Βιτρούβιου» του Leonardo da Vinci, του έργου του Leon Battista Alberti και των άλλων που χρησιμοποίησαν τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος για να βελτιώσουν την εμφάνιση και τη λειτουργία της αρχιτεκτονικής.

Μελέτες έδειξαν ότι το πρόσωπο της Μόνα Λίζα (Τζοκόντα), τόσο συνολικά όσο και στις λεπτομέρειές του εμπεριέχεται σε μια καλαίσθητη ακολουθία χρυσών ορθογωνίων.

Η Γέννηση της Αφροδίτης (La nascita di Venere) είναι πίνακας ζωγραφικής του Ιταλού καλλιτέχνη της Αναγέννησης, Σάντρο Μποτιτσέλι. Φιλοτεχνήθηκε περίπου το 1485–1486. Σήμερα βρίσκεται στη συλλογή του μουσείου Ουφίτσι στη Φλωρεντία. Στο έργο αυτό, το σώμα της θεάς παρουσιάζει χρυσές αναλογίες.

Ο Σαλβαδόρ Νταλί, επηρεασμένος από τα έργα του Matila Ghyka, χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο έργο του, The Sacrament of the Last Supper (Το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου). Οι διαστάσεις του καμβά είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Επιπλέον ένα τεράστιο δωδεκάεδρο που εμφανίζεται πάνω από τον Ιησού και σταδιακά σβήνει πίσω του, έχει προοπτική στα άκρα που σχεδιάστηκαν με βάση τη χρυσή αναλογία μεταξύ τους.

Ο Πητ Μοντριάν έχει χρησιμοποιήσει τη χρυσή τομή εκτενώς στα γεωμετρικά έργα του, αν και άλλοι εμπειρογνώμονες (συμπεριλαμβανομένων του κριτικού Yve-Alain Bois) έχουν αμφισβητήσει τον ισχυρισμό αυτό.

Η πρόσοψη του Παρθενώνα, καθώς και τα στοιχεία της πρόσοψης οριοθετήθηκαν από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες. Ορισμένοι μελετητές αρνούνται ότι οι Έλληνες είχαν κάποια αισθητική συσχέτιση με τη χρυσή αναλογία. Ωστόσο, μέσα από το έργο του Ευκλείδη ξεκίνησε η μελέτη των μαθηματικών ιδιοτήτων της χρυσής τομής. Στα Στοιχεία (308 π.Χ.), ο Έλληνας μαθηματικός θεωρούσε τον χρυσό αριθμό ως έναν ενδιαφέροντα άρρητο αριθμό, σε σχέση με τις μεσαίες και ακραίες αναλογίες.

Μια κανονική πυραμίδα με βάση ένα τετράγωνο καθορίζεται από ένα εσωτερικό ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου οι πλευρές είναι το απόστημα της πυραμίδας (α),η ημι-βάση της (b) και το ύψος της (h). Η κλίση της γωνίας σημειώνεται επίσης. Οι μαθηματικές αναλογίες παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε σχέση με τις πυραμίδες της Αιγύπτου.


Μία Αιγυπτιακή πυραμίδα εξαιρετικά κοντά στις αναλογίες αυτές είναι η Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας (Πυραμίδα του Χέοπα). Η κλίση της 51 ° 52 ‘ είναι πολύ κοντά στην «χρυσή» κλίση της πυραμίδας των 51 ° 50’. Άλλες πυραμίδες της Γκίζας που σχετίζονται με τις αναλογίες αυτές είναι η Chephren, με 52 ° 20′, και η Mycerinus, με 50 ° 47 ‘. Επίσης, αρκετές άλλες Αιγυπτιακές πυραμίδες είναι πολύ κοντά στο σχήμα 3:4:5. Ωστόσο, παραμένει άγνωστο αν η σχέση με τη χρυσή αναλογία σε αυτές τις πυραμίδες έχει σχεδιαστεί βάσει μελέτης ή έχει προκύψει κατά λάθος.

Οι σπόροι από ένα ηλιοτρόπιο σχηματίζουν ομόκεντρες σπείρες που ακολουθούν την κίνηση των δεικτών του ρολογιού αλλά και αντιστρόφως. Αν υπολογιστούν, προκύπτουν δύο αριθμοί το 21 και το 34 που ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.

Οι διαφορετικοί τύποι μαργαρίτας έχουν έναν διαφορετικό αριθμό πετάλων, που πάντα ανήκει στην ακολουθία αριθμών Φιμπονάτσι (21, 34, 55, 89).

Ο Adolf Zeising στη μελέτη του για την χρυσή αναλογία με βάση τις ανθρώπινες αναλογίες του σώματος, έγραψε το 1854 για ένα καθολικό δίκαιο «στο οποίο περιέχεται το έδαφος -αρχή της όλης προσπάθειας για την ομορφιά και την πληρότητα στην σφαίρα τόσο της φύσης όσο και της τέχνης, και το οποίο διαπερνά, ως υψίστης σημασίας πνευματικό ιδεώδες, όλες τις δομές, μορφές και αναλογίες, είτε κοσμικές είτε μεμονωμένες, οργανικές ή ανόργανες, ηχητικές ή οπτικές. Και το οποίο βρίσκει την πληρέστερη υλοποίηση, ωστόσο, στην ανθρώπινη μορφή «.

Ο Zeising μέσα από το έργο του καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η χρυσή αναλογία είναι καθολική για όλα τα φαινόμενα στη φύση και την τέχνη. Όσο αφορά το ανθρώπινο σώμα ο ομφαλός δεν είναι ο μόνος δείκτης της χρυσής αναλογίας που υπάρχει στην δομή του ανθρώπινου σώματος. Παρόμοιες αναλογίες τηρούνται μεταξύ των άλλων τμημάτων του σώματος όπως το μήκος του ώμου και το αντιβράχιο, το χέρι και τα δάκτυλα, κλπ.

 
Απλή σύμπτωση;
 
Tυχαίο, αλλά πολύ όμορφο!

Περισσότερα εδώ

κάτω από: Μαθηματικά...
Ετικέτες:, , , ,

Εικασία του Goldbach

Συγγραφέας: | Δεκέμβριος 15, 2017
17 Σχόλια |

Tα κλασικά άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών παραδοσιακά ήταν τρία:

Η Εικασία του Goldbach: Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2,  2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Η υπόθεση του Riemann: Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης μηδενικής ρίζας της συνάρτησης ζ του Riemann είναι ½. Η συνάρτηση ζήτα ή συνάρτηση ζήτα του Riemann, από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Bernard Riemann είναι μια συνάρτηση με ιδιαίτερη σημασία στη θεωρία αριθμών, λόγω της σχέσης της με την κατανομή των πρώτων αριθμών.

Το τελευταίο Θεώρημα του Fermat: Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x, y, και z τέτοιοι ώστε xn + yn = zn, όπου n θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2.

Σημείωση: Το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Andrew Wiles και Richard Taylor στο πανεπιστήμιο Princeton.

 

Ειδικότερα η εικασία του Goldbach:

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2,   2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

π.χ.

  4 = 2 + 2
  6 = 3 + 3
  8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 5 + 11
18 = 7 + 11
20 = 7  + 13 …

Η δεύτερη εικασία ή ασθενής εικασία του Goldbach αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων. Η εικασία ονομάζεται ασθενής, γιατί αν αποδειχθεί η κύρια εικασία, η απόδειξή αυτής είναι εύκολη. Κάθε άρτιος ακέραιος σύμφωνα με την εικασία, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Προσθέτοντας σε αυτό το άθροισμα το 3 κατασκευάζονται όλοι οι περιττοί αριθμοί οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι του 5.

περισσότερα:  Βικιπαίδεια

κάτω από: Γενικά, Μαθηματικά...

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Συγγραφέας: | Δεκέμβριος 30, 2016
17 Σχόλια |

Το Πυθαγόρειο θεώρημα με διαφορετική οπτική!!!

κάτω από: Μαθηματικά...
Ετικέτες:, ,

Το «2017» είναι «πρώτος» αριθμός!

Συγγραφέας: | Δεκέμβριος 29, 2016
17 Σχόλια |

Πρώτοι αριθμοί

Πρώτος λέγεται ένας φυσικός αριθμός αν είναι μεγαλύτερος από τη μονάδα και διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και το 1.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι πρώτος, επειδή μόνο οι αριθμοί 1 και 5 τον διαιρούν, ενώ ο αριθμός 10 είναι σύνθετος επειδή έχει διαιρέτες το 2 και το 5 εκτός από το 1 και το 10.

Επομένως το 0 και το 1 δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος ζυγός πρώτος αριθμός ενώ όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι μονοί.

Ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.Χ. απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί.

Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός, ο οποίος ανακαλύφθηκε τον Μάρτιο του 2016 και έχει 22.338.618 ψηφία, είναι ο: 274.207.281-1

Πίνακας των 1000 Πρώτων αριθμών στο διάστημα 1 έως 7919

       2        3         5        7      11      13       17      19      23      29 
      31      37       41      43      47      53       59      61      67      71 
      73      79       83      89      97     101     103    107     109    113 
    127     131     137     139    149     151     157    163     167    173 
    179     181     191     193    197     199     211    223     227    229 
    233     239     241     251    257     263     269    271     277    281 
    283     293     307     311    313     317     331    337     347    349 
    353     359     367     373    379     383     389    397     401    409 
    419     421     431     433    439     443     449    457     461    463 
    467     479     487     491    499     503     509    521     523    541 
    547     557     563     569    571     577     587    593     599    601 
    607     613     617     619    631     641     643    647     653    659 
    661     673     677     683    691     701     709    719     727    733 
    739     743     751     757    761     769     773    787     797    809 
    811     821     823     827    829     839     853    857     859    863 
    877     881     883     887    907     911     919    929     937    941 
    947     953     967     971    977     983     991    997   1009   1013 
   1019   1021   1031   1033   1039   1049   1051   1061   1063   1069 
   1087   1091   1093   1097   1103   1109   1117   1123   1129   1151 
   1153   1163   1171   1181   1187   1193   1201   1213   1217   1223 
   1229   1231   1237   1249   1259   1277   1279   1283   1289   1291 
   1297   1301   1303   1307   1319   1321   1327   1361   1367   1373 
   1381   1399   1409   1423   1427   1429   1433   1439   1447   1451 
   1453   1459   1471   1481   1483   1487   1489   1493   1499   1511 
   1523   1531   1543   1549   1553   1559   1567   1571   1579   1583 
   1597   1601   1607   1609   1613   1619   1621   1627   1637   1657 
   1663   1667   1669   1693   1697   1699   1709   1721   1723   1733 
   1741   1747   1753   1759   1777   1783   1787   1789   1801   1811 
   1823   1831   1847   1861   1867   1871   1873   1877   1879   1889 
   1901   1907   1913   1931   1933   1949   1951   1973   1979   1987 
   1993   1997   1999   2003   2011   2017   2027   2029   2039   2053 
   2063   2069   2081   2083   2087   2089   2099   2111   2113   2129 
   2131   2137   2141   2143   2153   2161   2179   2203   2207   2213 
   2221   2237   2239   2243   2251   2267   2269   2273   2281   2287 
   2293   2297   2309   2311   2333   2339   2341   2347   2351   2357 
   2371   2377   2381   2383   2389   2393   2399   2411   2417   2423 
   2437   2441   2447   2459   2467   2473   2477   2503   2521   2531 
   2539   2543   2549   2551   2557   2579   2591   2593   2609   2617 
   2621   2633   2647   2657   2659   2663   2671   2677   2683   2687 
   2689   2693   2699   2707   2711   2713   2719   2729   2731   2741 
   2749   2753   2767   2777   2789   2791   2797   2801   2803   2819 
   2833   2837   2843   2851   2857   2861   2879   2887   2897   2903 
   2909   2917   2927   2939   2953   2957   2963   2969   2971   2999 
   3001   3011   3019   3023   3037   3041   3049   3061   3067   3079 
   3083   3089   3109   3119   3121   3137   3163   3167   3169   3181 
   3187   3191   3203   3209   3217   3221   3229   3251   3253   3257 
   3259   3271   3299   3301   3307   3313   3319   3323   3329   3331 
   3343   3347   3359   3361   3371   3373   3389   3391   3407   3413 
   3433   3449   3457   3461   3463   3467   3469   3491   3499   3511 
   3517   3527   3529   3533   3539   3541   3547   3557   3559   3571 
   3581   3583   3593   3607   3613   3617   3623   3631   3637   3643 
   3659   3671   3673   3677   3691   3697   3701   3709   3719   3727 
   3733   3739   3761   3767   3769   3779   3793   3797   3803   3821 
   3823   3833   3847   3851   3853   3863   3877   3881   3889   3907 
   3911   3917   3919   3923   3929   3931   3943   3947   3967   3989 
   4001   4003   4007   4013   4019   4021   4027   4049   4051   4057 
   4073   4079   4091   4093   4099   4111   4127   4129   4133   4139 
   4153   4157   4159   4177   4201   4211   4217   4219   4229   4231 
   4241   4243   4253   4259   4261   4271   4273   4283   4289   4297 
   4327   4337   4339   4349   4357   4363   4373   4391   4397   4409 
   4421   4423   4441   4447   4451   4457   4463   4481   4483   4493 
   4507   4513   4517   4519   4523   4547   4549   4561   4567   4583 
   4591   4597   4603   4621   4637   4639   4643   4649   4651   4657 
   4663   4673   4679   4691   4703   4721   4723   4729   4733   4751 
   4759   4783   4787   4789   4793   4799   4801   4813   4817   4831 
   4861   4871   4877   4889   4903   4909   4919   4931   4933   4937 
   4943   4951   4957   4967   4969   4973   4987   4993   4999   5003 
   5009   5011   5021   5023   5039   5051   5059   5077   5081   5087 
   5099   5101   5107   5113   5119   5147   5153   5167   5171   5179 
   5189   5197   5209   5227   5231   5233   5237   5261   5273   5279 
   5281   5297   5303   5309   5323   5333   5347   5351   5381   5387 
   5393   5399   5407   5413   5417   5419   5431   5437   5441   5443 
   5449   5471   5477   5479   5483   5501   5503   5507   5519   5521 
   5527   5531   5557   5563   5569   5573   5581   5591   5623   5639 
   5641   5647   5651   5653   5657   5659   5669   5683   5689   5693 
   5701   5711   5717   5737   5741   5743   5749   5779   5783   5791 
   5801   5807   5813   5821   5827   5839   5843   5849   5851   5857 
   5861   5867   5869   5879   5881   5897   5903   5923   5927   5939 
   5953   5981   5987   6007   6011   6029   6037   6043   6047   6053 
   6067   6073   6079   6089   6091   6101   6113   6121   6131   6133 
   6143   6151   6163   6173   6197   6199   6203   6211   6217   6221 
   6229   6247   6257   6263   6269   6271   6277   6287   6299   6301 
   6311   6317   6323   6329   6337   6343   6353   6359   6361   6367 
   6373   6379   6389   6397   6421   6427   6449   6451   6469   6473 
   6481   6491   6521   6529   6547   6551   6553   6563   6569   6571 
   6577   6581   6599   6607   6619   6637   6653   6659   6661   6673 
   6679   6689   6691   6701   6703   6709   6719   6733   6737   6761 
   6763   6779   6781   6791   6793   6803   6823   6827   6829   6833 
   6841   6857   6863   6869   6871   6883   6899   6907   6911   6917 
   6947   6949   6959   6961   6967   6971   6977   6983   6991   6997 
   7001   7013   7019   7027   7039   7043   7057   7069   7079   7103 
   7109   7121   7127   7129   7151   7159   7177   7187   7193   7207
   7211   7213   7219   7229   7237   7243   7247   7253   7283   7297 
   7307   7309   7321   7331   7333   7349   7351   7369   7393   7411 
   7417   7433   7451   7457   7459   7477   7481   7487   7489   7499 
   7507   7517   7523   7529   7537   7541   7547   7549   7559   7561 
   7573   7577   7583   7589   7591   7603   7607   7621   7639   7643 
   7649   7669   7673   7681   7687   7691   7699   7703   7717   7723 
   7727   7741   7753   7757   7759   7789   7793   7817   7823   7829 
   7841   7853   7867   7873   7877   7879   7883   7901   7907   7919 

Είναι πρώτος ο αριθμός μου;

Δώσε ένα αριθμό και πάτα το κουμπί για να δεις αν είναι πρώτος... εδώ

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Η πρόβλημα της εύρεσης πρώτων αριθμών απασχόλησε από τους αρχαίουςΚόσκινο χρόνους τους μαθηματικούς. Ένας απλός τρόπους για την εύρεση πρώτων αριθμών είναι το κόσκινο του Ερατοσθένη.

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών διαγράφουμε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2, μετά διαγράφουμε τα πολλαπλάσια του επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.λ.π. Οι αριθμοί που θα απομείνουν είναι όλοι πρώτοι.

Είναι προφανές ότι η παραπάνω διαδικασία δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε όλο το σύνολο των φυσικών αριθμών, αλλά σε ένα υποσύνολο της μορφής {2,3,4,5, … ,ν}, όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.




Πηγή
κάτω από: Μαθηματικά...
Ετικέτες:, , ,

… περιμένοντας το «2016»

Συγγραφέας: | Δεκέμβριος 31, 2015
17 Σχόλια |

2016

κάτω από: Μαθηματικά...

… απλά Μαθηματικά!

Συγγραφέας: | Δεκέμβριος 26, 2015
17 Σχόλια |

 

giphy… με κλικ θυμάμαι τις γραφικές παραστάσεις βασικών σναρτήσεων!

κάτω από: Διάφορα τεστ και παιχνίδια, Μαθηματικά...
Ετικέτες:

κάτω από: Μαθηματικά..., Τέχνη, Φύση
Ετικέτες:, ,

new year1

sand greetings

κάτω από: Μαθηματικά παιχνίδια, Μαθηματικά...
Ετικέτες:, , ,

Τετράγωνα πρώτων αριθμών!

Συγγραφέας: | Δεκέμβριος 25, 2014
17 Σχόλια |

Μαγικά Μαθηματικά

κάτω από: Μαθηματικά παιχνίδια, Μαθηματικά...
Ετικέτες:, ,

Παλιότερα Άρθρα »

Κατηγορίες